2018 年数学万人挑战赛1-6年级试题和答案
2018年小学生数学核心素养大赛试卷及答案(1)
宜丰县2018年小学生数学竞赛试卷（竞赛时间： 月 日 星期 9：00——11：00） 一、填空题（10×4ʹ＝40ʹ）1.要安装100米长的管道。
现在只有9米和7米长的两种管子可用。
在不切断管子的前提下，使接口最少，9米长的管子应该用 根。
2.把分数2513的分子、分母都减去同一个数 后，这个分数就变成了31。
3.找规律，按规律填空：2， 3， 5， ， ， 17， 23 4.右图三角形ABC 的面积是36㎝2，BC 的 长度是BE 的3倍，AC 的长度是DC 的4倍。
阴影部分的面积是 ㎝2。
5.某校六年级共有198名同学。
这些同学中至少有 名是同一个月出生的。
6.某厂由于采用先进技术，生产人员减少了51，而产量却增长了40%。
采用先进技术后生产效率提高了 （用百分数表示）。
7.一次数学竞赛有225名学生参加。
如果男生人数的60%等于女生人数的43，那么参加这次数学竞赛的男、女生各有 、 名。
8.从时针指向9时开始，经过 分钟，时针与分针第一次重合。
9. 右图中共有15条射线。
数一数，图中有 个角。
10. 有黑、白两色棋子共三盒，每盒棋子的颗数 相等。
第一盒里的黑子和第二盒里的白子一样 多，第三盒里的黑子颗数是全部黑子的52。
如果将三盒棋子混合在一起，那么，白子的颗数与全部棋子数的比是 。
二、计算题（写出主要计算过程，1题6ʹ，2题7ʹ，共13ʹ） 11. 3.5×120% +107×1.2 +56×6.5－5.7÷6512. 69 +1949×（691－20181）＋69×（19491－20181）－2018×（19491+691）三、按要求作答。
（2×6ʹ＝12ʹ）13.下图是一个长方形，长9㎝，宽4㎝。
把它剪成完全相同的两块，使它能够拼成一个正方形。
（用虚线表示剪开图。
）AC15143 1214.一个商店同时卖出两件商品，每件都卖了240元。
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)
6．设 M A.60． 【答】B. 因为 M
1 1 1 1 1 ，则 的整数部分是 2018 2019 2020 2050 M
二、填空题： （本题满分 28 分，每小题 7 分） CE AB 于 E ，F 为 AD 的中点， 1． 如图， 在平行四边形 ABCD 中，BC 2 AB ， 若 AEF 48 ， 则 B _______． 【答】 84 . F A 设 BC 的中点为 G ，连结 FG 交 CE 于 H ，由题设条件知 FGCD 为菱形. 由 AB // FG // DC 及 F 为 AD 的中点，知 H 为 CE 的中点. 又 CE AB ，所以 CE FG ，所以 FH 垂直平分 CE ，故 E H DFC GFC EFG AEF 48 . B G 所以 B FGC 180 2 48 84 . 2．若实数 x, y 满足 x 3 y 3 【答】3.
