遗传算法及其在路径规划中的应用
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（2）种群（群体）：所有个体的集合（population）。 （3）种群规模：种群中个体的数量称为种群规模（population size）。 （4）基因：个体中的每一位称为一个基因（gene）。 （5）适应度函数：能够评价个体对环境适应能力的函数 （fitness function）。
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2013年10月31日6时47分
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1.1.3 遗传算法应用引例 2 例：求 f ( x) x , x [0, 31] 的最大值。 解：（1）编码方式的确定 采用五位二进制代码表示变量x。 （2）初始种群的产生 设种群规模N=4，随机产生初始种群如表1所示。 表1 产生的初始种群
标号 1 2 3 4
交叉前 交叉后
individual 1
11001 11001 01010 00110
11001 00110 01010 11001
individual 2
图2 单点交叉
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②两点交叉（Two-Point Crossover） 按交叉概率随机设置两个交叉点，然后交换两个父代个体 在两个交叉点之间的基因。
表5 变异操作过程
标号 1 交叉后 的种群 01000 变异点位置 3 / / /
新种群
01100
x值 12
25 29 18
f (x)=x2 144 625 841 324 1934 483.5 841
2 3 4
11001 11101 10010
11001 11101 10010 总 计
平均值 最大值
3
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1.1 遗传算法的基本概念 1.1.1 进化的基本理论 （1）Darwin生物进化论 （2）Mendel自然遗传学说 1.1.2 遗传算法术语简介
（1）个体（染色体）：遗传算法求解实际问题时，首先对待 优化问题的参数进行编码（一般采用二进制码串表示），从而 得到一个字符串，该字符串被称为一个个体（individual ）或 一个染色体（chromosome）。
576 64 361 1170
292.5 576
1.00
1.97
0.492
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（5）交叉
采用随机交叉配对，一点交叉方式进行交叉。 表4 交叉操作过程
交叉点 配对对象 复制后匹配 新种群 标号 池中的个体 （随机选取） （随机选取） 1 01101 3 3 5 3 5 01000
遗传算法及其在路径规划 中的应用
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参考书目：
（1）周德俭，吴斌. 智能控制. 重庆：重庆大学出 版社，2005 （2）李少远，王景成. 智能控制. 北京：机械工业 出版社，2005 （3）李人厚. 智能控制理论和方法. 西安：西安电 子科技大学出版社，1999 （4）王顺晃，舒迪前. 智能控制系统及其应用（第 二版）. 北京：机械工业出版社，2005
（1）采用二进制形式编码，个体的位数多，描述得比较 细致，从而加大了搜索范围；但交叉运算的计算量较大，并且 由于大量的具体问题本身都是十进制的，所以还需对实际参数 进行编码和译码，从而增加了额外的计算时间。 （2）采用实数（浮点数）编码，交叉运算的计算量较小， 但变异过程难于进行。 （3）符号编码方式通常在一些专门的应用场合使用。
x值 8
25 29 18
f (x)=x2 64 625 841 324 1854 463.5 841
2 3 4
11000 11000 10011
4 1 2 总 计
平均值 最大值
11001 11101 10010
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（6）变异 采用单点随机变异方式进行变异操作。
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③对于最大化问题（如需要），一般采用如下转换形式：
J ( x) cmin f ( x) 0
当J ( x) cmin 0 其它
其中，cmin既可以是当前代中目标函数 J(x) 的最小值，也可以根 据经验人为设定。 ④采用如下的指数函数形式：
适应度
f (x)=x2 169
复制概率
fi
f
期望的复制 数
i
fi fi
实际得到 的复制数 1 2 0 1 4 1 2
0.144 0.492 0.055 0.309 1.000 0.25
0.58
1.97 0.22 1.23 4.00
2 3 4
