北师版高数必修一第14讲：函数的应用(教师版)
2016-2017学年北师大版必修一 函数应用本章整合 课件(25张)
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专题一
专题二
������ 2 + ������������ + ������,������ ≤ 0, 例2导学号91000171设函数 f(x)= 3,������ > 0, 若 f (4)=f(0),f(-2)=-2,则函数y=f(x)-x的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:f(-4)=f(0)⇒b=4,f(-2)=-2⇒c=2,
B. D.
3 3 - , 2e 4 3 ,1 2e
解析 :设 g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式 f(x)<0 即为 g(x)<h(x). 因为 g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
1 当 x<- 时 ,g'(x)<0,函数 g(x)单调递减 ; 2 1 当 x>- 时 ,g'(x)>0,函数 g(x)单调递增 . 2 1 所以 g(x)的最小值为 g - . 2
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解:(1)设每日来回y次,每次拖挂x节车厢, 由题意可设一次函数的解析式为y=kx+b,
4������ + ������ = 16, ������ = -2, 解得 7������ + ������ = 10, ������ = 24. ∴y=-2x+24. (2)设火车每次拖挂x节车厢,由题意知,每日运营车厢最多时,运营 人数最多. 设每日运营S节车厢,则 S=x(-2x+24)=-2(x-6)2+72. ∴当x=6时,Smax=72,每日来回的次数为-2×6+24=12, 则每日最多运营人数为110×72=7 920. 故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营 人数为7 920. 可得
北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》函数模型的应用实例(二)
4。要写出本利和 y，关键是什 么？
（关键在于寻找第x期后的本利和 与第x-1期后的本利和的关系有何 规律）
另： an=an-1(1+r)
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在实际问题中，常遇到有关平均 增长率问题。如果原来产值的基 础数为N，平均增长率为P，则对 于时间X的总产值y，满足公式： y=N（1+P）X
例如
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例2：一片树林中现有木材 30000米3，如果每年平均增 长5%，经过X年，树林中有 木材y米3，试写出X，y的函 数关系式。
ykn x b (k0 ,x0 )
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复利 是一种计算方法， 即把前一期的利息和本 金加在一起算做本金再 计算一下期利息。
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6
例1，按复利计算利息的一种储 蓄,本金为a元,每期利率为r， 设本利和为y,存期为x,写出本 利和y随存期x变化的函数式， 如果存入本金1000元，每期 利率2.25%，试计算5期后的 本利和是多少。
a(1+x)20=4a
x1021
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5.李师傅购买了5000元三年期建 设债券，到期时可得本利和7250 元，问所购买的债券的年利率是 多少？
5000(1+x)3=7250
x3 1.451
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例4 某公司一年需要一种计算机元 件８０００个，每天需同样多的元 件用于组装整机，该元件每年分n次 进货，每次购买元件的数量均为x,购 一次货需要手续费５００元，已购 进而未使用的元件要付库存费，可 以认为平均库存量为x/2件，每个元 件的库存费是一年２元，请核算一 下，每年进货几次花费最小？
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7
分析：1．此题已知条件中出 现了什么样的新概念、新字 母？它们的含义是什么？
(复利、利息、本金元、每期 利率、本利和、存期）
(教师用书)高中数学 第四章 函数应用教案 北师大版必修1
第四章函数应用§1函数与方程1．1 利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(2)掌握函数零点存在的方法．(3)能结合图像求解函数零点问题．2．过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．●重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．(教师用书独具)●教学建议教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像与x 轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．●教学流程通过实例分析：判断方程x 2－x －6＝0解的存在性，引出本节课课题⇒抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练⇒函数图像从x 轴上方到下方或从x 轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解⇒导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练⇒根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)【问题导思】给定的二次函数y ＝x 2＋2x －3，其图像如下：1．方程x 2＋2x －3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(－3,0)，(1,0)．3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等．4．通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函数值符号异号．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y ＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)(1)f(x)＝－2x－1；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝3x－9；(4)f(x)＝1－log3x.【思路探究】求函数y＝f(x)的零点，即求方程f(x)＝0的根．因此令f(x)＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．【自主解答】(1)因为方程－2x－1＝0无实数解，所以函数f(x)＝－2x－1无零点．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令3x－9＝0，则3x＝9即3x＝32，则x＝2，所以函数f(x)＝3x－9的零点是2.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.1．求函数y＝f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点．2．求函数y ＝f (x )的零点通常有两种办法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．(1)函数f (x )＝4x－16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】 (1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2.(2)令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2，故有两个． 【答案】 (1)x ＝2 (2)C在下列区间中，函数f A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)【思路探究】 依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解． 【自主解答】 ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0，∴零点在(14，12)上．【答案】 C1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反． 2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)【解析】 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)内有零点． 【答案】 B当a 取何值时，方程ax 【思路探究】 分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果． 【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2， 则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为(34，1)．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． 2．