数学核心素养[优质ppt]
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数学核心素养解读ppt课件
逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想”
2019 -
一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、 类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有 演绎。
在数学教学中，教师可以引导学生通过归纳推理探究成因，比如：探
究计算方法规定的缘由。在混合运算中，为什么要先乘除后加减？对 于“3+2×6=3+12=18”这样的算式，可以举例说明：“操场上有3名同 学，又来了一队同学，2人一排共6排。问现在操场上有多少名同学？ ”其计算的缘由可以理解为：现在同学数=原来同学数+后来同学数 =3+2×6，因此可以得到先乘除后加减的结论。教师可以让学生感悟，
有这样一道题目。五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派 10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名同学上场。五年一 班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩是：甲 （21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32 ），这两名同学的平均分差不多，你建议让哪位同学上场比赛 ？理由是什么？
以前：以“双基”（知识技能）为载体—→发展能力 以后：以“四基”“四能”为载体—→培养情感态度
价值观 把“以知识为导向的教学”转变为“以核心素养为导
向的教学”，即：从“以知识为本” —→“以学生发 展为本”或者说：“知识核心时代” —→“素养核心 时代”
7
2019 -
1. 什么是数学核心素养？
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3
2019 -
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乐学善学
社会责任
自 主
勤于反思 信息意识
国家认同 国际理解
社
会
2019 -
发 展
珍爱生命 健全人格 自我管理
学会学习 责任担当 健康生全活面发实践创新
数学核心素养PPT课件
抽象的东西不是具体的存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛 而是理念的存在：苹果、足球 → 看到的圆 → 头脑中的圆
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
2. 逻辑推理（推理能力、运算能力）
推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律 推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构） 推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题
归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题
在数学教育中没有归纳推理，不利于培养创新人才。
归纳推理
通过归纳得到程式：计算程式、运算法则（从经验到一般） 分数加法： 1 5
46 运算道理（同样单位）
1 5 1 6 5 4 6 20 6 20 26 4 + 6 = 4 6 + 6 4 = 24 + 24 = 24 = 24
义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律 数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象 图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系
什么样的推理是有逻辑的？ 下面三个推理是否有逻辑 1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。 2.三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角。 3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。
几何前提：基本事实。
数与代数前提： 命题1 等式（不等式）关系具有传递性
a = b (a ﹥ b），b = c (b ﹥ c） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变
a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c）
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
2. 逻辑推理（推理能力、运算能力）
推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律 推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构） 推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题
归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西 从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题
在数学教育中没有归纳推理，不利于培养创新人才。
归纳推理
通过归纳得到程式：计算程式、运算法则（从经验到一般） 分数加法： 1 5
46 运算道理（同样单位）
1 5 1 6 5 4 6 20 6 20 26 4 + 6 = 4 6 + 6 4 = 24 + 24 = 24 = 24
义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律 数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象 图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系
什么样的推理是有逻辑的？ 下面三个推理是否有逻辑 1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。 2.三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角。 3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。
几何前提：基本事实。
数与代数前提： 命题1 等式（不等式）关系具有传递性
a = b (a ﹥ b），b = c (b ﹥ c） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变
a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c）
数学学科核心素养系列(十九)(共30张PPT)
1－34[1－P（C）]＝112，
P（B）P（C）＝14， P（B）P（C）＝14.
解得 P(B)＝83，P(C)＝23，
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为83，32.
(2)由题意，X 的可能取值为 0，1，2，
P(X＝ 2)＝41，P(X＝0)＝P(B－ )P(C－ )＝85×31＝254，
[素养指导] (1)求出 P(A)＝34→求出 P(A－)P(C－ )与 P(B)P(C)→求乙、丙二人各自击中目标的 概率． (2)写出 X 的可能取值→求出相应的概率→求出 X 的分布列→EX.
