高中数学复习课件-2.参数方程的概念和圆的参数方程

例4、将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x sin
(2)
y
cos2
(3)
x t1 t
y
t2
1 t2
答案（1）（x 2）2 y2 9 （2） y 1 2x2 (1 x 1) （3） x2 y 2（x 2或x 2）
小 结: 1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化 4、求轨迹方程的三种方法：⑴相关点点问题 （代入法）； ⑵参数法；⑶定义法
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x
轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA
中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y),
y P M
由中点坐标公式得:
O
Ax
点P的坐标为(2x-12,2y)
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
y
r
sin
(为参数)
思考 :圆心为O1(a,b)、半径为r的圆的标准方程 为(x a)2 ( y b)2 r2,那么参数方程是什么呢?
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以
看作由圆心为原点O、半径为r的圆 5
平移得到,设圆O1上任意一点P(x, y)
(a,b)
O1
P(x,y)
是圆O上的点P1 (x1, y1)平移得到的, 由平移公式, 有
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16
y P M
的参数方程为 x =4cosθ
O
Ax
y =4sinθ
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
例3、已知点P(x，y)是圆x2 y2 6x 4 y 12 0上动点，
求（1）x2 y2的最值; 14 2 13
（2）x y的最值; 5 2
（3）P到直线x y 1 0的距离d的最值. 2 2 1
5、求最值
知识准备：
1、圆的标准方程与一般方程 (x－a)2+ (y－b)2=r2
展开
配方
x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
y
2、任意角三角函数的定义：
r=|OP|
P (x,y)
则：sin y , cos x
r
r
O
x
y
M(x,y)
r
o
x
圆x2+ y2=r2对应的参数方程：
x r cos
y
2 cosθ 2 sinθ
表示圆心为（2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 22 y 22 1
( 2 )把圆方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
x 1 2 cosθ
y
2
2
sinθ
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA 中点M的轨迹是什么?
解：x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程，
（x 1）2 （y 3）2 1.
∴参数方程为 练习：
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
1.填空：已知圆O的参数方程是
x y
5cosθ 5sinθ
(0
θ
2π )
⑴如果圆上点P所对应的参数θ
5π
3
则点P的坐标是 __52_,__5_2_3
圆心：（a,b）
x a r cos 半径r
y
b
r
sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系.
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系.
例1.已知圆的方程为x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方 程？
2
如果圆上点Q所对应的坐标是
2
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数 等于___3____
2.选择题：参数方程
x y
2 cos(θ为参数)表示的曲线是 2 sin
A
A.圆心在原点,半径为2的圆
B.圆心不在原点,但半径为2的圆 C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题 :
(1)参数方程
xFra Baidu bibliotek
C 的位置关系；
（2）已知点M3（6，a）在曲线 C 上，求 a 的 值.
练习
1、曲线
x 1t2
, (t为参数）
与
x 轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程
x y
sin cos
,
(为参数）
所表示的曲线上一点的坐标是
（D ）
A、（2，7）；B、(1 , 2); 33
C、(1 , 1 ); 22
D、（1，0）
3、已知曲线C的参数方程是
x y
1 2t at2.
,
(t为参数,a
R
)
点M(5,4)在该 曲线上.
（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.
圆的参数方程
求参数方程的步骤: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标(x,y) (2)选取适当的参数 (3)建立点P坐标与参数的函数式
参数方程的概念
概念分析
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y 都是某个变数t 的函数 x f (t),
y
g(t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x,y) 都 在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数.
v(a,b)
r P1(x1, y1)
x y
x1 y1
a b
-5
o
5
又
x1 y1
r r
cosθ sinθ
x a r cos
所以
y
b
r
sin
-5
参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
(x a)2 ( y b)2 r 2
x r cos
圆心：（0,0） 半径r
y r sin
1、相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程；
2、参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几 何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
例题分析
例1、 已知曲线 C 的参数方程是
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线