探究例题内涵 彰显数学魅力——对一道课本习题的变式教学
彰显习题精彩 演绎教材魅力——谈如何提高数学作业讲评的有效性
彰显习题精彩演绎教材魅力——谈如何提高数学作业讲评的有效性王渭宁【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】3页(P20-22)【作者】王渭宁【作者单位】甘肃省泾川一中 744300【正文语种】中文教材中的习题往往蕴含着极其丰富的内涵，不仅能帮助学生理解巩固所学知识，而且对学生形成良好的数学素养、发展智能起着积极作用．要让学生走出“题海”，必须立足教材，挖掘课本习题功能．以下是笔者结合自己的教学实际，在作业讲评中有效利用课本习题，培养学生思维能力的几个实例．作业中出现的错误是学生思维过程的真实再现，包含有许多合理因素．教师应善于利用错误资源，引导学生认识错误的根源，自己发现出错的原因，达到以“误”导“悟”．例1 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过ckm/h．已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(单位：km/h)的平方成正比，且比例系数为b；固定部分a元(a≤bc2)．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？(人教A版教材必修5第103页复习参考题A组题8)错解设全程运输成本为y元，则由题意得(当且仅当即时取“=”号)．故当时，这是大多数学生的解法，结果是正确的，但其实解答过程是有问题的．从表面上看忽视了条件“a≤bc2”，但真正的错因是没有说明是否，即利用基本不等式求最值时没有考虑x,y=log2 x,y=lg x和的图象；再类比推广到底a>1和0<a<1的情形，便能顺利结合图象和特殊值进行比较．其次是用程序知识来引领．教学中一要注意提取一些操作层面的程序知识，如求二次函数的最值三步曲：一配方，二分类讨论，三画图.二是及时归纳解题方向层面的程序知识，而这一知识更具有概括性，适用范围更广．如代数问题常常是由代数式而引发联想的．按图8的程序来检索就能较快地联系相关概念找到合理的解题方向．再次就是要及时进行结构重组，对于每个版块的知识除了将旧的及时补进来，新的及时放进去，还应注意消除前概念的负面影响，不断修正和重组．案例11 设四个实数成等比数列，其积为81，中间两项的和为10，求其公比．错解设四个数分别为,由⇒9q4-82q2+9=0，解得q2=9或.分析受前概念等差数列当中四个数可分别假设为a-3d,a-d,a+d,a+3d的影响，在等比数列当中，也作了类似的假设,aq,aq3．此时这四个数的公比为q2，从而就限定了求出的公比必为正数．事实上，本题的公比也可以是负数．一个数学新知识的建立，必有与之对应的科学方法产生．在概念教学的各个环节有意识有步骤地引导学生体会并逐步领悟其蕴含的科学方法，既能起到建构知识、方法体系，产生有意义学习的作用，也能达到培养学生学习能力的目的．“=”号是否成立这一条件．讲评这道题时可以放宽题目条件：去掉“a≤bc2”，再让学生去做，明确当“a>bc2”时无法利用基本不等式求最小值，而应借助函数单调性求解．通过寻找错误的根源，以“误”引“辨”，辨清矛盾，真正理解利用基本不等式求最值为什么要验证“=”号成立．作业批改中发现部分学生思路开阔，解法灵活多样，使教者受益匪浅．讲评这类习题时，对从学生群体中“淘”得的精妙解法作深入分析、点评、总结，引导学生从不同角度再思考，培养观察、联想、迁移能力和追求优解的思维品质．例2 如图1，四面体D-ABC中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB=BC=2，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且，求四面体D-ABC的体积.(人教A版教材选修2-1第113页B组题1)解法1 建立如图2所示的空间直角坐标系，设A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，D(0，0，a)，则由，解得a=4．所以解法2 如图1，取CD的中点F，连结EF，因为EF∥AD，所以∠FEB=θ．设BD=a，在△BEF中，，解得a=4．所以解法3 如图3，把三棱锥D-ABC补成长方体ABCF-RDPQ，则∠ADQ=θ．设AC 与BF交于点E，BD=a，则在△ADQ中，，解得a=4．所以由于这道题是学习了空间向量后的作业题，绝大多数学生采用了解法1，只有个别学生选择解法2，作出异面直线所成的角，通过几何法解答．讲评时在充分肯定解法1的同时，要鼓励、赞扬采用解法2的学生，再借助解法2因势利导把三棱锥补成长方体来求解，即解法3．从多种解法找出共性，筛选出解决问题的最佳途径，使解题方法系统化，培养学生的思维能力，可谓“一箭双雕”．高考试题主要考查通性通法，平时应对解题方法进行归纳总结，达到举一反三．对课本同一类习题归类讲授，力求做到吃透一道题，掌握一类题，悟出一些方法，看到同类问题之间的本质规律，真正把学生从“题海”中解放出来．例3 (1)已知函数y=(sin x+cos x)2+2cos2x,x∈R．(ⅰ)求它的单调区间；(ⅱ)求它的最大值和最小值.(人教A版教材必修4第147页复习参考题A组题9) (2)已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x.(ⅰ)求f(x)的最小正周期；(ⅱ)当时，求f(x)最小值以及取得最小值时x的集合.(人教A版教材必修4第147页复习参考题A组题10)(3)已知函数f(x)=2sin x(sin x+cos x)．(ⅰ)求f(x)的最小正周期和最大值；(ⅱ)画出函数y=f(x)在区间上的图象.(人教A版必修4第147页复习参考题A组题11)(4)已知函数的最大值是1．(ⅰ)求常数a；(ⅱ)求使f(x)≥0成立的x取值集合.(人教A版教材必修4第147页复习参考题A组题12)(5)若函数sin 2x+2cos2x+m在区间上的最大值是6，求常数m的值及此时函数的最小值，并求相应的x取值集合.(人教A版教材必修4第147页复习参考题B组题2)上述5道题尽管形式不同，但具有共同特点：给出三角函数式，研究其性质和图象，如周期、单调区间、最值等．讲评时对解答过程进行比较，得出解决这类问题的一般方法：通过三角恒等变换把所给的三角函数式化为形如y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k(ω>0)的形式，再结合正弦或余弦函数的性质求解.这是解决三角函数性质问题的基本方法．课本习题的B组题有许多都是往年高考试题的改编或再现，综合性强、思维含量高，有一定难度．笔者在教学中发现新课学习后，学生完成这些作业有一定困难，个别试题即使讲解了也有部分学生弄不懂．对于这类习题，作业讲评时可分解目标，实施难点突破，通过设计一些有提示性的问题链，逐步逼近来解决．例4 已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，对这个数列的通项作以研究，能否写出它的通项公式？(人教A版必修5第69页复习参考题B组题6)解将递推关系an=2an-1+3an-2变形为an+an-1= 3(an-1+3an-2)，an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3)，得出{an+an-1}和{an-3an-1}都是等比数列，求得an+an-1=3n-2×7，an-3an-1=(-1)n-1×13，故这是教学参考书给出的解答，这一解法许多学生难以接受．为了使学生容易理解，讲评这道题时教师可以设计以下问题链：(1)如果an=2an-1(n≥2)，求an；(2)如果an=2an-1+3(n≥2)，求an；(3)求证：数列{an+an-1} (n≥2)是等比数列；(4)求证：数列{an-3an-1}(n≥2)是等比数列；(5)求an+an-1，an-3an-1(n≥2)及an．通过问题链给学生搭一个“梯子”，促进其思考，在化解难点的同时也对求数列通项公式进行归纳总结．课本习题配合教材内容设计，相对而言绝大多数试题难度不大，提升学生的思维品质仅靠这些是不够的．讲评作业题时教师要引导学生对课本习题进行探究，拓展延伸，提高认知水平，培养解题能力．例5 在△ABC中，若，那么点O在△ABC的什么位置？(人教A版教材必修5第69页复习参考题B组题6)若，那么点O是△ABC的垂心，这道题容易解决.但完成作业后有个别学生提出这样的问题：如果点O是△ABC的外心、重心或内心，那么点O满足什么向量条件？这个问题提得好，教师要以该问题为契机，引导学生对平面向量中三角形的“四心”问题进行探究．满足|的点O是△ABC的外心；满足=0的点G是△ABC的重心；满足=0(a，b，c分别是△ABC中BC，AC，AB的边长)的点O是△ABC的内心等．教材中的每一道习题都是众多学者专家经过深思熟虑后编写的，有些试题貌似简单，但内涵丰富.如果就题论题，就无法呈现编者意图，浪费了良好的教学资源．