探究例题内涵 彰显数学魅力——对一道课本习题的变式教学
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堂教 学 中 ， 注意把 所遇到 的 问题 与基 本问题 相联 要
现 了在 数学活 动 中理解和 掌握数学 知识 的理念．
１２ 探 究增加 条件 的 变题 ．
系 ， 作一定 的拓 展 ， 提高 学 生 思维 的广 阔性 很 并 对
有帮 助．
１ ３ 探 究 变 换 图形 的 变题 ．
第 ３期
童
鹏 ： 究 例 题 内涵 探
彰 显 数 学魅 力
探 究 例 题 内 涵
— —
温岭市实验学校 浙江温岭 ３７０ ） １ ０ ５
●童 鹏
叶圣 陶 先 生 曾 说 ： 教 材 只 能 作 为 教 课 的依 “ 据 ， 教得 好 ， 学生 受 到实益 ， 要 使 还要 靠教 师 的善 于
生： ． 会
师： 思路 非 常好 ， 把后 面 的 ２个 图形 都 转 化成 图１ 来解 决． 虽然 点在 变 ， 但是 基本 图形 不变 ， 因此
结论 也不 变．
适 当删减 条 件 ， 把 题 目从 特 殊 转 化 为一 般． 可
本例 从点 移 到边 ， 移 到 直 线 上 ， 成 了从 静 到动 再 完 的演 绎 ， 学生 经历 了一个 变化 、 动 的过程． 使 灵 这种
图 １
图 ２
图３
图４
１ 探 究例题 ， 变题 开拓 思维 用
师 ： 在边上 移 动着 ， 点 能否 移 到边 所 在 的 直线
教 材提供 的仅 仅 是 一种 方 向 ， 条 线 索 ， 师 一 教
外 呢 ？当这 些点 分别 在它 们所 在 的直 线上运 动时 ， 是 否 只要 保 持 Ｇ 与 Ｅ 垂 直 ， Ｈ 与 Ｅ 就 相 等 Ｈ Ｆ Ｇ Ｆ
Ｇ Ｆ Ｈ＋ Ｑ Ｏ＝９ 。 Ｑ Ｐ＋／Ｇ Ｐ＝ ０ ． Ｍ， Ｑ Ｆ ０． Ｇ Ｑ ９。 又 因为 ／Ｆ Ｈ ＝ ／Ｇ Ｐ， 以 ／Ｑ Ｏ ＝／Ｑ Ｐ， Ｑ Ｑ 所 Ｆ Ｇ 从
而 △Ｆ ａＧ ＮＥ ＭＨ．
Ｄ
本题源于人教版《 数学》 八年级下 册． 生基 学
本上 能 利 用 互 余 找 到 ２组 相 等 的 角 ， 而 证 明 从 Ａ Ｅ ＡＢ Ｆ， Ｂ Ｃ 再利 用全 等可 得 Ｂ Ａ ． Ｆ＝ Ｅ
呢？
在 面对教 材 时 ， 全可 以根据 实 际需要 对其 进行 增 完 添、 删减 、 整 、 换 、 伸 等 “ 术 ” 工 ， 予 它 调 变 延 艺 加 赋
新 的生 命 ， 而达 到真正 意义 上 的利用 教材 ． 从
１ １ 探 究删减 条件 的 变题 ．
生： 都可 以证 明． 图 ４， 点 作 Ａ 如 过 Ｍ∥Ｇ Ｈ交
原题 如 图 １ 在 正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ分
师 ： ２个 三角 形 全等 的条 件充 分 吗？ 这
别在 边 Ｂ Ｃ Ｃ，Ｄ上 ，Ｅ， Ｆ交 于点 ０， Ａ Ｆ＝ ０ ， Ａ Ｂ ／ Ｏ ９。 ＿
求证 ： Ｆ＝ Ｅ Ｂ Ａ ．
生： 充分． 因为 Ｇ ／ Ｂ 删 ／Ａ 所 以 删 Ｊ Ｍ／Ａ ， ／ Ｄ， －
可得 Ｅ Ｆ＝Ｇ ． Ｈ
育 价值． 师在 现 实教 学 中 ， 何 就 有 限 的教 学 资 教 如
源， 充分加以利用 ， 并时常保持数学独特的魅力 ， 变 题 是一 种好 方法． 面笔者 以一 道具体 的课 本 习题 下 为 例谈一 谈教 学 资 源 的整 合 和 对 其教 育 价 值 的挖 掘， 供参考 ．
师 ： 么得 到相 等 呢？ 怎
・
２・
中学教研 （ 学） 数
融知 识性 、 味性 、 趣 开放 性 、 战性 于一体 的习题 ， 挑
学生不 会觉得 是 一种 负 担 ， 是一 种乐 趣 ， 正 体 而 真
自然地 想到 了用三角 形全等 的方法 ． ５是一个 图 图
形 的拓展延 伸 ， 基本 结论更 加清 晰 、 明了． 因此 在课