11000 01000 10011 总 计
平均值 最大值
24 8 19
其中，a，b是系数，可根据具体问题的特征及所期望适应度的 分散程度来确定。 ②对于最小化问题，一般采用如下转换形式：
cmax J ( x) f ( x) 0
当 J ( x) cmax 其它
其中，cmax既可以是到目前为止所有进化代中目标函数 J(x) 的 最大值（此时cmax将随着进化而有所变化），也可以根据经验 人为设定。
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交叉前
交叉后
individual 1 template individual 2
0101100110 1001010101 0110010001
0100110011
0111000100
图4 均匀交叉 ④算数交叉（Arithmetic Crossover） 算数交叉的操作对象一般是由浮点数编码所表示的个体， 它通过两个父代个体的线性组合而产生出两个新的个体。 t 假设在两个父代个体 X A ， B 之间进行算数交叉，则交叉运 Xt 算后所产生出的两个新个体是
11000 01000 10011
适应度值
x值
13 24 8 19
f (x)=x2
169
576 64 361
总 计
平均值 最大值
6
1170
292.5 576
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（4）复制 采用赌轮法计算各个个体被复制的次数。
表3 复制操作过程
标号 初始种群 x值 1 01101 13
f ( x) c J ( x )
在最大化问题时，c一般取1.618或2；而在最小化问题时， c可取为0.618。这样，既保证了适应wenku.baidu.com值非负，又使适应度值 增大方向和目标函数优化方向一致。
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（4）复制（选择）（Reproduction or Selection） 复制是基于适者生存理论而提出的，是指种群中每一个体 按照适应度函数进入到匹配池中的过程。适应度值高于种群平 均适应度的个体在下一代中将有更多的机会繁殖一个或多个后 代，而低于平均适应度的个体则有可能被淘汰掉。复制的目的 在于保证那些适应度高的优良个体在进化中生存下去，复制不 会产生新的个体。常用的复制方法有： ①赌轮法 ②两两竞争法 从种群中随机地选择两个个体，将其中适应度较大的个体 作为被复制的个体；若两个体适应度相同，则任意选择一个。 ③排序法 首先根据目标函数值的大小将个体排序，根据具体问题应 用各个体的排序序号分配各自进入匹配池的概率。适应度可以 按序号线性变化，也可以按某种非线性关系变化。
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（2）初始种群的产生 初始种群对应着问题的初始解，通常有两种方式产生： ①完全随机方式产生（字符串每一位均随机产生）； ②随机数发生器方式产生（整个字符串用随机数发生器一 次产生）。 另外，如果对于寻优问题有某些先验知识，则可先将这些 先验知识转变为必须满足的一组约束，然后再在满足这些约束 的解中随机地选取个体以组成初始种群。 （3）适应度函数的确定 适应度函数是遗传算法与实际优化问题之间的接口。在遗 传算法中要求适应度函数值是非负的，且任何情况下都希望其 值越大越好；而实际优化问题的目标函数并不一定满足这个条 件，有的是正的，有的可能为负，甚至可能是复数值。因此， 对于任意优化问题，首先应把其数学形式表示为遗传算法适于 求解的形式，同时要保证二者在数学优化层面上是等价的。这 个过程称为适应度转换。
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1 遗传算法产生的背景
20世纪60年代，美、德等国家的一些科学家开始模仿生物 和人类进化的方法来求解复杂优化问题，从而形成了模拟进化 优化方法（Optimization Method by Simulated Evolution）， 其代表性方法有遗传算法（GA：Genetic Algorithms）、进化 规划（EP：Evolutionary Programming）、进化策略（ES： Evolutionary Strategies）。本讲将主要对GA进行详细介绍。 常规的数学优化技术基于梯度寻优技术，计算速度快，但 要求优化问题具有可微性，且通常只能求得局部最优解；而模 拟进化方法无可微性要求，适用于任意的优化问题，尤其适用 于求解组合优化问题以及目标函数不可微或约束条件复杂的非 线性优化问题。由于它们采用随机优化技术，所以会以较大的 概率求得全局最优解。其计算费用较高的问题也因计算机软硬 件技术的飞速发展而不再成为制约因素。
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1.2 遗传算法的基本步骤 1.2.1 遗传算法的流程
确定表示问题解的编码
