弹性力学第八章

(lτ
ds
zx
+ mτ zy )s = 0。
ds
而 l = dy, m=−dx, 得
⎛ ∂Φ d y ∂Φ d x ⎞ d Φ + = 0. ⎜ ⎟ = ⎝ ∂y d s ∂x d s ⎠S d S
第八章
空间问题的解答
因 Φ 在S上为常数。又由于 Φ 中的常数不影 响应力，所以得 Φ 的侧面边界条件为
∂τ zx = 0 ⇒ τ zx ( x , y ) ∂x ∂ τ zy = 0 ⇒ τ zy ( x , y )
∂y
∂ τ zx ∂ τ zy + = 0。 ∂x ∂y
第八章
∂ τ zx ∂ τ zy + = 0。 由 ∂x ∂y
空间问题的解答
可知，一定存在一个函数 Φ ( x, y )，使得
τ zx
u = − Kyz,
v = Kxz,
(i)
其中 K = dα ,，为单位杆件长度的扭角。 dz
第八章
空间问题的解答
并且还得出
∇ 2Φ = − 2 G K .
(j)
对比式 （e），得出常数 C 的物理意义，
C = −2G K .
(k )
第八章
空间问题的解答
§8－6 扭转问题的薄膜比拟
对于物理现象不同，但数学描述相同的 问题，可以应用数学比拟方法来求解。 薄膜问题— 设有一薄 膜，张在水平边界上， 并受到气体的压力q。
第八章
空间问题的解答
薄膜问题
薄膜只能承受均匀拉力 FT ，不能承受弯 矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元 abcd, 各边上的作用力均为 FT ，但薄膜的斜率 不同： 薄膜斜率在± 薄膜斜率在 ±
∂z ∂z ∂ ⎛ ⎞ , d + x z ⎟; x 面分别为 ∂ x ∂ x ⎜ ∂x ⎝ ⎠ ∂ z d y ⎞。 y 面分别为 ∂ z , ∂ ⎛ z + ⎜ ⎟ ∂y ∂y ⎝ ∂y ⎠
A
薄膜问题
2∫∫ zd xd y = 2V
A
∂Φ τ zx = ∂y ∂Φ τ zy = − ∂x
∂z iy = ∂y ∂z ix = ∂x
于是求扭转应力函数 Φ 的问题，可以化为求 薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则
τzy ~ −ix , τ zx ~ iy ,
q 2 GK ~ . FT
第八章
第八章
空间问题的解答
应力边界条件
利用物理方程，得用应力表示的相容方程。
⎧ ∂f y ∂f x ∂ 2Θ ∂f z ⎤ 1+ μ ⎡ 2 +μ +μ , ⎪(1 + μ )∇ σ x + 2 = − ⎢(2 − μ ) ⎥ ∂x ∂x ∂y ∂z ⎦ 1− μ ⎣ ⎪ ⎪ ∂f y ∂f x ⎤ ∂ 2Θ 1+ μ ⎡ ∂f z 2 ⎪(1 + μ )∇ σ y + 2 = − (2 − μ ) + μ + μ ⎥, ⎢ ∂y ∂y 1− μ ⎣ ∂z ∂x ⎦ ⎪ ⎪ 2 ⎪(1 + μ )∇ 2σ + ∂ Θ = − 1 + μ ⎡(2 − μ ) ∂f z + μ ∂f x + μ ∂f y ⎤, z ⎢ ⎥ ⎪ 1− μ ⎣ ∂z 2 ∂z ∂y ⎦ ∂x ⎪ ⎨ ⎡ ∂f z ∂f y ⎤ ∂ 2Θ ⎪ 2 ⎪(1 + μ )∇ τ yz + ∂y∂z = −(1 + μ )⎢ ∂y + ∂z ⎥, ⎣ ⎦ ⎪ 2 ⎪ ∂ Θ ⎡ ∂f x ∂f z ⎤ 2 ( ) ( ) 1 1 , μ τ μ + ∇ + = − + + ⎪ zx ⎢ ⎥ ∂z∂x ⎣ ∂z ∂x ⎦ ⎪ ⎪ ⎡ ∂f y ∂f x ⎤ ∂ 2Θ 2 ⎪(1 + μ )∇ τ xy + . = −(1 + μ )⎢ + ⎥ ∂x∂y ⎪ ⎣ ∂x ∂y ⎦ ⎩
第八章
空间问题的解答
注解： （1）另一端面上的边界条件自然满足。 （2）空间问题按应力求解的全部条件均已 考虑并满足。 （3）扭转问题中 Φ(x, y ) 的变量为 x, y,仍属 于二维问题。
第八章
空间问题的解答
求位移
求位移分量： 根据上面的应力，代入物理方程，可 以求出对应的形变；再代入几何方程，并 进行积分，求出对应的位移为
第八章
空间问题的解答
平衡条件：
∑F
z
= 0，
∂ z ∂ z ∂ − FT d y + FT d y z + d x − ∂x ∂x ∂x
⎞ ∂z ∂ ⎛ ∂z FT d x + FT d x ⎜ z + d y ⎟ + q d x d y = 0. ∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠
(
)
第八章
空间问题的解答
2
∇ τ zy = 0.
