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往年考研数学试题及答案

往年考研数学试题及答案一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x)=x^2-2x+3，下列哪个选项是f(x)的导数？A. 2x-2B. x^2-2C. 2x-1D. 2x+3答案：A2. 已知等差数列的首项为a1=2，公差为d=3，求第5项的值。

A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A二、填空题1. 若函数g(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极值，则g'(2)的值为______。

答案：-12. 某工厂生产的产品，其成本函数为C(x)=50+0.1x^2，其中x表示产品数量。

若要使利润最大化，产品数量x应为______。

答案：200三、解答题1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x+1成立。

证明：令函数h(x) = e^x - (x + 1)，则h'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，h'(x) < 0，说明h(x)在x < 0时是递减的。

当x > 0时，h'(x) > 0，说明h(x)在x > 0时是递增的。

由于h(0) = e^0 - 1 = 0，所以对于所有x，h(x) ≥ 0，即e^x ≥ x + 1。

2. 已知曲线y = x^2与直线y = 4x在点(2,8)处相切，求曲线y =x^2在点(2,8)处的切线斜率。

解：曲线y = x^2的导数为y' = 2x。

将点(2,8)的横坐标x=2代入导数公式，得到切线斜率k = 2 * 2 = 4。

四、计算题1. 计算定积分∫[0,1] (2x - 3) dx。

解：根据定积分的计算法则，我们有：∫[0,1] (2x - 3) dx = [x^2 - 3x] (从0到1) = (1 - 3) - (0 - 0) = -2。

2. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在x=1处的切线方程。

解：首先求导数：y' = 3x^2 - 12x + 9。

(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ）（A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ）（A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一（C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。

考研数学一真题(WORD清晰版)

2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。

考研数学专业试题及答案

考研数学专业试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim(x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 0，则f(x)在x=a处存在（）A. 极大值B. 极小值C. 拐点D. 导数3. 对于函数F(x) = ∫(0到x) t^2 dt，其不定积分F(x)为（）A. x^3/3B. x^3C. x^2/2D. x^24. 以下哪个级数是收敛的？（）A. ∑(n=1到∞) (1/n)B. ∑(n=1到∞) (1/n^2)C. ∑(n=1到∞) (1/n^3)D. ∑(n=1到∞) (n/(n^2 + 1))5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) = λ^k/k! e^(-λ)，k=0,1,2,...。

则E(X)等于（）A. λB. λ^2C. e^λD. 1/λ6. 对于二阶常系数线性微分方程y'' - 2y' + y = 0，其通解为（）A. y = c1*e^x + c2*e^(2x)B. y = c1*e^x + c2*e^(-x)C. y = c1 + c2*e^xD. y = c1*cos(x) + c2*sin(x)7. 在平面直角坐标系中，曲线y^2 = 4x的渐近线方程是（）A. x = ±yB. x = ±2yC. y = ±2xD. y = ±(1/2)x8. 设矩阵A为3阶矩阵，|A| = 2，则A的伴随矩阵的行列式为（）A. 1/2B. 4C. 8D. 169. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，根据拉格朗日中值定理，可以断言在(a,b)内存在至少一个点ξ，使得（）A. f'(ξ) = 0B. f(ξ) = 0C. f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)D. f(ξ) = (ξ - a)/(b - a)[f(b) - f(a)]10. 在复平面上，复数z = 1 - i与z = 1 + i分别对应点Z1和Z2，那么|Z1 - Z2|等于（）A. 2B. 2√2C. √2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间(1,2)内单调递增，则f'(x)在该区间内________。

