勾股定理的证明(比较全的证明方法)
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2
a
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、 B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直 线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º ,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º .∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的 面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º ,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º . 又∵ ∠GHE = 90º ,∴ ∠DHA = 90º + 90º = 180º . ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面 积等于（a+b）² ， ∴（a+b）² =4×½ab+c² ， ∴a² +b² =c²
朱实 中黄实 b a
返回
( b- a) 2
ab 那么： c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
I
令正方形ABCD为朱方，正方 形BEFG为青方．在BG间取一点H， 使AH=BG，裁下△ADH，移至 △CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
D E C F
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证．
A
B
H
G
返回
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
已知：如图，以在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
K A H C b c a B F
求证：a2 +b2=c2．
D E
数 学 故 事 链 接
也角 友 来三 家 观角 作 相 察形 客 传 下三 ， 两 面边 发 千 的的 现 五 图某 朋 百 案种 友 年 ，数 家 前 看量 用 ， 看关 砖 一 你系 铺 次 能， 成 毕 发同 的 达 现学 地 哥 什们 面 拉 么， 反 斯 ？我 映 去 们直朋
32
42
52
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
勾股定理的由来
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记 录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修 四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成 直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那 段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边） 和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个 事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高 的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世 纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做 “百牛定理”．）
走 进 数 学 史
走 进 数 学 史
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人
们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨
和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的． G
梅 文 鼎 证 明
再见
返回
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树． 也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？” 仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ， 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在 一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出： a^2+b^2=c^2
证明:上面的大正方形的面积为：c 2 4
1 ab 2
b
c b
a
1 下面大的正方形的面积为：a 2 b 2 4 ab 2
从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋b，所以面积相等，即
a
a a a b c b c
b a b b b
1 1 2 2 c 4 ab c b 4 ab 2 2 c 2 a 2 b2
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
cBaidu Nhomakorabea
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
返回
向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 1 (a b b)(a b) a 2 ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD S EBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
探 索 勾 股 定 理
数学家毕达哥拉斯的发现：
探 索 C 勾 A、B、C的面积有什么关系？ 股 定 SA+SB=SC 理
A
B
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
返回
C
A a
c
b B
SA+SB=SC 探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股 2 2 2 定 a +b =c 理
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法
3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法
5．其他证法
勾股定理是几何学中的明珠， 所以它充满魅力，千百年来，人 们对它的证明趋之若骛，其中有 著名的数学家，也有业余数学爱 好者，有普通的老百姓，也有尊 贵的政要权贵，甚至有国家总统。 也许是因为勾股定理既重要又简 单，更容易吸引人，才使它成百 次地反复被人炒作，反复被人论 证。有资料表明，关于勾股定理 的证明方法已有500余种，仅我 国清末数学家华蘅芳就提供了二 十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有 的十分精彩，有的十分简洁，有 的因为证明者身份的特殊而非常 著名。 现在在网络上看到较多的是 16种,包括前面的6种,还有:
1 2 1 1 2 1 1 2 a ab c ab b 2 2 2 2 2
b
A
a c c
D
E
a-b
B
b
C
从而得到 : a 2 b2 c 2
注:这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 现的新法．
试
一
试
b a c c c a a b
我们用拼图的方法来说明 勾股定理是正确的．
K A b M H C a
G F
c
B
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
D N E
返回
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
a
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直 角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、 B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直 线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º ,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º .∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的 面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º ,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º . 又∵ ∠GHE = 90º ,∴ ∠DHA = 90º + 90º = 180º . ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面 积等于（a+b）² ， ∴（a+b）² =4×½ab+c² ， ∴a² +b² =c²
朱实 中黄实 b a
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( b- a) 2
ab 那么： c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
I
令正方形ABCD为朱方，正方 形BEFG为青方．在BG间取一点H， 使AH=BG，裁下△ADH，移至 △CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
D E C F
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证．
A
B
H
G
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赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
已知：如图，以在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
K A H C b c a B F
求证：a2 +b2=c2．
D E
数 学 故 事 链 接
也角 友 来三 家 观角 作 相 察形 客 传 下三 ， 两 面边 发 千 的的 现 五 图某 朋 百 案种 友 年 ，数 家 前 看量 用 ， 看关 砖 一 你系 铺 次 能， 成 毕 发同 的 达 现学 地 哥 什们 面 拉 么， 反 斯 ？我 映 去 们直朋
32
42
52
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
勾股定理的由来
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记 录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修 四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成 直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那 段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边） 和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个 事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高 的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世 纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做 “百牛定理”．）
走 进 数 学 史
走 进 数 学 史
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人
们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨
和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的． G
梅 文 鼎 证 明
再见
返回
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树． 也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？” 仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ， 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在 一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出： a^2+b^2=c^2
证明:上面的大正方形的面积为：c 2 4
1 ab 2
b
c b
a
1 下面大的正方形的面积为：a 2 b 2 4 ab 2
从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋b，所以面积相等，即
a
a a a b c b c
b a b b b
1 1 2 2 c 4 ab c b 4 ab 2 2 c 2 a 2 b2
总统巧证勾股定理
D
a
C
c
b
cBaidu Nhomakorabea
b
A
E a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
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向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 1 (a b b)(a b) a 2 ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD S EBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
探 索 勾 股 定 理
数学家毕达哥拉斯的发现：
探 索 C 勾 A、B、C的面积有什么关系？ 股 定 SA+SB=SC 理
A
B
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
返回
C
A a
c
b B
SA+SB=SC 探 SA=a2 索 SB=b2 勾 SC=c2 股 2 2 2 定 a +b =c 理
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法
3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法
5．其他证法
勾股定理是几何学中的明珠， 所以它充满魅力，千百年来，人 们对它的证明趋之若骛，其中有 著名的数学家，也有业余数学爱 好者，有普通的老百姓，也有尊 贵的政要权贵，甚至有国家总统。 也许是因为勾股定理既重要又简 单，更容易吸引人，才使它成百 次地反复被人炒作，反复被人论 证。有资料表明，关于勾股定理 的证明方法已有500余种，仅我 国清末数学家华蘅芳就提供了二 十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有 的十分精彩，有的十分简洁，有 的因为证明者身份的特殊而非常 著名。 现在在网络上看到较多的是 16种,包括前面的6种,还有:
1 2 1 1 2 1 1 2 a ab c ab b 2 2 2 2 2
b
A
a c c
D
E
a-b
B
b
C
从而得到 : a 2 b2 c 2
注:这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 现的新法．
试
一
试
b a c c c a a b
我们用拼图的方法来说明 勾股定理是正确的．
K A b M H C a
G F
c
B
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
D N E
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刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．