讲评时要对试题适当挖掘，进行变式训练，通过变式创设情境，加强知识间的内在联系，把学生的思维引向深处．例6 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线l的关系，你能得出什么结论？你能证明你的结论吗？(人教A版教材选修2-1第81页复习参考题B组题7)变式1 如图4，设点M为抛物线准线l与x轴的交点，则∠AMF与∠BMF的大小关系如何？变式2 如图5，设过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为C，D，则∠CFD的大小如何？变式3 如图6，设通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线l于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．变式4 如图6，过点B作平行于抛物线对称轴的直线BD交抛物线的准线l于点D，求证：A，O，D三点在一条直线上．抛物线的“焦点弦” 内涵丰富，通过例6的变式学习，让学生在求解“焦点弦”问题时回归定义，从几何、代数两个角度去思考，开阔解题思路，使所学知识融会贯通，提升思维品质．新课程教材具有极其丰富的内涵，“弹性”较大，给教师留有很大的教学空间．在教学中对课本习题要琢磨、品味、感悟，最大限度地发挥其功能．。
巧用习题变式教学，提升学生的数学素养
教学篇•经验交流巧用习题变式教学，提升学生的数学素养齐文军（甘肃省岷县第二中学，甘肃岷县）在新高考制度和新课改理念的影响下，高中数学的教学方向发生了极大的改变，培养数学素养成了数学教学的重要目标。
对习题变式教学进行分析和研究，就是为了顺应当下教学改革的趋势，为学生创造开放式和多元发展型的学习环境，让他们在解题的过程中发展创新思维。
下面对高中数学教学中习题变式教学模式的应用策略以及注意事项展开分析和解读，以此提升高中生的数学素养。
一、一题多解，培养学生的求异思维在高中数学中，如果教师能够在讲解教材习题的过程中引导学生从不同的角度思考和解答题目，那么高中生的求异思维和思维灵活性就能得到增强。
所以，为了促进高中生思维的发展与提升，使他们形成求异思维，教师可以通过引入一题多解的思想，拓展教材习题的深度，引导学生运用不同方法分析和解读试题。
而在多元思考的过程中，学生对习题的解答方法和角度也会产生不同的看法，会在求异思维的驱使下广泛探索创新性的解题角度，以此得出不同的答案。
从目前的高中数学教学中可以看出，大部分学生对教材的理解深度不足，他们仅能按照教材中的例题得出唯一的答案，教师也未能引导学生根据例题展开深入的探索和分析，没有在课堂教学中引进一题多解的求异思想，所以高中生的创新思维和求异思维也没有得到发展[1]。
二、一题多问，培养学生的创新思维在高中数学教学中应用一题多问的习题变式思想，不仅可以锻炼学生的解题能力，也有助于培养学生的创新思维。
基于此，为了培养高中生的创新思维，教师可以在教材原题的基础上融入一题多问的思想，让学生在教师的提问和追问下从不同维度思考数学问题，帮助他们找寻同一问题的不同切入点。
在教师的提问和追问下，学生的新旧知识能够实现有机结合，进而在强化知识基础的同时，提升思维能力和解题能力。
可是，就目前高中数学实际教学情况来看，一些数学教师的变式思维不强，他们在讲解教材案例的过程中过于死板，仅仅根据教材中已有的条件要求学生解答问题，没有从教材案例出发增加或减少题目中的条件，也没有变化提问和追问的方法，导致学生只能从一个角度思考，这样的方式既不利于学生调动和应用数学知识储备，也不利于学生创新思维的形成和发展。
深挖教学内涵 彰显教育价值——运用例题图探明算理例谈
深挖教学内涵彰显教育价值*——运用例题图探明算理例谈□徐宏臻【摘要】在计算教学中，教师要充分认识例题图的教育价值，潜心揣摩例题图的教学意蕴，切实遵循学生的认识规律和知识发展的规律，反复研读例题图，深挖其教学内涵，做到合理地、灵活地、充分地和创造性地运用，让例题图的教学内涵不断凸显，教育价值充分彰显。
为此，要设法让例题图变得有现实背景，有内部结构，有生长活力，有前后联系。
【关键词】例题图；算理；现实背景；内部结构本文所说的例题图是指教材中例题的配图。
一般来说，教材中的例题图是经过编者反复推敲、精心设计而成的，它体现着编者的编写意图，承载着独特的教学价值。
在计算教学中，教师如何有效地运用例题图帮助学生探明算理呢？笔者认为，教师应反复研读例题图，深挖其教学内涵，做到合理地、灵活地、充分地和创造性地运用，从而让例题图的教学内涵不断凸显，教育价值充分彰显。
现结合苏教版教材的几个教学实例，谈谈笔者运用例题图的策略。
一、让例题图变得有现实背景对于小学数学来说，几乎每个知识点都有其现实背景，都能在现实生活中找到原型。
现实背景往往处于自然状态，而例题图则是现实背景的加工版，有着明显的人为加工痕迹，可以说是“会说话”的图。
有些例题图因有明显的暗示在里面，学生一看便知，无须多少思考就知其意。
这时，如果教师过早地、直接地出示例题图，虽然有利于学生快速地知晓算理，但剥夺了学生独立思考的机会，不利于其自主探索和发现新知，也不利于其深刻感悟新知，更不利于其自觉运用新知。
为此，笔者认为，应该在学生迫切需要时自然地出现例题图，从而让例题图的价值凸显出来。
可以先出示有现实背景的实际问题，在学生独立思考、自主探索和合作交流的基础上再出示例题图，并把两图进行对比。
这样，学生就会高度关注例题图的内涵，深刻领悟它的意图，仔细体会它的价值，从而让例题图中的“理”彰显出来。
图1例如，在教学一年级上册“9加几”时，许多教师在复习10加几的口算后，就直接出示例题图（见图1）。
变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究
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Ｆ ：Ｆ Ｍ ：Ｊ ） ｌ ＝２ ：１ ：３ ．
（ ２ ） 由Ｂ Ｆ： Ｆ Ｍ ： ＭＤ ＝ ２：１： ３ 可 得
Ｓ △ Ａ ，： Ｊ Ｓ △ ＾ 删 ： Ｓ △ ＾ 肼 Ｄ ＝ ２ ：１ ： ３， 故 可 设
图５
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Ｓ △ Ａ 日 Ｆ ＝ ２ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｆ Ｍ ＝ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｉ Ｍ ｏ ＝ ３ ｋ （ ＞ Ｏ ） ， 则
图３
（ ４ ） 如 果Ｃ Ｅ： Ｂ Ｃ ＝ ｍ， 求 Ｆ： Ｆ Ｎ： Ｎ Ｅ 的值（ 用含ｍ的代数式表示 ） ．
解析 （ １ ） ６ 对． （ ２ ） 由题 意 可得 Ａ Ｆ ￣ ＿ ＝ Ｆ Ｎ ｘ Ｆ Ｅ． 教
ＤＨ ＥＮ
导 学生总 结 出处理 三 角形 面积 关系的
两个 基 本 策 略 ． 即 看 两 个 三 角形 是 否 相
：
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似或 两个三 角形是否是 同底 、同高、 等 底、 等高．
探 究３ 如 图 ３ ，在Ｅ Ｙ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ． Ｅ 是
上 却是值得 细细 品味 的一 道有研 究价 值 和开发价值的好题．
…
＋ 一 — ＝—— ． ～ 一 一十— 帆 ７ 从 而 可十 得 一
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Ｂ Ｃ 上一点 ． Ａ Ｅ 与Ｂ Ｄ相交 于点Ｆ ． 延长』 ４ Ｅ 交Ｄ Ｃ 的延长线于点
立足课本例习题变式 培养学生的创新能力