2
即
∂ 2 ∇ Φ = 0, ∂x
∂ 2 ∇ Φ = 0, ∂y
由此得出扭转应力函数 Φ 应满足的方程：
∇2Φ = C (8 −16)
C为待定常数。
第八章
空间问题的解答
边界条件
3. 满足侧面边界条件 ( n = 0, f x = f y = f z = 0) 前两式自然满足，第三式成为
第八章
空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见 有关书籍。 （4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微 分方程的数目大于未知函数的数目，是 由于微分方程提高阶数所需要的。 例如：
d2 f = 0的 解 , f = A + Bx , 2 dx (a )
d3 f 2 0 . = 的解 , f = A + Bx + cx 3 dx
(b)
第八章
空间问题的解答
式 (b) 是由方程 (a) 提高阶数得出的，但式
(b) 增加的解 cx 2不是原式 (a)的解。
几何 方程中，形变为 0 阶导数；但在 相容方程中形变以 2 阶导数出现。因为微 分方程提高阶数会增加解答，所以增加的 方程数目正好用来消去增加的解答。
第八章
空间问题的解答
应力函数
在按应力求解空间问题中，力学家提 出了几种应力函数，用来表示应力并简化 求解的方程。 应用这些应力函数，也已求出了一些 空问题之解。但这些应力函数不具有普遍 性（不是普遍存在的）。
第八章
空间问题的解答
扭转问题
§8-5 等截面直杆的扭转
扭转问题也是空间问题的一个特例。 根据扭转问题的特 性来简化空间问题， 就建立了扭转问题 的基本理论（18541856年，圣维南）。
第八章
空间问题的解答
相容方程说明
对于相容方程说明如下： （1）物体满足连续性条件, → 导出形变和 位移之间的几何方程, → 导出相容方 程。 （2）形变满足相容方程 , → 对应的位移存 在且连续物体保持连续； 形变不满足相容方程, → 对应的位移 不存在 , 物体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。
薄膜比拟
得出 薄膜垂度z的方程： 薄膜的 边界条件：
q ∇ z=− . FT ( z )s = 0 .
2
(a)
(b)
薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍体积是
2V = 2 ∫∫ z d x d y .
A
(c )
薄膜在x，y向斜率为
ix ∂z , = ∂x iy ∂z . = ∂y (d )
第八章
空间问题的解答
∂Φ = , ∂y
∂Φ τ zy = − . ∂x
因此得到满足平衡微分方程的解
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, τ zx
∂Φ ∂Φ = , τ zy = − ∂y ∂x
第八章
空间问题的解答
相容方程
2. 满足相容方程，前三式和第六式自然满 足，其余两式成为
∇ τ zx = 0,
2
∂ 2γ
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy ⎜ − + + ⎜ ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎞ ∂ 2ε x ⎫ ⎟ ⎟ = 2 ∂y∂ z , ⎪ ⎠ ⎪ ∂ 2ε y ⎪ ∂ ⎛ ∂γ zx ∂γ xy ∂γ yz ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ,⎬ − + + =2 ⎜ ⎟ ∂y ⎝ ∂y ∂z ∂x ⎠ ∂z∂x ⎪ ∂ ⎛ ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx ⎞ ∂ 2ε z ⎪ ⎜ ⎟ .⎪ − + =2 + ⎜ ⎟ ∂z ⎝ ∂z ∂x ∂y ⎠ ∂x∂y ⎪ ⎭
= 0, = 0,
z
)∇ 2 τ )∇ τ
2
yz
∂ 2Θ + = 0, 2 ∂z ∂ 2Θ + = 0, ∂y∂z ∂ 2Θ + = 0, ∂z∂x ∂ 2Θ + = 0. ∂x∂y
( 8 − 13 )
zx
)∇ 2 τ
xy
第八章
空间问题的解答
按应力求解归纳
按应力求解归纳为, 应力分量应满足： （1）V内的3个平衡微分方程； （2）V内的6个相容方程； （3） S = Sσ 上的3个应力边界条件（假设 全部为应力边界条件）； （4）对于多连体，还应满足位移单值条件。 其中：(1),(3) 是静力平衡条件； (2),(4)是位移连续条件。