演 变 ２ （ 图 ２的基 础上 改题 ） 图 ５ 在 正 在 如 ，
方形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， Ｇ 日分别 在边 Ａ Ｃ Ａ ＢＤ 点 Ｆ， ， Ｂ，Ｄ，Ｄ，
Ｂ Ｃ上 ， ， Ｈ 交 于 点 ０， Ｇ 且 Ｆ Ｈ ＝９ 。 若 点 ０ Ｏ ０．
演变 ３ （ ） 图 ７ 若 将 １如 ，
Ｂ Ｃ于点 ， 过点 ｃ作 Ｃ Ｎ∥Ｅ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ⅳ， 四 则
边形 Ａ ＭＨＧ和 四边形 Ｃ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 利用 图 １的方法 可证 明ＡＡ Ｍ￣ ＡＢ Ｎ， Ｇ Ｅ ． Ｂ ＿ Ｃ 得 Ｈ： Ｆ
在 完成 原题 的解 答后 ， 出示 下 面的演 变 １ ．
Ｃ
刚好是 正方形 的 中心 ， 求证 ： Ｆ＝ Ｇ＝ Ｅ＝Ｃ ． Ｄ Ａ Ｂ Ｈ
运 用 ” 教材 是 教 学 的重 要 资 源 ， 本 中 的 每 一 个 ． 课 例 题 和习题 都 是 经过 “ 锤 百 炼 ” ， 很 高 的教 千 的 有
生： 构造一对全 等 的三 角形． 过点 Ａ作 Ａ ／ Ｍ／
Ｇ Ｈ交 Ｂ Ｃ于点 ， 点 作 Ｂ ／Ｅ 过 Ｎ／ Ｆ交 Ｃ Ｄ于 点
演 变 １ 如 图 ２ 在正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ， Ｇ， 别 在 边 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｈ分 Ｂ，Ｄ，Ｄ， Ｃ上 ， Ｇ 交 于 点 Ｆ， Ｈ
０， Ｏ ＝ ０ ， ／Ｆ Ｈ ９ 。 求证 ： ，＝ Ｈ Ｅ Ｇ． 师： 当这 ２条线 段 的端点 分别 在正 方形 的边 上 时 ， 段还 会相 等 吗？ 线
Ⅳ， 四边形 Ａ 则 ＭＨＧ和 四边 形 Ｂ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 么 图形就 和 图 １ 那 一样 了 ， 明方法 也一样 ． 证 师： 不错 ， 同学 把 图 ２转化 到 熟悉 的 图 １ 问 该 ， 题 自然解 决 了． 生 ： 可 以过 点 Ｇ作 Ｇ 上Ｂ 也 Ｍ Ｃ于 点 ， 过点 Ｆ 作 刚 上Ａ Ｂ于 点 Ⅳ（ 图 ３ ， ＡＦ Ｅ ＡＧ Ｈ， 如 ）则 Ⅳ Ｍ
现 了在 数学活 动 中理解和 掌握数学 知识 的理念．
１２ 探 究增加 条件 的 变题 ．
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１ ３ 探 究 变 换 图形 的 变题 ．
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彰 显 数 学魅 力
探 究 例 题 内 涵
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温岭市实验学校 浙江温岭 ３７０ ） １ ０ ５
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图 ２
图３
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１ 探 究例题 ， 变题 开拓 思维 用
师 ： 在边上 移 动着 ， 点 能否 移 到边 所 在 的 直线
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Ｇ Ｆ Ｈ＋ Ｑ Ｏ＝９ 。 Ｑ Ｐ＋／Ｇ Ｐ＝ ０ ． Ｍ， Ｑ Ｆ ０． Ｇ Ｑ ９。 又 因为 ／Ｆ Ｈ ＝ ／Ｇ Ｐ， 以 ／Ｑ Ｏ ＝／Ｑ Ｐ， Ｑ Ｑ 所 Ｆ Ｇ 从
而 △Ｆ ａＧ ＮＥ ＭＨ．