立足课本例习题变式培养学生的创新能力初中数学“变式·探究·创新”的课题研究于2002年8月在我市展开，作为该课题研究的实践者，我们四十二中的课题组成员一致认为：要创造性的使用教材，以艺术性地开发例习题为突破口，不断地挖掘新的课堂教学资源，拓宽学生的思维空间，培养学生的创新意识和实践能力．五年来，在各级教研部门的领导下，我们不懈努力，将课题研究成果在校内外转化与推广，取得了较好的教学效果，得到了全市广大初中数学教师的赞同和认可．下面就我校几年来对本课题的研究过程谈点体会，仅供探讨．一、课本例习题变式研究的必要性和可行性（一）革新教学方法，提高课堂效率．在过去的应试教育背景下，“重教轻学”、“重知识轻能力”和“机械地重复训练”，照本宣科，使数学知识的学习枯燥乏味，课堂效率低下, 严重挫伤了学生的学习积极性．按照新课标要求，我们应在继存传统教学方法优点的基础上，革新教法，探索与新课标精神相符合的教学路子，提高课堂效率，激发学生学习积极性，努力达成新课程目标．（二）体现学生主体地位，遵循学科教学规律．作为新时期数学教师，在教学过程中必须树立以学生为中心、以教师为主导、着眼于学生的终身发展等新的教学理念，并重视数学特有的学科特点，结合学生情况和教材实际，开展课堂教学、课题研究等活动．从学生的年龄特点看，初中学生正处于青春发育期，好动不安静，对枯燥的数学内容兴趣不高，缺乏学习积极性；在认知水平上,基本上还处于模仿、记忆阶段，缺少对知识的迁移能力和应变能力．因此，开展变式教学，可在启、诱的基础上，通过变式创设情境或加强知识的横纵向迁移，来激发情感，培养兴趣，拓展学生的思维空间．（三）做教材的主人，不做教材的奴隶．在新课程标准精神指引下，我们必须正确理解教材编排意图，对教材资源进行加工与整合，科学而灵活地运用教材，依据课标，重视教材，但不拘泥于教材．人教社的新课程教科书中，每个章节后面都安排了活动课，活动课的内容体现了“探究性、实践性、开放性和综合性”的特点．而变式教学的目的正是要引导学生一方面获取知识、掌握知识，同时体验、探究、理解和应用，从而培养学生创新精神和实践能力．经过课题组成员分析、讨论，发现课本例习题研究是很好的突破口，而活动课沟通理论知识和实践运用，又反过来为有效地开展课本例习题研究提供了实践阵地．二、变式课本例习题的原则和做法（一）原则在变式课本例习题的操作中，我们把握了以下三个原则：1. 选题要具有代表性．变式教学有“一变应万变”，“万变不离其中”的功效．这就要求教师认真钻研教材，分析知识间的内在联系，选题要具有典型性，不能见题就变，要通过对课本某一例习题变式，使学生学会解这类题的思想方法，掌握变式题型规律．2．变式要注重实效性．课堂教学主要是让学生能掌握知识，形成技能，发展智力，培养创新能力．变式课本的例习题应做到突出本节课的重点，先易后难，由浅入深，变“冰冷”的数学知识为“火热”的思想火花，达到提高课堂效率的目的．3．变式要做到系统性．变式教学要做到有计划、有目的、循序渐进地进行．根据学生的知识结构和认知水平，在不同的阶段，对不同的课型，要选择不同的变式策略．（二）做法在具体实施过程中，我们总结了“重组”、“辐射”和“兼并”三种做法：1．“重组”教材中的例习题，为学生提供新的研究素材所谓例习题的“重组”．是将例习题的内容重新组合、调整，得到新的问题．将重组后的问题提供给学生讨论、研究，这可以培养学生的应变能力，提高分折问题和解决问题的能力．在小结等腰三角形这一内容时，将本节中的定义、定理重新组合成这样一个新命题，供学生研究．例1 如图1，①AB=AC，②AD⊥ BC，③ BD＝CD．④∠BAD=∠CAD．将这四个论断中的某两个作为条件，另两个作为结论，请大家写出真命题．（1）重组命题，激发兴趣．问题提出后，学生兴致很高，积极动手动脑，排列出了六个新的命题（如表1），并做到不遗漏，不重复．初中数学“变式·探究·创新”课题结题交流材料（2）判断命题，巩固双基．在判断它门是否为真命题时，同学们讨论的非常热烈，思维活跃．很快就有学生大胆地走上讲台，汇报自己做出的判断，并阐述理由．根据等腰三角形的性质推论，可直接得出下列三个命题是正确的（如表2）通过全等和垂直平分线的性质，得出下列两个命题也是正确的．（如表3）通过添加辅助线后（如图2），证两个三角形全等，得出最后一个命题也是真命题．（如表4）评：通过“重组”本节中的定义、定理，变死记的知识为活动探究，极大地激发了学生学习数学兴趣；熟练掌握了三个定理一个推论（等腰三角形的性质定理及推论、等腰三角形的判定定理和垂直平分线的性质）；经历了一种学习方式（探究性学习）；学会了一种作辅助线的方法（遇到三角形中线时，常常考虑倍长中线构造全等三角形）；总结了一个规律（这四个论断中，任意给出两个论断，就能得出另两个论断）．2．重视教材的例习题的“辐射”，培养学生的研究精神．所谓教材的例习题的“辐射”，是在讲解教材例习题时，将例习题作为学生思维的“基站”，对原题的题设、结论和图形进行多角度的演变、延伸，形成“知识网络”，把数学知识灵活地辐射到相关的问题中去，发展学生创造思维能力的过程．例 2 人教版《九年义务教育四年制初级中学教科书·几何》第三册第95页例4：如图3．已知⊙Ｏ１和⊙Ｏ２外切于Ａ，BC为两圆的公切线，B、C为切点．求证：AB⊥BC．（1）深化结论，增强学生思维深刻性．在原题题设不变的情况下，引申出一系列深层次的结论，引导学生进一步讨论、探索，从而发展学生的创造力．变式1 在例题条件不变的情况下，由它的结论可得出△BA C是什么三角形？变式2 若两圆的半径分别为2和3，求ＢＣ的长；（2）补充条件，拓展学生思维的广阔性．在数学教学中，可根据不同阶段，适时地把教材的例习题作适当的拓展，引导学生进行研究和探索，使学生获得更深刻的认识、理解和应用，使学生解决问题的思路更加开阔．变式3 在例2条件下（如图4），过点Ａ作A H⊥ BC于H，试证明ＡＨＢＤ＋ＡＨＣＥ＝１；变式4 在变式3条件下（如图4），试证１Ｏ１Ｂ＋１Ｏ２Ｂ＝２ＡＨ；变式5 在例2条件下（如图5），连结Ｏ１Ｏ２交⊙O２于 D，交 BC的延长线于P，试证ＰＡ２＝PB·PC；变式6在例2条件下（如图6），问在BC上是否存在一点只使得O１P垂直于O２P．若存在，请找出它的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（3）让图形动起来，培养学生思维的灵活性．在几何教学中，经常需要在动态中处理几何问题，将其图形或其中的一部分动起来，引导学生观察分析其中不变的对象（不变的量、不动的点、不变的位置关系和数量关系等）和变化的对象（函数关系式等）．变式7 请看图７和图8，若将⊙Ｏ１动起来，BC为公切线不变，原题中“两圆外切”条件改为“两圆相交”或“两圆外离”，猜想BP１、CP２（P１、Ｐ２是Ｏ１Ｏ２与两圆的交点）的位置关系，并说明理由．变式8 如图9，在例2条件下，过点A任作一直线分别交两圆于M、N，MB、NC延长线交于Q，∠Q是锐角、直角还是钝角？并说明理由．评：实践证明，教师在认真钻研教材的基础上，选择教材中最为典型的例习题为基本点，把知识、方法有效地得以迁移，设计其结论的延伸变式，由浅入深，这样不仅使学生产生好奇心和求知欲，而且也符合学生的认知规律，优化思维过程，达到对知识的深层次认识，从而培养学生的思维的深刻性；设计补充条件变式，既能引导学生进行研究性学习，又能进一步培养、提高学生的发散思维和创新能力．3．“兼并”教材的例习题，培养学生的应用能力．所谓“兼并”教材的例习题，是用课外综合题兼并教材中两个或两个以上联系密切的例习题．“兼并”教材例习题的过程，涉及的知识面广，综合性强，灵活性大，是培养学生课内外结合、学以致用意识的重要途径，也是培养学生学习成就感的重要途径．下面就以一道中考综合试题来展示兼并的过程．例3已知：如图10，点E是△ABC的内心，A E交BC于点D，交△ABC的外接圆于F，过点F的△A BC外接圆的切线交AB、AC的延长线于M、N两点，求证：（l）BC∥ＭＮ．（ 2）EF2 FA2 =MBMA．（襄樊市中考题）（1）寻根求源．原型1人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第47页习题10．已知：△ABC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，求证：△ABF∽△ADC．变式1求证：BF2=FD·FA原型2人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第65页习题14．已知：△A BC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，若E是△ABC的内心，求证： EF=BF；原型3人教版《九年义务教育四年制阶级中学教科书·几何》第三册第72页练习2．已知：△A BC的角平分线AD，交△ABC的外接圆于F，过点F的△A BC外接圆的切线交AB、AC的延长线于M、N两点，求证：（l）BC∥MN．（2）“兼并”过程．由变式1 可得BF2=FD·FA；由原型3可得EF2=FD·FA，所以EF2FA2=FDFA；由原型2可得EF2FA2=MBMA．评：通过对此中考题的解剖，使学生明白了一道综合题的来历，也就是课本中几道相关联的基础题的有机结合，并加于变式．在解决此类问题时，只要学会了分解，其解法就一目了然了．这样讲解克服了学生学数学的畏惧心理，增强了自信心．三、变式例习题教学所取得的成效．（一）提高了教师的整体素质．每位教师都参与到例习题的变式研究中来，学习教材，开挖文本，增强了处理教材的能力，优化了课堂教学结构，提高了自身的整体素质．（二）提升了学生的综合能力．变式教材中例习题，就是丰富其内涵，扩大其外延，变枯燥乏味的数学知识为学生积极主动探究的素材；在数学活动过程中，通过自主探究，同伴互助，教师引导，克服了学生学数学的畏难心理；通过让学生展示研究成果，增强其成就感，可持续保持学生学习数学的兴趣；同时，在变式教学过程中，对课本例习题进行适当的变式、引伸与挖掘，提取有价值的新结论，从而使学生的知识面得以拓宽，思维得以激活，进而开阔学生的思路，培养学生良好的思维品质，以及勇于探索的创新精神．（三）发现新的课题研究方向．例习题变式教学的确是一种很好的教学方法，在摸索“重组”、“辐射”和“兼并”法的过程中，我们注意到，教师如何把变式教学与学生的思维连续性、教材内容的系统性和常规教学的实效性有机地结合起来，还有待于我们作进一步探索，我们将朝着这个新方向前进．。