历年考研数一真题及答案

历年考研数一真题及答案【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2???2无解,则a= ???????x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为n?1(a)??(?1)nun (b)??u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分) 1求lim(2?exx??4?sinx).1?exx四、(本题满分5分) 设z?f(xy,xy)?g(xy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0?f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xnn?13n?(?2)nn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?y??. ?n(1)求??xn?1?与??xn?的关系式并写成矩阵形?y?n?1??y?n?式:??xn?1??xn?y??a???. n?1??yn??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1??2?时,求??y?????xn?1??. 1???1??yn?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0x1,x2,,其中??0为未知参数.又设,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇二：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(word版)】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)1,a发生b不发生的概率与b发生a不发9(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有 (a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(c)e(x2)?e(y2)三、(本题满分6分)(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xsx?0?(f)x?dyd(z)x?2xyfex?dzd0x,f(x)在z(0,d??x)内具有连续的一阶导数dy其中函数,且limf(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两?个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300100?0??,?1?1且aba?ba?3e,其中e为4阶单位矩阵,求0??8?矩阵b.十一、(本题满分8分)1熟练工支援其他生产部62门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第5某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn?1??xn??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式:?a???????.?yn?1??yn??yn?1??yn??xn??. ?yn?(1)求??4???1??1??1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求??.y1y?1????n?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.2(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy(b)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}(c)曲线z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}y?0z?f(x,y)(d)曲线在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}y?0(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?f(1?cosh)(a)lim存在2h?0h(c)limh?0f(1?eh)(b) lim存在h?0h(d)limh?0f(h?sinh)存在h2111111111??4??1?0,b???01???1??00000000f(2h)?f(h)存在h?1?(4)设a??1?1??10??0?,则a与b 0??0?(a)合同且相似 (c)不合同但相似(b)合同但不相似 (d)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则x和y相关系数为(a) -1 (c)(b)0 (d)11 2三、(本题满分6分)arctanex. 求?e2x四、(本题满分6分)【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2015)】1987-2014 （经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.1?x(3)与两直线y??1?tz?2?t及x?1y?2z?11?1?1都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设l为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分??l(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分) 求正的常数a与b,使等式lim1x2x?0bx?sinx?0?1成立.三、(本题满分7分)1(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?x,?v?x. (2)设矩阵a和b满足关系式ab=a?2b,其中?301?a???110?,求矩阵 ?4?b.?01??四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取得极大值(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)为已知连续函数s,i?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则i的值(a)依赖于s和t (b)依赖于s、t和x(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t (3)设常数?k?0,则级数?(?1)nk?nn2n?1(a)发散(b)绝对收敛2(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*六、（本题满分10分）求幂级数?a1n?1的收敛域，并求其和函数. xnn?2n?1?是a的伴随矩阵，则|a*|等于(a)a (b)1 (c)an?1七、（本题满分10分）求曲面积分i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,?(d)an??z?1?y?3f(x)?其中?是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?. ?2x?0??八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.九、（本题满分8分）3问a,b为何值时,现线性方程组?x2?x3?x4?02?2x3?2x4?1x2?(a?3)x3?2x4?bx1?2x2?x3?ax4?? 1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则a至少发生一次的概率为____________;而事件a至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量____________.4x的概率密度函数为f(x)??x2?2x?1,则x的数学期望为____________,x的方差为十一、（本题满分6分）设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为fx(x)?10?x?1,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.?y其它y?05。

2000年-年考研数学一历年真题完整版(word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydxI x y -=+⎰,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,x Sx f x d y d zx y f xd z d x z d x d y --=⎰⎰其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e (sin cos )(,xy a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r ++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=A A E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则 (A)(0,0)|3dz dx dy =+(B)曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设111140001111000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为(A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e exxdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21a r c t a n 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LI y z d x z x d y x y d z =-+-+-⎰,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1( -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立. (2)5.0)(lim 0=→x x θ.八、(本题满分8分)设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x . (1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1-=A PBP . (2)计算行列式+A E .十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)X N μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________. (2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim=∞→n n u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0ex t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}ex y Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222-++=⎰, (1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1c o s 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→ = .(2)曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点 (C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点 (4)设向量组I:12,,,r ααα可由向量组II:12,,,s βββ线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则 (A)2~()Y n χ (B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A .(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证: (1)sin sin sin sin e e e e y x y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ,⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ--x x θ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化. (22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有 (A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数(D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B (C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f (19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式. (20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解. (21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3)设∑是锥面z (01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2=+BA B E ,则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A)(,)xf x y dy ⎰⎰(B)(,)f x y dy ⎰⎰(C)(,)yf x y dx ⎰⎰(C)(,)f x y dx ⎰⎰(9)若级数1nn a∞=∑收敛,则级数(A)1nn a∞=∑收敛 (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a ∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP(C)T =C P AP(D)T =C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P AB P A =(D)()()P AB P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则(A)12σσ<(B)12σσ>(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰. (16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (17)(本题满分12分) 将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数. (18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰.(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TT=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A . (22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. (23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10θθ- 0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)(1)当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-(2)曲线1ln(1e )x y x=++,渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设()()xF x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =-- (B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()()limx f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散(C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是(A)(,)x y dx Γ⎰(B)(,)f x y dy Γ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dy Γ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A),,122331---αααααα (B),,122331+++αααααα (C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似(B)合同,但不相似(C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)p p -(D)226(1)p p -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()X f x ,()Y f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为(A)()X f x(B)()Y f y(C)()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则zx∂∂=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010********⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本题满分11分)求函数 2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)|4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值. (18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中 ∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=. (20)(本题满分10分) 设幂级数nn n a x∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===(1)证明:22,1,2,.1n n a a n n +==+(2)求()y x 的表达式. (21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解. (22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 (1)求{2}.P X Y >(2)求Z X Y =+的概率密度.(24)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为1,021(;),12(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,n X X X 是来自总体x 的简单随机样本,X 是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ. (2)判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.。