随机生成初始种群 确定适应度函数f 计算种群中各个体的适应度 fi 选择高适应度的个体进行复制 交叉 变异
是否满足收敛判据？ 否
是 输出最优解
图1 遗传算法的基本流程图
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1.2.2 遗传算法的具体实现 （1）编码方式的选取 利用遗传算法求解实际问题时，问题的解是用字符串来表 示的，遗传算子也是直接对字符串进行操作的。因此，如何用 适当的字符串编码来表示问题的解成为了遗传算法应用过程中 的首要问题。 目前所使用的字符串编码方式主要有：二进制、实数（浮 点数）和符号等。
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初始种群 01101 11000 01000 10011
x值 13 24 8 19
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（3）适应度函数值的计算 取适应度函数为f (x)=x2，则4个样本的适应度值分别如下 表所示。 表2 适应度函数计算
标号 1
2 3 4
初始种群 01101
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（5）交叉（Crossover） 交叉是指对从匹配池中随机选出的两个个体按一定的交叉 概率 pc 部分地交换某些基因的过程。一般分两步实现：第一步 是将新复制产生的匹配池中的个体随机两两配对；第二步是进 行交叉繁殖，产生一对新的个体。交叉的目的是为了生成新的 个体，产生新的基因组合，避免每代种群中个体的重复。 ①单点交叉（One-Point Crossover） 对每一对相互配对的个体，依设定的交叉概率pc在其交叉 点处相互交换两个父代个体的部分染色体，从而产生出两个新 的个体，如下图所示。
交叉前 交叉后
individual 1 individual 2
11 01011 000 10 10110 101
11 10110 000 10 01011 101
图3 两点交叉
③均匀交叉（Uniform Crossover） 其操作过程是：先选出两个父代个体，之后依据交叉概率 pc 产生一个与父代个体同样长度的二进制串，这里称其为模板 （template）。若模板中的某位为0，则两个父代个体对应位不 进行交换；反之，模板中的某位为1时，则交换两个父代个体 对应位的基因。
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适应度转换首先要保证适应度值是非负的，其次要求目标 函数的优化方向应与适应度值增大的方向一致。设实际优化问 题的目标函数为J(x)，遗传算法的适应度函数为f(x)，则有： ①可以将适应度函数表示为实际优化问题目标函数的线性 形式，即有 f ( x) a J ( x) b
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1.1.3 遗传算法应用引例 2 例：求 f ( x) x , x [0, 31] 的最大值。 解：（1）编码方式的确定 采用五位二进制代码表示变量x。 （2）初始种群的产生 设种群规模N=4，随机产生初始种群如表1所示。 表1 产生的初始种群
标号 1 2 3 4
交叉前 交叉后
individual 1
11001 11001 01010 00110
11001 00110 01010 11001
individual 2
图2 单点交叉
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②两点交叉（Two-Point Crossover） 按交叉概率随机设置两个交叉点，然后交换两个父代个体 在两个交叉点之间的基因。
表5 变异操作过程
标号 1 交叉后 的种群 01000 变异点位置 3 / / /
新种群
01100
x值 12
25 29 18
f (x)=x2 144 625 841 324 1934 483.5 841
2 3 4
11001 11101 10010
11001 11101 10010 总 计
平均值 最大值
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1.1 遗传算法的基本概念 1.1.1 进化的基本理论 （1）Darwin生物进化论 （2）Mendel自然遗传学说 1.1.2 遗传算法术语简介
（1）个体（染色体）：遗传算法求解实际问题时，首先对待 优化问题的参数进行编码（一般采用二进制码串表示），从而 得到一个字符串，该字符串被称为一个个体（individual ）或 一个染色体（chromosome）。
576 64 361 1170
292.5 576
1.00
1.97
0.492
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（5）交叉
采用随机交叉配对，一点交叉方式进行交叉。 表4 交叉操作过程