以变助学，彰显魅力——初中数学教学中习题的变式拓展探究
教学创新新课程NEW CURRICULUM在初中数学的习题教学过程中采用的教学模式通常是一成不变的，时间一长，学生就会对习题教学产生枯燥、烦闷的心情，这对于学生的数学成绩的提升并没有帮助，为此初中数学教师应当对其进行适当的完善，也就是在习题教育的过程中采取变式教学的方式，在习题课中引入变式教学的模式，初中数学教师可以培养和训练学生的思维能力以及数学技巧，并且在习题教育的时候对数学问题进行多样化的变化，在不断变化习题形式的时候帮助学生探索和掌握数学问题的本质，巩固学生对数学问题以及同类型知识点的掌握，并且促进学生在数学方面的创新意识，提高学生的数学思维品质。
一、在习题课中采用变式设问训练学生对数学知识思维概况的能力初中数学教师在讲授数学知识点的时候应当引导学生掌握知识点的内涵以及知识的本质属性，在设置数学习题课程的时候也应有这样的目的，在习题课中利用变式教学的概念引导学生由浅入深地思考数学知识点，辅助学生培养思维概括的总体能力。
例如，在数学教师引导学生复习“中点四边形”这一知识点的时候，学生对这一概念的认知常常处于模糊不清的状态，为此，数学教师在习题课上设置习题引导学生复习相关知识点的时候，可以在变式教学教育理念的基础上，以“问题链”的形式逐步加深学生对这一知识点的认知，“依次连接任意四边形的各个中点得到的图形是什么？”“各边中点连接后得到的图像的特点有什么？”就初中数学中常见的几何图形分别以这一方法进行探索，掌握各个图形的中点图形的几何特征，这些几何图形包括菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形、梯形、正方形，学生在亲自画出中点四边形的时候就能够在脑海中加深对相关知识点的印象，之后数学教师就可以引导学生重新对相关知识进行逆向提问，这样学生就能够灵活地应用这些几何知识，应对初中数学多变的几何题型的时候就能够做到应对自如，并且在变式教学理念之中，学生能够从更多的角度理解中点四边形的知识点，尤其是对中点四边形的外延以及几何知识点的内涵，深刻地认识到几何知识的本质属性，同时提高学生自主数学学习能力，尤其是学生对数学的概括及归纳的能力。
小学数学教学中习题变式的应用探究 (4)
小学数学教学中习题变式的应用探究在小学数学教学中，习题变式是一个非常重要的教学策略。
它不仅可以加深学生对知识点的理解，同时也能锻炼学生的思维能力。
本文将从习题变式的概念、原因、方法、实施以及效果等多个方面进行探究，并结合具体案例进行分析，旨在为小学数学教师提供一些有用的教学建议。
一、习题变式的概念和原因习题变式是指在一道习题的基础上，通过改变题目中的某些条件或者要求而形成的新问题。
习题变式的存在是为了深化学生对知识点的理解和掌握，同时也是加深对某一知识点的考查，从而学生能够更好地巩固和运用所学知识。
那么，为什么需要使用习题变式呢？这里列举以下几个原因：（1）增强巩固知识点的能力：习题变式是一种具有挑战性的教学手段，不断变化的习题形式能够激发学生学习的积极性，增强学生的学习兴趣，从而在不知不觉间提高学生的综合能力。
（2）培养学生的思维能力：习题变式的存在可以刺激学生的思维，从各个角度去了解和解决问题，提高学生的观察能力和判断力。
通过变式练习，学生可以从“表面”走向“深度”，开拓思维，提高逻辑思维和分析能力。
（3）加深对知识点的理解：通过变式练习，学生可以深入了解知识的本质和特点，在更广泛的情境下运用所学的知识，从而更加深刻地理解知识点。
二、习题变式的实施方法习题变式的教学方法有很多种，根据具体情况可以灵活选择。
为了让学生更好地理解和掌握习题变式的思路，教师可以采取以下方法：（1）条件改变法：即在原有题目中改变题干中的某个条件，并要求学生重新解题。
例如：原题：盒子里装有6个红球，4个黄球，2个蓝球，从中任意取出4个球，其中至少有一个黄球，求取出4个球的不同颜色组合数。
变式1：盒子里装有6个红球，5个黄球，2个蓝球，从中任意取出4个球，其中至少有一个黄球，求取出4个球的不同颜色组合数。
变式2：盒子里装有6个红球，4 个黄球，3个蓝球，从中任意取出4个球，并且其中恰好有2个黄球，求取出4个球的不同颜色组合数。
初中数学课本例题变式教学的实践与研究
初中数学课本例题变式教学的实践与研究摘要：课本中的例题是经过反复琢磨、认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性，不少中考题就是以课本例题为素材，通过适当的延伸与拓展而命制的，因此，在学习的过程中我们要立足课本，充分发挥课本例题的作用。
关键词：课本；例题变式中图分类号：G633.66 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715（2019）11-145-01变式教学是一种有效的教学策略。
在历年的中考数学试卷中，均有部分试题是由教材中的结论、例题、习题等的变式而成。
中考给我们带来的启示是：初中数学课堂应着眼于学生打好扎实的双基，培养灵活的思维，坚持自主探索、合作交流、动手实践的教学方式。
一、问题的提出实施新课改以来，尽管数学教师花了很多精力通过例题变式对学生进行基础训练和能力培养，但效果并不理想。
教师对课本例题的运用还存在以下问题：1.追求形式的例题变式，变式目的不明。
变式教学的目的是为了让学生通过例题抓住题目本质而举一反三，但现在有的教师在教学中片面追求例题的变式形式、数量，变式目的不明，对变式时机、过程无法有效掌控。
2.缺乏准备的例题变式，变式效果不明。
有的教师由于课前预设不到位，对课内出现的突发情况应变能力不足，于是就根据已有的教学经验和掌握的一些变式方法、原则，通过简单的类比变换例题的一些条件、结论，由于这样的变式具有很强的随意性，要想有明显的教学效果是不太可能的。
3.脱离实际的例题变式，变式需求不明。
变式的目的不仅仅是为了提高学生掌握知识的能力，同时也应满足课堂教学中各层次学生的心智需求。
一个有效的变式是离不开学生民主参与的。
在例题变式中，有的教师对问题的设计无法达成班级大部分学生民主参与的意向，变式问题对学生的后续学习起不到示范作用。
4.偏离本质的例题变式，变式规律不明。
由于对例题中“问题结构”认识不到位，使变式偏离了例题的本质属性，造成学生摸不清解题规律，甚至产生“负迁移”，既浪费了时间，又浪费了精力，达不到变式的目的。
挖掘习题内涵 彰显数学魅力
挖掘题目内涵彰显数学魅力——一道习题变式教学的实践与探究福建省安溪县金火中学林继斌《数学课程标准》指出“学生的数学学习内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样的学习需求。
”习题变式教学是进行课堂教学的一种有效方法。
通过习题变式教学，对数学习题作多角度、多方面的变式探究，在课堂中展现发生、发展、形成的完整认知过程，有利于培养学生灵活多变和思维品质，完善学生的认知结构，增强应变能力，提高学生研究、探索问题的能力。
下面笔者以一道教材中的习题为例，谈一谈在数学课堂教学中采用“变式教学”教学方法，对提高数学课堂教学有效性的一些具体做法，供同行参考，不对之处请批评指正。
1．课本习题2．变式探究通过改变习题的已知条件或结论，开展探究活动，从而培养学生的创新探索能力。
该环节应体现教师的主导作用和学生的主体作用。
教师要适时启发，激发学生发现和创造的强烈欲望。
3．习题的引申与推广我们所关注的不仅是这道题的多种变式，更重要的是这道题潜在着进一步扩展其数学功能。
为此，可引导学生作如下挖掘：通过对习题进行引申与推广，不仅使学生对知识的发生和发展过程知其然且知其所以然，而且达到举一反三、触类旁通的效果，大大提高数学课堂教学的有效性。
4．结论的应用举例5．我的几点体会(1)变式要以教材为“宗”习题的变式方法很多，教学时可灵活运用，但要“变”得有根据、有规律，要立足于课本，立足于基础。
(2)变式要让学生参与进来变式教学不是老师的专利，不要总是教师“变”，学生“练”。
要充分体现学生的主体地位，教师要转变观念，要鼓励学生大胆地“变”，这样学生才有激情参与进来，既培养学生的创新意识和创新精神，又更好地调动学生学习的积极性。
(3)变式一定要有梯度变式教学要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“广”，切忌变成简单的“重复劳动”；变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲；要让学生经过思考,能够跨进一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力,发展学生的智力。
变式练习,让数学更有魅力
变式练习，让数学更有魅力作者：雷亚丽来源：《教育周报·教育论坛》2018年第26期摘要：本论文是以教学中圆环教学后一道判断题出错率很高为入口，给大家展示我在教学中的一些困惑，想通过本文的论述让同伴们感受到在数学教学中怎样把握数学中的本质，分析造成数学思维定式的原因，并通过变式练习，让学生走出误区的一些思考。