[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc

[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )（A）2π（B）π（C）（D）2 (2016年)若是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )（A）3x(1+x2)（B）一3x(1+x2)（C）（D）3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )（A）y"′+y"一4y′一4y=0（B）y"′+y"+4y′+4y=0（C）y"′一y"一4y′+4y=0（D）y"′一y"+4y′一4y=04 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )（A）a=一3，b=2，c=一1（B）a=3，b=2，c=一1（C）a=一3，b=2，c=1（D）a=3，b=2，c=1二、填空题5 (2006年)微分方程的通解是__________。

6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。

7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。

8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。

9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。

10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。

11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。

[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc

（A）充分条件但非必要条件
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数，证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限( )．

【合集打印】2010-2019年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学一)真题【 40页】

真题汇总一2010-20192019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）(I )当X ----+ 0时，若x -ta n x 与x k是同阶无穷小，则k =((A )l .(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x )= {XIXI 'X 冬O ＇则X = 0是f (x)的（）x l n x, x > 0,(A )可导点，极值点(B )不可导点，极值点(C)可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点(3)设飞｝是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）C B)Ic-1尸—1 ""'u ; (C )�(i-2:;)·(D )�(u !., 一式）．(4)设函数Q(x ,y )=今．如果对上半平面(y > O )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y )d x + Q (x,y )d y = 0, 那么函数P(X ,y )可取为（）(A )y -子 1 x 2(B)—-—1 1 (C)—-—.1(D)x-—. yy(5)设A是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵．若A 2+ A = 2E , 且IA I =4, 则二次型x T A x 的规范形为（）00u(A )I 二n=ln(A ) Y i + y ; + y ; ·(B) Y i + y ; -y ; ·(C) Y i -y ; -Yi·(D)-Yi -y ; -y ; ·(6)如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程a i l x + a i2y + a i3z = d;(i = l , 2 , 3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则（(A )r (A) =2, r (A ) = 3.(B)r (A) =2, r (A ) = 2.(C)r(A) = 1,r (A ) = 2.(D)r(A) = 1,r (A ) = 1.(7)设A,B为随机事件，则P(A)= P (B )的充分必要条件是（）(A ) P (A U B ) = P (A ) + P (B ) .(B ) P (AB ) = P (A) P (B) .(C) p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B ).(8)设随机变豐X 与Y相互独立，且都服从正态分布N(µ,矿），则P l I X -Y I < 1 f ()(A)与µ无关，而与矿有关.(B)与µ有关，而与矿无关(C)与µ,矿都有关(D)µ,矿都无关二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）(9)设函数八u)可导，z = /(sin y -sin x ) + x y, 则一—-. -+ . 一1加1加COS X彻co s y 切(10)微分方程2yy'-r 2-2 = 0满足条件y(O )= 1的特解y =(11)幕级数2(-1)"几=O(2n ) ! x"在(0,+oo)内的和函数S(x)=(12)设凶设为曲面x 2+ y 2+ 4z 2 = 4(z�0)的上侧，则ff J 4 -x 2-4z 2d x d y =(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵．若a 1'a 2线性无关，且a 3= -a 1 + 2a 2 , 则线性方程组Ax =0的通解为(14)设随机变掀X的概率密度为八x)= (f'O <x < 2'F(x)为X的分布函数，E(X)为X的0, 其他，数学期望，则Pj F(X) > E(X) -1 l—,•三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O )= 0的特解(I )求y(x);(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点．(16)(本题满分10分）设a ,b为实数，函数z = 2 + a x 2 + by 2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l = -3i -4j 的方向导数最大，最大值为10.(I )求a,b ;(II)求曲面z = 2 + ax 2+ by 2 (z ;;,: 0)的面积．(17)(本题满分10分）求曲线y = e 一允sin x (x�0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分）1设a ,.=Lx "Jl了五x (n = 0, 1 , 2,…）． (I)证明数列｛叮单调递减，且a ,.=—一－n -1 n + 2a 几一2(n = 2, 3,-·· );(II ) .a求hm n .n----+oo a几一1(19)(本题满分10分）设0是由锥面忒+(y-z)2 = (l -z)2(0�z�1)与平面z = 0围成的锥体，求0的形心坐标(20)(本题满分11分）设向量组a (1 2 1 ＝）平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a , 3尸为R 3的一个基，/J =(l,1,l)T 在这个基下的坐标为(b,c, 1)飞(I )求a,b,c;(II )证明生立3/J 为R 3的一个基，并求生立3/J 到叮生立3的过渡矩阵．(21)(本题满分11分）已知矩阵A=厂。