2 2
即 (a b) 2[(a b) 4ab] (a b)[(a b) 3ab] 0 ， 又 a b 2 ，所以 2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0 ，解得 ab 1.所以 a b (a b) 2ab 6 ，
a2 ) .设 B( x1 ,0) ， C ( x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与 x 轴的交点为 D ，则 2
BC | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 4a 2 4
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018A 2、设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与平面α所成角不小于030且不大于060，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案：π8★解析：设点P 在平面α上的射影为O ，由条件知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=∠3,33tan OQ OP OQP ，即[]3,1∈OQ ，所以区域的面积为πππ81322=⨯-⨯。
2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：109★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=，故所求为1091011=-2018A 4、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1:2222=+by a x （0>>b a ）的左右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴和y 轴，且相交于点P ，已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为◆答案：15★解析：由对称性，不妨设点P ()00,y x 在第一象限，则220=-=PSPT x ，120=-=PUPV y即()1,2P 。
进而可得()2,2U ，()1,4S ，代入椭圆方程解得：202=a ，52=b ，从而151152212102121=⨯⨯=⨯=∆y F F S F PF 。
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。
2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。
2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。
进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。
(完整版)2018年六年级数学竞赛试题及答案,推荐文档
2018年度六年级数学才艺展示题一、填空：（ 前7题每题5分，后3题每题6分，共53分 ）1、如果x ÷y=z （x 、y 、z 均为整数，且y 不等于0），那么x 和y 的最大公因数是（ y ），最小公倍数是（ x ）。
2、已知x+=y+=z+，( z )＜( x ) ＜( y )2014201320132012201520143、☆、○、◎各代表一个数，已知:☆+◎=46, ☆+○=91, ○+◎=63 , ☆=(37 ),○=( 54 )◎= （ 9 ）。
4、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少（ 7 ）个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
5、李伟和王刚两人大学毕业后合伙创业，李伟出资1.6万元，王刚出资1.2万元，一年后盈利1.4万，如果按照出资多少来分配利润，李伟分得（ 8000 ）元，王刚分得（ 6000 ）元。
6、某商场由于节日效应一月份的营业额是150万元，二月份的营业额延续节日需求，比一月份增长了10%，三月份和一月份相比增长率为－9%，一季度营业额（ 451.5 ）万元。
7、庆“六一”，学校决定进行现场绘画比赛吗，按照如下摆放桌子和椅子，如果每个椅子坐一位同学，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以10人，……，n 张桌子可以做（ 4n+2 ）人。
如果像这样摆20张桌子，最多可以坐（ 82 ）人。
8、数学小组的同学在一次数学比赛中成绩统计如左下图。
如果得优良和及格的同学都算达标。
达标同学的平均成绩是80分，而全体同学的平均成绩是70分，则不及格同学的平均成绩（ 40 ）分。
9、如右上图，已知长方形的面积是28,阴影部分的面积（9.44 ）。
2cm 2cm 10、“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年（ 90 ）岁。
二、用自己喜欢的方法计算：（每题5分，共15分）1、0.78×7－＋4×2、12.5×8÷12.5×850395039（7） （64）543、（88－）×＋（78－）×＋（68－）×＋……＋（18－）×8181818181818181（ 52）87三、应用题：（每题8分，共32分）1、中国北部地区严重缺水，节约用水是美德，某地生活用水收费标准规定如下：用水数X （吨）X≤77＜X≤10X≥10价格／吨（元） 2.4 3.2 3.6已知大伟家在本月应交水费33.6元，算一算他家这个月用了多少吨水？（12吨）2、王大妈买了一套售价为32万元的普通商品房。