解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件 A，B，C，则 P(A)＝34，且有
P（A－）P（C－ ）＝112，即
81
11 81
所以
E(X)＝1
850 81 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型二 以二项分布为背景的均值与方差
求以二项分布为背景的均值与方差的解题思路： 第一步：根据题意设出随机变量； 第二步：分析随机变量服从二项分布； 第三步：找到参数n，p； 第四步：写出二项分布的概率表达式； 第五步：求解相关概率．
典例2 (2020·陕西高三模拟)每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查 某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名，用“10分制”记录 了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字 为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福 度为“很幸福”．
数学学科核心素养系列（十九）
1
01 02 03
类型一 类型二 类型三
数学建模与数学抽象——离散型随机变量的均值与方差
素养解读：离散型随机变量的均值与方差是高考的一个重要内容，注意观察 随机变量的概率分布特征，抽象出合理的概率模型，利用均值与方差公式计 算与求解，解决学生这一痛点．
数学核心素养.精选ppt
察点C在平面内，沿DC转动平面,与平面PAB交线MF，且始终与CD平行，
利用动态函数的观点MF从AB到0，一定存在与CD相等的情况，从而得
到平行四边形DFMC,与平面PAD交线为所求。
• 方法三：抛开局限我们的面与平面PBC平行的线有无数条，线动成面， 引导学生构造面面平行推线面平行。
小结：1、存在性问题的解题策略先假设存在 2、构造线面平行的方法 依据线线平行或面面平行，线面的切入点都是先找线线平行， 线线平行需借助平面 3 、动态分析构造辅助线或面 设计意图：让所有学生经历思维过程，复习课不是只给会的 学生讲，要让所有同学掌握不同背景下解决问题的通法。复 杂背景下学会提取主要研究对象，再依据转化的思维路径， 借助假设存在明确方向，从而解决问题。进一步体会三种平 行关系之间的内在联系。
让3 、所动有态学条分生线析体构会/造/动面辅态助分，线析由或辅面助前线或面面的的思铺维过垫程，，从学而掌生握可解决想复杂到背做景下线空间平中行平行于关系交的线一般。方法。 师故•：转引 化导为方学构法生造观线二察//交直：线线。假PD、设AC存为定在直，线,位提置取关系研为异究面对，直象观感一知条过绕线AC和转动一的平个面面中一P定B存C在与,有PD假平行设的平能面得，假到设存在线//面 方法三：什抛么开局？限我过们这的面条与平线面做PBC一平行个的面线有与无数平条面，线P动B成C面，相引交导学，生构过造一面面个平行点推作线面平平行面。不好做，观
?普• 通高方中数法学一课程：标准提?在取课程主“要根本研理念究〞对中提象出了，〞点高中D数及学课平程以面学P生B开展C为。本D，落F实在立平德树面人根P本A任D务上，培动育，科学平精神和创
新生意：识 可，以面提感P升知A数存D学在学但与科具平核体心位面素置养找P〞有B的困C课难相程理交念。。问题转化为相交面中有一个定点，过定点做一
数学核心素养课件
通过个性化学习而经历深度学习
• 深度学习 • 深度支持 • 深刻经验 • 深度领导 • ——Jean Gordon et al. Key competences
in Europe,p.71.
基本结构
THE 4 PILLARS OF A COMPETENCYBASED EDUCATION
Learning to Know
Subject Matter Mastery
Critical Thinking Across Disciplines
Integration of 21st Century Skills into Subject Matter Mastery
Integration of 21st
Century Skills into
||
学生学科核心素养为基础 建立学业质量标准——作为课程标准部分
||
内容、教学、高考的基础
核心素养的基本定位
• 核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中， 逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的 必备品格和关键能力。
基本特点
