选修4-4 坐标系与参数方程

六.特殊曲线的极坐标方程
曲线
圆心在极点 , 半径为 的圆 圆心为(r,0) ,半径为 r
图形
极坐标方程
r (0 2 )
2r cos ( ) 2 2
的圆
圆心为 ( r , 为 r的圆

2
) ,半径
2r sin (0 )
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（通常取逆时针方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
三、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 极坐标。 M
二.参数方程和普通方程的互化
1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式,一般 可以通过消去参数而从参方程得到普通方程. 2.如果知道变数x,y 中的一个与参数t的关系,例如 x=f(t),把它 代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t) ,那么
x f (t ) y g (t )
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM=
M
2、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（－3，/4）
M
P X P
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的上取一点M，使 OM= 3
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点 M，使OM= 3
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
双曲线的参数方程
x y - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
2 2
y a A B' o B b

•M
A' x
x a sec (为参数) y b tan
P M X P O X
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
四、极坐标系下点与它的极坐标的 对应情况
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。 [2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。
过极点,倾斜角为
的直线
(1) ( R)huo ( R) (2) ( 0)he ( 0)
过点 ( a , 0) ,与 极轴垂直的直线
cos a (

2


2
)
过点 2 ,与极轴 平行的直线

O X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到 极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即 以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在 某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）为负极径时的规定：
P
[1]作射线OP，使XOP=
O
X
选修4-4： P36例1，P37例2
2.椭圆的参数方程 1 .参数方程
x a cos
y b sin
（φ为参数） 是
椭圆的参数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
2.椭圆的参数方程（a>b）
x y 2 1, 2 a b x y 2 1, 2 b a
2 2
2
2
x a cos （φ为参数） y b sin x b cos （φ为参数） y a sin
中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的 x x0 a cos （φ为参数） 参数方程是 y y0 b sin
其中φ称为离心角,规定参数φ的取值范围是 [0ຫໍສະໝຸດ 2 )3.抛物线的参数方程
y M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R) y 2pt.
o

H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
P M O (ρ,θ)… X
原因在于：极角有无数个。
注意：①一般地,若(ρ,θ)是一点的极 坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π] 都可以作为它的极坐标. ②如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
五:极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐 标是 (ρ,θ)
3 通常规定 [o,2 )且 ， 。 2 2
说明：
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程

x x0 t cos (t为参数) 为 y y0 t sin
。
4.参数t的几何意义
直线参数方程中参数的几何意义：t表示直线l上以 定点 M 0 为起点，任一点 M ( x, y) 为终点的有向线段 M0 M 的数量 当点 M ( x, y) 在 M 0 上方时， t＞0；当点 在 下方时， t＜0; 当点 与 重合时， t=0。 我们也可以把参数 t理解为以 M 0 为原点，直线l 向上的方 向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角 坐标系中的单位长度相同。
就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y 的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一. 应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果 用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同. 。
三.特殊曲线的参数方程
1.圆的参数方程 x2+y2=r2
( a, )

sin a(0 )
一.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y 都是某个变数t 的函数
x f (t ) ① y g (t )
并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M(x,y) 在这 曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数x,y的变数 t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而 言,直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程.
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos （θ为参数） y r sin
x a r cos （θ为参数） y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的联系。
1.极坐标转化为直角坐标公式： x=ρcosθ, y=ρsinθ
2.直角坐标转化为极坐标公式： y 2 ρ = x2 + y2，tanθ= (x≠0) x
注意：互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度单位相同.
一、平面直角坐标中的坐标伸缩变换：
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
x x : y y
的作用下,点P(x,y)对应到点
( 0) ( 0)
P( x, y)
则称 换.

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变
二、极坐标系的建立：
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
4.直线的参数方程（重点）
经过点M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为 ( ) 的直线l的普通方 2 y y tan ( x x ), 程是 0 0 而过 M 0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 ( ) 的直线l的参数方程 2
O
M
O
X
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角 找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值 在这条射线或其反向延长线上描点。
3、负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射 线OP“反向延长”。 而反向延长也可以看成 是旋转 ，因此，所谓“负 极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致， 用“负”表示“反向 ”。 M O