2024年全国研究生升学考试数学一word可编辑真题

2024年全国硕士研究生考试数学(一)真题一、选择题：第1-10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是最符合题目要求的.1.已知函数f(x)=∫e cost x0dt,g(x)=∫e t 2sinx 0dt ,则( )A. f(x)是奇函数，g(x)是偶函数B. f(x)是偶函数，g(x)是奇函数C. f(x)与g(x)均为奇函数D. f(x)与g(x)均为周期函数2.设P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z)均为连续函数, Σ为曲面z =√1−x 2−y 2(x ≤0,y ≥0)的上侧，则∬P Σdydz + Qdzdx = ( )A. ∬(xzP Σdydz +y zQ)dxdy B. ∬(−x zP Σdydz +yzQ)dxdy C. ∬(x z P Σdydz −yz Q)dxdy D. ∬(−xz P Σdydz −yz Q)dxdy3.已知幂级数∑a n x n∞n=0的和函数为ln(2+x),则∑na n ∞n=0=() A.-1/6 B.-1/3 C.1/6 D.1/34.设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且lim x→0f (x )=0,则()A.当limx→0f(x)x=m 时，f'(0)=mB.当，f'(0)=m 时，limx→0f(x)x=mC.当lim x→0f (x )=m 时，f'(0)=mD.当f'(0)=m 时，lim x→0f′(x )=m5.在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面π1:a i x+b i y+c i z=d i,(i=1,2,3)的位置关系如图所示，αi=(a i,b i,c i), βi=(a i,b i,c i,d i),若r(α1α2α3)=m,r(β1β2β3)=n,则()Π3Π2Π1A.m=1,n=2B.m=n=2C.m=2,n=3D.m=n=36.设向量α1=(a 1−1 1),α2=(11ba),α3=(1a−1a),若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则()A.a=1,b≠-1B.a=1,b=-1C.a≠-2,b=2D.a=-2,b=27.设A是秩为2的3阶矩阵，α是满足Aα=0的非零向量，若对满足βTα=0的3维列向量β,均有Aβ=β,则()A.A3的迹为2B.A3的迹为5C.A2的迹为8D.A2的迹为98.设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,2),Y服从正态分布N(-2,2),若P{2X+Y<a}=P{X>Y},则a=()A.-2-√10B.-2+√10c.-2-√6D.-2+√69.设随机变量X的概率密度为f(x)={2(1−x),0<x<10, 其他,在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y服从区间(x,1)上的均匀分布，则Cov(X,Y)=() A.−136B.−172C.172D.13610.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z=|X-Y|,则下列随机变量与Z同分布的是()A.X+YB.X+Y2C.2XD.X二、填空题:第11~16小题,每小题5分,共30分.11. 若limx→0(1+ax2)sinx−1x3=6，则a=_______________________12.设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数,且df|(1,1)=3du+4dv,令y=f(cosx,1+x2),则d2ydx2|x=0=_______________________13.已知函数f(x)=x+1,若f(x)=a22+∑a n cosnx∞n=1,x∈[0,z],则limn→∞n2sina2n−1=_____________________14.微分方程y′=1(x+y)2满足条件y(1)=0的解为__________________15.设实矩阵A=(a+1 aa a ),若对任意实向量α=(x1x2),β=(y1y2),(αT Aβ)2≤αT AαβT Aβ都成立，则α的取值范围_________________16.设随机试验每次成功的概率为P,现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则P=________________三、解答题：第17~22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知平面区域D={(x,y)|√1−y2≤x≤l,−1≤y≤1}，计算∬√x2+y2D18.(本题满分12分)已知函数f(x,y)=x 3+y 3−(x +y )2+3,设T 是曲面z=f(x,y)在点(1,1,1)处的切平面，D 为T 与坐标平面所围成的有界区域在xOy 平面上的投影 (1)求T 的方程(2)求f(x,y)在D 上的最大值和最小值19.(本题满分12分)设函数f(x)具有2阶导数，且f'(0)=f'(1),|f"(x)|≤1，证明： (1)当x ∈(0，1)时，|f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x ≤x(1−x)2(2)|∫f (x )dx −f (0)+f(1)210|≤11220.(本题满分12分)已知有向曲线L 的球面x 2+y 2+z 2=2x 与平面2x-z-1=0的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分∫(6xyz −yz 2)dx +2x 2zdy +xyz L dz21.(本题满分12分)己知数列{x n },{y n },{z n }满足x 0=−1, y 0=0，z 0=2且{x n =−2x n−1+2z n−1y n =−2y n−1−2z n−1z n =−6x n−1−3y n−1+3z n−1记a n =(xn y n z n ),写出满足a n =Aαn−1的矩阵A,并求A"及x n , y n , z n22.(本题满分12分)设总体X 服从[0，θ]上的均匀分布，其中θ∈(0,+∞)为未知参数，X 1,X 2…X n 是来自总X 的简单随机样本，记X (n )=max {X 1,X 2…X n },T c =cX(n) (1)求c,使得T c 是θ的无偏估计；(2)记h(c)=E(T c −θ)2,求c 使得h(c)最小.。