核心素养是所有学生应具有的最关键、最必要的共同素养 核心素养是知识、能力和态度等的综合表现 核心素养可以通过接受教育来形成和发展 核心素养具有发展连续性和阶段性 核心素养兼具个人价值和社会价值 核心素养的作用发挥具有整合性
举例
内 涵 、数 价学 值核 、心 表素 现养 、的 水 平
数学抽象的表现： 形成数学概念和规则 形成数学命题和模型 形成数学方法与思想 形成数学结构与体系
举例
内 涵 、数 价学 值核 、心 表素 现养 、的 水 平
每个数学核心素养水平的阐述，都涉 及“情境与问题”、“知识与技能” 、“思维与表达”、“交流与反思” 四个方面。
(优质)小学数学核心素养PPT课件
本册称体重、做家庭年历两个实践活 动、下册ห้องสมุดไป่ตู้第六单元《简单的统计活 动》，都需要做数据分析。
六、运算能力
指能够根据法则和运算律正确地进行 运算的能力。计算贯穿于小学数学教 学的全过程，这是每个学生必备的技 能。学生在学习过程当中，数字计算 能力和思维的提高，对今后每一个阶 段的学习都有很大的促进作用；可以 说是终身受益。
培养学生符号意识的策略：
一是在具体情景中体会数学符号的作用。 二是加强符号语言与其他数学语言的互译和
表达。 三是在解决问题中，经历符号化的过程。
三、空间观念
指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图 形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的 方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动 和变化； 依据语言的描述画出图形等。
八、模型思想
模型思想是数学的基本思想，是学生体会 和理解数学与外部世界联系的基本途径。 数学中的概念、原理、数学的理论体系、 代数式、关系式、方程、函数、不等式、 各种图表、图形都是数学模型。 策略：创设情景，感知数学建模思想；在探 究知识的过程中，体验模型思想；新知识的 结论就是模型思想；解释与应用中体验模型 思想的实用性。
策略 教学中可以多引导学生观察、感知实物和几何 图形。加强实验操作，让学生测量、折叠、画 图掌握形体基本特征，在此基础上去比较、分 析、综合、猜测、想象形成初步的空间观念。
一看、 二比划、 三找、 四走、五画。
四、几何直观
也就是学生能利用图形描述和分析问题。教学 图形中，教师要让学生养成作图的习惯，把数 和形结合，借助信息技术手段让图形动起来， 以提高学生解决问题能力。
五、数据分析观念
数据分析是统计的核心，数据分析在当下的互 联网时代，人无论在工作还是生活中都受到大 量数据信息的影响和冲击——其实，我们已进 入了大数据时代——因此，数据处理和分析能 力便自然而然地成了当代人的核心素养。引导 学生分析数据中蕴涵的信息，根据问题选择适 当的方法，通过数据分析体验事件的随机性。
六、运算能力
指能够根据法则和运算律正确地进行 运算的能力。计算贯穿于小学数学教 学的全过程，这是每个学生必备的技 能。学生在学习过程当中，数字计算 能力和思维的提高，对今后每一个阶 段的学习都有很大的促进作用；可以 说是终身受益。
培养学生符号意识的策略：
一是在具体情景中体会数学符号的作用。 二是加强符号语言与其他数学语言的互译和
表达。 三是在解决问题中，经历符号化的过程。
三、空间观念
指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图 形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的 方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动 和变化； 依据语言的描述画出图形等。
八、模型思想
模型思想是数学的基本思想，是学生体会 和理解数学与外部世界联系的基本途径。 数学中的概念、原理、数学的理论体系、 代数式、关系式、方程、函数、不等式、 各种图表、图形都是数学模型。 策略：创设情景，感知数学建模思想；在探 究知识的过程中，体验模型思想；新知识的 结论就是模型思想；解释与应用中体验模型 思想的实用性。
策略 教学中可以多引导学生观察、感知实物和几何 图形。加强实验操作，让学生测量、折叠、画 图掌握形体基本特征，在此基础上去比较、分 析、综合、猜测、想象形成初步的空间观念。
一看、 二比划、 三找、 四走、五画。
四、几何直观
也就是学生能利用图形描述和分析问题。教学 图形中，教师要让学生养成作图的习惯，把数 和形结合，借助信息技术手段让图形动起来， 以提高学生解决问题能力。
五、数据分析观念