关键词：圆环的面积;把握本质;变式练习;思维定势;发现问题;提出问题【案例再现】西师版小学数学六上第二单元是《圆》的认识，在教学圆环面积时，我先通过生活中的实物如光盘，让学生了解圆环形状。
学生在了解圆环的特征后，都知道求圆环面积要用大圆的面积减去小圆的面积，思路非常清晰后，我引导学生发现其中的简便方法，S=π（R²-r²），使得解题变得简洁快速。
课堂进行到此，仿佛一切问题都大功告成，简便方法已经“深入人心”，接下来的练习做起来就该得心应手了，然而在最后的课堂作业，其中有一道（如下图），错误率竟然高达68.8%。
我仔细分析了一遍题目，认为此题并无多大难度，可为什么这么多学生都出错呢【教学反思】作为老师，我们究竟是发展了学生的思维能力，还是阻碍甚至误导了学生？想到此，心中不由地忐忑不安起来，我们的教学到底哪里出错了？1.“数形结合”有错吗？在图形面积的计算中，数形结合是常用的思想方法，它能使抽象的数学问题直观化、生动化，能变抽象思维为形象思维，有助于学生很好地把握数学问题的本质，从而顺利解题。
在教学圆环面积时，教师出示圆环图，先让学生独立思考，然后动画演示圆环形成的过程，学生很容易发现面积计算公式，而且学习效果好，难道这样的过程也值得怀疑吗？其实，认真分析后不难发现，我们的教学目标指向圆环的面积，课堂中一般只出现圆环这种图形，很容易使圆环的图形与相应的计算公式成为“一一对应”的关系，即只有这样的图形才可以用这样的公式，只有这样的公式才能解决这样的图形问题。
于是“思维定势”便形成了，一旦出现非圆环图形，学生便从心理上排斥和否认这个一般性的计算公式，从而出现了上面学生谈到的模糊解释。
让数学教材例题发挥其应有的“魅力”
让数学教材例题发挥其应有的“魅力”作者：王丽来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第34期高中是学生学习数学的重要阶段。
在高中数学课程教学中，教师要注重培养学生的数学思维能力，让学生掌握正确学习数学的方法，帮助学生理解数学知识和解题技巧，促进学生综合能力的提高，同时，培养高中生的数学思维能力，也是新课标改革背景下，高中数学教学目标的要求。
数学教材，是学生学习数学知识的重要依据，也是教师开展教学活动的重要依据。
教材中的例题、习题都是教育研究人员精心设计的，具有典型性、示范性的重要特征。
因而，高中数学日常教学中，要注重利用好例题，认真挖掘例题中蕴含的解题方法和解题思想，让数学教材例题发挥其应有的“魅力”。
笔者结合自身的教学实践，谈谈对教材例题在数学教学中的作用的几点体会。
一、发挥教材例题的示范性，强化学生的表达能力课本例题和习题，起到控制教材难度和划分知识范围的作用，是解题训练的模板。
学生通过消化例题，能够掌握正确的解题思维，运用数学知识进行解题和思考。
例题、习题的示范性教学，是高中数学教学当中的重要组成部分，对教学活动的顺利实施具有重要影响。
例如，高中数学教材中的一道习题，已知圆C：X2+Y2-2X+4Y-4=0，那么是否存在斜率为1的直线L，使得L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？倘若存在，求出直线L的方程；倘若不存在，请说明理由。
这类习题，在高中数学中，较为常见，而且对学生掌握基础知识、基本技能提出了一定要求，同时也是近几年来，高考中必考的一个知识点。
一般解决这类问题的基本思路是：“假设存在--推理论证--得出结论”。
如果推理出的答案合理，那么就可以做出“存在”的判断；倘若推理过程中，出现了问题，则要做出不存在的判断。
对于本题来说：首先，假设存在满足要求的直线L：Y=X+b，即A（X1，Y1），B（X2，Y2），因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA垂直于OB，因而X1Y1+X2Y2=0，联系直线与圆的方程，得2X1+2（b+1）x+b2+4b-4=0。
探究问题·拓展思考——对一道课本习题的求解
测 量 方 法 三 ：在 地 面 上 引 一
条 基 线 Ｃ 这 条 基 线 和 塔 底 在 Ｄ， 同一 水 平 面上 ， ｃ 不 过 点 Ｂ， ｒ 且 Ｄ 、 你 能 根 据 图 示 说 出 求 解 ＡＢ的 过 程 吗 ？ 解 答 思 路 ：（ ）底 部 可 达 ：利 用 直 角 三 角 形 的 边 １ 角 关 系 求解 ； （ ）底 部 不 可 达 ： 在 ＡＡＢ 中 ， 用 正 弦 定 理 ２ 先 Ｃ 运 构 造 两 角 （ 个 仰 角 或 两 个 俯 角 ） 一 边 ， 求 出 ＡＣ 两 和 即 （ ＡＤ）再 由 Ｒ Ａ Ａ （ Ｒｔ 或 ， ｔ ＢＣ 或 △ＡＢ 求 出 ＡＢ； 先 Ｄ） 或 在 地平 面 上 的三 角 形 中 ， 用 正 弦 定 理 构 造 三 角 （ 个 运 两
参 考 答 案 １ ６ ．４ ８米 ； ２ ２ １米 ； ３ ３ ．３ ９ ．１ ６米 ． 通 过 教 材 中有 关 高 度 测 量 问题 的 “ 究 ・ 展 ” 探 拓 ，
在 Ｒ ＡＡＤ 中 ， － ＡＤ ・ ｉａ ｔ Ｂ ＡＢ－ ｓｎ ，
・ ． ．
Ａ Ｂ ＝
ｑＩ 【口 一 ｎ １ ） ３
一
测 量 方 法 二 ：在 地 面 上 引 条基 线 Ｃ 这 条 基 线 和 塔 底 Ｄ，
求解 ． 原习题如下 ：
角 口的 大 小 ， 口 则 Ｊ以 求 出 铁 塔 ＡＢ 的 丽 ．
计 算 方 法 如 下 ：如 图 所 示 ， △ Ｂ Ｄ 中 ， 在 Ｃ 由正 弦定
理 得 出
Ｂ 一面 ｃ
・
． ．
丽
Hale Waihona Puke 一 在 Ｒｔ ＡＡＢＣ 中 ， ＡＢ＝ ＢＣ・ｔｎ ， ａ ａ
Ａ Ｂ ＝
挖掘习题内涵 彰显数学魅力——谈高中数学优化习题教学模式
一 —ｌ １ １ ， ｍ － ２ ｆ Ｉ 一 ３ － Ｊ ＝ － Ｉ ， 可 得 侍方 力程 程组 组
×
渗 透改 错 意 识．教 师 在 课 堂 教 学 过 程 中
可 以让 学 生 板 演 ． 如 果 学 生 在 这 一 过 程
Ｉ — ｍ ＋ — ２ ＋ ２ × ＋ ５ ： ｏ ．
１ ２ ２
于 利 用 函数 单 调 性 处 理 复 杂 函 数 的 勇 气 和 信心 ． 方法二 ： 利用判别式法求最值． 判 别 式 法 在 解 决 分 式 型 函 数 和 根 式 函 数 的 值 域 时往 往 有 “ 化腐 朽为神 奇” 的作用． 为 了平方 的方便 ， 可令ｙ ： ｔ 一 兰 １ １ ， 则 该 函
从 解题过程来 看 ． 此 法
呢７
．
又 因 为
状 态．那 么 ．怎 样 利 用 好 改 错 这 一 环节
首先 ． 教 师 要 在 课 堂 中 逐 步 向学 生
线段尸 与直线ｆ ｌ 垂 直 ，故 ｋ ｊ １ ｘ ｋ ｍ＝ 一 ｌ ， 即
可能过于麻烦 ． 但 其 所 涉 及 的 分 子 有 理 化 这 个 技 巧 是 值 得 学 生 学 习和 应 用 的 ．
性地抄写 ． 这样不但 不能达到改错 的 目
的。 还 会 影 响学 生 的解 题 思 路 ．因此 。 教
值域． 这 种 方 法 目的 明确 ． 但 此 题 函 数 鳃 析 式复杂 ， 而且 是含根 式的 ， 对 代 数 变 形 能 力 要 求 很 高 ．许 多 学 生 往 往 作 差
后 ． 面对长 长的式 子束 手无 策 ． 无 功 而
ｚ
品 质 ．才 能 取 得 优 异 的成 绩 ．教 师 在 教
变式训练,探索数学知识的内涵
变式训练，探索数学知识的内涵作者：李彩云来源：《广东教学·教育综合》2018年第49期【摘要】变式训练，是保障学生们牢固掌握相关知识的重要方法，也是提升学生们知识灵活运用能力、创新能力、探究能力的有效措施。
本文主要讲解了对习题语言、结构进行变化，促进学生们多角度地挖掘题目内涵，能够以创新地目光探索知识内涵。
同时，灵活多变地解题方法也是开展变式训练的重要内容，之于学生们联想解题能力的提升也十分有益。
【关键词】小学数学；变式训练；探索内涵小学高年级的数学教学不只是数学概念的教学，也关注着学生们思维能力、创新能力、联想能力和解题能力的提升。
对此，强化习题教学中的变式训练，引导学生们主动地探索数学知识的内涵就变得尤为重要。
实际教学的过程中，数学教师应当结合习题教学，为学生们设定语言、结构、解法这三方面的变式训练，引导其深层次的理解题意，逐步地扩展数学概念，探索数学知识内在规律，鼓励学生多元思考，拓展其解题思路。
一、语言变式，指导灵活解题读懂题目语言是理解题目的第一步，也是全面理解题意关键的一步。
结合当下的教学现状，许多学生不能准确地解答题目，往往就是由于不能够正确读题，曲解了题意。
因此，在实际教学的过程中，教师可以结合习题题目，强化语言的变式训练，引导学生们全方位地理解题意，指导其结合题目中不同地语言表达灵活地解答数学习题。
比如，我在为学生们讲解《分数除法》这一部分的内容时，要求学生们理解分数除法的物理意义，掌握分数除法的基本方法，并能够灵活地运用分数除法解决实际问题。
教学时，我在学生们掌握了分数除法基本解答方法的基础上，要求其解答教材中的练习题，根据题目信息写出等量关系：奇思家8月的电话费为24元，相当于7月的。
