1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
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人教A版高中数学选修4-4 1-1-1 平面直角坐标系 课件 (共13张PPT)
y
B
P o
C Ax
解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时 听到巨响声，得 |PC|=|PB| ，故 P 在 BC 的垂 直平分线 PO 上， PO 的方程为 y= － x ，因 A P B y C
点比B点晚4s听到爆炸声， 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
oLeabharlann Ax由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
x y 2 1 2 a b
a 680 , c 1020 b 2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402
x2 y2 故双曲线方程为 1 ( x 0) 2 2 680 5 340
2
2
用y=－x代入上式，得 x 680 5 ，∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P(680 5 ,680 5 ),故PO 680 10
680 10m
解决此类应用题的关键：坐标法
1、建立平面直角坐标系 2、设点（点与坐标的对应） 3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明
数学运用
例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正 六边形的顶点.
C y B
y
C
B
D E
O F
A
x
D
A
O
E
F
x
探究
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、 正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间 比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m， 试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s，各 相关点均在同一平面上）
选修4-4平面直角坐标系ppt课件
O1 O
O2
O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y)
则PM2=PO12-MO12= ( x 2)2 y2 1
同理，PN2= ( x 2)2 y2 1
( x 2)2 y2 1 2[( x 2)2 y2 1]
x2 12x y2 3 0, ( x 6)2 y2 33,
49
为原来2倍，纵坐标伸长为3倍即得后者图像
小结：
在伸缩变换
：
x y
x, ( y,(
0) 0)
下，
直线仍然变成直线，
而圆可以变成椭圆，
那么椭圆可以变成圆吗？
抛物线、双曲线变成什么曲线？
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足y b2+c2=5a2,BE,CF
分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。
C
解：以△ABC的顶点Ａ为原
点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立
E
直角坐标系，由已知，点A、B、 (A)
F的坐标分别为
O
F
Bx
由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
x
1
x
2 ③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
:
x y
' '
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1
实数m的取值范围是m≤ 或m≥5. 3 2
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝ ＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝ ＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求 新y4 ， 曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16
高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),
2
5 6
C E D O B A
4
4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )
10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-1第一讲-坐标系
【分析】
解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管
线 m 的位置关系， 即求出 W 到直线 m 的距离 d 与 100 米进行比较．
【解】 依题意，以 A 点为原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．如下图．
则 A(0,0)，B(－1 000,0)，由|AW|＝400，得
∴水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|＋ ＝ ＋ ＝2(m)． 4 4 4 即水面上涨到与抛物线形拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航．
【例 2】 用解析法证明：任意四边形两组对边中点连线及两 对角线中点连线三线共点，且互相平分．
【证明】 如下图所示，建立直角坐标系．设四边形各点的坐 标分别为 A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，(d，e)．
2 2 2 2 2
1 1 ∴λ＝3，μ＝2. 1 x′＝3x， ∴ y′＝1y， 2 1 即将椭圆 4x ＋9y ＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵 3
2 2
1 坐标变为原来的 ，即可得到圆 x′2＋y′2＝1. 2
规律技巧
求满足图象变换的伸缩变换， 实际上是让我们求出
变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数 可得．
2．坐标法的应用 (1)坐标法的基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建 立平面上的点和坐标之间的一一对应，从而建立曲线的方程，并通 过方程研究曲线的性质． (2)坐标法解决几何问题的“五步骤”： ①建立适当的平面直角坐标系，设动点 M(x，y)； ②根据题设条件，找出动点 M 满足的等量关系式；
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[通一类] 1．已知线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|＝8，|CD|＝4， 动点 M 满足|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，求动点 M 的轨迹方程．
解：以 O 为原点，分别以直线 AB，CD 为 x 轴、y 轴建立直 角坐标系， 则 A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)． 设 M(x，y)为轨迹上任一点，则 |MA|＝ x＋42＋y2，|MB|＝ x－42＋y2，
变换后得到双曲线
高二数学人教A版选修4-4第一讲第一节《平面直角坐标系》课件(共65张PPT)
建立直角坐标系 →求曲线方程
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系 →求相关数据
→求曲线方程
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系 →求曲线方程 →求相关数据 →回归原几何问题.
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它
们晚4s，在几何上如何确定发出巨 响的点P的位置？
北 C
东
B
Ol A
探究（一）：坐标法的基本思想
思考1：某信息中心O接到与之等距离，且位于正东A、
正西B、正北C方向三个观测点的报告：正西、正北两个观
测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它
思考1：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线 y＝sinx得到曲线y＝sin2x？
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线 y＝sinx得到曲线y＝sin2x？
图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来 的 1 倍.