数据分析是统计的核心，数据分析在当下的互 联网时代，人无论在工作还是生活中都受到大 量数据信息的影响和冲击——其实，我们已进 入了大数据时代——因此，数据处理和分析能 力便自然而然地成了当代人的核心素养。引导 学生分析数据中蕴涵的信息，根据问题选择适 当的方法，通过数据分析体验事件的随机性。
《小学数学核心素养》课件
01
02
03
04
创设情境
创设真实、有趣的问题情境， 引导学生主动探究、解决问题
。
注重实践
通过实践活动，让学生亲身体 验数学知识的应用，培养实践
能力。
鼓励创新
鼓励学生敢于质疑、勇于创新 ，培养创新思维。
多元评价
采用多元评价方式，全面评价 学生的数学核心素养。
02
小学数学核心素养的具体内 容
数学基础知识
组织合作学习
分组合作学习
将学生分成小组，通过合作探究 、讨论交流的方式，共同解决问
题、完成任务。
互动交流学习
鼓励学生之间的互动交流，让他们 在互相帮助、互相启发中共同成长 。
分享学习成果
组织学生分享自己的学习成果和经 验，促进知识共享和共同进步。
开展实践活动
设计实践任务
结合教学内容和学生实际情况， 设计具有挑战性和实用性的实践
评价指标
包括数学思维、数学应用、数 学交流、数学情感等方面，确 保评价的全面性和准确性。
评价反馈
及时向学生和教师提供评价结 果，以便调整教学策略，促进
学生数学核心素养的发展。
教师教学的反思与改进
反思内容
改进措施
教师需对教学内容、教学方法、教学效果 等方面进行反思。
根据反思结果，调整教学策略，优化教学 方法，提高教学效果。
《小学数学核心素养》ppt 课件
目录
• 小学数学核心素养概述 • 小学数学核心素养的具体内容 • 小学数学核心素养的教学实践 • 小学数学核心素养的评价与反思
01
小学数学核学数学核心素养是指学生在学习数学过程中所需要具备的、能够适应终身发 展和社会发展需要的必备品格和关键能力。
《数学核心素养》课件
详细描述
直观想象能力是数学核心素养的一种表现形式，它要求学生能够通过直观的方式理解数学概念、解决数学问题。 这种能力对于培养学生的数学思维、提高解决实际问题的效率具有重要作用。
数学运算能力
总结词
指按照一定规则进行运算，解决数学 问题的能力。
详细描述
数学运算能力是数学核心素养的基础 ，它要求学生能够按照一定的规则进 行运算，解决数学问题。这种能力对 于学生掌握数学基础、提高解题效率 具有重要意义。
数学核心素养强调的是学生在实际生活中运用数学知识和技 能解决问题的能力，以及在数学学习过程中所形成的思维方 式和探究精神。
数学核心素养的重要性
适应未来社会需求
随着科技的发展和社会的进步，具备数学核心素养的人才 在各个领域的需求越来越大，掌握数学核心素养能够更好 地适应未来社会的需求。
提高思维能力和创造力
提倡自主学习与合作学习
自主学习与合作学习是培养数学核心素养的重要途径，可 以提高学生的自主学习能力和合作意识。
教师可以通过布置自主学习任务和组织合作学习活动，引 导学生主动探究数学问题，培养他们的自主学习能力和合 作精神。
结合实际生活情境进行教学
结合实际生活情境进行教学可以增强 学生对数学知识的理解和应用能力。
心理素质
竞赛的紧张氛围有助于提 高学生的心理素质，增强 其面对挑战的勇气。
在实际生活中的应用
金融数学
理解保险、股票、债券等金融产 品的数学原理，为个人理财提供
依据。
工程设计
建筑设计、机械制造等领域涉及大 量的数学计算和模型建立。
数据分析
在商业、科研中，运用统计、概率 等方法对数据进行处理和分析，为 决策提供支持。
指导课程建设和教学实施
直观想象能力是数学核心素养的一种表现形式，它要求学生能够通过直观的方式理解数学概念、解决数学问题。 这种能力对于培养学生的数学思维、提高解决实际问题的效率具有重要作用。
数学运算能力
总结词
指按照一定规则进行运算，解决数学 问题的能力。
详细描述
数学运算能力是数学核心素养的基础 ，它要求学生能够按照一定的规则进 行运算，解决数学问题。这种能力对 于学生掌握数学基础、提高解题效率 具有重要意义。
数学核心素养强调的是学生在实际生活中运用数学知识和技 能解决问题的能力，以及在数学学习过程中所形成的思维方 式和探究精神。
数学核心素养的重要性
适应未来社会需求
随着科技的发展和社会的进步，具备数学核心素养的人才 在各个领域的需求越来越大，掌握数学核心素养能够更好 地适应未来社会的需求。
提高思维能力和创造力
提倡自主学习与合作学习
自主学习与合作学习是培养数学核心素养的重要途径，可 以提高学生的自主学习能力和合作意识。
教师可以通过布置自主学习任务和组织合作学习活动，引 导学生主动探究数学问题，培养他们的自主学习能力和合 作精神。
结合实际生活情境进行教学
结合实际生活情境进行教学可以增强 学生对数学知识的理解和应用能力。
心理素质