2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ）） 作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x） 的图像另有两个交点仰 ， ！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足 ！（α ） = f(b)= f(c） ，并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋ 上的函数 f(x） 为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
a1a2a3a4a5 的值为
．
答案：32 ．
解：易知直线 l 的方程是 3x y 0 ．因此对任意正整数 n ，有 3an1 an 0 ，
1
1
1
即 an1 3 an ，故{an}是以 3 为公比的等比数列．于是 a3 3 a2 2 ．由等
比数列的性质可得， a1a2a3a4a5 a35 (2)5 32 ．
…………………16 分
10.（本题满分 20 分）已知定义在 R 上的函数 f (x) 为
解得 Re w r2 3 ． 2
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分
16
分）已知数列 {an } ： a1
7
， an1 an
an
2,
n
1,2,Βιβλιοθήκη 3,．求 满足 an 42018 的最小正整数 n ．
解：由
an1 an
an
2
可知
an1
k
2
将 MN 与 C 联立，得方程 y2 2 y 1 0 ，于是 k
yM yN
( yM yN )2 4 yM yN
4 k2
4
2
，
结合 l 与 MN 平行，可知
SKMN
SBMN
SBAM SBAN
1 AB 2
yM yN
112 1 ． 22 2
7. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [1, 2]上严格递减，
2018 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
2018年秋六年级数学综合知识竞赛复赛试卷
2018年秋季期顿谷镇小六年级数学综合竞赛试卷（总分：100分；答卷时间：70分钟）题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分一. 填空题。
（每空2分，共28分）1. 甲数比乙数多 41，乙数与甲数的最简单整数比（ ）。
2. 把65米长的绳子平均分成5份，每份占全长的（ ），每份长（ ）m 。
3. （ ）的倒数是1.25；一个数等于它的倒数，这个数是（ ）。
4. 如果A+B=35; B+C=46 A+C=59,那么A=（ ）B=( )C=( )。
5. 一个三角形三个角度数比2:1:1，这个三角形是（ ）三角形。
6. 甲数的51等于乙数的71。
乙数比甲数多（---）。
7.右图中，A 点和B 点分别是长方形的两条邻边的中点， 空白部分与阴影部分面积的最简单整数比（ ）8. 一个分数，分子与分母的和是35，如果分母加上1，这个分数就等于31。
这个分数原来是 （ ）。
9. 姐姐的年龄比小红大61，小红比姐姐小2岁，小红（ ）岁。
10.从甲地到乙地，客车要行4小时，货车要行5小时，客车与货车速度比（ ： ）二． 判断题。
（10分）1. 一个正方形边长是4厘米正方体的周长和面积相等。
（ ）2.如果男生人数比女生人数多31 则女生人数比男生人数少31 。
（ ）3. 跑1000米，小明用4分钟，小刚用5分钟，小明和小刚的速度比是4:5。
（ ）4. 一根绳子，剪去43，还剩41米。
（ ） 5. 2500÷400=25÷4=6……1。
（ )三．选择题。
（10分）1. 图（ ）能折成正方体。
A 、B 、C 、2. 在一个直角三角形中，一个锐角与直角的度数比是2:5，那么这个锐角与另一个锐角的度数比是( )。
A 、3:5B 、5:3C 、2:3D 、3:23.已知54A=B ，那么A:B=( )写出最简整数比A 、 54B 、45C 、411 D 、0.84.a 、b 、c 三个数都大于零，当a ×1=121×b=c ×45时，最小的数是（ ）A 、 aB 、bC 、cD 、不确定5.一道除法算式中，被除数、除数、商三数之是39，商是4，除数是（ ）A 、9B 、8C 、7D 、6四、计算21分 1、直接写出得数9分 5.8×9+5.8=83+85-83+85= 54÷53 ÷53 ×54=0.1-1001= 54-（0.8-21）= 1 ÷54- 54÷1=2、计算下面各题，能简算的要简算。
全国高中数学联合竞赛一试 含答案
得：2���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� − ���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = ���⃗⃗���⃗⃗���⃗���
记 OB=4，则 AC=2 则 cos∠AOB = cos∠CAO =
不妨令������������ = ������������+1 − ������������, (������ = 1,2, … ,9)，且������������ = ������或 2，
由������2 + ������8 = 2������5得������5 − ������2 = ������8 − ������5 即：������2 + ������3 + ������4 = ������5 + ������6 + ������7
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
分析：令������ = ������ + ������������，则������̅ = ������ − ������������ (������2 + ������2 = 1)