结合草图考虑三个方面： (1)Δ与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系； (3)端点的函数值与零的关系． 3．写出由题意得到的不等式．4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．设函数f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围． 【解】 ∵f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点， ∴f (－2)·f (1)≤0， 即(a ＋1)(4a ＋1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，4a ＋1≤0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，4a ＋1≥0，∴－1≤a ≤－14.因此，实数a 的取值范围是[－1，－14].函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【思路点拨】 首先构造函数f (x )＝x 3－(12)x －2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间．【规范解答】 令f (x )＝x 3－(12)x －2，由基本初等函数单调性知f (x )在R 上是增函数．∵f (0)＝－4，f (1)＝1－(12)1－2＝－1，f (2)＝8－1＝7，∴f (1)·f (2)<0，故函数f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点在区间(1,2)内．【答案】 B判断两函数h (x )，g (x )图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f (x )＝h (x )－g (x )的零点所在的区间．1．判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题； (2)画出函数的图像，由与x 轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定； (4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点． 2．函数的零点的作用： (1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围．(见学生用书第65页)1．函数y ＝x 2＋2x －3的零点和顶点的坐标为( ) A ．3,1；(－1，－4) B ．－3，－1；(－1,4) C ．－3,1；(1，－4) D ．－3,1；(－1，－4)【解析】 令x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3或1，将y ＝x 2＋2x －3配方可知顶点坐标为(－1，－4)． 【答案】 D2．若x 0是函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点，则x 0属于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)【解析】 由于f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0.且函数f (x )在[2,3]上连续，所以f (x )的零点x 0所属区间是(2,3)． 【答案】 B3．函数y ＝2x 2－4x －3的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定【解析】 由于方程2x 2－4x －3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点． 【答案】 C4．若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的值．【解】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图像与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点． (2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数． 因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝0，即1＋4a ＝0， 解得a ＝－14.综上所述，a 的值为0或－14.(见学生用书第121页)一、选择题1．y ＝x －1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．1，(1,0) B ．(1,0)，0 C ．(1,0)，1 D ．1,1【解析】 由y ＝x －1＝0，得x ＝1， 故交点坐标为(1,0)，零点是1. 【答案】 C2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D．a ≥1【解析】 由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 【答案】 B3．(2013·延安高一检测)函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)【解析】 ∵f (12)＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (12)·f (1)<0，∴f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是(12，1)．【答案】 B4．设f (x )在区间[a ，b ]上是连续的单调函数，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在闭区间[a ，b ]内( ) A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一实根【解析】 由题意知，函数f (x )在[a ，b ]内与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝0在[a ，b ]内只有一个实根． 【答案】 D5．已知函数y ＝f (x )的图像是连续的，有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在区间A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】 ∵f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个． 【答案】 B 二、填空题6．(原创题)函数f (x )＝kx －2x在(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 f (0)＝－1，f (1)＝k －2，由于f (0)·f (1)<0， 则－(k －2)<0.∴k >2. 【答案】 (2，＋∞)7．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 【解析】 由题意知2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.【答案】 0，－128．方程log 2x ＋2＝x 2的实数解的个数为________．【解析】 方程log 2x ＋2＝x 2可变形为log 2x ＝x 2－2，构造函数f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.【答案】 2 三、解答题9．求函数y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2(a ∈R)的零点． 【解】 令y ＝0并化为：(ax －1)(x －2)＝0. 当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a或x ＝2.10．函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 有一个零点在(1,2)内，求a 的取值范围．【解】 函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f (1)·f (2)＜0， 即(ln 1＋1－a )·(ln 2＋4－a )＜0， 解得1＜a ＜4＋ln 2.故a 的取值范围为(1,4＋ln 2)．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围． 【解】 令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f ，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.故实数m 的取值范围为(－1913，0).(教师用书独具)若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a 的取值范围． 【思路探究】 至少有一点零点包含有一个或有两个零点．【自主解答】 因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，①当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f (0)·f (4)<0或Δ＝4a 2－8＝0， 即2(18－8a )<0或a 2＝2，解得a >94或a ＝2；②当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－－2a 2<4，f ，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4×2>0，0<a <4，2>0，18－8a ≥0，解得2<a ≤94.综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2}．