高中数学复习数列求和裂项相消法

裂项相消法求和

把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：

1

11)1(1+-=+n n n n

)1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=⋅

)!

1(1

!1)!1(+-=+n n n n

例1 求数列1

{}(1)

n n +的前n 和n S ．

例2 求数列1

{}(2)

n n +的前n 和n S ．

例3 求数列1

{}(1)(2)

n n n ++的前n 和n S ．

例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

例5：求数列311⨯，421⨯，5

31

⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S

例6、 求和)

12)(12()2(5343122

22+-++⋅+⋅=n n n S n

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

111

21

3333n n n n n a a +++=++

， 则

11121

3333

n n n n n a a +++-=+，故 11223211

2232

111122122()()()(

)33333

333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223n n n n n

a n n ---=++=+-

-⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 练习

1.已知数列{}n a 的首项为

1，且

*12()

n n a a n n N +=+∈写出数列

{}n a 的通项公式.

答案：12

+-n n

练习2.已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

n a n 1

2-

=

评注：已知a a =1,)

(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分

a