5. 设������(������)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，在区间 [0，1]上严格递减，且满足������(������) = 1, ������(2������) = 2,则不
等式组{11
≤ ≤
������ ≤ 2 ������(������) ≤
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合{}1327x A x =≤≤，{}22log ()1B x x x =-<，则A B = （）A ．(12)，B ．(]13-，C ．[)02，D ．(1)(02)-∞- ，，【答案】A【解答】由1327x ≤≤，得03x ≤≤。
因此，[]03A =，。
由22log ()1x x -<，得2202x x x x ⎧->⎪⎨-<⎪⎩，解得，10x -<<或12x <<。
因此，(10)(12)B =- ，，。
所以，A B = (12)，。
2．若直线l 与两直线1l ：70x y --=，2l ：133110x y +-=分别交于A ，B 两点，且线段AB 中点为(12)P ，，则直线l 的斜率为（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B【解答】由点A 在直线1l ：70x y --=上，设(7)A t t -，。
由AB 中点为(12)P ，，知(211)B t t --，。
∵点B 在直线2l ：133110x y +-=上，∴13(2)3(11)110t t -+--=。
解得，3t =。
∴(34)A -，，2(4)313l PA k k --===--。
3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 分别为棱BC 、1BB 的中点，N 为正方形11B BCC 的中心。
l 为1A MN 平面与1D BE 平面的交线，则直线l 与正方体ABCD 底面所成角的大小为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解答】如图，由正方体的性质与条件，易得MN ABCD ⊥面，BE ABCD ⊥面。
∴1A MN ABCD ⊥面面，1D BE ABCD ⊥面面。
∴l ABCD ⊥面，l 与ABCD 面所成角的大小为90︒。
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018六年级数学竞赛试题与答案
WORD格式2018～ 2019 学年度六年级数学思维检测题一、填空：（ 1—— 8 题3 分， 9—— 12 每题 4 分，40 分）每题共，且 a，b ，c 不等于 0，b=c÷则，，的关系是（ 1、已知）＜（）a =b ca ＜（）。
2、王师傅加工了 15 个零件，其中 14 个合格，只有 1 个是不合格的（比合格品轻一些），）次能保证找出这个不合格零件。
如果用天平称，至少称（个把八根小棒，摆 n ，摆一个八边形需要 8 3、用小棒按照如下方式摆图形（如下图）个这样的八边形。
））个小棒，如果有 106 根小棒，可以摆（边形需要（班级）（若 3x+2y+5=10.8，则 6x+4y-5=4、，可以化简分母减去 1 5、有一个分数，分子成 1 可以化简成加）。
，这个分数是（）共有，c a，b 满足（c a＋b）× c =99，则满足条件的数组（6、质数 a，b，（）组。
只，它们的质只，白色球 50 80 只，蓝色60量70 只，黄色球 7、袋子里装有红色球球至少应摸出10 对同色球，要保证摸不许看，只许用手摸，与大小都一样，（）出只球。
副羽毛球拍或15 8、后勤邱主任为学校买文体用品。
他带的钱正好可以副乒乓买 24 者球拍。
如果已他买副羽毛球拍，那么剩下的钱还可以买10 了）副乒乓球（姓名拍。
米赛跑。
当甲到达终点时，乙、甲乙丙三人进行 60 9 45 米。
如果乙跑了 50 米，丙跑了丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有（）米的最小公倍数，与 b b），其中［ a，］表示 a + a设※ b=［ a， b］（a， b10、 b）表（ a， 18※与示 a b 的最大公因数，则 27=（）。
点骑自行车从地。
哥哥 9 点千米，妹妹 7 A 地出发走向 B 两地相距11、 AB 24A钟从。
哥哥在地（如下左图）地出发去 B地，妹妹（ B ）点钟和妹妹相遇。
哥哥到了地还有（ B 离）千米。
2018 年数学万人挑战赛1-6年级试题和答案
填涂样例
正确填涂 错误填涂
一、 计算题（本大题共 3 小题，每空 2 分，共 38 分）
1. 计算．
23＋7＋15=________
92－22＋17=________
19＋26＋44=________
15＋78＋85=________
34＋65－5=________
73＋29－33=________
B．5
C．6
guāncháxiàtú gâ 2． 观察 下图，2个
nãngpīnchãng yī gâ 能 拼 成 一个
rúguǒquánpīnchãng ， 如果 全拼 成
D．7
depíngguǒbǐjiàoduō ，______的 苹果 比较 多 ．
A．
B．
gēn jù qiánwǔ fú túdeguī lǜ xūxiànkuàng lǐ yīnggāitián 6． 根 据 前 五幅图的 规 律，虚 线 框 里 应 该 填 ______．
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2018 年万人挑战赛（一年级）·数学部分
【学生注意】考试时间 50 分钟，总分 120 分
姓 名_________________ 准考证号_________________ 学 校_________________ 父亲电话_________________ 母亲电话_________________
