2020年最新勘察设计考试公共基础-高数总结

向量代数 (2)1.基本定律 (2)2.平面方程 (2)3.两平面的夹角（锐角） (2)4.点到平面的距离 (2)5.空间直线方程 (2)6.直线与直线的夹角（锐角） (2)7.直线与平面的夹角（锐角） (2)8.点到直线的距离 (2)9.空间柱面方程（母线||缺少的未知量） (3)10.旋转曲面方程 (3)11.二次曲面 (3)12.空间曲线 (3)微分 (3)1.函数极限性质 (3)2.常用无穷小极限 (3)3.无穷小比较 (3)4.常用等价无穷小(x→0) (3)5.连续 (4)6.间断点 (4)7.基本求导公式 (4)8.常见n 阶求导公式 (4)9.求导法则 (4)10.中值定理 (4)11.洛必达法则 (4)12.奇偶函数对称、单调、凹凸性 (5)13.函数的单调、凹凸、极值判定 (5)14.偏导数的求导法则 (5)15.偏导数的应用 (5)积分学 (6)1.不定积分性质 (6)2.定积分性质 (6)3.基本积分公式 (6)4.换元积分公式 (6)5.定积分应用 (6)6.重积分 (7)7.曲线积分 (8)无穷级数 (8)1.常数项级数 (8)2.任意项级数 (9)3.幂级数 (9)4.泰勒级数 (9)5.傅里叶级数 (10)常微分方程 (10)1.微分方程的解、隐式解、通解 (10)2.初始条件、特解 (10)3.可分离变量的方程（一阶微分方程） (10)齐次微分方程 (10)5.一阶线性方程 (10)6.全微分方程 (10)7.可降阶方程 (11)8.线性微分方程的解 (11)9.二阶常系数其次线性微分方程 (11)1.基本定律向量代数4. 点到平面的距离Π：Ax+By+Cz+D=0P(x 0,y 0,z 0)①a+b=b+a a+(b+c)=(a+b)+c ②|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| ③|λa|=|λ||a| λ(μa ）= (λμ)a ④（λ+μ）a= λa+μa λ(a+b ）= λa+λb ⑤a·b=b·a a×b=(-b)×a ⑥(a+b)·c=ac+bc (a+b)×c=a×c+b×c ⑦(λa)·b=λab (λa)×b=λ(a×b) ⑧a·b=|a||b|cosθ a×b=|a||b|sinθd =|Ax 0+By 0+Cz 0+D | √A 2+B 2+C 25. 空间直线方程①一般式{A 1x + B 1y + C 1z + D 1 = 0A 2x +B 2y +C 2z +D 2 = 0②点+方向向量式：M 0（x 0,y 0,z 0）,方向向量 s=(m,n.p) x−x 0 −y 0 = z−z 0⑨a·b=a x b x +a y b y +a z b z m n p x−x 0 y −y 0z −z 0 x = x 0 + m t i j ka ya ×b = a x a y a z = |a z| i + |a z a x| j + |a x a y | k ③参数式： m = n = p= t ⟹ { y = y 0 + nt z = z 0 + ptb xb y b zb yb za x a y a zb z b x b x b y6. 直线与直线的夹角（锐角）,a b c - = (a × b) · c = b x b y b zc x c y c z L 1：x−x 1 1y−y 1 1 z −z 1 法向量 n =(A ,B ,C )C 111 1 1|a | = √a 2 + a 2 + a 2L 2：x −x 2 = y−y 2 =z−z 2 法向量 n 2=(A 2,B 2,C 2)xyzA 2B 2C 2cosα = axcosβ = a ycosγ = azcosθ = |n 1n 2| = |A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2||a ||a ||a ||n ||n | √A 2+B 2+C 2√A 2+B 2+C 2cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 1 1 1 2 2 2L 1 ∥ L 2 ⟺A 1 =B 1 =C 1 a ∥ b ⟺ a = λb A2B 2C 2a ⊥b ⟺ a · b = 02.平面方程①点法式:平面上一点 M 0（x 0,y 0,z 0）,法向量 n=(A,B.C) L 1 ⊥ L 2 ⟺ A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 07.