2017全国初中数学联赛初二卷及详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b c
a b
++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，
1110135
a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2
的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.81
3.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知正整数a,b,c 满足a 2
-6b-3c+9=0，-6a+b 2
+c=0，则a 2
+b 2
+c 2
的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460
5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.
1023 B.103
3
C.32
D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.
A.56
B.58
C.60
D.62
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
7.3
11a a ++=a 的值为________.
8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.
9.设a,b 是两个互质的正整数，且3
8ab p a b
=+为质数.则p 的值为________.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.
三、（本题满分25分）已知a,b,c 5
5
a b
b c
+
+
为有理数，求
222
a b c
a b c
++
++
的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3
2
b c
a b
+
+
的值为（）.
A.2
B.1
C.0
D.-1
答案：B
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以3
1
2
b c
a b
+
=
+
.
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，
111
135
a b c
++=
+++
，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.
A.125
B.120
C.100
D.81答案：C
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：可以想到换元法.
解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111
x y z
++=，
∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.
则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.
3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
对应讲次：
所属知识点：数论
思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.
若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.
若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=5
2
，不是整数舍去，共1个好数组.
共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).
4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.
A.424
B.430
C.441
D.460
答案：C
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.
解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.
当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；
当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.
因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.
5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.
A.102
3
B.
103
3
C.32
D.33
答案：A
对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，
则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得42
3
AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()142102
14233
⨯+⨯=
.
6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.
A.56
B.58
C.60
D.62 答案：B 对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.
解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.
在Rt △EAD 中，有422
+(98-x)2
=x 2
，解得x=58.
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
7.3
11a a ++=a 的值为________.
答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程
思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.
解析：易得(3
21a =.
令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2
=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.
8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数
思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤1
6
［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.
9. 设a,b 是两个互质的正整数，且3
8ab p a b
=+为质数.则p 的值为________.
答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分3
8ab a b
+的可能种类，最后分类
讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.
解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为3
8ab a b +质数，所以31
8ab p a b
⎧=⎪
⎨=⎪
+⎩可得a=b=1，p=4，不是质
数舍；381ab p a b
⎧=⎪
⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.
则p=7.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.
解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()1
6
,,
,14,*k k k i i i k i k
a a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模
7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.
由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.
第二试
一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2
-B 2
是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2
-B 2
=（10a+b ）2
-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).
………5分
由A 2
-B 2
是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.
………15分
若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.
………20分
二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.
对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.
解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.
………5分
由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分
又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.
………25分
三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222
a b c a b c ++++的最小值.
答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论
思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.
0c -≠)()2
2
2
2
2
555b
c
ab bc b
ac b c
b c +--+-=
=--b 2
=ac. …10分
()()
2
2
222a c b
a b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.
………15分
不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2
，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.
所以222a b c a b c
++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.
………25分。