数学历年考研试题及答案

数学历年考研试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。

A. 2B. 3C. 4D. 8答案：B2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题3. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

答案：14. 设矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：-2三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-6x6. 证明：若a>b>0，则a^2>b^2。

证明：由题意知a>b>0，因此a-b>0。

两边平方得(a-b)^2>0，即a^2-2ab+b^2>0，所以a^2>b^2。

四、证明题7. 证明：若x>0，y>0，则x+y>2√(xy)。

证明：由基本不等式知x^2+y^2≥2xy，即(x^2+y^2)/2≥xy，所以x^2+y^2≥2xy。

两边同时加上2xy得x^2+2xy+y^2≥4xy，即(x+y)^2≥4xy。

因为x>0，y>0，所以x+y>0，两边同时开平方得x+y≥2√(xy)。

五、应用题8. 某工厂生产两种产品A和B，生产A产品每件需要2小时，生产B产品每件需要3小时。

已知工厂每天有10小时的生产时间，求生产A和B产品各多少件，使得总生产时间不超过10小时。

答案：设生产A产品x件，B产品y件，则有2x+3y≤10。

又因为x>0，y>0，所以x≤5，y≤3.33。

当x=5，y=1时，满足条件且生产时间最短，此时生产A产品5件，B产品1件。

六、综合题9. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点。

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2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==- (B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4k D k =,cos kk D I y xdxdy =⎰⎰,则{}14max k k I ≤≤=(A)1I(B)2I (C)3I(D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为1 ()f x-20 2 3-1O(A)(B)(C)(D)(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则 (A)当1nn b∞=∑收敛时,1n nn a b∞=∑收敛. (B)当1nn b∞=∑发散时,1n nn a b∞=∑发散.(C)当1nn b∞=∑收敛时,221n nn a b∞=∑收敛. (D)当1nn b∞=∑发散时,221n nn a b∞=∑发散.(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,+++αααααα的过渡矩阵为(A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为 (A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭(B)**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭(C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =(A)0(B)0.3(C)0.7(D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2zx y∂=∂∂ . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e xy C C x =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .(11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰ .(12)设(){}222,,1x y z xy z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω=⎰⎰⎰ .(13)若3维列向量,αβ满足2T=αβ,其中T α为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为 .(14)设12,,,m X X X L 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. (16)(本题满分9分)设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分)椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积. (18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰Ò,其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关. (21)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布. (23)(本题满分11 分)设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= (A)1(B)e(C)e a b -(D)e b a -(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= (A)x (B)z (C)x -(D)z -(3)设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关(D)与,m n 取值都无关(4)2211lim()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑=(A)121(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰(B)11(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰(C)11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ (D)112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B(D)秩(),n =A 秩()n =B(6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ (7)设随机变量X 的分布函数()F x =00101,21e 2x x x x -<≤≤->则{1}P X == (A)0 (B)1(C)11e 2--(D)11e --(8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf x 0x x ≤> (0,0)a b >> 为概率密度,则,a b 应满足(A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .(10)2π⎰= .(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0), 则曲线积分2Lxydx x dy +⎰= .(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = . (13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!CP X k k k ===L 则2EX = . 三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程322e xy y y x '''-+=的通解. (16)(本题满分10分) 求函数221()()e xt f x x t dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分) (1)比较1ln [ln(1)]nt t dt +⎰与1ln (1,2,)n t t dt n =⎰L 的大小,说明理由.(2)记1ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=⎰L 求极限lim .n x u →∞(18)(本题满分10分)求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛域及和函数. (19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xoy 面垂直,求P 点的轨迹,C并计算曲面积分,I ∑=其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设11010,1,111a λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.(1)求,.a λ(2)求方程组=A x b 的通解.(21)(本题满分11分)设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212,y y +且Q 的第三列为.T(1)求.A(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分) 设二维随机变量()X Y +的概率密度为2222(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x(23)(本题满分11 分) 设总体X其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使31i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1、曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（） A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0）2、设数列{}n a 单调减少，且0lim =∞→n n a 。