______． （8 分）
zhǎoguī lǜ
chùde tú xíngyīnggāishì
13． 找 规 律，“？” 处 的图 形 应 该 是______． （8 分）
C．
jiǎshuō wǒjiādemãnpáihàohîuliǎngwâishù bǐ bǐngjiādehîuliǎngwâishùdà dì gâshùzì bǐ yǐ jiāde dì gâshùzìdà 甲 说 ：我家的 门牌号 后 两 位数 比 丙 家的 后 两 位数 大4，第 1个数字比乙家的第 2个数字大1．
2016-2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)word版含解析
12018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设集合 A = {1, 2, 3,, 99}, B = {}2x x A ∈, C ={}2x x A ∈，则 B C 的元素个数为 ．答案： 24 ．解：由条件知，B C = {2, 4, 6,, 198} {12, 1, 32 ,2,, 992}= {2, 4, 6,, 48} ，故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面 α 3 Q 在平面 α 上，使得直线 PQ 与 α 所成 角不小于 30︒ 且不大于 60︒ ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为 ．答案：8π ．解：设点 P 在平面α上的射影为O ．由条件知，3tan [3]OP OPQ OQ =∠∈即OQ ∈ [1, 3] ，故所求的区域面积为 π ⋅ 32 - π ⋅12 = 8π ．3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的概率为 答案：910解：先考虑 a bc + def 为奇数的情况，此时 a bc , def 一奇一偶，若 abc 为奇数， 则 a , b , c 为1, 3, 5 的排列，进而 d , e , f 为 2, 4, 6 的排列，这样有 3! × 3! = 36 种情况， 由对称性可知，使 abc + def 为奇数的情况数为 36 × 2 = 72 种．从而 abc + def 为偶 数的概率为72729116!72010-=-= 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C :22221x y a b += (a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、F 2 ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则∆PF 1F 2 的面积为 ．解：由对称性，不妨设 P ( x P , y P ) 在第一象限，则由条件知x =1()2PT PS -= 2, y =1()2PV PU -= 1即 P (2, 1) ．进而由 x P =PU = 1, PS = 2 得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知111144161a b a b⋅+⋅=⋅+=，解得a 2= 20, b 2 = 5 ．从而121212PF F P P S F F y ∆===5. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1] 上严格递减， 且满足 f (π) = 1 f (2π) = 2 ，则不等式组121()2x f x ⎧⎨≤≤⎩p p 的解集为 ．答案：[π - 2, 8 - 2π] ．解：由 f ( x ) 为偶函数及在[0, 1] 上严格递减知， f ( x ) 在[-1, 0] 上严格递增， 再结合 f ( x ) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f ( x ) 的严格递增区间． 注意到f (π - 2) = f (π) = 1, f (8 - 2π) = f (-2π) = f (2π) = 2 ，所以1 ≤ f ( x ) ≤2 ⇔ f (π - 2) ≤ f ( x ) ≤ f (8 - 2π) ，而1 < π - 2 < 8 - 2π < 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π - 2, 8 - 2π] ．6. 设复数 z 满足z = 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 + 2 zx + 2 = 0 有实根，则这样 的复数 z 的和为 ．答案：32-解：设 z = a + b i (a , b ∈ R , a2 + b 2 = 1) ．将原方程改为 (a + b i) x 2 + 2(a - b i) x + 2 = 0 ，分离实部与虚部后等价于ax 2 + 2ax + 2 = 0 ， ①bx 2 - 2bx = 0 ．②若b = 0 ，则 a 2 = 1 ，但当 a = 1 时，①无实数解，从而 a = -1 ，此时存在实 数 x = -1±3满足①、②，故 z = -1满足条件． 若 b ≠ 0 ，则由②知 x ∈ {0, 2} ，但显然 x = 0 不满足①，故只能是 x = 2 ，代入①解得 a 14=-，进而 b =154±，相应有 z =1154i -± 综上，满足条件的所有复数 z 之和为-1+1154i -++1154i --=32- 7. 设O 为∆ABC 的外心，若AO u u u r = AB u u u r + 2 AC u u u r，则sin ∠BAC 的值为．