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本题源于人教版《 数学》 八年级下 册． 生基 学
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在 面对教 材 时 ， 全可 以根据 实 际需要 对其 进行 增 完 添、 删减 、 整 、 换 、 伸 等 “ 术 ” 工 ， 予 它 调 变 延 艺 加 赋
新 的生 命 ， 而达 到真正 意义 上 的利用 教材 ． 从
１ １ 探 究删减 条件 的 变题 ．
生： 都可 以证 明． 图 ４， 点 作 Ａ 如 过 Ｍ∥Ｇ Ｈ交
原题 如 图 １ 在 正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ分
师 ： ２个 三角 形 全等 的条 件充 分 吗？ 这
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中学教研 （ 学） 数
融知 识性 、 味性 、 趣 开放 性 、 战性 于一体 的习题 ， 挑
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自然地 想到 了用三角 形全等 的方法 ． ５是一个 图 图
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演 变 ２ （ 图 ２的基 础上 改题 ） 图 ５ 在 正 在 如 ，
方形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， Ｇ 日分别 在边 Ａ Ｃ Ａ ＢＤ 点 Ｆ， ， Ｂ，Ｄ，Ｄ，
Ｂ Ｃ上 ， ， Ｈ 交 于 点 ０， Ｇ 且 Ｆ Ｈ ＝９ 。 若 点 ０ Ｏ ０．
演变 ３ （ ） 图 ７ 若 将 １如 ，
Ｂ Ｃ于点 ， 过点 ｃ作 Ｃ Ｎ∥Ｅ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ⅳ， 四 则
边形 Ａ ＭＨＧ和 四边形 Ｃ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 利用 图 １的方法 可证 明ＡＡ Ｍ￣ ＡＢ Ｎ， Ｇ Ｅ ． Ｂ ＿ Ｃ 得 Ｈ： Ｆ
在 完成 原题 的解 答后 ， 出示 下 面的演 变 １ ．
Ｃ
刚好是 正方形 的 中心 ， 求证 ： Ｆ＝ Ｇ＝ Ｅ＝Ｃ ． Ｄ Ａ Ｂ Ｈ
运 用 ” 教材 是 教 学 的重 要 资 源 ， 本 中 的 每 一 个 ． 课 例 题 和习题 都 是 经过 “ 锤 百 炼 ” ， 很 高 的教 千 的 有
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Ｇ Ｈ交 Ｂ Ｃ于点 ， 点 作 Ｂ ／Ｅ 过 Ｎ／ Ｆ交 Ｃ Ｄ于 点
演 变 １ 如 图 ２ 在正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ， Ｇ， 别 在 边 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｈ分 Ｂ，Ｄ，Ｄ， Ｃ上 ， Ｇ 交 于 点 Ｆ， Ｈ
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Ⅳ， 四边形 Ａ 则 ＭＨＧ和 四边 形 Ｂ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 么 图形就 和 图 １ 那 一样 了 ， 明方法 也一样 ． 证 师： 不错 ， 同学 把 图 ２转化 到 熟悉 的 图 １ 问 该 ， 题 自然解 决 了． 生 ： 可 以过 点 Ｇ作 Ｇ 上Ｂ 也 Ｍ Ｃ于 点 ， 过点 Ｆ 作 刚 上Ａ Ｂ于 点 Ⅳ（ 图 ３ ， ＡＦ Ｅ ＡＧ Ｈ， 如 ）则 Ⅳ Ｍ