学生们分析题目信息，可以写出：紧接着，为促进学生们对这部分内容的灵活运用，我对此题目语言进行了变化：奇思家8月的电话费为24元，7月的电话费为8月的。
学生们仔细分析题目中的语言，最终列出等量关系为：实际教学的过程中，教师结合教材内的习题教学，及时地为学生们进行题目语言的变化，引导学生们再一次的审清题意，从而进行准确地解答，不仅能够促进学生们对这部分内容的理解，指导学生们灵活地运用课堂所学的知识来解决实际问题，还可以在题目语言变化的过程中，引导学生们养成细心审题这一良好地学习习惯，引导其全面地探索数学知识的内涵。
借力题目创编引领学生探究——对一道二次函数习题的深度变式研究
借力题目创编引领学生探究许力凡摘要：二次函数与其他函数、方程、不等式、几何图形的相似或面积等知识常常融合在一起，在初中数学学习中占有重要的地位.对二次函数习题进行深加工，变更问题情境、改变思维角度，巧妙建构近似模型，在解题过程中将方程、建模、转化、数形结合、分类思想等有机结合，让冰冷的题目变成火热的思考，很好地实现了二次函数的教学及解题技巧的应用.关键词：题目变式；精进探究；巧妙建构；问题整合收稿日期：2019-04-15作者简介：许力凡（1975—），女，中学高级教师，主要从事教育教学研究.初中阶段函数知识和函数思维方法的学习与培养，是高中和大学函数学习的基础，二次函数与其他函数、方程、不等式、几何图形的相似或面积等知识融合在一起，在全国各地区的中考试题中常常以压轴题的形式呈现，对学生综合能力要求高，因此二次函数在初中数学学习中占有重要的地位.学生在学习二次函数这部分知识的时候，很容易因为题目难度较大而产生畏难情绪，题目稍加改变就无所适从.本文对一道二次函数习题进行深加工，适当变更问题情境、改变思维角度，将重要知识点糅合进去，生根伸枝、一变再变、精进探究，探究过程既有变异，又有类比，注重提升，更注重归纳，很好的实现了二次函数教学及解题技巧的应用.题目如图1，直线y =-3x -3分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，△AOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°后，点C 落在x 轴上点B 处，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标.某种蘑菇有些相像，它们都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好多个.笔者围绕这道题目进行辐射，从不同角度发问，进行拓展和延伸，精进探究，把分散的知识点串成一条线，总结出了六类题型.一、二次函数与线段和、差，以及最值问题的综合变式1：若在对称轴上存在一点P ，使得△CAP 的周长最小，求出点P 的坐标和△CAP 周长的最小值.变式2：若在对称轴上存在一点Q ，使得AQ 与CQ 的差最大，求出点Q 的坐标.变式3：若点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与点B ，C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ，若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长.并求出PF 的最大值和此时点P 的坐标.这一类问题其实是以二次函数为背景，利用抛物线的轴对称性质，因为AC 是定值，所以要使△CAP 周长最小，只要PA +PC 最小，转化为熟知的“将军饮——对一道二次函数习题的深度变式研究马”问题.也可以利用三角形两边之和大于第三边来解决.为进一步熟悉三边关系，达到触类旁通，增加了变式2.变式3用参数表达出线段长是为三角形面积最值问题及平行四边形存在性打下基础.二、二次函数与直角三角形存在性问题的综合变式4：如图2，以B，C，D三点为顶点的三角形是直角三角形吗？△AOC和△BCD相似吗？为什么？变式5：，使△BCQ是以BC 为直角边的直角三角形.变式6：探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCD相似.若存在，指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.变式7：探究对称轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形.变式8：探究在第一象限内抛物线上是否存在点P，过点P作PM⊥AB交x轴于点M，使得以点P，A，M为顶点的三角形与△BCD相似？这几个变式都是围绕直角三角形存在性展开的，引导学生一题多解，多角度、多渠道解决问题，培养学生思维的灵活性及广阔性.例如，变式4中，B，C，D三点坐标全部提供，证两线垂直，方法很多.变式5在变式4的基础上稍微提升难度：提供点B，C的坐标，在抛物线上找点Q.方法是分别过点B，C作BC的垂线（两线模型），与抛物线的交点即为点P.变式6进一步提升难度，未指明直角顶点，若直角顶点为点A或点C （同变式5），则分别过两点作垂线；若直角顶点为点P，则以AC为直径作圆，与抛物线的交点即为点P，引出“一圆模型”.在同样的解题策略指导下，不断变化点P 的位置，顺势给出变式7和变式8，学生根据变化情况，从中找出细微的区别与联系，总结出直角三角形存在性的基本模型是“两线一圆”，引导学生不仅能思考，更能总结技巧；不仅能学会，还能学活.三、二次函数与等腰三角形存在性问题的综合变式9：探究对称轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形.变式10：探究x轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形.变式11：探究y轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形.等腰三角形存在性解题模型是“两圆一线”.例如，变式9中，当点A，C为顶点时，分别以点A，C为圆心，以线段AC的长度为半径画圆与对称轴的交点即为点P.当点P为顶点时，作AC的中垂线与对称轴的交点即为点P.这几个变式分别让动点出现在对称轴及坐标轴上，目的是异题同构，提升归纳，从变中发现不变，总结解题规律.四、二次函数与平行四边形存在性问题的综合变式12：若点P为直线BC与二次函数图象对称轴的交点，E为直线BC上异于点P的任意一点，过点E作EF∥Oy，交抛物线于点F，以点P，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，说明理由.变式13：若点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使点Q，P，A，B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.变式14：若点Q在x轴上，点P在抛物线上，要使点Q，P，A，C为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点Q的坐标.变式15：若点Q在x轴上，点P在抛物线对称轴上，要使点Q，P，A，C为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点Q的坐标.变式16：抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形是直角梯形.二次函数背景下讨论平行四边形存在性是代数与几何的有机结合，变式12中，由于PD∥EF∥Oy，故只需要PD=EF=2，线段EF长度的表达方法在变式3中已经做了铺垫，但此题需注意点E在直线BC上，需分类讨论：设点E横坐标为m，则EF=-m2+3m或EF= m2-3m，之后借助方程求解即可.变式13中，当AB为边时，PQ∥AB∥Ox，PQ=AB，根据点的平移规律就可以求出相应坐标；当AB为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，PQ和AB的中点是同一个点()1，0，借助中点公式轻松解决.变式14继续增大难度，线段AC既不平行于x轴，也不平行于y轴.变式设计由易到难，逐层推进.变式16讨论梯形的存在性，有一定挑战性.这样设计的目的为尽管是同一类型题目，但不要简单重复，而是一步一台阶，将思维推向纵深处，便于总结通法，在熟练掌握通法的基础上还可以继续抛出问题：是否存在这样的动点能构成矩形？能构成菱形？能构成正方形？五、二次函数与三角形面积问题的综合变式17：点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC= 8的点P的坐标.变式18：点P为抛物线上的一个动点，求使S△APB∶S△ABD=5∶4的点P的坐标.（结果用精确值表示.）变式19：若P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与点B，C不重合），求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．