1．本题易直接利用f (0)·f (4)<0，错解得a >94.2．连续函数f (x )在闭区间[a ，b ]上，若满足f (a )·f (b )<0，则在区间(a ，b )内至少有一个零点，反之不一定成立．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R)，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图像，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图像与x 轴有4个交点． 由图像得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，114＋m <0，解得－3<m <－114，即实数m 的范围是(－3，－114)． 人物介绍阿贝尔阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里．阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人．阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师．霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家．阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味．在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书．他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)．在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险——试图解决一般的五次方程．我们知道一元一次方程ax ＋b ＝0(a ≠0)的根是x ＝－ba，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次方程的根也可以用公式表示．求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno 和Ferrari 解决了．在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式．阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西．于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根．达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法．对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见．阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷．这个想象的解答当然根本不是正确的解答．这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的．后来他证明了一元五次方程不可解．那时他大约十九岁．1．2 利用二分法求方程的近似解(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系． (2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解． (3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力． 2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想． (2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想． 3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣． (2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． ●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解．难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.(教师用书独具)●教学建议教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．●教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维⇒利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．⇒通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练⇒师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤⇒用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练⇒利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．【提示】能．1．二分法对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)下列函数图像与x【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3．f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．【答案】 C求方程lg x－2－x【思路探究】先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．【自主解答】令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．使用二分法求解，如下表：至此，区间lg x－2－x ＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)【解】记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．如图4－1－1的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．图4－1－1(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0<x<7.5}；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．如下表：一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.函数与方程的思想在二分法中的应用(12分)用二分法求5的近似值．(精确度0.1)【思路点拨】本题要求5的近似值，可首先把5确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值．【规范解答】设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16<0，2分f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.6分因为f(2.2)·f(2.3)<0，∴x0∈(2.2,2.3)8分再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).10分由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以5的近似值可取为2.25.12分1．对精确度的理解要正确，精确度ε满足的关系为|a－b|<ε，而不是|a－b|≤ε或|f(a)－f(b)|<ε.2．解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．1．二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.(见学生用书第67页)1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【解析】 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；函数f (x )的零点⇔f (x )＝0的根，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．【答案】 A2．函数f (x )的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定【解析】 由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)． 【答案】 A3．求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________． 【解析】 令f (x )＝x 3－2x －5，由于f (2)＝8－4－5＝－1＜0，f (3)＝27－6－5＝16，f (2.5)＝458＞0，故下一个有根区间是(2,2.5)． 【答案】 (2,2.5)4．求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解．(精度为0.1) 【解】 令f (x )＝ln x ＋x －3，即求函数f (x )在(2,3)内的零点．因为f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：至此，我们得到区间ln x ＋x －3＝0的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln x ＋x －3＝0的一个近似解．