竞赛的紧张氛围有助于提 高学生的心理素质，增强 其面对挑战的勇气。
在实际生活中的应用
金融数学
理解保险、股票、债券等金融产 品的数学原理，为个人理财提供
依据。
工程设计
建筑设计、机械制造等领域涉及大 量的数学计算和模型建立。
数据分析
在商业、科研中，运用统计、概率 等方法对数据进行处理和分析，为 决策提供支持。
指导课程建设和教学实施
数学核心素养PPT课件
• 数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能 力，是数学知识、技能、能力及情感、态度、价值观的综 合体现。
数学素养的要素（PISA）
• 思考 • 论证 • 交流 • 建模 • 推理 • 问题提出与解决 • 运用符号的、形式化和专业性的语言和操作 • 运用辅助手段和工具
数学素养的要素（TIMSS）
数据分析
• 某工厂2015年实现产值1060万元，其中一季度250万元， 二季度270万元，三季度280万元，四季度260万元。通过 这些数据，你能发现什么结论？
• 课例：平均数（吴正宪）
中国台湾（小学）
• 演算能力 • 抽象化能力 • 推理能力 • 连结能力 • 解题能力 • 沟通能力 • 使用科技工具能力
• 水平5：能够建立和利用复杂问题的模型，鉴别其约束条 件和假设条件；选择、比较、评价问题解决策略；利用广 泛而成熟的思维和推理技能，联结符号、公式和运算，洞 察现实问题；对自我行为进行思考，表达和交流其解释和 推理。
• 某电视播报员根据图 示，做出论断， 1999年某地抢劫案 件大幅度增加。
什么是数学素养？
• 顾沛：数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩 下的东西。
• 米山国葬：我研究了多年的数学教育，发现学生们在初中、 高中阶段学习的数学知识……离校后不到一两年，便会很 快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻 于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法……却随 时的发生作用，使他们是受益终生”
• 2000：问题解决，推理与证明，交流， 关联，表征。
数学素养的要素（CCSSM）
• 熟练地理解与解决问题 • 熟练地进行数量与抽象推理 • 构建观点进行论证 • 利用数学建模解决问题 • 适当选择数学工具 • 准确使用概念和清晰的推理 • 发现数学的模式与结构 • 关注解决问题的过程与结果
数学素养的要素（PISA）
• 思考 • 论证 • 交流 • 建模 • 推理 • 问题提出与解决 • 运用符号的、形式化和专业性的语言和操作 • 运用辅助手段和工具
数学素养的要素（TIMSS）
数据分析
• 某工厂2015年实现产值1060万元，其中一季度250万元， 二季度270万元，三季度280万元，四季度260万元。通过 这些数据，你能发现什么结论？
• 课例：平均数（吴正宪）
中国台湾（小学）
• 演算能力 • 抽象化能力 • 推理能力 • 连结能力 • 解题能力 • 沟通能力 • 使用科技工具能力
• 水平5：能够建立和利用复杂问题的模型，鉴别其约束条 件和假设条件；选择、比较、评价问题解决策略；利用广 泛而成熟的思维和推理技能，联结符号、公式和运算，洞 察现实问题；对自我行为进行思考，表达和交流其解释和 推理。
• 某电视播报员根据图 示，做出论断， 1999年某地抢劫案 件大幅度增加。
什么是数学素养？
• 顾沛：数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩 下的东西。
• 米山国葬：我研究了多年的数学教育，发现学生们在初中、 高中阶段学习的数学知识……离校后不到一两年，便会很 快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻 于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法……却随 时的发生作用，使他们是受益终生”
• 2000：问题解决，推理与证明，交流， 关联，表征。
数学素养的要素（CCSSM）
• 熟练地理解与解决问题 • 熟练地进行数量与抽象推理 • 构建观点进行论证 • 利用数学建模解决问题 • 适当选择数学工具 • 准确使用概念和清晰的推理 • 发现数学的模式与结构 • 关注解决问题的过程与结果
数学学科核心素养系列十四共13张PPT
3π C. 2
D．6π
解析：由题意，设△ABC 的外接圆圆心为 O′，其半径为 r，球 O 的半径为 R，
且 OO′ ＝d.
依题意可知VV12max＝R＋d d＝3，即
R＝2d，显然
R2＝d2＋r2，故
R＝
2 3r.