答案：104解：不失一般性，设∆ABC 的外接圆半径 R = 2 ．由条件知， 2 AC u u u r =AO u u u r AB -u u u r ① 故 AC =12BO = 1 ． 取 AC 的中点 M ，则 O M ⊥ AC ，结合①知 O M ⊥ BO ，且 B 与 A 位于直线OM 的同侧．于是 c os ∠BOC = cos (90︒ + ∠MOC ) = -sin ∠MOC =-MOOC14=-在∆BOC 中，由余弦定理得BC =222cos OB OC OB OC BOC +-⋅∠10=进而在∆ABC 中，由正弦定理得sin ∠BAC =1024BC R = 8. 设整数数列 a 1 , a 2 , , a 10 满足 a 10 = 3a 1 , a 2 + a 8 = 2a 5 ，且a i +1 ∈ {1+ a i ,2 + a i }, i = 1, 2, , 9 ，则这样的数列的个数为 ．答案：80 ．解：设b i = a i +1 - a i ∈ {1, 2}(i = 1, 2, , 9) ，则有 2a 1 = a 10 - a 1 = b 1 + b 2 ++ b 9 ， ①b 2 + b 3 + b 4 = a 5 - a 2 = a 8 - a 5 = b 5 + b 6 + b 7 ． ②用t 表示b 2 , b 3 , b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 b 5 , b 6 , b 7 中值为 2 的项数， 其中t ∈ {0, 1, 2, 3} ．因此 b 2 , b 3 , , b 7 的取法数为 (03C )2+ (13C ) 2+ (23C ) 2+ (33C )2= 20取定b 2 , b 3 , , b 7 后，任意指定 b 8 , b 9 的值，有 22= 4 种方式． 最后由①知，应取 b 1 ∈ {1, 2} 使得b 1 + b 2 ++ b 9 为偶数，这样的 b 1 的取法是唯一的，并且确定了整数 a 1 的值，进而数列 b 1 , b 2 , , b 9 唯一对应一个满足条 件的 数列 a 1 , a 2 , , a 10 ．综上可知，满足条件的数列的个数为 20⨯4 = 80 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R+上的函数 f ( x ) 为3log 109()49x x f x xx ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩p f设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求 abc 的取值围． 解：不妨假设 a < b < c ．由于 f ( x ) 在 (0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增， 在[9, +∞) 上严格递减，且 f (3) = 0, f (9) = 1，故结合图像可知a ∈ (0, 3) ，b ∈ (3, 9) ，c ∈ (9, + ∞) ，并且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ∈ (0, 1) ． …………………4 分 由 f (a ) = f (b ) 得 1- log 3 a = log 3 b -1， 即 l og 3 a + log 3 b = 2 ，因此 a b = 32= 9 ．于是 abc = 9c ． …………………8 分又0 < f (c ) = 4 c1， …………………12 分 故 c ∈ (9, 16) ．进而 abc = 9c ∈ (81, 144) ．所以， a bc 的取值范围是 (81, 144) ． …………………16 分 注：对任意的 r ∈ (81, 144) ，取09r c =，则0c ∈ (9, 16) ，从而 f (0c ) ∈ (0, 1) ．过 点 (c 0 , f (c 0 )) 作平行于 x 轴的直线 l ，则 l 与 f ( x ) 的图像另有两个交点 (a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中 a ∈ (0, 3), b ∈ (3, 9) ），满足 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，并且 ab = 9 ，从 而 a bc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 a 1 , a 2 , a 3 , 满足：对任意正整数 n ，有a n (2S n - a n ) = 1 ，其中 S n 表示数列的前 n 项和．证明：(1) 对任意正整数 n ，有 a n <n (2) 对任意正整数 n ，有 a n a n +1 < 1 ．证明： (1) 约定 S 0 = 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有 1 = a n (2S n -a n ) = (S n - S n -1)(S n + S n -1) = S n 2 - S n -12 ， S n = n + S 0 = n ，即 S n =n n = 0 时亦成立）． …………………5 分显然， a n = S n - S n -1 n 1n -n 10 分 (2) 仅需考虑 a n , a n +1 同号的情况．不失一般性，可设 a n , a n +均为正（否则 将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则 S n +1 > S n > S n -1 >n 此时从而a n a n +1 <n 1n -1n +n ) <1n +n 1n +n )= 1． …………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 = 4 x 的 过点 F (1, 0) 的弦，∆AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平 分∠APB ，求 PF 的所有可能值．