函数项级数的一致收敛性及基本性质

区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
.
2
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
1.问N(, x)取多大 ,能使当 nN时,sn(x)与其极限 之差的绝对值小于 ; 正数
2. 证明sn(x) 在任一有限区 [a,b间 ]上一致收敛．
二、按定n 1义 (1)n讨 1(1xx 2 论 2)n在 级区 (数 , 间 )
上的一致收敛性．
.
31
三、利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给
所 以 s ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 ， 而 x0在 [a,b]上 是 任 意 的 ， 因 此 s(x)在 [a,b]上 连 续 ．
.
18
定理2 如果级数un(x)的各项un(x) 在区间 n1
[ a,b ]上都连续,且un(x)在区间[a,b ]上一 n1
即
x
x
s(x)dx
x0
i1
x0ui(x)dx
由于N只依赖于 而于x0,x 无关，
所 以 级 数 i 1 x x 0u i(x)d在 x[a,b]上 一 致 收 敛 .
.
21
定理3 如 果 级 数 u n ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 收 敛 n1
于 和 s(x) ， 它 的 各 项 un(x) 都 具 有 连 续 导 数
所以积分
x x0
s(x)dx， x x0
rn(x)dx存在,从而有
x
来自百度文库
x
x
x
x 0 s (x ) d x x 0 s n (x ) d x x 0 r n (x ) dx x0 rn(x)dx.
又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 ,对 任 给 正 数 必 有
NN()使 得 当 nN时 ,对 [a,b]上 的 一 切 x,都
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分．
问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
.
4
二、函数项级数的一致收敛性
定义 设 有 函 数 项 级 数 un ( x ) ． 如 果 对 于 任 意 n1
从下图可以看出:
.
10
y ysn(x)xn (1,1)
n1
n2
n4
n10
n30
o
1x
注意：对于 r1 任 ，意 这正 级 [0,数 r数 ]上在 一致收敛．
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
.
11
一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
如 果 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 满 足 条 件 : n1 (1) un(x)an (n1,2,3); (2) 正项级数an收敛, n1
.
9
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
(
x0
)
. 3
(2)
.
17
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
当xx0 时，有s(x)s(x0).
[a,b]上都连续,且un(x)在区间[a,b ]上一 n1
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b ]上也连续.
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
.
16
s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b ]上可以逐项积分,
即
x
s(x)dx
x0
x
x
x
x0u1(x)dx x0u2(x)dx x0un(x)dx (4)
其 中 ax 0xb ,并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 [a ,b] 上 也 一 致 收 敛 .
.
19
证 级 数 u n (x )在 [a ,b]一 致 收 敛 于 s(x ), n 1 由定理 1, s(x)，rn(x)都在[a,b ]上连续，
设 幂 级 数 n n x n a 1 的 收 敛 半 径 为 R ． RR, n 1
将 此 幂 级 数 nna xn1在 [0,x](xR)上 n1
逐 项 积 分 即 得anxn, n1
.
28
因 逐 项 积 分 所 得 级 数 的 收 敛 半 径 不 会 缩 小 ，
所R 以 R, 于R 是 R.
a
n
x
n
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
25
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
在 (R,R)内 任 意 取 定 x， 在 限 定 x1， 使 得
xx1R． 记 qxx11， 则
n 1
nn x a n 1 n x x 1 x 1 1a n x 1 n nn 1 q x 1 1a n x 1 n,
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 ( 0 ,1 ) 内 处 处 收 敛 于 和 s (x ) 0 ，
但 并 不 一 致 收 敛 ．
对于任意一个自然数 n, 取 xnn12， 于 是
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从 rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
un1(x)un2(x)unp(x)
an 1an 2an p2,
.
13
令 p , 则 由 上 式 得 r n ( x ) 2 .
因 此 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
例4 证明级数
sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在 (, )上 一 致 收 敛 .
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
.
29
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
.
30
练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
.
5
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x) ysn(x)
ys(x)
o
I
x
.
6
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
1 s (x ) ln is n m (x ) ln ix m n 0(0 x )
有
rn(x)
. ba
.
20
于 是 ， 当 n N 时 有
x x 0s(x)d xx x 0sn(x)dx xx0 rn(x)dx
bq(xx0). 根据极限定义，有
x
x
nx
x 0s (x )d x ln ix m 0s n (x )d x ln ii m 1x 0u n (x )dx
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
27
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自
然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切
x，都有不等式
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
成立，则成函数项级数 un( x) 在区间 I 上一致 n1
收敛于和 s( x)， 也称函数序列 sn( x) 在区间 I 上 一致收敛于 s( x)．
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
.
7
对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
.
8
例3 研究例1中的级数
x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
级 数 u n(x)一 致 收 敛 于 s(x)， n1
对 0 ， 必 自 然 数 N N ()， 使 得 当 n N 时 ,
对 a ,b 上 的 一 切 x都 有
同样有
rn ( x)
3
rn
u
n
(
x)，
并
且
级
数
u
n
(
x)在
[
a,b
]上
一
致
收敛
，
n1
则级 数 un(x)在[ a,b ]上也一致 收敛，且 可 逐 n1
项求导，即
s( x )
u
1
(
x
)
u
2
(
x
)
u
n
(
x
)
(5)
.
22
注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.
例如，级数 sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在任何区间[a,b]上都是一致收敛的.
和函数的连续性．
解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
且 sn(x)xn, 得和函数：
0 , 0x1 , s(x)ln is m n(x) 1 , x1 .
和函 s(x)在 数 x1处间 . 断
.
3
结论 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b] 上
则 函 数 项 级 数 u n (x )在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
.
12
证 由 条 件 (2)， 对 任 意 给 定 的 0， 根 据 柯 西
审 敛 原 理 存 在 自 然 数 N， 使 得 当 nN时 ， 对 于 任 意 的 自 然 数p都 有
an1an2anp2.
由 条 件 (1)， 对 任 何xI， 都 有 un1(x)un2(x)unp(x)
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn 在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包
含端点．
.
24
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1 R 0 ， 则其 和 函数s( x) 在( R, R) 内 可导 ， 且
有逐项求导公式
s( x )
n1
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
26
故 数 列nq n1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M x1
(n1,2,)
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
.
14
证 在 ( , ) 内
sin n2x1 (n1,2,3,)
n2
n2
级 数 1 收 敛 ，
n 2
n 1
由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ，
所 给 级 数 在 ( , )内 一 致 收 敛 ．
.
15
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 如果级数un(x)的各项un(x)在区间 n1
逐项求导后得级数
cx o c2 s 2 o x s cn 2 o x s , 因其一般项 ,所不 以趋 对于 于 x零 都 任是 意值 发散 . 的
所以原级数不可以逐项求导．
.
23
幂级数的一致收敛性
定理4 如果幂级数anxn的收敛半径为R0, n1
则其级数在(R,R)内的任意闭区间[a,b]上一