2017年天津理数高考试题

（A）{2} （B）{1, 2, 4} （C）{1, 2, 4,6}
（D）{x R | −1 x 5}
2x + y 0,
（2）设变量
x,
y
满足约束条件
x
x
+
2y 0,
−
2
0,
则目标函数
z
=
x
+
y
的最大值为
y 3,
（A） 2 3
（B）1
（C） 3 2
（D）3
（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为
16
（B）[− 47 , 39] 16 16
（C）[−2 3, 2]
第Ⅱ卷
（D）[−2 3, 39] 16
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 12 小题，共 110 分。
二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
（9）已知 a R ，i 为虚数单位，若 a − i 为实数，则 a 的值为
行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） x2 − y2 = 1 44
（B） x2 − y2 = 1 88
（C） x2 − y2 = 1 48
（D） x2 − y2 = 1 84
（6）已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， g(x) = xf (x) .若 a = g(−log2 5.1) ， b = g(20.8 ) ， c = g(3) ，则 a，b，
（Ⅱ）设 m[1, x0) (x0, 2]，函数 h(x) = g(x)(m − x0) − f (m) ，求证： h(m)h(x0) 0 ；
（Ⅲ）求证：存在大于
0
的常数 A ，使得对于任意的正整数
p, q ，且
p q
[1,
x0
)
(x0, 2],
满足
p
1
| q − x0 | Aq4 .
2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
（Ⅲ）解：依题意，设 AH=h（ 0 h 4 ），则 H（0，0，h），进而可得 NH = (−1,−2,h) ， BE = (−2,2,2) .由
已知，得 | cos NH , BE |= | NH BE | = | 2h − 2 | = 7 ，整理得10h2 − 21h + 8 = 0 ，解得 h = 8 ，或 h = 1 .
如图，以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AP 方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1）， N（1，2，0）.
（Ⅰ）证明： DE =（0，2，0）， DB =（2，0， −2 ）.设 n = (x, y, z) ，为平面 BDE 的法向量，
.
2+i
（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积
为
.
（11）在极坐标系中，直线 4 cos( − ) +1 = 0 与圆 = 2sin 的公共点的个数为___________. 6
（12）若 a,b R ， ab 0 ，则 a4 + 4b4 +1 的最小值为___________. ab
2
.
13
4
4
4 26
16.（Ⅰ）解：随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P( X = 0) = (1− 1) (1− 1) (1− 1) = 1 ，
2
3
44
P(X = 1) = 1 (1− 1) (1− 1) + (1− 1) 1 (1− 1) + (1− 1) (1− 1) 1 = 11 ，
则
n n
DE DB
= =
0 0
，即
2 y 2x
= −
0 2z
=
0
.不妨设
z
=
1
，可得
n
=
(1,
0,1)
.又
MN
=（1，2，
−1
），可得
MN
n
=
0
.
因为 MN 平面 BDE，所以 MN//平面 BDE.
（Ⅱ）解：易知 n1 = (1,0,0) 为平面 CEM 的一个法向量.设 n2 = (x, y, z) 为平面 EMN 的法向量，则 n2 EM = 0 ， n2 MN = 0
其中 S 表示棱柱的底面面积，
P(AB)=P(A) P(B)．
·球的体积公式V = 4 R3 . 3
其中 R 表示球的半径．
h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 A = {1, 2,6}, B = {2, 4},C = {x R | −1 x 5}，则 (A B) C =
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号。
2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么
·如果事件 A，B 相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式 V=Sh.
| NH || BE | h2 + 5 2 3 21
5
2
所以，线段 AH 的长为 8 或 1 . 52
由正弦定理
a
=
b
,得 sin A = a sin B = 3
13
.
sin A sin B
b
13
所以， b 的值为
13 ， sin A 的值为 3
13
.
13
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 a c ，得 cos A = 2 13 ，所以 sin 2A = 2sin Acos A = 12 ，
13
13
cos 2A = 1− 2sin2 A = − 5 .故 sin(2A + π ) = sin 2 Acos π + cos 2 Asin π = 7
（19）（本小题满分 14 分）
设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左焦点为 F
，右顶点为 A ，离心率为 1 2
.已知 A 是抛物线
y2
= 2 px( p 0)
的焦点， F 到抛物线的准线 l 的距离为 1 . 2
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 l 上两点 P ， Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （ B 异于点 A ），直线 BQ 与 x 轴相交
= 1 11 + 11 1 = 11 . 4 24 24 4 48
所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 11 . 48
（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体 几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
（4）设 R ，则“| − π | π ”是“ sin 1 ”的
12 12
2
（A）充分而不必要条件 （C）充要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左焦点为 F
，离心率为
2 .若经过 F 和 P(0, 4) 两点的直线平
于点 D .若△APD 的面积为 6 ，求直线 AP 的方程. 2
（20）（本小题满分 14 分）
设 a Z ，已知定义在 R 上的函数 f (x) = 2x4 + 3x3 − 3x2 − 6x + a 在区间 (1, 2) 内有一个零点 x0 ， g(x) 为 f (x) 的导函数.
（Ⅰ）求 g(x) 的单调区间；
（13）在 △ABC 中， ∠A = 60 ， AB = 3 ， AC = 2 .若 BD = 2DC ， AE = AC − AB( R) ，且
AD AE = −4 ，则 的值为___________.
（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样 的四位数一共有___________个.（用数字作答）
3
12
（B） = 2 ， = − （C） = 1 ， = − （D） = 1 ， =
3
12
3
24
3
24
x2 − x + 3, x 1,
（8）已知函数
f
(x)
=
x
+
2 x
,
x
1.
设 a R ，若关于 x 的不等式 f (x) | x + a | 在 R 上恒成立，则 a 的取 2
值范围是 （A）[− 47 , 2]
（Ⅱ）求 sin(2A + π ) 的值. 4
16.（本小题满分 13 分） 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为
1,1,1 . 234 （Ⅰ）设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
23
4
22) = (1− 1) 1 1 + 1 (1− 1) 1 + 1 1 (1− 1) = 1 ， 2 34 2 3 4 23 4 4