解：设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，233(,)4y P y ，由条件知 y 1 , y 2 , y 3 两两不等且非零．设直线 AB 的方程为 x = ty +1 ，与抛物线方程联立可得 y 2- 4ty - 4 = 0 ，故 y 1 y 2 = -4 ． ①注意到∆AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey = 0 ，与x =24y 联立得，42(1)0164y d y ey +++=．该四次方程有 y = y 1 , y 2 , y 3,0 这四个不同的实根，故由韦达定理得 y 1 + y 2 + y 3 + 0 = 0 ，从而y 3 =- ( y 1 + y 2 ) ．②…………………5 分因 PF 平分∠APB ，由角平分线定理知，12PA FA y PB FB y ==，结合①、②，有 222312231122322232232()()44()()44y y y y PA y y y y PB y y -+-==-+-222212112222212221[()]16(2)[()]16(2)y y y y y y y y y y +-++=+-++1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 422142126419264192y y y y +-=+- 即 y 6 + 64 y 2 y 2 -192 y 2 = y 6 + 64 y 2 y 2 -192y 2，故 ( y 2 - y 2 )( y 4 + y 2 y 2 + y 4 -192) = 0 ．当 y 1 2 = y 2 2 时， y 1 =- y 2，故 y = 0 ，此时 P 与 O 重合，与条件不符．当 y 1 4 + y 1 2 y 22 + y 24 -192 = 0 时，注意到①，有 (y 1 2 + y 2 2 )2=192+(y 1 y 2) 2=208y 1 2 + y 2 2 =8 = 212y y ，故满足①以及 y 1 + y 2 =的实数 y 1 , y 2 存在，对应可得满足条件的点 A , B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF +++-=+==== …………………20 分2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其体积平分，则棱与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
2018年陕西省数学竞赛试题及解答
界 f ( p)
得最小值为 11 时， p 2 . 8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， N 是 AD 边上的一点，且
DN 3 NA ，若对于常数 m .在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P ，使 y C D PM PN m ，则实数 m 的取值范围
p 18 p 19 100 100 ,取倒数， 0.19 ,即 pq p , q 的下 q 100 q 100 19 18
2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第 4 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理）
100 100 100 p 单调递增，当 p 1 时， 5.26 , 5.56 ，不存在满足条件 19 19 18 100 100 2 10.52 , 2 11.11 ， q 11 满足条件.因此， q 取 的 q ；当 p 2 时， 19 18
A. (8,8) C. (1,8) 解析：C.
B. (1, 24) D. (0,8)
N
M x B
A
建立如图所示的直角坐标系, A(0, 0) , M 是 BC 的中点, M (8, 4) ,又 N 是 AD 边上
的一点，且 DN 3 NA ， N (0, 2) ,设 P ( x, y ) ，则 PM (8 x, 4 y ) ,
1 1 1 根据抛物线的定义, S梯形AABB ( AA BB ) AB AB AB AB 3 p , 2 2 2 1 AB p S ABF 1 1 2 S ABF A B p ,所求概率为： . 1 2 S梯形AABB AB 3 p 3 2 1 1 11.已知函数 f ( x) x 1 ，若存在 x1 , x2 , , xn [ , 4] ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) x 4
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
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A．
B．
C．
D．
示例： 15 19
14
29
47
24
11
35
38
64
13
18
31
67
26
xiàmiansuànshìzhōng xiāngtïngdetúàn dàibiǎoxiāngtïngdeshù bùtïngde túàn dàibiǎobùtïngdeshù qǐng nǐ gēnjùgěichūde 9． 下面 算式 中 ， 相同 的图案 代表 相同 的 数 ， 不同 的图案 代表 不同 的 数 ， 请 你 根据 给 出 的