变式20：如图3，若点F是线段AB上的一个动点（与点A，B不重合），过点F作FE∥BC交AC于点E，连接CF，设AF的长为m，△CFE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值.思路点拨：利用△AFE与△ABC相似，对应高的比等于对应底的比，表达出△AFE的高.再巧妙转化S△CEF=S△AFC-S△AFE.这类问题依然是二次函数提供特征点，研究基本图形的面积问题.复杂图形拆分为三角形后，通法是利用铅垂高与水平宽乘积的一半求三角形面积.面积问题常以多种面孔呈现.例如，抛物线上是否存在一点，到定直线的距离等于常数（变式17、变式18）；或者面积什么时候取到最大值及点到定直线的距离最大问题，如变式19中，△PBC的水平宽是定值3，所以面积最大就是变式3中PF取到最大值的时候，也可以摇身一变改为问：求点P到BC距离的最大值是多少？这样设计目的是激起学生的思维碰撞，进一步体会变式之妙、数学之美.变式20⇔变式19⇔变式3，各变式你中有我、我中有你、相互转化，增强思维的灵活性.六、二次函数图象抛物线与圆的综合变式21：抛物线有一点P，以点P为圆心的圆与对称轴和x轴都相切，求点P的坐标.变式22：设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，说明理由.变式23：⊙M是过A，B，C三点的圆，连接MC，MB，BC，求劣弧CA的长.（结果用精确值表示.）变式24：⊙M是过A，B，C三点的圆，抛物线上是否存在点P，使得PA是⊙M的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.变式25：⊙M是过A，B，C三点的圆，一动点N在x轴的正半轴上运动，抛物线的顶点D和点N的连线和⊙M相切，求点N的坐标.抛物线离心率e=1，是圆锥曲线的和谐线，与圆同属同一个家族，两者极尽对称、统一之美，常结合在一起考查.初中出现的题型一般都和相切有关，蕴涵着数形结合的思想，需要将几何与代数知识融会贯通.例如，变式21中可以设P()a，a2-2a-3，然后根（下转第128页）识点分布和比重、认知要求的分布，以及知识点的分类情况.三、我国初中方程内容的国际地位1.广度方面对12个国家的方程内容进行知识点的广度分析，总广度由大到小排名依次是中国、韩国、日本、新加坡、德国、英国、美国、澳大利亚、加拿大、芬兰、法国、南非.由此看出，我国初中方程内容知识点最多.2.各主题知识分布的比较从涉及到的知识点来看，各国课程标准在“方程概念及其性质”主题的知识点分布无太大差别.我国课程标准在“一元一次方程”主题的知识点数处于中等水平，除了有“解一元一次方程”这个核心知识点外，还出现了“解可以化为一元一次方程的分式方程”，这个知识点大部分国家都没有涉及到.我国课程标准在“二元一次方程组”主题的知识点数较多.我国课程标准在“一元二次方程”中出现了一些只有我国或少数国家才有的知识点，如根与系数的关系、解可化为一元二次方程的分式方程、二次函数与一元二次方程、几何求解一元二次方程.3.12个国家对初中方程知识点的重视程度12个国家对初中方程最重视的知识点：首先，是解一元一次方程、代入消元法、加减消元法；其次，是列方程、列一元一次方程；最后，是流程图.最不重视的知识点有：方程的概念、变量的概念、方程的性质、方程的解等.由此可以反思我国对这些知识点的重视程度.总之，采用定性分析和定量分析相结合的方法可以研究多个国家的课程内容，得到这些国家课程内容的知识广度、知识点的重视程度等，从而深入了解我国课程内容的国际地位，为我国的课程教学改革提供参考.参考文献：［1］尚亚明，张玉环.初中课程标准中方程内容的国际比较研究［J］.中国数学教育（初中版），2017（9）：58-64.据相切的知识，到x轴的距离与到对称轴的距离相等，列方程a2-2a-3=a-1，a2-2a-3=-()a-1，借助方程思路求解.求出的四个点两两关于对称轴对称，并且连线平行于x轴.于是就变成了变式22，异题同路.变式23利用圆和抛物线的轴对称性质确定圆心M()1，-1，劣弧CA所对的圆周角是∠ABC=45°，从而轻松解出.因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以相切问题和直角三角形的存在性有异曲同工之妙，于是变换了变式24，由相切引出直角三角形，还可以与三角形相似结合考查，解决时可以用相似的知识，当然在直角三角形中，用三角函数表达边的比值比较便捷，为了说明这点引出变式25.引导学生将思维不断提升，悟透知识之间的联系.经过这些变换，二次函数与圆及相切问题，转化为简单的线段相等及直角问题，由繁变简.至此，通过多次添加条件、变换问题，把一道二次函数题目进行了25次变式，多维度考查了二次函数知识的综合运用，如同相同形状的蘑菇放在一起，又似孙悟空的“72变”.在解题过程中，方程、建模、转化、数形结合、分类等思想有机结合，既能练就火眼金睛，提高辩识度，又能巧妙建构近似模型，让冰冷的题目变成火热的思考，激起学生好奇心和求知欲，这些变式可以课堂上讨论，还可以把探究的热情延伸到课外，引导学生通过小组合作、利用几何画板软件制作动态图形、录制不同解法的微视频等各种方式进行交流分享，提升学生的思维品质.还可以鼓励学生大胆变式，像三角形相似、四边形面积、翻折旋转等可以继续扩充，培养创新意识和探索精神.师生在具体操作中改变条件、深化结论，进行编题、变题接力赛，让思维飞起来.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.（上接第126页）。
挖掘教材内涵 探究一题多变
挖掘教材内涵探究一题多变初中数学是一门基础学科，在数学教学中应重视课堂教学，既要有知识的传授，做好与课本衔接，又要符合学生的认知规律，还应加强对数学知识的延伸拓展.教材的课后习题有一定的典型性，具有很强的探究价值。
笔者就结合课后习题的拓展研究，实现一题多变教学。
一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。
题目人教版八年级（下）116页的“实验与探究”有这样一道习题，如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长相等，不论正方形A1B1C1O绕点O怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( ).想一想为什么？通过转化思想把图形从一般位置到特殊位置图2，不难得出答案。
然后通过习题拓展，对学生进行变式训练。
1、如图2，将正方形A1B1C1O换成等腰直角三角形A1C1O重叠部分的面积是正方形面积的（）2、如图3，将正方形A1B1C1O换成圆心角是直角的扇A1C1O，重叠部分的面积是正方形面积的（）【拓展】如图4,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC. （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图5，连接AE和GC，你认为（1）中的结论是否还成立？如成立，给出证明；如不成立，请说明理由。
延长GC交AE与H，如图6，把证明CG垂直AE转化为去证明AH与GH 垂直，根据垂直定义就是要证明∠GHA=900要想∠GHA=900利用三角形的外角定理就得证明∠1+∠3=900，从图形上可以得出∠2+∠3=900，于是问题转化为去证明∠1=∠2。
探究一题多变在初中数学教学中的运用
探究一题多变在初中数学教学中的运用摘要：现行初中数学课本中，不少例题、习题内涵丰富，对学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值。
一题多变可以使学生很好的掌握与本题相关或相似的一系列数学问题，能很好的以一道题为载体解决多个或多类数学问题，并且有利于学生发现各种类似问题的联系和差异，从而掌握和消化多个数学问题。
在通过题型的变换，不仅使学生对这一知识点了如指掌，更是增加了学生学习数学的乐趣，将知识学得透彻，学得活泛。
把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，收到了事半功倍的效果。
关键词：一题多变；初中数学；教学；运用一题多变，就是对某一问题的引申和拓展，通过增加问题背景，提高发散程度，使问题不局限于某一框架之中，不受定势思维的束缚。
对一题变出的多个题目，学生通过多角度、多侧面的探求，使自己在变化的相互比较中，思维能力迅速提高。
课本中的不少题目看似平常，实际上却蕴藏着极其丰富的外延和内涵。
本文就一题多变在初中数学教学中的运用进行探析。
一、“一题多变”的作用在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练，可以提高学生学习数学的积极性，增强学习数学的兴趣： 1、新课中，实施一题多变，以简单题入手由浅入深，可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。