(见学生用书第123页)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是( )【解析】 由二分法的定义可知，B 项符合题意． 【答案】 B2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0A ．1.21 B ．1.31 C ．1.41 D ．1.51【解析】 由表知f (1.438)>0，f (1.406 5)<0，且区间[1.4065,1.438]的区间长度为0.031 5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根．【答案】 C3．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2【解析】 因为f (x )在区间(a ，b )上的零点唯一，又f (c )＝0，故零点为c . 【答案】 D4．用二分法可以求得方程x 3＋5＝0的近似解(精度为0.1)为( ) A ．－1.5 B ．－1.8 C ．－1.6 D ．－1.7【解析】 令f (x )＝x 3＋5，易知f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1.7.【答案】 D5．函数y ＝(12)x与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8【解析】 设f (x )＝lg x －(12)x ，经计算f (1)＝－12<0，f (2)＝lg 2－14>0，所以方程lg x －(12)x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．【答案】 D 二、填空题6．(2013·包头高一检测)求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________． 【解析】 f (x )＝x 3－2x －5，f (2)<0，f (3)>0，f (2.5)>0，则f (2)·f (2.5)<0，即下一个有根区间是(2,2.5)． 【答案】 (2,2.5)7．已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区。
北师大版高一数学必修第一册函数模型的应用课件
例题教学
例2 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材 料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳 14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此大坝大概是什么 年代建成的？
例题教学
问题4 根据题中所给条件，我们应该建立怎样的数学模型来推 断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？
（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数．查阅 即
；
追问1 结合前面学习的知识，我们可设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p（0＜p＜1），经过x年后，残余量为y，那么y与x应满足怎样的函数关系？
根据前面问题的结果，我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
因为2010年之前的4 912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
解：根据题意，当x＝0时，y＝192，
所以192＝ek·0＋b， 即e22k
48 eb
48 192
0.25 ；则 ek
22 0.25．
所以该食品在33℃的保鲜时间为
y ek33b
ek
33 eb
22 0.25
33
3
192 0.252
192
24，
即24 h．
课堂练习
2．一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL．假定在 停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通 安全，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08 mg/mL．问：这名驾驶员 喝酒后几小时才可驾车？（已知 0.51.91 0.2667 ）
根据死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，y与x应满足 函数关系：
y＝k(1－p)x（k∈R，且k≠0；0＜p＜1；x≥0）．
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所以0≤t≤ 11 5
s=13+120t (0≤t≤ 11 )． 5
离开北京2 h时火车行驶的路程s=13+120×151 =233(km)
知识梳理
例2 ．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图：
()
并 说 明 所
求 面 积 的
实 际 含 义
．
一
求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ，
知识梳理
1958 65994
1959 67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
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知识梳理
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
1950 55196
1951 56300
1952 57482
1953 58796
1954 60266
1955 61456
1956 62828
1957 64563
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(1989)我国 的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人 口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力．
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北师大版高一数学必修第一册函数的应用(一)教学PPT课件
新知探究
例2 （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数 为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s （单位：km）
与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
解：又因为s＝l＋2004，所以
y y＝0 y＝0.03t＝0.024x－3520.8 y＝0.1t－2520＝0.08x－14256 y＝0.2t－16920＝0.16x－40392 y＝0.25t－31920＝0.2x－61260 y＝0.3t－52920＝0.24x－88128 y＝0.35t－85920＝0.28x－126996 y＝0.45t－181920＝0.36x－234732
新知探究
坐标初始
追问1 任取区间[0，5]内坐显控标示刻网刻度的格度线 一个时刻t0，你能在图1中画出对应的路程
等单位长
吗？ 例由8个中人，应要纳由税综所合得收额入计所算得公额式求，出应纳税所得额，才能计算个税税修坐额改标，刻控本度制例直接将个税表示成了综合收入所得的函数，由此可v 直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额．
新知探究
追问2 如何通过这两个关系确定应缴纳个税税额y与综合所得收入额 x之间的关系？
在③中，将t用关于x的关系式代换，并将t的范围换成自变量x的范围．
追问3 当x在什么范围内时可以使t落到相应的区间？ 当0≤x≤146700时，t＝0； 要使0＜t≤36000，只需0＜0.8x－117360≤36000， 可得146700＜x≤191700； 同理可得其它区间内的对应范围，答案见表1．
y
0.2t 16920，144000 t ≤ 300000， 0.25t 31920，300000 t ≤ 420000，
北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》方程的根与函数的零点
② 在区间(b,c)上______(有/无)零 点；ff((b2))·.ff((c1))_______0_（_＜_或＞0）（． ＜或＞）．
○2 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞）．
15
理论迁移
例1如果函数 f(x)ax2x1仅有一个零点， 求实数a的取值范围.
例２求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.
16
归纳整理，整体认识：1、请学生回顾本节课所学 知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪 些；2、在本节课的学习过程中，还有哪些不太明 白的地方，请向老师提出。 布置作业： P102页练习第二题的（3）、（4） 小题。
思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么？函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布？
11
知识探究（二）：函数零点存在性原理
问题探究 思考 3：函数 y观＝f(察x)在函某数个区的间上图是象否一定有零点？ ①在区怎样间的(条a件,b下)，上函_数_y_＝_f_(x_)(一有定有/无零点)零？ 点； 探究:f(（aⅠ).）f(观b察)二_次__函_数_f0(x（) x＜2 或2x ＞3 的）图象．：
Ｃ. １
Ｄ.不确定
8
练习：求下列函数的零点： （1）y 2 x 8 ;（2）y2lo3gx .
