分式的混合运算

分式的混合运算

教学目标

1. 使学生能正确地按分式的混合运算的顺序进行分式的混合运算；

2. 提高学生的运算能力和综合动用知识的能力.

教学重点和难点

重点：动用分式混合运算顺序，正确地进行分式混合运算.

难点：在分式的混合运算中，综合动用有关知识.

教学过程设计

一、导入新课

计算：

(1)x+3 x2－1÷x2+4x+3x2－2x+1；(2)1 x+1－x－1 (x+1)2.

解(1)原式=x+3 (x+1)(x－1)×(x－1)2(x+1)(x+3)=x－1 (x+1)2;

(2)原式=x+1－(x－1)(x+1)2=x+1－x+1(x+1)2=2(x+1)2.

问：分数的加、减、乘、除混合运算的顺序是怎样的?

答：先进行乘除运算，再进行加减运算，若有括号，先把括号内的式子进行运算.

二、新课

与分数的加、减、乘、除混合运算的运算顺序一样，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.

例1 计算2 a+1－a+3 a2－4a－5÷a2－9 a2－3a－10.

分析：在这个分式混合运算中，含有分式的减、除运算，根据分式混合运算的运算顺序，应先算分式的除法，分式的除法应转化为分式的乘法运算.

分式的分子或分母中的多项式能分解因式的，可先分解因式；能约分的，先约分再计算.

解：原式=2a+1－a+3 a2－4a－5·a2－3a－10 a2－9

=2a+1－a+3(a+1)(a－5)·(a+2)(a－5)(a+3)(a－3)

=2a+1－a+2(a+1)(a－3)=a(a－3)(a+1)(a－3)－a+2(a+1)(a－3)

=2(a－3)－(a+2)(a+1)(a－3)=2a－6－a－2(a+1)(a－3)

=a－8(a+1)(a－3).

例2 计算（x+2 x2－2x－x－1x2－4x+4）÷4－x x.

请同学口述运算依据.

解原式=[x+2 x(x－2)－x－1(x－2)2]·x 4－x (括号内分式的分母中的多项式式分解因式.分式的除法法则)

=[(x+2)(x－2)x(x－2)2－x(x－1)x(x－2)2]·x4－x(异分母的分式减法的法则)

=x2－4－x2+x x(x－2)2·x4－x (整式运算)

=x－4x(x－2)2·x4－x (合并同类项)

=x－4 x(x－2)2·（－xx－4） (分式的符号法则)

=－1(x－2)2. (分式的乘法法则) 例3 计算x+y x2－xy +（x2－y2 x）2·（1 y－x）3.

分析：先进行乘方运算，再做乘法运算，最后进行加减运算.

解原式=x+y x(x－y)+(x+y)2(x－y)2x2·1(y－x)3

=x+y x(x－y)－(x+y)2 x2(x－y)

=x2+xy－x2－2xy－y2 x2(x－y)

=－xy－y2 x2(x－y)=－xy+y2 x2(x－y).

指出：对于分式的加、减、乘、除和乘方的混合运算，先进行乘方运算，其次进行乘除

运算，最后进行分式加减运算，同级运算，按从左到右进行.遇有括号，先算括号内的.

三、课堂练习

1.计算：

(1)（a a－b +b a－b）·ab a－b; (2)（1－11－x）（1－1 1－x）.

2.计算：

(1)3－m 2m－4÷(m+2－5 m－2); (2)1－a－b a+2b÷a2－b2 a2+4ab+4b2;

(3)（x x－2－x x+2）÷4x 2－x;

3.计算：

(1)16－a a2+2a－3+a2+5a+4 a2+a－6÷a2－1 a2－6a+8;

(2)y x4+（1x－1y）3÷（x－y y）4.

答案：

1.(1)ab a－b; (2)－x2+x+1 x

2.

2.(1)－1 2(m+3); (2)－ba+b; (3)－1x+2.

3.(1)a a+3; (2)－y2 x4(x－y).

四、小结

分式的加、减、乘、除、乘方混合运算过程较繁，关键是要严格按照分式混合运算的顺序进行，即分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.

如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.

五、作业

1.计算：

(1)（x－y+4xy x－y）（x+y－4xyx+y）;

(2)[1 (a+b)2－1(a－b)2]÷（1a+b－1a－b）;

(3)x x－y· y2 x+y－x4y x4－y4÷x2 x2+y2;

2.计算：

(1)3x－2 x2－x－2+（1－1x+1）÷（1+1x－1）;

(2)（a－b a2+ab－a b2+ab）÷（b2 a3－ab2+1a+b）;

(3)（2x x+1+2 x－1+4x x2－1）×（2x x+1+2 x－1－4x x2－1）.

答案：

1.(1)x2－y2 ; (2)2a (a+b)(a－b); (3)－xy x+y.

2.(1)x2 (x+1)(x－2); (2)b－ab; (3)4.

课堂教学设计说明

学生依据分式的混合运算的性质进行分式的混合运算，学起来并不难，但要达到运算熟练和程度并不容易.安排典型的例题和课堂练习，让学生多实践，这是促使学生熟悉运算顺序和步骤的关键，综合运用多项式的因式分解、整式运算、分式的符号法则，分式的约分和通分等知识，是形成清晰的运算思路和运算技能的重要途径.

数学中遵照了循序渐进的原则.选题上从不带括号到带括号的混合运算，从含有加、减、乘、除所含有乘方的混合运算等等，由易到难逐步提高.

由于例题和课堂练习都有一定的难度，运算中不但要求学生依据分式混合运算的顺序逐步进行，而且还应教育学生建立坚韧不拔，知难而进，战胜困难的自信心.