直线与平面的夹角（锐角）Π：A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0 法向量 n 1=(A 1,B 1,C 1) 平面方程：A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 L:x −x 0 = y−y 0 =z−z 0法向量 n =(A ,B ,C )②截距式：P(a,0,0)，Q(0,b,0),R(0,0,c)平面方程：x+ y + z = 1A 2B 2C 222 2 2abcsinθ = |n 1n 2| = |A 1A 2+B 1B 2 +C 1C 2||n 1||n | √A 2+B 2+C 2√A 2+B 2+C 2 ③一般式：Ax+By+Cz+D=01 1 12 2 23.两平面的夹角（锐角）Π1：A 1x+B 1y+C 1z+D 1=0 法向量 n 1 Π1：A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0 法向量 n 2cosθ = |n 1n 2| = |A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2|L ∥ Π ⟺ A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 0 L ⊥ Π ⟺ A 1 = B 1 = C 12228. 点到直线的距离|n ||n | √A 2+B 2+C 2√A 2+B 2+C 21 1 12 2 2L:M 为 L 上一点，方向向量为 s ，M 0 为 L 外一点 Π1 ∥ Π2 ⟺ A 1 = B 1 = C 1d =|M 0M ×S | A 2B 2C2|S |Π1 ⊥ Π2 ⟺ A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 0xn() ( )9. 空间柱面方程（母线||缺少的未知量）①柱面：x 2+y 2=R 2②抛物柱面：y 2=2x③椭圆柱面：x2 + y 2= 1微分1.函数极限性质①唯一性：若极限存在，则极限唯一a 2b 2②局部有限性：若lim x→x 0 f (x ) = A ,则存在常数 M 、ς＞0，使的 ④双曲柱面：x 2− y 2= 10＜|x-x 0|＜ς时，有|f(x)|≤Ma 2b 2③局部保号性：若lim x→x 0 f (x ) = A ,且 A ＞0(A ＜0)，则存在常数10. 旋转曲面方程①圆锥面：z 2=a 2(x 2+y 2)(a=cot α) ②旋转曲面： {f(y, z) = 0 旋转轴为z 轴 22δ＞0，使的 0＜|x-x 0|＜δ时，有 f(x) ＞0(f(x)＜0)④与数列极限的关系：若lim x→x 0 f (x )存在，数列*x n +为 f(x)在定义域内任一收敛于 x 0 的数列，且满足x n ≠ x 0(n=1,2……),则*f (x n )+必收敛，且lim n→∞ f (x n ) = lim x→x 0 f (x )⑤在自变量的同一变化过程x → ∞/x → x 0中， f (x )具有极限 A ⟺ f (x ) = A + α(α 为无穷小）x = 0→ f( ± √x+ y ，z ） = 0⑥函数 f(x)当x → ∞/x → x 0时，{f(y, z) = 0 旋转轴为y 轴， ± √x 2 + z 2） = 0 f (x )具有极限 ⟺ f (x )左、右极限均存在，且 f (x −) = f (x +)x = 0→ f (y0 011. 二次曲面2. 常用无穷小极限①球面：(x-x )2+ (y-y )2+ (z-z )2=R 2①limsinx = 1x→0 x ②圆锥面：x 2 + y 2= z 2xa 2a 2 ②lim x →∞ .1 + 1/ = e③椭圆锥面：x 2 + y2= z 2（a ≠ b)na 2b 2③lim n →∞.1 + 1/ = e④椭球面：x 2+ y 2+ z 2= 1a 2b 2c 23. 无穷小比较⑤椭圆抛物面：x 2+ y 2= ±za 2b 2x 2 y 2①lim β = 0 ⟹ β是比α的高阶无穷小α⑥双曲抛物面：a 2 − b 2 = z②lim β = C ≠ 0 ⟹ β是比α的同阶无穷小x 2y 2z 2α⑦单叶双曲面：a 2 + b 2 − c 2 = 1（+，-）③lim β = 1 ⟹ β是比α的等阶无穷小，记α~βx 2y 2z 2α⑧双叶双曲面：− − c = 1（-，-）④α~α′、β~β′，lim β 存在 ⟹ lim β = lim β′12.