9
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
10
知识探究（二）：函数零点存在性原理 思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么？ 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布？
北师大版高中数学 必修第一册 5.1函数的应用
解析：①当 a＝0 时，由 f(x)＝－x－1＝0 得 x＝－1，符合题意． ②当 a>0 时，函数 f(x)＝ax2－x－1 为开口向上的抛物线，且 f(0)＝ －1<0，对称轴 x＝21a>0，∴f(x)必有一个负实根，符合题意． ③当 a<0 时，x＝21a<0，f(0)＝－1<0，∴Δ＝1＋4a＝0，即 a＝－14. 此时 f(x)＝－1x2－x－1＝－ 2x＋1 2＝0，∴x＝－2，符合题意．
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
－0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75
0.08
(1.312 5,1.343 75) 1.328 125 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5
0.01 －0.02
答案：C
题型一 二分法概念的理解 1．下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中
函数零点的是( )
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B 中，不满足 f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B
【方法归纳】 (1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 ①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方 法完成)． ②取区间端点的平均数 c，计算 f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c， n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要 求，终止计算，得到函数零点的近似值． (2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
2019-2020年高中数学 函数的应用教案 北师大版必修1
2019-2020年高中数学函数的应用教案北师大版必修1一、教学目标1．知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三、学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2．教学用具：投影仪。
四、教学设想(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程与函数②方程与函数③方程与函数1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞＝）．②在区间上有零点______；·____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．②在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．xX 2oa X 3bx 1y③ 在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． （三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1． 求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。
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函数的应用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2、体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.一、解应用题的策略：特别提醒：解答应用题重点要过三关：(1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和y与利率r及存期x的关系．(2)文理关：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题．(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．二、解决应用题的一般程序：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．三、几种不同增长的函数模型(1)指数函数模型： y＝ab x＋c(b>0，b≠1，a≠0)(2)对数函数模型： y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0)(3)幂函数模型：y＝ax n＋b(a≠0)类型一 指数函数模型例1：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log 1.0121.20＝15)．解析：(1)1年后该城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)＝100(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3；x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10＝112.7 (万)．(3)设x 年后该城市人口将达到120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，∴1.012x ＝1.20.∴x ＝log 1.0121.20＝15(年)．答案：（1）y ＝100×(1＋1.2%)x . （2）112.7 (万)．（3）15练习1：医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表：可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天，lg2＝0.3010)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)答案：（1）第一次最迟应在第27天注射该种药物．（2）第二次最迟应在第33天注射药物．练习2：已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的13以下，则至少需要重叠玻璃板数为( ) A ．8块B ．9块C ．10块D ．11块答案：D 类型二 对数函数模型例2：燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，2岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：(1)当燕子静止时，它的速度v ＝0.代入题中所给公式可得0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10， 即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题中所给公式得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)，即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.答案：（1）10 （2）15 m/s.练习1：大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m ，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y ＝12log 3x 100，单位是m/s ，其中x 表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼A 的游速大于鲑鱼B 的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．答案：（1）2 m/s. （2）100 （3）A练习2：某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为( )A ．300B ．400C ．600D ．700答案： A类型三 函数模型的选取例3：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，根据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数y ＝ab x ＋c (其中a 、b 、c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由．解析：设y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝p ＋q ＋r ＝1f 2＝4p ＋2q ＋r ＝1.2f 3＝9p ＋3q ＋r ＝1.3， 解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7， ∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 再设y 2＝g (x )＝ab x ＋c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g 1＝ab ＋c ＝1g 2＝ab 2＋c ＝1.2g 3＝ab 3＋c ＝1.3， 解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4， ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，经比较可知，用y ＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．答案：y ＝－0.8×(0.5)x ＋1.4练习1：某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?答案：按复利投资更划算，利息多得3.86万练习2：某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )答案：D1、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定 答案： B2、某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h答案: C3、某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A 产品连续两次提价20%，B 产品连续两次降价20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A 、B 产品各1件，盈亏情况是( )A ．不亏不赚B ．亏5.92元C ．赚5.92元D ．赚28.96元答案: B4、某企业的产品成本前两年平均每年递增20%，经过改进技术，后两年的产品成本平均每年递减20%，那么该企业的产品成本现在与原来相比( )A ．不增不减B ．约增8%C ．约增5%D ．约减8% 答案:D5、(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (mg)与时间t (h)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？答案：（1）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10t0≤t <110116t －110t ≥110.（2）0.6小时_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 ( )A．y＝0.95x50·m B．y＝(1－0.05x50)·mC．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m答案： A2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )A．10% B．15%C．18% D．20%答案： D3．抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg2≈0.301 0)()A．6次B．7次C．8次D．9次答案： C4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为________元/件．答案：305．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中，正确的是________．(填序号)．答案： ①②④能力提升6．如图，由桶1向桶2输水，开始时，桶1有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e －nt ，那么桶2的水就是y ＝a －a e －nt .假设经过5 min ，桶1和桶2的水相等，则再过____min ，桶1中的水只有a 8L.答案： 107．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，则成本y 随经过的年数x 变化的函数关系为________．答案：y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )8．某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg ，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后人均一年占有y kg 粮食，求函数y 关于x 的解析式．答案： y ＝360(260253)x . 9. 对于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长．问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?答案：生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量.10. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根． 答案：9.0级地震释放的能量是7.1级地震的708倍．课程顾问签字： 教学主管签字：。