又由
2r＝sin∠ACABC＝
4 ，故 3
r＝
2， 3
所以球 O 的表面积为 4πR2＝136πr2＝694π.故选 B.
A．41π C．43π
B．42π D．44π
解析：由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角 线的一半，即为12× 36＋4＋1＝ 241，所以该球形容器表面积的最小值为 4π× 2412＝41π.
换个角度看问题，我们把△ABC“立起来”，如图所示，设 BO⊥平面△ACP， 考虑以 B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得 AC＝2 3，则 OB＝ |BA|2－|OA|2≤ 4－12AC2＝1.设∠PDA＝θ，θ∈(0，π)，AD＝x(0＜ x＜2 3)，则 S△PCD＝12x(2 3－x)sin θ≤21x(2 3－x)≤212 2 32＝32，所以四 面体 P-BCD 的体积 VP-BCD＝13×S△PCD×OB≤13×32＝21，当且仅当 OA＝21AC ＝ 3，且 θ＝π2时取等号(此时 D 点与圆心 O 重合，PD 垂直平分 AC，进而可 得 BD⊥PD)．
30 2.
3．(2020·上海市建平中学模拟)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国 古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、 左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯结合起 来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球 形容器(容器壁的厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为( A )
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数学核心素养的教学 案例
一.提出问题
《普通高中数学课程标准》在课程“基本理念”中提出了”高 中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精 神和创新意识，提升数学学科核心素养”的课程理念。通过高中数 学课程的学习，进一步提升数学素养，促进全面、可持续发展。数 学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展 需要的人的关键能力与思维品质。数学学科核心素养的内涵包括数 学核心知识、核心能力、核心品质。主要由数学抽象、逻辑推理、 数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成，这些 数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。数学 核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中 逐步形成的。数学课堂是学生学习数学的主阵地，怎样在课堂教学 中培养学生的数学核心素养呢？下面我以空间中平行关系复习课的
畅想网络
Imagination Network
感谢观看！
文章内容来源于网络，如有侵权请联系我们删除。
P
O
P
P
FD
C
F
M
D
C
F
D
C
A
B
A
B
A
G
B
• 问题3：在PA上是否存在一点F,使得DF//面PBC ?
• 生：思考、讨论、交流不同做法
• 师：引导所有学生经历如下思维过程：
• 方法一：提取主要研究对象，点D及平面PBC。DF在平面PAD上动，平 面PAD与平面PBC相交。问题转化为相交面中有一个定点，过定点做一 条线//已知面，由前面的铺垫，学生可想到做线平行于交线。
P
• a//b
a//l
D
C
• a//β
• l
A
B
• 设计意图：使学生经历由线//线得到线//面，再过其中一条线做平面找 交线进而推出另一组线//线的思维过程，让学生体会构建线线平行是借 助平面来实现的。为下面的问题做好铺垫。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P
E
D
C
A
B
问题2：在PB上是否存在一点E,使得PD//平面ACE?请说明理由.
设计意图：进一步强化学生对空间中位置关系的认识，进一步体会不同 维度平行的转换，深化动态分析的思维方法。让学生学有所用，培养学 生思考分析问题的能力及严谨的思维习惯。
三、感悟与反思
抽象概括能力、直观想象能力、运算能力、推理论证能力、数学 建模能力、数据分析处理能力等构成高中数学的核心素养。这些 数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。数 学核心素养的提升是一个长期工程，不仅在中学，乃至从小学一 直到大学都需要提升。不是某节课提升某种素养，而是根据教学 内容的不同或不同课型有所侧重。一节课中六大核心素养都有可 能涉及，有些素养在一般课堂中都应注意提升，如数学运算、逻 辑推理等。总之，在中国学生发展核心素养统领下的新一轮课程 改革已全面启动，如何在课堂教学中提升学生的数学核心素养， 已成为摆在我们每一位数学教师面前的光荣使命，与其消极观望， 不如积极实践
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问题4：四棱锥，若四棱锥底面两两不平行， E为PB上一定点，过点E与 四棱锥四条侧棱都相交的截面中能否有平行四边形截面？ 师追问：有几个？唯一性能否说明