zi lǐ yǒu gâqiú měigâxiāng zi dōubǐ qián yī gâduō gâqiú yī cǐ lâituī lâ lâ xuǎn le yī gâzhânghǎozhuāngyǒu gâqiúdexiāngzi 子里 有 3个 球 „„ 每 个 箱 子 都 比 前 一个 多 1个 球 ，依此类推．乐乐 选 了一个 正好 装有 6个 球 的 箱子 ，
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2018 年万人挑战赛（一年级）·数学部分
【学生注意】考试时间 50 分钟，总分 120 分
姓 名_________________ 准考证号_________________ 学 校_________________ 父亲电话_________________ 母亲电话_________________
注意事项
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并认真在规定位置贴好
条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择 题必须使用 0.5 毫米及以上黑色字迹的
签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效；
4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠， 不要破损。
B．5
C．6
guāncháxiàtú gâ 2． 观察 下图，2个
nãngpīnchãng yī gâ 能 拼 成 一个
rúguǒquánpīnchãng ， 如果 全拼 成
D．7
depíngguǒbǐjiàoduō ，______的 苹果 比较 多 ．
A．
B．
gēn jù qiánwǔ fú túdeguī lǜ xūxiànkuàng lǐ yīnggāitián 6． 根 据 前 五幅图的 规 律，虚 线 框 里 应 该 填 ______．
填涂样例
正确填涂 错误填涂
一．选择题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）
条形码粘贴区(居中)
cïngzuǒwǎngyîushǔ
páizài dì
dezuǒbianháiyǒu
gâ tú xíng
1． 从 左 往 右 数 ， 排 在第7， 的 左 边 还 有 ______个图 形 ．
A．4
miànkàndàodetúxíngxiāngtïng
4． 观察 下面 的立体 图形 ， 从 正面 看到 的 图形 和 从 ______ 面 看到 的 图形 相同 ．
A．左
B．右
C．上
xiàmian túxíngzhōngzhǐyǒu gâsānjiǎoxíngdeshì 5．下 面 图 形 中 只 有 3个 三 角 形 的是______．
suànshì zàihãngxiànshàngtiánchūzhângquâdeshù 算式 ，在 横线 上 填 出 正 确 的 数 ．（每空 3 分，共 9 分）
＋
＝18
－
＝5
＋
＝
＝________ ＝________ ＝________
第 1 页 共 2页
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yú
3． 豆 豆 昨天 买 了3 千克 小黄鱼 ， 今天 又 买 了70克 小 蓝 鱼， 豆 豆 两天 一共 克
B．3070 克
C．3 千克 700 克
D．370 克
guāncháxiàmiande lìtǐ túxíng cïngzhângmiànkàndàodetúxínghãcïng
qǐng nǐ gēn jù shì lì bǎkîngbáichùdeshùbǔquán 8． 请 你 根 据示例把 空 白 处 的 数 补 全 ．（每空 3 分，共 9 分）
dîudîuzuïtiānmǎi le qiānkâxiǎohuángyú jīntiānyîumǎi le kâxiǎolányú dîudîuliǎngtiānyígîngmǎi le
nàmezhâgexiāngzidezuǒbianyígîngyǒu
gâqiú
那么 这个 箱子 的 左边 一共 有 ______个 球 ． （8 分）
mãngmãngrēng le cì tïuzi cì tïuzicháoshàngdemiàndediǎnshùhãshì nàmezhâ cì tïuzicháoxiàdemiàndediǎnshùhãshì 12． 萌 萌 扔 了3次骰子，3次骰子 朝 上 的 面的 点数 和是10，那么 这 3次骰子 朝 下的 面的 点数 和是
A．
B．
C．
D．
二．计算题（本大题共 3 小题，共 38 分）
jì suàn 7．计 算 ．（每空 2 分，共 20 分）
26＋12＝___________；17＋38＝___________；15＋11＝___________；35＋54＝___________； 67－23＝___________；53－18＝___________；59－22＝___________；21－16＝___________； 27＋56＝___________；41－27＝___________．
三．填空题（本大题共 4 小题，共 34 分）
xiàmianyǒu
gâruìjiǎo
gâdùnjiǎo
10．下 面 有 ______个锐 角 ，______个 钝 角 ．（每空 5 分，共 10 分）
A．
2
B．
8
lǎoshīzhǔnbâi le yìxiēxiāngzi cïngzuǒwǎngyîushǔ dì gâxiāngzi lǐ yǒu gâqiú dì gâxiāngzi lǐ yǒu gâqiú dì gâxiāng 11． 老师 准备 了一些 箱子 ， 从 左 往 右 数 ，第 1个 箱子 里 有 1个 球 ，第 2个 箱子 里 有 2个 球 ，第3个 箱