空间曲线αα⑤lim x→x 0 Q (x ) = Q (x 0) ≠ 0α′①空间曲线方程 曲面 F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0⟹ limx→x 0 F (x ) = lim P(x )= P(x )= F (x )x→x 0 Q x Q x 空间曲线方程{F (x, y, z ) = 0G (x, y, z ) = 0②空间曲线在坐标面上的投影 F (x, y, z ) = 0 消去投影无关量H (x, y ) = 0 4. 常用等价无穷小(x→0)①x ~s i n x ~t a n x ②1 − cos x ~ 1 x 2{G (x, y, z ) = 0→ 例 { z = 0曲线在 xoy 面投影2③ln(1 + x)~x ④e x ~1 − x⑤n √1 + x − 1~ 1 xnk =0 n a2 . / = 5. 连续f (x )有定义（3） 复合函数求导y = f (u ),u = φ(x )均可导 ⟹ y = f ,u (x )-可导dy = dy · duy = f ,u (x )-可导⟹ { ′ dx du dx 或f(x)在 x 0 处连续的条件lim f (x )存在x→x 0lim f (x ) = f (x ) {x→x 0y (x ) = f ′(u ) · u′(x)（4） 隐函数的求导F (x , y ) = 0 确定一个隐函数 y = y (x )y = y(x)可导 { F F 连续，且F≠ 0 ⟹ { dy = − F x 6. 间断点x 、 y y F y（1）第一类间断点：x 0 是 f(x)的间断点，但f (x −)、f (x +)均存在 （5）参数方程所确定函数的求导①跳跃间断点：f (x −) ≠ f (x +)y = y (x )的参数方程{ x = φ(t )，φ(t )、ψ(t )均可导，且φ′(t ) ≠ 00 0y = ψ(t )②可去间断点：f (x −) = f (x +) 0 0dy（2）第二类间断点：非第一类间断点⟹d y = d t= ψ′(t )dxdxdtφ′(t )7. 基本求导公式(6)高阶导数的求导法则{u = u (x )(u ± v )(n ) = u (n ) ± v (n ) ①(C )′ = 0②(x μ)′= μxμ−1 ③(sinx )′= cosx ① v = v (x ) 在点 x 处有 n 阶导数 ⟹ {(uv )(n ) = ∑n C k u (n−k )v k ④(cosx )′ = −s i n x⑤(tanx )′ = s e c 2x⑥(cotx )′ = −c s c 2x( ) {x = φ(t ) ( ) ( ) ( ) ⑦(secx )′ = secxtanx ⑧(cscx )′ = −c s c x c o t x ⑨(a x )′ = a x l n a②y = y x 参数方程 y = ψ(t )，φ t 、ψ t 均二阶可导，φ′ t ≠ 0⑩(e x )′ = e x ⑪(log x )′ = 1 xlna⑫(ln x )′ = 1 x⟹ d 2 y =dx ψ′′(t )φ′(t )−ψ′(t )φ′′(t )φ(t )⑬(arcsinx )′ =1 √1−x 2⑮(arctanx )′ = 11+x ⑭(arccosx )′ = − 1√1−x 2⑯(arccotx )′ = − 1 1+x10.中值定理8.常见 n 阶求导公式①(e x )（n）= e x②(sinx )（n）= sin(x + nπ)2③(cosx )（n）= cos(x + nπ)2④(x μ)(n) = μ(μ − 1) … (μ − n + 1)x μ−n⑤,ln (1 + x )-(n ) = (−1)n (n−1)!①罗尔定理若 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(ξ)=0 ②拉格朗日中值定理若 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a,b), 使得f(b ) − f(a) = f′(ξ)(b− a)11.洛必达法则（1）0/ ∞(1+x )n0 ∞9.