交叉点 配对对象 复制后匹配 新种群 标号 池中的个体 （随机选取） （随机选取） 1 01101 3 3 5 3 5 01000
遗传算法及其在路径规划 中的应用
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参考书目：
（1）周德俭，吴斌. 智能控制. 重庆：重庆大学出 版社，2005 （2）李少远，王景成. 智能控制. 北京：机械工业 出版社，2005 （3）李人厚. 智能控制理论和方法. 西安：西安电 子科技大学出版社，1999 （4）王顺晃，舒迪前. 智能控制系统及其应用（第 二版）. 北京：机械工业出版社，2005
（1）采用二进制形式编码，个体的位数多，描述得比较 细致，从而加大了搜索范围；但交叉运算的计算量较大，并且 由于大量的具体问题本身都是十进制的，所以还需对实际参数 进行编码和译码，从而增加了额外的计算时间。 （2）采用实数（浮点数）编码，交叉运算的计算量较小， 但变异过程难于进行。 （3）符号编码方式通常在一些专门的应用场合使用。
x值 8
25 29 18
f (x)=x2 64 625 841 324 1854 463.5 841
2 3 4
11000 11000 10011
4 1 2 总 计
平均值 最大值
11001 11101 10010
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（6）变异 采用单点随机变异方式进行变异操作。
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③对于最大化问题（如需要），一般采用如下转换形式：
J ( x) cmin f ( x) 0
当J ( x) cmin 0 其它
其中，cmin既可以是当前代中目标函数 J(x) 的最小值，也可以根 据经验人为设定。 ④采用如下的指数函数形式：
适应度
f (x)=x2 169
复制概率
fi
f
期望的复制 数
i
fi fi
实际得到 的复制数 1 2 0 1 4 1 2
0.144 0.492 0.055 0.309 1.000 0.25
0.58
1.97 0.22 1.23 4.00
2 3 4
11000 01000 10011 总 计
平均值 最大值
24 8 19
其中，a，b是系数，可根据具体问题的特征及所期望适应度的 分散程度来确定。 ②对于最小化问题，一般采用如下转换形式：
cmax J ( x) f ( x) 0
当 J ( x) cmax 其它
其中，cmax既可以是到目前为止所有进化代中目标函数 J(x) 的 最大值（此时cmax将随着进化而有所变化），也可以根据经验 人为设定。
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交叉前
交叉后
individual 1 template individual 2
0101100110 1001010101 0110010001
0100110011
0111000100
图4 均匀交叉 ④算数交叉（Arithmetic Crossover） 算数交叉的操作对象一般是由浮点数编码所表示的个体， 它通过两个父代个体的线性组合而产生出两个新的个体。 t 假设在两个父代个体 X A ， B 之间进行算数交叉，则交叉运 Xt 算后所产生出的两个新个体是
11000 01000 10011
适应度值
x值
13 24 8 19
f (x)=x2
169
576 64 361
总 计
平均值 最大值
6
1170
292.5 576
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（4）复制 采用赌轮法计算各个个体被复制的次数。
表3 复制操作过程
标号 初始种群 x值 1 01101 13
f ( x) c J ( x )
在最大化问题时，c一般取1.618或2；而在最小化问题时， c可取为0.618。这样，既保证了适应wenku.baidu.com值非负，又使适应度值 增大方向和目标函数优化方向一致。
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（4）复制（选择）（Reproduction or Selection） 复制是基于适者生存理论而提出的，是指种群中每一个体 按照适应度函数进入到匹配池中的过程。适应度值高于种群平 均适应度的个体在下一代中将有更多的机会繁殖一个或多个后 代，而低于平均适应度的个体则有可能被淘汰掉。复制的目的 在于保证那些适应度高的优良个体在进化中生存下去，复制不 会产生新的个体。常用的复制方法有： ①赌轮法 ②两两竞争法 从种群中随机地选择两个个体，将其中适应度较大的个体 作为被复制的个体；若两个体适应度相同，则任意选择一个。 ③排序法 首先根据目标函数值的大小将个体排序，根据具体问题应 用各个体的排序序号分配各自进入匹配池的概率。适应度可以 按序号线性变化，也可以按某种非线性关系变化。