2、习题课中，把较难题改成多变题目，让学生找到突破口，对难题也产生兴趣。
3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变，对知识进行重组，自己将题目中的问题或某一条件进行改变，对已学知识进行重组，探索出新知识，解决新问题。
不就题论题，能多思多变。
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
二. 训练学生运用一题多变，培养学生的思维发散能力紧扣课本，挖掘教材中的例习题潜在的内涵，让学生改编题目得新题，可训练学生的自主性、主动性，符合以"学生为主体，教师为主导"的教学原则，学生亲自参与变式的活动，就是创造思维的行为。
关于初中数学教材例题变式教学的研究
关于初中数学教材例题变式教学的研究作者：王红梅来源：《课程教育研究》2021年第27期【摘要】在新课标不断深化的过程中，初中数学课程教学创新备受重视。
数学教师推动教育创新主要立足于新课标的相关要求。
在数学课程教学中，教材例题作为数学课程的重要内容，不同的例题所反映的是不同数学知识的具体应用。
教师开展例题变式教学是增强学生数学理解能力的重要途径。
我国著名数学家陈景润先生说，“题有千变，贵在有根。
”基于上述情况，为了深入挖掘教材实例的内在价值，本文对初中数学教材的例题变式教学进行了研究，并提出了相应的教学策略，为教师的数学教学活动提供参考。
【关键词】初中数学教材例题变式教学【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）27-0108-02初中生的数学学习能力有限，特别是在数学逻辑思维上有所不足，他们需要教师科学的教学指导，以巩固基础知识，进一步提高应用能力。
然而，当前很多教师更关注学生对数学理论的机械记忆与应用，忽略了培养学生数学思维的必要前提。
学生的基础知识不能得到有效的巩固和加强，这必然导致数学学习效果不佳。
教材中的例题是对基础知识的调查，例题练习是提高知识水平的有效途径。
由此可见，数学教学活动应注重对教材实例的讲解和修改，以巩固学生的基础知识，提高学生的应用能力。
一、例题变式教学概述在新课标的相关要求下，初中数学教师的教育方法需要进一步的革新，初中数学教师的教育视野不仅仅局限于数学教材中，而是要帮助学生构建知识体系，在促进学生数学理解能力发展的过程中，推动学生学习举一反三。
而例题变式教学主要是指教师开展的具有目的性和计划性的命题转换教学方法。
教师对数学例题的非本质特征进行转化，或者是问题条件，或者是问题的结论，或者是问题的内容形式，通过不同要素的转化，不断锻炼学生的思维方式，从而深化学生对数学理论的理解与记忆。
二、初中数学应用变式教学的意义作用在初中阶段，开展数学例题变式教学的主要作用在于深化学生数学理解，强化学生对数学知识的应用。
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现 了在 数学活 动 中理解和 掌握数学 知识 的理念．
１２ 探 究增加 条件 的 变题 ．
系 ， 作一定 的拓 展 ， 提高 学 生 思维 的广 阔性 很 并 对
有帮 助．
１ ３ 探 究 变 换 图形 的 变题 ．
第 ３期
童
鹏 ： 究 例 题 内涵 探
彰 显 数 学魅 力
探 究 例 题 内 涵
— —
温岭市实验学校 浙江温岭 ３７０ ） １ ０ ５
●童 鹏
叶圣 陶 先 生 曾 说 ： 教 材 只 能 作 为 教 课 的依 “ 据 ， 教得 好 ， 学生 受 到实益 ， 要 使 还要 靠教 师 的善 于
生： ． 会
师： 思路 非 常好 ， 把后 面 的 ２个 图形 都 转 化成 图１ 来解 决． 虽然 点在 变 ， 但是 基本 图形 不变 ， 因此
结论 也不 变．
适 当删减 条 件 ， 把 题 目从 特 殊 转 化 为一 般． 可
本例 从点 移 到边 ， 移 到 直 线 上 ， 成 了从 静 到动 再 完 的演 绎 ， 学生 经历 了一个 变化 、 动 的过程． 使 灵 这种
图 １
图 ２
图３
图４
１ 探 究例题 ， 变题 开拓 思维 用
师 ： 在边上 移 动着 ， 点 能否 移 到边 所 在 的 直线
教 材提供 的仅 仅 是 一种 方 向 ， 条 线 索 ， 师 一 教
外 呢 ？当这 些点 分别 在它 们所 在 的直 线上运 动时 ， 是 否 只要 保 持 Ｇ 与 Ｅ 垂 直 ， Ｈ 与 Ｅ 就 相 等 Ｈ Ｆ Ｇ Ｆ
Ｇ Ｆ Ｈ＋ Ｑ Ｏ＝９ 。 Ｑ Ｐ＋／Ｇ Ｐ＝ ０ ． Ｍ， Ｑ Ｆ ０． Ｇ Ｑ ９。 又 因为 ／Ｆ Ｈ ＝ ／Ｇ Ｐ， 以 ／Ｑ Ｏ ＝／Ｑ Ｐ， Ｑ Ｑ 所 Ｆ Ｇ 从
而 △Ｆ ａＧ ＮＥ ＭＨ．
Ｄ
本题源于人教版《 数学》 八年级下 册． 生基 学
本上 能 利 用 互 余 找 到 ２组 相 等 的 角 ， 而 证 明 从 Ａ Ｅ ＡＢ Ｆ， Ｂ Ｃ 再利 用全 等可 得 Ｂ Ａ ． Ｆ＝ Ｅ
呢？
在 面对教 材 时 ， 全可 以根据 实 际需要 对其 进行 增 完 添、 删减 、 整 、 换 、 伸 等 “ 术 ” 工 ， 予 它 调 变 延 艺 加 赋
新 的生 命 ， 而达 到真正 意义 上 的利用 教材 ． 从
１ １ 探 究删减 条件 的 变题 ．
生： 都可 以证 明． 图 ４， 点 作 Ａ 如 过 Ｍ∥Ｇ Ｈ交
原题 如 图 １ 在 正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ分
师 ： ２个 三角 形 全等 的条 件充 分 吗？ 这
别在 边 Ｂ Ｃ Ｃ，Ｄ上 ，Ｅ， Ｆ交 于点 ０， Ａ Ｆ＝ ０ ， Ａ Ｂ ／ Ｏ ９。 ＿
求证 ： Ｆ＝ Ｅ Ｂ Ａ ．
生： 充分． 因为 Ｇ ／ Ｂ 删 ／Ａ 所 以 删 Ｊ Ｍ／Ａ ， ／ Ｄ， －
可得 Ｅ Ｆ＝Ｇ ． Ｈ
育 价值． 师在 现 实教 学 中 ， 何 就 有 限 的教 学 资 教 如
源， 充分加以利用 ， 并时常保持数学独特的魅力 ， 变 题 是一 种好 方法． 面笔者 以一 道具体 的课 本 习题 下 为 例谈一 谈教 学 资 源 的整 合 和 对 其教 育 价 值 的挖 掘， 供参考 ．
师 ： 么得 到相 等 呢？ 怎
・
２・
中学教研 （ 学） 数
融知 识性 、 味性 、 趣 开放 性 、 战性 于一体 的习题 ， 挑
学生不 会觉得 是 一种 负 担 ， 是一 种乐 趣 ， 正 体 而 真
自然地 想到 了用三角 形全等 的方法 ． ５是一个 图 图
形 的拓展延 伸 ， 基本 结论更 加清 晰 、 明了． 因此 在课
演 变 ２ （ 图 ２的基 础上 改题 ） 图 ５ 在 正 在 如 ，
方形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， Ｇ 日分别 在边 Ａ Ｃ Ａ ＢＤ 点 Ｆ， ， Ｂ，Ｄ，Ｄ，
Ｂ Ｃ上 ， ， Ｈ 交 于 点 ０， Ｇ 且 Ｆ Ｈ ＝９ 。 若 点 ０ Ｏ ０．
演变 ３ （ ） 图 ７ 若 将 １如 ，
Ｂ Ｃ于点 ， 过点 ｃ作 Ｃ Ｎ∥Ｅ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ⅳ， 四 则
边形 Ａ ＭＨＧ和 四边形 Ｃ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 利用 图 １的方法 可证 明ＡＡ Ｍ￣ ＡＢ Ｎ， Ｇ Ｅ ． Ｂ ＿ Ｃ 得 Ｈ： Ｆ
在 完成 原题 的解 答后 ， 出示 下 面的演 变 １ ．
Ｃ
刚好是 正方形 的 中心 ， 求证 ： Ｆ＝ Ｇ＝ Ｅ＝Ｃ ． Ｄ Ａ Ｂ Ｈ
运 用 ” 教材 是 教 学 的重 要 资 源 ， 本 中 的 每 一 个 ． 课 例 题 和习题 都 是 经过 “ 锤 百 炼 ” ， 很 高 的教 千 的 有
生： 构造一对全 等 的三 角形． 过点 Ａ作 Ａ ／ Ｍ／
Ｇ Ｈ交 Ｂ Ｃ于点 ， 点 作 Ｂ ／Ｅ 过 Ｎ／ Ｆ交 Ｃ Ｄ于 点
演 变 １ 如 图 ２ 在正 方 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｅ， ， ＢＤ 点 Ｆ， Ｇ， 别 在 边 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｈ分 Ｂ，Ｄ，Ｄ， Ｃ上 ， Ｇ 交 于 点 Ｆ， Ｈ
０， Ｏ ＝ ０ ， ／Ｆ Ｈ ９ 。 求证 ： ，＝ Ｈ Ｅ Ｇ． 师： 当这 ２条线 段 的端点 分别 在正 方形 的边 上 时 ， 段还 会相 等 吗？ 线
Ⅳ， 四边形 Ａ 则 ＭＨＧ和 四边 形 Ｂ Ｆ Ｎ Ｅ均 为平 行 四边 形 ， 么 图形就 和 图 １ 那 一样 了 ， 明方法 也一样 ． 证 师： 不错 ， 同学 把 图 ２转化 到 熟悉 的 图 １ 问 该 ， 题 自然解 决 了． 生 ： 可 以过 点 Ｇ作 Ｇ 上Ｂ 也 Ｍ Ｃ于 点 ， 过点 Ｆ 作 刚 上Ａ Ｂ于 点 Ⅳ（ 图 ３ ， ＡＦ Ｅ ＡＧ Ｈ， 如 ）则 Ⅳ Ｍ