1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)

的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
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4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨]
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x
轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解 决问题． [证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分
线为y轴建立平面直角坐标系． 设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参 数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
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1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P π (a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤ )． 4
a＝sin 解：由已知可得 b＝sin
θ＋cos θ θcos θ
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
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2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
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2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
焦点坐标．
[思路点拨] 解． 设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求
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[解]
如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由
|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)， 可得 x＝x0，|y|＝m|y0|， 1 所以 x0＝x，|y0|＝m|y|. ①
因为 A 点在单位圆上运动，所以 x2＋y2＝1.② 0 0 y2 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ＋ 2 ＝ m 1(m>0，且 m≠1)．
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[例 3]
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线
x′2 y′2 x2＋y2＝1 变成曲线 ＋ ＝1. 9 4 [思路点拨] 得出伸缩变换． 设出变换公式，代入方程，比较系数，
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[解]
x′＝λx，λ>0 设变换为 y′＝μy，μ>0
，
x′2 y′2 代入方程 ＋ ＝1， 9 4 λ2x2 μ2y2 得 ＋ ＝1.与 x2＋y2＝1 比较，将其变形为 9 4 λ2 2 μ2 2 x ＋ y ＝1，比较系数得 λ＝3，μ＝2. 9 4
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.