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（2）初始种群的产生 初始种群对应着问题的初始解，通常有两种方式产生： ①完全随机方式产生（字符串每一位均随机产生）； ②随机数发生器方式产生（整个字符串用随机数发生器一 次产生）。 另外，如果对于寻优问题有某些先验知识，则可先将这些 先验知识转变为必须满足的一组约束，然后再在满足这些约束 的解中随机地选取个体以组成初始种群。 （3）适应度函数的确定 适应度函数是遗传算法与实际优化问题之间的接口。在遗 传算法中要求适应度函数值是非负的，且任何情况下都希望其 值越大越好；而实际优化问题的目标函数并不一定满足这个条 件，有的是正的，有的可能为负，甚至可能是复数值。因此， 对于任意优化问题，首先应把其数学形式表示为遗传算法适于 求解的形式，同时要保证二者在数学优化层面上是等价的。这 个过程称为适应度转换。
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1 遗传算法产生的背景
20世纪60年代，美、德等国家的一些科学家开始模仿生物 和人类进化的方法来求解复杂优化问题，从而形成了模拟进化 优化方法（Optimization Method by Simulated Evolution）， 其代表性方法有遗传算法（GA：Genetic Algorithms）、进化 规划（EP：Evolutionary Programming）、进化策略（ES： Evolutionary Strategies）。本讲将主要对GA进行详细介绍。 常规的数学优化技术基于梯度寻优技术，计算速度快，但 要求优化问题具有可微性，且通常只能求得局部最优解；而模 拟进化方法无可微性要求，适用于任意的优化问题，尤其适用 于求解组合优化问题以及目标函数不可微或约束条件复杂的非 线性优化问题。由于它们采用随机优化技术，所以会以较大的 概率求得全局最优解。其计算费用较高的问题也因计算机软硬 件技术的飞速发展而不再成为制约因素。
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1.2 遗传算法的基本步骤 1.2.1 遗传算法的流程
确定表示问题解的编码
随机生成初始种群 确定适应度函数f 计算种群中各个体的适应度 fi 选择高适应度的个体进行复制 交叉 变异
是否满足收敛判据？ 否
是 输出最优解
图1 遗传算法的基本流程图
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1.2.2 遗传算法的具体实现 （1）编码方式的选取 利用遗传算法求解实际问题时，问题的解是用字符串来表 示的，遗传算子也是直接对字符串进行操作的。因此，如何用 适当的字符串编码来表示问题的解成为了遗传算法应用过程中 的首要问题。 目前所使用的字符串编码方式主要有：二进制、实数（浮 点数）和符号等。
5
初始种群 01101 11000 01000 10011
x值 13 24 8 19
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（3）适应度函数值的计算 取适应度函数为f (x)=x2，则4个样本的适应度值分别如下 表所示。 表2 适应度函数计算
标号 1
2 3 4
初始种群 01101
15
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（5）交叉（Crossover） 交叉是指对从匹配池中随机选出的两个个体按一定的交叉 概率 pc 部分地交换某些基因的过程。一般分两步实现：第一步 是将新复制产生的匹配池中的个体随机两两配对；第二步是进 行交叉繁殖，产生一对新的个体。交叉的目的是为了生成新的 个体，产生新的基因组合，避免每代种群中个体的重复。 ①单点交叉（One-Point Crossover） 对每一对相互配对的个体，依设定的交叉概率pc在其交叉 点处相互交换两个父代个体的部分染色体，从而产生出两个新 的个体，如下图所示。
交叉前 交叉后
individual 1 individual 2
11 01011 000 10 10110 101
11 10110 000 10 01011 101
图3 两点交叉
③均匀交叉（Uniform Crossover） 其操作过程是：先选出两个父代个体，之后依据交叉概率 pc 产生一个与父代个体同样长度的二进制串，这里称其为模板 （template）。若模板中的某位为0，则两个父代个体对应位不 进行交换；反之，模板中的某位为1时，则交换两个父代个体 对应位的基因。
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适应度转换首先要保证适应度值是非负的，其次要求目标 函数的优化方向应与适应度值增大的方向一致。设实际优化问 题的目标函数为J(x)，遗传算法的适应度函数为f(x)，则有： ①可以将适应度函数表示为实际优化问题目标函数的线性 形式，即有 f ( x) a J ( x) b