2
思考2：这是一种压缩变换，一般地，设点P(x，y)为
平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标
缩短到原来的 1 ，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，
2
y与y′的关系如何？
思考2：这是一种压缩变换，一般地，设点P(x，y)为
平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标
缩短到原来的 1 ，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，
2
y与y′的关系如何？
x
1 2换原理，怎样由正弦曲线y＝sinx 得到曲线y＝3sinx？
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系 →求相关数据
→求曲线方程
思考5：一般地，用坐标法解决几何问题的基本 思路是什么？
建立直角坐标系 →求曲线方程 →求相关数据 →回归原几何问题.
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它
们晚4s，在几何上如何确定发出巨 响的点P的位置？
北 C
东
B
Ol A
探究（一）：坐标法的基本思想
思考1：某信息中心O接到与之等距离，且位于正东A、
正西B、正北C方向三个观测点的报告：正西、正北两个观
测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它
思考1：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线 y＝sinx得到曲线y＝sin2x？
探究（二）：平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1：根据图象变换原理，怎样由正弦曲线 y＝sinx得到曲线y＝sin2x？
图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来 的 1 倍.
2
思考2：这是一种压缩变换，一般地，设点P(x，y)为
平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标
缩短到原来的 1 ，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，
2
y与y′的关系如何？
思考2：这是一种压缩变换，一般地，设点P(x，y)为
平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标
缩短到原来的 1 ，得到点P′(x′，y′)，那么x与x′，
2
y与y′的关系如何？
x
1 2换原理，怎样由正弦曲线y＝sinx 得到曲线y＝3sinx？
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
法一：由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即 (2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可知， x≠± a. 故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法二：由△ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC，所以 kAC·BC k y y ＝－1，则 · ＝－1(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 x＋a x－a 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 法三：由△ABC 是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2＋y2＝a(x≠± a)，化简得直角顶点 C 的轨迹方 程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)．
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
变换后得到双曲线
x′2－y′2＝1，求曲线 C 的方程．
解：设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点 1 3x′＝x x′＝3x， 为 P′(x′，y′)，由 得 2y′＝y y′＝1y. 2 x y 代入 x′2－y′2＝1 得(3)2－(2)2＝1， x2 y2 即 9 － 4 ＝1 为所求．
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几
何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基 本思想，务必熟练掌握． (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中 心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形， 可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角 边所在的直线为坐标轴等．
[读教材·填要点]
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用 通过直角坐标系，平面上的点与 坐标(有序实数对) 、曲线 与 方程 建立了联系，从而实现了数与形的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲” 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算
|MC|＝ x2＋y－22，|MD|＝ x2＋y＋22， ∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [x＋42＋y2][x－42＋y2] ＝ [x2＋y－22][x2＋y＋22]. 化简，得 y2－x2＋6＝0. ∴点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝6.
[研一题]
本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨 迹方程的求法，2012年湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹 方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个 新热点．
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x，λ＞0， φ： y′＝μ· y，μ＞0
的作用下， P(x， 点 y)对应到点 P′(x′，
y′)， φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 称 简称伸缩变换．
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
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本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2＋m2＝1(m＞0， 且 m≠1)． 因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0＜m＜1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m＞1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的
高．求证：BD＝CE.
[精讲详析]
本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题
可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算 问题． 如图，以BC所在直线为x轴， BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
[悟一法]
x′＝λ· x，λ>0 φ： y′＝μ· y，μ>0
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
返回
[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
返回
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
返回
[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的时间为1 h .
20
答案：1 h
三、解答题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
标系，则B(40,0)，以点B为圆
心，30为半径的圆的方程为 (x-40)2+y2=302,台风中心移动 到圆B内时，城市B处于危险区， 台风中心移动的轨迹为直线y=x，与圆B相交于点M、N,点B到
直线y=x的距离 d= 40 =20 2, 求得|MN|= 2 302 -d 2 =20 (km),
2
器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称
轴，M（0，64 ）为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D
7
（8，0），观测点A（4，0），B（6，0）同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天 器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
周期为( (A)
2
)
(B)π
(C)2π
（D）3π
1 x = x， 【解析】选B.由 2 得 y=3y.
x=2x, 代入曲线y=sinx，得 1 y= 3 y.
y′=3sin2x′，即y=3sin2x，故周期为π.
6.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
8.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ : 下仍是其本身的点为_______.
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨]
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x
轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解 决问题． [证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系． 设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
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[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
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x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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建立平面直角坐标系的原则
1.1《平面直角坐标系》 课件(人教A版选修4-4)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重
心G(2,-1),则点C的坐标为( （A）(-3,2) )
（B）(3,-2)
（C）(2,-3)
（D）(-2,3)
2 2
【解析】选A.设点C(x,y),线段AB的中点 D( 9 ,- 5 ) , 依题意得 GC=2DG ,
y=y
μ≠1,
∴x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案：（0，0）
9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风 中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则 城市B处于危险区内的时间为_______.