考研数学往年试题及答案

考研数学往年试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^3-3答案：A2. 已知集合A={x|x<2}，B={x|x>3}，则A∩B=？A. {x|x<2}B. {x|x>3}C. {x|2<x<3}D. 空集答案：D3. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

A. -2B. 2C. -1D. 1答案：B5. 求极限lim(x→0) (sin x)/x的值。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 已知等差数列{an}的前三项为1，4，7，求通项公式an。

A. 3n-2B. 3n+1C. n+3D. 3n-1答案：A7. 设函数f(x)=x^2+2x+1，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 已知曲线y=x^3-3x+1在点(1, -1)处的切线斜率。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A9. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，求f'(x)的值。

A. 1/(√(1+x^2)+x)B. 1/(√(1+x^2)-x)C. 1/(√(1+x^2))D. 1/(1+x^2)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值。

答案：3x^2-12x+112. 已知等比数列{bn}的前三项为1，2，4，求通项公式bn。

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案

全国硕士研究生考试数学历年真题试题及答案一、单选题（共25题，共100分）1.若函数，x>0在x=0连续，则（）。

• A.ab=1/2• B.ab=-1/2• C.ab=0• D.ab=2ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析2.设函数f (x) 可导，且f ( x) f '(x)>0 ，则（）。

• A.f (1) >f ( 1)• B.f (1)< f ( 1)• C. | f (1)|> | f ( 1)• D.| f (1)| <| f ( 1)•ABCD正确答案：C您的答案：本题解析：暂无解析3.函数f (x, y, z)=x2 y+ z2 在点(1,2,0) 处沿向量r/n=(1,2,0)的方向导数为（）。

• A.12• B.6• C.4• D.2ABCD正确答案：D您的答案：4.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v=v 1(t) （单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v=v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 （单位：s），则（）。

• A. t0 =10• B.15< t0<20•• C.t0 =25• D.t0 >25ABCD正确答案：C您的答案：5.设为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（）。

• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析6.已知矩阵,则（）。

• A.A 与C相似，B 与C相似• B.A 与C相似，B 与C不相似• C. A 与C不相似，B与C相似• D.A 与C不相似，B与C不相似ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析7.设A，B 为随机事件，若0<p( a)<1,0<p(b)<p(a="" |b)="" 的充分必要条件是（）<="" p="">• A.P(B | A) >P(B | A)• B.P(B | A)< P(B | A)• C.P(B | A) >P(B | A)• D. P(B | A)< P(B | A)ABCD正确答案：A您的答案：本题解析：暂无解析8.设来自总体的简单随机样本，记则下列结论中不正确的是（）.• A.• B.• C.• D.ABCD正确答案：B您的答案：本题解析：暂无解析9.某部门在一次联欢活动中共设26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400270元，一等奖的个数为()• A.6• B.5• C.4• D.3• E.2ABCDE正确答案：E您的答案：本题解析：设一等奖有X个，则其他奖项有26-X个。

考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim2x b ax a +→-==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为(A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<．(C) 025t =． (D)025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似．(D) A 与C 不相似，B 与C 不相似．【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B .（8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是(A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答．题纸．．指定位置上．（9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ．【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为．【答案】12e ()x y C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-+,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydyxdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x +【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【答案】2【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+. 【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =.所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明：（I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。

2000-2020考研数学二历年真题word版(含答案)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x=0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则(A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞+= 时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0n n n x x →∞+=,lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)xy y y e x '''-+=+ 的特解可设为ky =(A)22(cos 2sin 2)xx Aee B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)xx Axe e B x C x ++(C)22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)xx Axexe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >()s（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似(B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰=（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x yye dx x y e dy f =++=，则(),f x y = （13）11tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a =三、解答题：15~23小题，共94分。

考研数学一真题2000(真正的word文档)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至2页。

第II卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ（C）若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ（D）若α、β是第四象限角，则tgα>tgβ（５）函数y=-xcosx的部分图象是（６）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a （D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