学生独立思考后讨论交流，学生回答，关注学生是否用到这节课的思想 来解析平行四边形的存在性。
师：由前面几个问题的铺垫，学生用动态分析几何问题的思维初步形成， 学生能想到过E作作交线的平行线，转动中必有相等且交线唯一，进一步 明确平行四边形的唯一性。
• 方法三：抛开局限我们的面与平面PBC平行的线有无数条，线动成面， 引导学生构造面面平行推线面平行。
小结：1、存在性问题的解题策略先假设存在 2、构造线面平行的方法 依据线线平行或面面平行，线面的切入点都是先找线线平行， 线线平行需借助平面 3 、动态分析构造辅助线或面 设计意图：让所有学生经历思维过程，复习课不是只给会的 学生讲，要让所有同学掌握不同背景下解决问题的通法。复 杂背景下学会提取主要研究对象，再依据转化的思维路径， 借助假设存在明确方向，从而解决问题。进一步体会三种平 行关系之间的内在联系。
• 提出本节课研究对象：如图 :四棱锥P--ABCD的底面 ABCD 中,AB//CD
• AB=3,CD=2 • 分析：图中你还能找到哪些平行关系？ • 生： AB//面PCD CD//面PAB • 问题1：若平面PAB与PCD的交线是l，试判断直线l与直线AB的位置关
系，你能证明吗？ • 生： l / / AB ，学生分析完成，板书 • 小结：归纳已知一组线线平行推导另一组线线平行的方法：
• 方法二：假设存在，提取研究对象一条线和一个面PBC,有假设能得到什 么？过这条线做一个面与已知平面PBC相交，过一个点作平面不好做， 观察点C在已知平面内，沿DC转动平面,与平面PAB交线MF，且始终与 CD平行，利用动态函数的观点MF从AB到0，一定存在与CD相等的情况， 从而得到平行四边形DFMC,与平面PAD交线为所求。
生：可以感知存在但具体位置找有困难
师：引导学生观察直线PD、AC为定直线,位置关系为异面，直观 感知过绕AC转动的平面中一定存在与PD平行的平面，假设存在线 //面故转化为构造线//交线。引导学生动态分析过PD的平面有 PAD、PDB、PDC等,其中平面PDB与平面ACE交线最直观。
设计意图： 学生直观感知存在，让每个学生在大脑中经过动态操作，通 过假设存在明确方向，体会线平行与面的性质可以作为构图 的工具。
教学设计为例说明我在课堂中是如何渗透数学的核心素养的。
二.问题解决
• 空间中的平行关系是空间几何学的基础，也是培养学生推理论 证,几何直观能力的重要素材。高三学生对空间中平行关系的相 关概念和定理的掌握有所差异，同时缺乏知识的系统化，在解 决空间中平行关系问题存在固化的程序操作，不能灵活应用。 基于上述情况我以一个题干为基础，以一系列存在性问题为任 务驱动方式，引导学生建立平行关系转化的思维路径。让所有 学生体会动态分析辅助线或面的思维过程，从而掌握解决复杂 背景下空间中平行关系的一般方法。
一.提出问题
《普通高中数学课程标准》在课程“基本理念”中提出了”高 中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精 神和创新意识，提升数学学科核心素养”的课程理念。通过高中数 学课程的学习，进一步提升数学素养，促进全面、可持续发展。数 学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展 需要的人的关键能力与思维品质。数学学科核心素养的内涵包括数 学核心知识、核心能力、核心品质。主要由数学抽象、逻辑推理、 数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面组成，这些 数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。数学 核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中 逐步形成的。数学课堂是学生学习数学的主阵地，怎样在课堂教学 中培养学生的数学核心素养呢？下面我以空间中平行关系复习课的
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• 问题3：在PA上是否存在一点F,使得DF//面PBC ?
• 生：思考、讨论、交流不同做法
• 师：引导所有学生经历如下思维过程：
• 方法一：提取主要研究对象，点D及平面PBC。DF在平面PAD上动，平 面PAD与平面PBC相交。问题转化为相交面中有一个定点，过定点做一 条线//已知面，由前面的铺垫，学生可想到做线平行于交线。
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• a//b
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• a//β
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• 设计意图：使学生经历由线//线得到线//面，再过其中一条线做平面找 交线进而推出另一组线//线的思维过程，让学生体会构建线线平行是借 助平面来实现的。为下面的问题做好铺垫。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P
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C
A
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问题2：在PB上是否存在一点E,使得PD//平面ACE?请说明理由.