【解析】以A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线
（C）双曲线
（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
1.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重
心G(2,-1),则点C的坐标为( （A）(-3,2) )
（B）(3,-2)
（C）(2,-3)
（D）(-2,3)
2 2
【解析】选A.设点C(x,y),线段AB的中点 D( 9 ,- 5 ) , 依题意得 GC=2DG ,
y=y
μ≠1,
∴x=y=0,即P(0,0)为所求.
答案：（0，0）
9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风 中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则 城市B处于危险区内的时间为_______.
【解析】以A为坐标原点，AB所 在直线为x轴，建立平面直角坐
∴ |MN| =1，所以城市B处于危险区的题（共40分） 10.（12分）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sin3x?
【解析】设P(x,y)为正弦曲线y=sinx上任意一点,保持横坐标
x不变,将纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线y=2sinx,在此基 础上将横坐标缩小到原来的 1 ,得到曲线y=2sin3x.
【解析】（1）设曲线方程为 y=ax 2 +
7
64 , 7
因点D（8，0）在抛物线上，∴ a=- 1 , ∴曲线方程为 y=- 1 x 2 + 64 .
7 7
2.动点P到直线x+y-4=0的距离等于它到点M（2，2）的距离， 则点P的轨迹是( )
（A）直线
（C）双曲线
（B）椭圆
（D）抛物线
【解析】选A.由于点M（2，2）在直线x+y-4=0上，而|PM|等 于P到直线x+y-4=0的距离，所以动点P的轨迹为过点M垂直于 直线x+y-4=0的直线.
人教版数学选修4-4课件 1.1 平面直角坐标系
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的记忆 广度为7±2项内容。
• 思维导引：本题涉及两点间的距离及曲线， 故要想到坐标法解决问题．
解析：以 A，B 所在直线为 x 轴，A，B 中点 O 为坐标原点，建立如图的直角坐标 系．
∵|AB|＝10，∴点 A(－5,0)，B(5,0)．设某地 P 的坐标为(x，y)，并设 A 地运费为 3a 元/公里，则 B 地运费为 a 元/公里，设 P 地居民购货总费用满足条件(P 地居民选择 A 地 购货)：价格＋A 地运费≤价格＋B 地运费，
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
•要点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：xy′′＝＝λμxy，，λμ＞＞00，
• 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，就 坐称标φ伸为缩平变面换 直角伸坐缩标变换系中的________________， 简称______________．
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)
[研一题] [例 3] 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过
1 x′＝3x， 伸缩变换 y′＝1y 2
后的图形是什么形状？
(1)y2＝2x；(2)x2＋y2＝1.
[精讲详析]
本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根
据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．
1 x′＝3x， 由伸缩变换 y′＝1y. 2
[悟一法]
x′＝λ· x，λ>0 φ： y′＝μ· y，μ>0
利用坐标伸缩变换
求变换后的曲线方
1 x＝ λx′ 程，其实质是从中求出 y＝ 1y′ μ
，然后将其代入已知的曲线方
程求得关于 x′，y′的曲线方程．
[通一类] 3．将圆锥曲线 C
3x′＝x 按伸缩变换公式 2y′＝y
[悟一法]
求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过 “坐标”转化成代数关系，得到对应的方程． (1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→ 检验．
(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要
检验轨迹的纯粹性和完备性． (3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同， 解题时要善于从多角度思考问题．
圆锥曲线，并求其焦点坐标．
[命题立意] 求法．
[解]
本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞
1 0，且 m≠1)，可得 x＝x0 ，|y|＝m|y0|，所以 x0 ＝x，|y0|＝ m |y|. ① 因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0
|MC|＝ x2＋y－22，|MD|＝ x2＋y＋22， ∴由|MA|· |MB|＝|MC|· |MD|，可得 [x＋42＋y2][x－42＋y2] ＝ [x2＋y－22][x2＋y＋22]. 化简，得 y2－x2＋6＝0. ∴点 M 的轨迹方程为 x2－y2＝6.
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4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨]
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x
轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解 决问题． [证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系． 设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参 数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
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1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P π (a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤ )． 4
a＝sin 解：由已知可得 b＝sin
θ＋cos θ θcos θ
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建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
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[例 3]
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线
x′2 y′2 x2＋y2＝1 变成曲线 ＋ ＝1. 9 4 [思路点拨] 得出伸缩变换． 设出变换公式，代入方程，比较系数，
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[解]
x′＝λx，λ>0 设变换为 y′＝μy，μ>0
，
x′2 y′2 代入方程 ＋ ＝1， 9 4 λ2x2 μ2y2 得 ＋ ＝1.与 x2＋y2＝1 比较，将其变形为 9 4 λ2 2 μ2 2 x ＋ y ＝1，比较系数得 λ＝3，μ＝2. 9 4
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
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2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
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[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.