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2011 年二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）21. 设 f (x)arccos x 2 , 则 f '( x) ( ).（A ）1（ B ）2xx 2x 211（C ）1（ D ）2xx 4x 41122. 不定积分x 1 x 2 dx( ).（A ） 1 x 2C（B ）1 (1 x2 )3 C3（C ） x 1 x2C（ D ）1x (1 x 2 )3 C323. 函数 f ( x)x 3 6x 2 9x, 那么（） .（ A ） x 1 为 f ( x) 的极大值点（B ） x 1 为 f (x) 的极小值点（ C ） x0 为 f (x) 的极大值点（ D ） x0 为 f (x) 的极小值点24. 设函数 f (x) 在开区间 (a,b)内有 f '( x) 0, 且 f ''(x)0, 则 yf ( x) 在 (a, b) 内（）.（ A ）单调增加，图像上凸（ B ）单调增加，图像下凸（ C ）单调减少，图像上凸（ D ）单调减少，图像下凸25. 设函数 yf ( x) 在区间 [0, a] 上有连续的导数，则定积分a xf '(x)dx 在几何上表示（）.（ A ）曲边梯形的面积（B ）梯形的面积（ C ）曲边三角形的面积（D ）三角形的面积26. 设 A 和 B 均为 n 阶矩阵 (n 1),m 是大于1 的整数，则必有（） .（ A ） ( AB)T A T B T（ B ） ( AB) mA mB m（C ） |AB T | |A T | |B T |（D ）|A B| |A| |B|27. 设线性无关的向量组1,2, 3,4 可由向量组1 ,2 ,L , s 线性表示，则必有（）（ A ） 1,2 ,L ,s 线性相关（B ） 1, 2 ,L, s 线性无关（ C ） s4（ D ） s428. 若线性方程组 x 12x 2 3x 3 1,无解，则 k( ).2x 1 4x 2 kx 3 3,（A ）6（ B ）4（C ）3（D ）229. 设随机变量 X服从参数为的指数分布，若 E( X 2 )72, 则参数( ).（A ）6（ B ）3（C ）1（D ）1360,x30. 设随机变量 X 的分布函数 F ( x)1 , 0 x 1,则P{X1} ( ).21 e x , x 1（A ）0（B ）1（C ）1e 1（ D ） 1 e 122三、数学计算题（ 9题共 50 分）31. 求函数 f ( x) ( x 1)2 (x 1)2 的单调区间的极值 .32. 1dx .计算定积分x 2 5x 633. 设 f '( x) cos x 2x, 且 f (0) 2, 求 f ( x).34. 设 z z( x, y) 是由方程 xy xyz0 确定的隐函数，求z 和 z .xy35.已知某产品的需求函数为 P 10Q, 成本函数为 C50 2Q, 求产量为多少时利润最大 .536. 设随机变量 X 的分布函数 F (x)1 (1 x)e x x 0 , 求随机变量 X 的密度函数 .0, x 037. 设随机变量 X 服从正态分布 N (1,2), Y 服从泊松分布P(2), 求期望 E(2 X Y 3).x 1 2x 2 x 3 x 4 0,38. 求齐次线性方程组3x 1 6x 2 x 3 3x 40, 的全部解（要求用基础解系表示）.5x 1 10 x 2 x 35x 40,1 0 0 39. 确定为 k 何值时，矩阵 A1 k 0 可逆，并求逆矩阵A 1.112012 年二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）21. 函数 f ( x)ln x ln(1 x) 的定义域是（） .（A ） ( 1,)（ B ） (0,)（C ） (1,)（ D ） (0,1)22. 极限 lim( x sin11sin x) ( ).xx x1（A ）1（B ）0（ C ）（ D ）不存在23. 设 f ( x)arcsin x 2 , 则 f '(x) ( ).（ A ）1（ B ）2x （C ）1 2x1 x 21 x 21 x 4（ D ）1 x 424.x 0 是函数 f ( x)e x 2x 的（）.（ A ）零点（ B ）驻点（ C ）极值点（ D ）非极值点25. 不定积分sin x cos xdx 不等于（） .（ A ） 1sin 2xC（ B ）1sin 2 2x C2 1 cos2x2 1 cos 2 x（ C ）C（D ）C4226. 设 I4ln(sin x)dx, J4 ln(cos x)dx, 则 I , J 的大小关系是（） .（A ） I J（B ） IJ （C ） I J （D ） IJ27. 设矩阵 A2 1 , E 为单位矩阵， BAB 2E则B ( ). 1 2（ A ）1 11 11 1（ B ）11（ C ）111 11 1（ D ）1128. 设向量组1 ,2 ,3 线性无关，1,2,4 线性相关，则（）.（A ） 1 可以由 2 ,3 ,4 线性表出（B ） 2 可以由 1 ,3 ,4 线性表出（C ） 3 可以由 1,2 ,4 线性表出（D ） 4 可以由1 ,2 ,3 线性表出29. 