设计意图：进一步强化学生对空间中位置关系的认识，进一步体会不同 维度平行的转换，深化动态分析的思维方法。让学生学有所用，培养学 生思考分析问题的能力及严谨的思维习惯。
三、感悟与反思
抽象概括能力、直观想象能力、运算能力、推理论证能力、数学 建模能力、数据分析处理能力等构成高中数学的核心素养。这些 数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。数 学核心素养的提升是一个长期工程，不仅在中学，乃至从小学一 直到大学都需要提升。不是某节课提升某种素养，而是根据教学 内容的不同或不同课型有所侧重。一节课中六大核心素养都有可 能涉及，有些素养在一般课堂中都应注意提升，如数学运算、逻 辑推理等。总之，在中国学生发展核心素养统领下的新一轮课程 改革已全面启动，如何在课堂教学中提升学生的数学核心素养， 已成为摆在我们每一位数学教师面前的光荣使命，与其消极观望， 不如积极实践
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问题4：四棱锥，若四棱锥底面两两不平行， E为PB上一定点，过点E与 四棱锥四条侧棱都相交的截面中能否有平行四边形截面？ 师追问：有几个？唯一性能否说明
学生独立思考后讨论交流，学生回答，关注学生是否用到这节课的思想 来解析平行四边形的存在性。
师：由前面几个问题的铺垫，学生用动态分析几何问题的思维初步形成， 学生能想到过E作作交线的平行线，转动中必有相等且交线唯一，进一步 明确平行四边形的唯一性。
• 方法三：抛开局限我们的面与平面PBC平行的线有无数条，线动成面， 引导学生构造面面平行推线面平行。
小结：1、存在性问题的解题策略先假设存在 2、构造线面平行的方法 依据线线平行或面面平行，线面的切入点都是先找线线平行， 线线平行需借助平面 3 、动态分析构造辅助线或面 设计意图：让所有学生经历思维过程，复习课不是只给会的 学生讲，要让所有同学掌握不同背景下解决问题的通法。复 杂背景下学会提取主要研究对象，再依据转化的思维路径， 借助假设存在明确方向，从而解决问题。进一步体会三种平 行关系之间的内在联系。
• 提出本节课研究对象：如图 :四棱锥P--ABCD的底面 ABCD 中,AB//CD
• AB=3,CD=2 • 分析：图中你还能找到哪些平行关系？ • 生： AB//面PCD CD//面PAB • 问题1：若平面PAB与PCD的交线是l，试判断直线l与直线AB的位置关
系，你能证明吗？ • 生： l / / AB ，学生分析完成，板书 • 小结：归纳已知一组线线平行推导另一组线线平行的方法：
• 方法二：假设存在，提取研究对象一条线和一个面PBC,有假设能得到什 么？过这条线做一个面与已知平面PBC相交，过一个点作平面不好做， 观察点C在已知平面内，沿DC转动平面,与平面PAB交线MF，且始终与 CD平行，利用动态函数的观点MF从AB到0，一定存在与CD相等的情况， 从而得到平行四边形DFMC,与平面PAD交线为所求。
生：可以感知存在但具体位置找有困难
师：引导学生观察直线PD、AC为定直线,位置关系为异面，直观 感知过绕AC转动的平面中一定存在与PD平行的平面，假设存在线 //面故转化为构造线//交线。引导学生动态分析过PD的平面有 PAD、PDB、PDC等,其中平面PDB与平面ACE交线最直观。
设计意图： 学生直观感知存在，让每个学生在大脑中经过动态操作，通 过假设存在明确方向，体会线平行与面的性质可以作为构图 的工具。
教学设计为例说明我在课堂中是如何渗透数学的核心素养的。
二.问题解决
• 空间中的平行关系是空间几何学的基础，也是培养学生推理论 证,几何直观能力的重要素材。高三学生对空间中平行关系的相 关概念和定理的掌握有所差异，同时缺乏知识的系统化，在解 决空间中平行关系问题存在固化的程序操作，不能灵活应用。 基于上述情况我以一个题干为基础，以一系列存在性问题为任 务驱动方式，引导学生建立平行关系转化的思维路径。让所有 学生体会动态分析辅助线或面的思维过程，从而掌握解决复杂 背景下空间中平行关系的一般方法。