最小二乘法数据拟合

b=zeros(n,m+1); %将b赋为n行m+1列的零矩阵
fork=1:m+1
b(:,k)=x'.^(k-1); %将转置后的矩阵b内元素的(k-1)
end幂赋为矩阵的第k列的元素
s=b'*b; %利用矩阵b,计算出s=
t=b'*y';%利用矩阵b,计算出t=
a=(inv(s)*t)';%利用 计算出系数
设定数据组 ， 为已知的一组 上线性无关的函数，选取近视函数为：
(1)
使得
(2)
其中， 为权系数； 为 的线性组合的全体，特别的可取 。
由于 为已知，故可令：
(3)
即可将上述数据拟合问题归结为求多元函数的极值问题。
要使得 取极小值，则 必须满足条件：
即对式(3)求偏导数得：
即
(4)
令
则方程组(4)可表示成矩阵形式：
(5)
由 线性无关可导出(5)中的系数矩阵非奇异，即方程组(4)的解存在唯一，即 存在且唯一，可求得拟合函数：
1.2．误差估计
在最小二乘法数据拟合曲线算法中，一般取2-范数作为总体误差，即最小二乘法数据拟合曲线算法中误差为：
2．最小二乘法非线性拟合
一些实际问题中的数据分布需要用非线性的函数 去拟合，一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相近的曲线拟合方程，再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程,仍用2-范数作为总体误差，即：
一、摘要
本文主要依据最小二乘法对任意一组数据进行线性拟合和非线性拟合。因为在实际生活中，常常需要从一组测量数据中找出一定规律的数学表达式，从而得出一些有利的结论，所以分析数据是必不可少，最小二乘法的曲线拟合是数据转化的重要的方式之一。
用最小二乘法拟合数据大概分为两类：线性拟合和非线性拟合。
一般先测量数据在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点同哪类曲线图形接近，然后选用相近的线性或非线性的曲线去拟合数据，非线性的曲线再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，进而用matlab编写程序求出拟合函数表达式。
《数值计算方法》课程设计
题目：用最小二乘法实现数据拟合
专业：数学与应用数学
班级：2013级2班
姓名：
目录：
一、摘要1
二、应用计算方法的基本原理2
1.最小二乘法线性拟合2
1.1算法描述2
1.2误差估计2
2.最小二乘法非线性拟合2
三、例题的计算结果3
四、总结及心得体会4
五、参考文献7
六、附录程序...........................................7
f=zeros(1,n);%将f赋为1行n列的零矩阵
则等式两边同时乘以 得
利用matlab求得拟合函数中 7.0367
故拟合函数为： 7.0367
拟合图像如下：
四、总结及心得体会
最小二乘法是指使因变量估计值与实测值间的相对误差平方和为最小。
通过此次课程设计，能够运用最小二乘法原理来拟合数据间的线性和非线性关系，并求出数学表达式。
但求解过程中也存在舍入误差和数据在运算中形成的矩阵奇异，从而所得结果可能不准确。
三、例题计算结果
1.最小二乘法线性拟合
1.1.设ห้องสมุดไป่ตู้某一实验中测的两个变量x和y的一组数据如下所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
4
5
6
7
8
9
10
10
5
4
2
1
1
2
3
4
求该数据的拟合多项式及其误差。
解：首先利用matlab画出数据分布趋势图（详细见程序1），如下图：
由上图观察可知，可建立的拟合函数
利用matlab求得拟合函数：
误差：
拟合 图像如下：
2.最小二乘法非线性拟合
2.1.求下列数据的拟合函数：
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.74
4.50
5.35
5.65
5.90
6.10
6.26
6.39
6.50
6.59
首先利用matlab画出数据分布趋势图（详细见程序1），如下图：
由上图观察可知，可建立的拟合函数
关键字：线性拟合，最小二乘法，matlab软件，M文件
二、应用计算方法的基本原理
1.最小二乘法线性拟合
1.1.算法描述
在科学实验中，常常需要从一组测量数据中找出实验规律的数学表达式，用最小二乘法拟合数据是常用的数学方法。最小二乘法拟合就是在一类曲线 中求一曲线 ，使之被拟合曲线 在节点 的误差平方和 最小。
五、参考文献
[1].杜廷松.数值分析及实验[M].北京：科学出版社，2012.
[2].熊庆如.MATLAB基础与应用[M].北京：机械工业出版社，2014.
六、附录程序
M文件：
function[a,w]=ff(x,y,m)
n=length(x); %计算出x的长度
d=0;
t=zeros(1,m+1); %将t赋为1行m+1列的零矩阵