求导法则x → a → ∞时, f (x ) → 0, 且 F (x ) → 0x在点 a 的某去心邻域内/|x|＞N, f ′(x )及F ′(x )均存在，且F′(x ) ≠ 0 limf ′ (x ) 存在（1） 和、差、积、商（u=u(x)、v=v(x)均可导）{x→a (∞) F x 无穷大①(u ± v )′ = u′ ± v′⟹ lim f (x )= limf ′ (x )②(Cu )′ = Cu′ x→a (∞) F (x )x→a (∞)F ′(x )③(uv )′ = u ′v + uv′ 若f ′ (x )仍为0/ ∞型，且f ′(x )、F ′(x )仍满足上述三条件④ u ′ vu ′v−uv′v 2F ′(x )0 ∞f (x )f ′ (x )f ‘’(x )（2） 反函数求导⟹ limx→a (∞) = limx→a (∞) = limx→a (∞)F (x )x = φ(y )在区间I y 内可导，且φ′(y ) ≠ 0，单调{ dy 1（2）其他型式①0 · ∞ → 0 / ∞反函数 y = f (x )在对应区间I y 内也可导，且dx = d xdy11 ∞⟹ f ′(x ) = 1φ′(y)②∞·∞→通分变型 ③00、1∞、∞0→取对数变型 22F (x ) F ′(x )xx 0 012. 奇偶函数对称、单调、凹凸性①奇函数关于原点对称，原点两侧单调性相同，但凹凸性不同； ②偶函数关于 y 轴对称，y 轴两侧单调性不同，但凹凸性相同13. 函数的单调、凹凸、极值判定15.偏导数的应用（1） 空间曲线的切线与法平面x = φ(t )空间曲线 T: {y = ψ(t ) 在 t = t 0(x 0, y 0, z 0)处z = ω(t )①切线方程：x−x 0 = y−y 0 = z−z 0φ′(t 0) ψ′(t 0) ω′(t 0)②法平面方程：φ′(t 0)(x − x 0) + ψ′(t 0)(y − y 0) + ω′(t 0)(z − z 0) = 0（2） 空间曲线的切平面与法线方程：空间曲线 T:F=（x,y,z ）=0 上一点的 M （x 0,y 0,z 0）处 ①切平面方程F x (x 0,y 0,z 0)(x-x 0)+ F y (x 0,y 0,z 0)(y-y 0)+ F x (x 0,y 0,z 0)(z-z 0)=0 ②法线方程：x−x 0F x (x 0，y 0，z 0)（3） 多元函数的极值=y−y 0 F y (x 0，y 0，z 0)=z−z 0 F z (x 0，y 0，z 0)①z=f(x,y)在点(x ,y )具有偏导数，{f x (x 0、y 0) = 014.偏导数的求导法则 （1） 多元函数的求导法则 u = φ(x , y )具有偏导数 { v = ψ(x , y )具有偏导数 z = f (u, v )具有连续偏导数⟹ f ,φ(x , y ), ψ(x , y )-偏导数存在0 0f x (x 0、y 0) = 0⟹ z= f(x,y)在点(x 0,y 0)取得极值②z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的某邻域内具有二阶连续偏导，且 f x (x 0、y 0) = 0f x (x 0、y 0) = 0f (x 、 y ) = A ⟹ f(x 、y )是 z = f (x, y )极值 ①ðz = ðz ðu + ðz ðv ②ðz = ðz ðu + ðz ðvf xy (x 0、y 0) = B 0 0 ðxðuðxðvðxðyðu ðy ðv ðyf yy (x 0、y 0) = C③dz = ðz du + ðz dv④dz = ðz du + ðz dv {AC − B 2＞0 dxðudxðv dx dyðu dyðvdy（2） 二阶偏导数f x (x 0、y 0) = 0 f x (x 0、y 0) = 0 ①f (x , y ) = ð .ðz / = ð2zf (x 、y ) = A xxðx ðx ðx 2xx 0 0⟹ f(x 0、y 0)不是 z = f (x, y )极值②f (x , y ) = ð . ðz / = ð2zf xy (x 0、y 0) = B f yy (x 0、y 0) = C yyðy ðyðy 2{AC − B 2＜0f (x , y ) = ð . ðz / = ð2z（4）条件极值（采用拉格朗日乘数法求解）xy ( ðy ) ð ðx ðzðxðy ð2zZ=f(x,y)在约束条件φ(x, y ) = 0条件下的可能极值点：f yx x , y = . / = ③ ðx ðyðyðx ⟹ f xy (x , y ) = f yx (x , y )①先作拉格朗日函数：F(x,y)=f(x,y)+λ φ(x,y ) = 0f xy (x , y )连续 { f yx (x , y )连续（3） 全微分①dz = ðz dx + ðz d yF x = f x (x, y) + λ φx (x, y )②λ为参数求解方程组{F y = f x (x, y) + λ φx (x, y )φ(x, y ) = 0 ③求得 x 、y 、λ④(x,y)即为 F(x,y)约束条件φ(x, y ) = 0下的可能极值点 （5）多元函数的极值f(x,y)在闭区域 D 上连续、可微，且只有有限个驻点，求 f(x,y)在D上的最值方法：①求 f(x,y)在 D 上的一切驻点，并计算驻点函数值 ðxðy②求 f(x,y)在 D 边界上的最值②多元函数具有连续偏导数 ⟹ 多元函数可偏导、可微分 ③多元函数可微分 ⟹ 多元函数连续、可偏导③将①、②中函数值作比较，得出最终最值注：驻点：函数导数为 0 的点 x 区间 I x 0区间 I f′(x) + 0符号不变 - f′′(x) + - + - —— + -f(x)极值 —— 极大极小 无极值—— f(x)凹凸性 凹 凸—— 凹 凸 f(x)单调性↗ ——↘拐点 连续曲线 y=f(x)上凹、凸弧的分界点f ′′(x 0) = 0/不存在 { ⇒ (x 0, f (x 0))曲线的一个拐点f ′′(x )在x 0两侧异号2 a −a0 0 cos 2x∫ ∫ 0 0 −π xs i n 2x ∫ ∫1. 不定积分性质积分学④f (lnx ) dx = f (lnx )d (lnx )x⑤f (e x )e x dx = f (e x )d (e x ) ⑥f (sinx )cosxdx = f (sinx )d (s i n x ) ⑦f (cosx )sinxdx = −f (cosx )d (cosx ) ①∫,f( x) ± g(x)-dx = ∫ f( x)dx± ∫ g( x)dx ②∫ kf( x)dx = k ∫ f( x)dx⑧f (cot ) dx sin x ⑨f (tanx ) d x = −f (cotx )d (cotx )= f (tanx )d (tanx )2. 定积分性质cos 2x⑩f (arcsinx ) dx√1−x 2= f (arcsinx )d (arcsinx )①a = b 时， ∫bf (x )dx = 0⑪f .arcsin x / = f .arcsin x / d .arcsin x / a a√a 2−x 2 a a②a ＞b 时， ∫bf (x )dx = − ∫af (x )dxx =asintabbbb⑫√a 2 − x 2 ⇔ acost (a ＞0)③∫a f(x) ± g(x)-dx = ∫a f (x )dx± ∫a g (x )dx22 x =atant22 ④∫b kf (x )dx = k ∫bf (x )dx ⑬√a + x ⇔ asect (a ＞0)(1 + tan x = sec x )a a22 x =asect22⑤∫bf (x )dx = ∫cf (x )dx+ ∫bf (x )dx⑭√x − a ⇔ atant (a ＞0) (1 + tan x = sec x ) a a c⑮f (x )在,−a, a -上连续且为偶函数 ⇒ ∫a f (x )dx = 2 ∫af (x )dx ⑥∫bdx = b − a⑦在,a, b -上，f (x ) ≤ g(x) ⇒ ∫b f (x )dx ≤ ∫bg (x )dx(a ＜b) −a⑯f (x )在,−a, a -上连续且为奇函数 ⇒ ∫af (x )dx = 0 a abb(n−1)‼ (n ＞1 正奇数）⑧| ∫a f (x )dx| ≤ ∫a |f (x )|dx(a ≤ b)⑨M 、m 分别是 f(x)在[a,b]上的最大、最小值，则π⑰∫2 s i n n πxdx = ∫2 c o s nxdx = {( (n )‼n−1)‼ · π(n 为正偶数)m(b-a)≤∫bf (x )dx ≤M(b-a)(n )‼ 2b b a ⑱∫ u (x )d v (x ) = ,u (x )v (x )-b − ∫ v (x )du (x ) ( ⑩f(x)在[a,b]上连续，则存在ξϵ,a, b -，使得∫bf (x )dx = f(ξ)(b− a)aaa3. 基本积分公式a·被积函数为幂+对/幂+反，设 u(x)=对/反 ·被积函数为幂+正（余）/幂+指，设 u(x)=幂·被积函数为三+指/幂+反，连续两次积分，均设 u(x)=三①∫ kdx = kx + C②∫ x μdx =x μ +1+ C③∫ 1dx = ln |x | + C⑲ d ∫φ(x )f (t )d (t ) = f ,φ(x )- φ′(x )μ+1 xdx 0④1dx = arctanx + C ⑤ 1 dx = arc sin x + C⑳f(x)在(a,b)上连续，极限lim ∫bf (x )dx 存在∫ 1+x 2∫√1+x 2t→a + t⑥∫ cosxdx = sinx + C ⑦∫ s inxdx = −cosx + C⑧∫ 1 dx = ∫ sec 2xdx = tanx + C ⑨∫ 1dx = ∫ csc 2xdx = −cotx + C ⑩∫ secxtanxdx = secx + C ⑪∫ cscxcotxdx = −cscx + C⑫ e x dx = e x + C⑬ a x dx = a x+ C lna⑭∫ shxdx = chx + C ⑮∫ chxdx = shx + C⑯∫ tanxdx = − ln |cosx | + C ⑰∫ cotxdx = ln |sinx | + C⇒ b f (x )dx = lim b f (x )dxat→a + t5.定积分应用（1） 平面图形面积①直角坐标型π π ⑱∫2 sin n xdx = ∫2 cos n xdx0 0⑲∫πsin n xdx = 2π∫2sin n xdx平面图形由 y=g(x)、y=f(x)(f(x)≥g(x))、直线 x=a 、x=b 围成面积：A = ∫b,f (x ) − g (x)-d x⑳∫πs i n m x c o s n x d x = 04.换元积分公式①f(ax + b)dx = 1 f (ax + b )d (ax + b )(a ≠ 0) a②f (x n )x n−1dx = 1 f (x n )d (x n )n ③f(√x ) dx= 2f(√x )d (√x )√ a②极坐标型a a α α λ→0y = ρsinθ D D平面图形由曲线ρ = φ(θ)、射线 θ = α、θ = β所围成 面积：A = 1 ∫β,φ(θ)-2dθ⑤|∬D f (x , y )dς| ≤ ∬D |f (x , y )|dς⑥在 D 上，f (x , y ) ≤ g (x , y ) ⇒ ∬D f (x , y )dς ≤ ∬D g (x , y )dς 2 α（2） 旋转体的体积设旋转体由曲线 y=f(x)与直线 x=a 、x=b 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周形成的图形 体积：V = ∫bπ,f (x)-2d x（3） 平面曲线的弧长①平面直角坐标型曲线方程 y=f(x)(a ≤x ≤b)，在[a,b]具有一阶连续导数⑦M 、m 分别是 f(x)在[a,b]上的最大、最小值，则 mς ≤ ∬D f (x , y )dς ≤ Mς⑧f(x)在闭区域 D 上连续，σ是 D 的面积，则存在点（ ξ, η）ϵD ，使得 ∬D f (x , y )dς = f(ξ, η)ς （3）二重积分的计算 ①利用极坐标· X-型区域：D = *(x , y )|φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x ), x ϵ,a , b -+∬ f (x , y )dxdy = ∫b ,∫φ2(x ) f (x , y )dy -dx = ∫b dx ∫φ2(x )f (x , y )dy弧长：s = ∫b√1 + y ′2dx②参数方程型曲线参数方程x = φ(t ), y = ψ(t )(α ≤ t ≤ β), φ(t )、ψ(t )在,α, β-具有一阶连续导数弧长：s = ∫β√,φ′(t )-2 + ,ψ′(t )-2d t D· Y-型区域：a φ1(x )aφ1(x )③极坐标型曲线极坐标方程ρ = ρ(θ), (α ≤ θ ≤ β), ρ(θ)在,α, β-具有一阶连续导数弧长：s = ∫β√,ρ(θ)-2 + ,ρ ′(θ)-2dθD = *(x , y )|ψ1(y ) ≤ x ≤ ψ2(y ), y ϵ,c , d -+ dψ2(y ) b φ2(x ) ∬f (x , y )dxdy = ∫ dy ∫f (x , y )dx = ∫ dx ∫f (x , y )dy6. 重积分Dc设 I=∬D f (x , y )dς：ψ1(y )aφ1(x )（1） 重积分几何意义①二重积分·积分区域 D 关于 y 轴对称f (−x , y ) = −f (x , y ) ⇒ f (x , y )关于 x 是奇函数 ⇒ I = 0 ∬D f (x , y )dς = lim λ→0 ∑nf (ξ , η )Δςf (−x , y ) = f (x , y ) ⇒ f (x , y ) x ⇒ I = 2f (x , y )dς i =1i ii关于 是偶函数 ∬D 1 |f(x,y)|(x,y)ϵD , ∬D f (x , y )dς在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶， 闭区域 D 为底的曲顶柱体积。