前两式自然满足，而由后一式得出关于 Φ 的端面边界条件为
2∫∫ Φdxdy= M
A
(8 −18)
第八章
空间问题的解答
归纳
扭转问题归纳为求一个扭转应力函数 Φ ，
Φ 应满足：
（1）A内方程
∇ Φ=0
2
(8 − 16)
(8 − 17)
(8 − 18)
（2）侧面S上边界条件 (Φ )S = 0
（3）端面上边界条件 2∫∫A Φdxdy = M
第八章
空间问题的解答
Байду номын сангаас
扭转问题的提出: （1）等截面柱体； （2）无体力作用， f x = f y = f z = 0; （3）柱体侧面无面力作用，f x = f y = f z = 0, 柱体上,下端面的面力，合成一对力 矩 M。
第八章
空间问题的解答
采用半逆解法：由材料力学关于圆轴扭转 的结论，只有横截面上有切应力，故设解为 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0. 只有 τ zx ,τ zy ， 1、满足平衡微分方程
(8 − 12)
第八章
空间问题的解答
应力边界条件
当体力为常量时，即为
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(1 (1 (1 (1 (1 (1
+ μ + μ + μ + μ + μ + μ
)∇ σ
2
x
)∇ 2 σ )∇ σ
2
y
∂ 2Θ + ∂x 2 ∂ 2Θ + ∂y 2
空间问题的解答
薄膜比拟的应用： （1）通过薄膜比拟试验, 求解扭转问题。 （2）通过薄膜比拟, 直接求解薄壁杆件的 扭转问题。 （3）通过薄膜比拟, 提出扭转应力函数的 假设。
第八章
空间问题的解答
求φ的条件
§8－7 椭圆截面杆的扭转
扭转问题已归结为求扭转应力函数Φ ， Φ 应满足： （1）A域中, ∇ 2Φ = C , (a) （2）S上, (Φ )s = 0, (b) （3）A域中,
从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学 方程相同，比较如下： 扭转问题 未知函数 A内方程 边界条件
Φ ( 扭转应力函数 )
薄膜问题
z (薄膜垂度 )
∇ Φ = −2GK
2
q ∇ z=− FT
2
(Φ)s = 0
( z )s = 0
第八章
空间问题的解答
扭转问题 边界条件 切应力/斜率
2 ∫∫ Φd xd y = M
∑F
⎫ A ⎪ ⎪ ∫∫A (τ zy )z =0 d x d y = 0, ⎬ (g) ∑ Fy = 0, ⎪ ∑ M = 0, ∫∫A ( yτ zx − xτ zy ) z =0 d x d y = −M . ⎪ ⎭
x
= 0,
∫∫ (τ )
zx z = 0
d x d y = 0,
z
第八章
空间问题的解答
第八章
空间问题的解答
V内方程
3. 在V内导出求应力的方程 : （1）平衡微分方程（3个）。 （2）相容方程（6个）: 从几何方程消去位移，导出6个相容方程：
⎫ ∂ εz yz ,⎪ + = 2 2 ∂y ∂y∂z ⎪ ∂z ∂ 2 γ zx ⎪ ∂ 2ε z ∂ 2ε x ⎪ ,⎬ + = 2 2 ∂x ∂z ∂z∂x ⎪ 2 ∂ 2 γ xy ⎪ ∂ 2ε x ∂ ε y ;⎪ + = 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y ⎪ ⎭ ∂ 2ε y
第八章
空间问题的解答
第四节 第五节 第六节 第七节 第八节
按应力求解空间问题 等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转
第八章
空间问题的解答
按应力求解
§8－4 按应力求解空间问题
按应力求解空间问题的方法： 1. 取σx … τyz…为基本未知函数。 2. 其他未知函数用应力表示: 按应力求解通常只能解 全部为 应力 边界条件的问题
(Φ)s = 0
(8 −17)
4、满足上端面（z=0）的边界条件。在小边 界z=0上，应用圣维南原理，有
∑F ,F ,F
x y
z
= 0,
∑M , M
x
y
= 0,
∑M =−M.
z
第八章
空间问题的解答
在z=0负面上，σ z = 0, 只有 τ zx ,τ zy 。其中
∑F ,M
z
x
,My = 0
条件自然满足，而其余3个条件为