设随机变量 X ,Y 服从正态分布， X ~ N( ,16),Y ~ N( ,25), 记 P 1 P{ X 4},P 2 P{Y5}, 则（） .（A ）只有的个别值，才有 P 1 P 2（B ）对任意实数都有 P 1 P 2（C ）对任意实数都有 P 1 P 2（D ）对任意实数都有 P 1 P 230. 设随机变量 X 服从参数为泊松分布，若 E[( X1)(X2)] 1,则参数( ).（A ）3 （B ） 1（ C ）1（D ）2三、数学计算题（ 9题共 50 分）31. 求极限 lime xe x 2 .x 01 cos x 32. e 1 ln x求定积分xdx.133. 已知函数 f ( x) x x 1 x 2 , 求 f ''(x).34.求函数 f (x)2x 3 3x 2 12 x 1 的极值 .35. 求由方程 xyzarctan( x y z) 确定的隐函数 zz(x, y) 的 z 和 z .xy1 2 0 36. 求矩阵 A3 4 0 的伴随矩阵 A * .0 0 5x 1 x 2 4x 3 4,37. 求线性方程组x x2x4, 的通解123x 1 4x 2 x 3 16,38. 设三次独立试验中事件 A 在每一次试验中发生的概率均为p, 已知 A 至少发生一次的概率为19, 求 p.270, x 0 39. 设连续型随机变量X 的分布函数 F ( x)Ax 2 , 0 x 1, 求1,x 1（ 1）常数 A; （ 2） X 的概率密度 f (x); （3）2013 年P{1x1}.5 3二、单项选择题（ 2’ *10=20 ’）21. 设函数 f ( x) 在点 x x 0 处可导，则 f '(x 0 ) ( ).（ A ） limf ( x 0 )x 0（ C ） limf ( x 0x 022. 已知 x 1 是函数 yf ( x 0 x)（ B ） lim f ( x 0x) f ( x 0 )xxx2 x) f ( x 0 )（ D ） lim f ( x 02 x)f (x 0 x)x x 0xx 3 ax 2 的驻点，则常数 a( ).（A ）0（B ）1（ C ）332 （ D ）223. 函数 y ln(12x 2 ) 则 dy x 0( ).（A ）0 （B ）1（ C ） dx（ D ） 2dx24. 设 sin x 是 f (x) 的一个原函数，则xf '(x)dx ( ).（ A ） x cos x sin x （ B ） xcosxsin x C（ C ） x sin xcos x（ D ） xsin x cosx C25.x sin t 则 F '(0)( ).设F (x)tdt,（A ）0（B ）1（C ）2（D ）326. 设 f ( x) exx311f ( x)dx ().f ( x)dx, 则 0（A ）0（ B ） 4( e 1)（C ） 4（ D ） e3327. n 阶矩阵 A 可逆的充要条件是（）.（ A ） A 的任意行向量都是非零向量（ B ）线性方程组 Ax有解（ C ） A 的任意列向量都是非零向量（ D ）线性方程组Ax 0 仅有零解28. 设 1 , 2 是线性方程组 Ax的两个不同解，1 ,2 是导出组 Ax 0 的一个基础解系，C 1, C 2 是两个任意常数，则 Ax的通解是（） .（A ）C 1 1 C 2( 12 )12（B ） C 1 1C 2 (12 )1222（C ） C 1 1C 2( 12 )1 2（D ） C 1 1C 2( 12 )1 22229. 设 X 为连续型随机变量， F (x) 为 X 的分布函数，则 F (x) 在其定义域内一定为（）.（ A ）非二阶间断函数（ B ）阶梯函数（ C ）可导函数（ D ）连续但不一定可导函数30. 设随机变量服从参数为2 的泊松分布， Z 3X 2, 则随机变量 Z 的期望和方差为（）.（ A ）1 , 9 （ B ）1 , 3 （ C ） 4,18（ D ） 4,62 42 4三、数学计算题（ 5’ *10=50 分）31. 求极限 lim[11 ].x 0xln(1 x)32. 求函数 yln1x的导数 .1x33. 求定积分8dx .13x34.求函数 yx 4 2x 3 1的单调区间和极值点 .35. 求二元函数 z e xy f ( x 2y), 其中 f (u) 是一个可导函数，求偏导数z 和 z .xy设 f ( x)x2 dt, 求136. e tf (x)dx.137. 求 t 为何值时，向量组1(t, 2,1)T , 2 (2, t,0) T , 3(1, 1,1)T 线性相关，并在线性相关时将其中一个向量用其余向量线性表出.0 1 038. 求矩阵 A00 1 ,0 0 0（ 1） A n ( n 为正整数）；（ 2） EA 的逆矩阵（ E 为三阶单位矩阵） .C| x | 1随机变量 X 的密度函数为( x),39. 1 x 2, 求：0, | x |1（1）常数 C ；（2） P{1x1}.2240. 随机变量 X 服从正态分布 N (2,2), 且 P{2 x 4} 0.3, 求 P{ x 0}.2014 年二、单项选择题（2’ *10=20 ’）。