计算机常用算法与程序的设计案例教程复习题解答

《计算机常用算法与程序设计案例教程》习题解答提要习题11-1 分数分解算法描述把真分数a/b 分解为若干个分母为整数分子为“1”的埃及分数之和：（1） 寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ；（2） 若c>900000000，则退出；（3） 若c ≤900000000，把差a/b-1/c 整理为分数a/b ，若a/b 为埃及分数，则输出后结束。

（4） 若a/b 不为埃及分数，则继续（1）、（2）、（3）。

试描述以上算法。

解：设)(int a b d = (这里int(x)表示取正数x 的整数)，注意到1+<<d ab d ，有 )1()1(11+-+++=d b bd a d b a算法描述：令c=d+1，则input (a,b)while(1){c=int(b/a)+1;if(c>900000000) return;else{ print(1/c+);a=a*c-b;b=b*c; // a,b 迭代，为选择下一个分母作准备if(a==1){ print(1/b);return;}}}1-2 求出以下程序段所代表算法的时间复杂度（1）m=0;for(k=1;k<=n;k++)for(j=k;j>=1;j--)m=m+j;解：因s=1+2+…+n=n(n+1)/2时间复杂度为O(n2)。

（2）m=0;for(k=1;k<=n;k++)for(j=1;j<=k/2;j++)m=m+j;解：设n=2u+1，语句m=m+1的执行频数为s=1+1+2+2+3+3+…+u+u=u(u+1)=(n−1)(n+1)/4设n=2u，语句m=m+1的执行频数为s=1+1+2+2+3+3+…+u=u2=n2/4时间复杂度为O(n2)。

（3）t=1;m=0;for(k=1;k<=n;k++){t=t*k;for(j=1;j<=k*t;j++)m=m+j;}解：因s=1+2×2!+ 3×3!+…+ n×n!=(n+1)!−1时间复杂度为O((n+1)!).（4）for(a=1;a<=n;a++){s=0;for(b=a*100−1;b>=a*100−99;b−=2){for(x=0,k=1;k<=sqrt(b);k+=2)if(b%k==0){x=1;break;}s=s+x;}if(s==50)printf("%ld \n",a);break;}}解：因a循环n次；对每一个a,b循环50次；对每一个b,k2次。

因而k循环体的执行次数s满足1001)250(12)250250s n n +-+++＜＜＜时间复杂度为O(n n )。

1-3 若p(n)是n 的多项式，证明：O(log(p(n)))=O(logn)。

证：设m 为正整数，p(n)=a1×n m +a2×n m-1+…+am ×n ，取常数c>ma1+(m-1)a2+…+am, 则log(p(n))=ma1×logn+(m-1)a2×logn+…=(ma1+(m-1)a2+…)×logn<clogn因而有O(log(p(n)))=O(logn)。

1-4 构建对称方阵观察图1-5所示的7阶对称方阵：图1-5 7阶对称方阵试构造并输出以上n 阶对称方阵。

解：这是一道培养与锻炼我们的观察能力与归纳能力的案例，一个一个元素枚举赋值显然行不通，必须全局着眼，分区域归纳其构造特点，分区域枚举赋值。

（1） 设计要点设方阵中元素的行号为i ，列号为j 。

可知主对角线：i=j ；次对角线：i+j=n+1。

两对角线赋值“0”。

按两条对角线把方阵分成上部、左部、右部与下部4个区,如图1-6所示。

图1-6 对角线分成的4个区上部按行号i 赋值；下部按行号函数n+1-i 赋值。

左部按列号j 赋值；右部按列号函数n+1-j 赋值。

（2） 程序实现#include <stdio.h>void main(){int i,j,n,a[30][30];printf(" 请确定方阵阶数n: ");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++){if(i==j || i+j==n+1)a[i][j]=0; // 方阵对角线元素赋值if(i+j<n+1 && i<j)a[i][j]=i; // 方阵上部元素赋值if(i+j<n+1 && i>j)a[i][j]=j; // 方阵左部元素赋值if(i+j>n+1 && i>j)a[i][j]=n+1-i; // 方阵下部元素赋值if(i+j>n+1 && i<j)a[i][j]=n+1-j; // 方阵右部元素赋值}printf(" %d阶对称方阵为:\n",n);for(i=1;i<=n;i++){ for(j=1;j<=n;j++) // 输出对称方阵printf("%3d",a[i][j]);printf("\n");}}1-5 据例1-2的算法，写出求解n个“1”组成的整数能被2011整除的程序。

修改程序，求出 n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除？解：程序为#include <stdio.h>void main(){ int a,c,p,n;p=2011;c=1111;n=4; // 变量c与n赋初值while(c!=0) // 循环模拟整数竖式除法{ a=c*10+1;c=a%p;n=n+1; // 每试商一位n增1}printf(" 由 %d 个1组成的整数能被 %d 整除。

\n",n,p);}习题22-1 解不等式设n 为正整数，解不等式2011/12/1113/12/1112/11112010<++++++++++<n解：上下限一般为键盘输入的a,b 。

// 解不等式: a<1+1/(1+1/2)+...+1/(1+1/2+...+1/n)<b#include <stdio.h>#include<math.h>void main(){ long a,b,c,d,i;double ts,s;printf(" 请输入a,b: ");scanf("%d,%d",&a,&b);i=0;ts=0;s=0;while(s<a){ i=i+1;ts=ts+(double)1/i;s=s+1/ts;}c=i;while(s<b){i=i+1;ts=ts+(double)1/i;s=s+1/ts;}d=i-1;printf("\n 满足不等式的正整数n 为: %ld ≤n ≤%ld \n",c,d);}2-2 信点兵信在点兵的时候，为了知道有多少个兵，同时又能保住军事，便让士兵排队报数。

按从1至5报数,记下最末一个士兵报的数为1；再按从1至6报数,记下最末一个士兵报的数为5；再按1至7报数,记下最末一个报的数为4；最后按1至11报数,最末一个士兵报的数为10。

你知道信至少有多少兵?1. 求解要点设兵数为x，则x满足下述的同余方程组:x=5y+1 即 x=1 (mod 5)x=6z+5 x=5 (mod 6)x=7u+4 x=4 (mod 7)x=11v+10 x=10 (mod 11)其中y,z,u,v都为正整数。

试求满足以上方程组的最小正整数x。

应用枚举可得到至少的兵数。

x从1开始递增1取值枚举当然可以，但不必要。

事实上枚举次数可联系问题的具体实际大大缩减。

（1) 注意到x除11余10，于是可设置x从21开始，以步长11递增。

此时，只要判别前三个条件即可。

（2) 由以上第2，4两方程知x+1为11的倍数，也为6的倍数。

而11与6互素，因而x+1必为66的倍数。

于是取x=65开始，以步长66递增。

此时,只要判别x%5=1与x%7=4 两个条件即可。

这样可算得满足条件的最小整数x即点兵的数量。

2. 程序实现// 信点兵#include <stdio.h>void main(){ long int x;x=65;while(1){ x=x+66;if(x%5==1 && x%7==4){ printf("至少有兵: %ld 个。

",x);break;}}}2-3 分解质因数对给定区间[m,n]的正整数分解质因数,•每一整数表示为质因数从小到大顺序的乘积形式。

如果被分解的数本身是素数，则注明为素数。

例如, 2012=2*2*503, 2011=(素数!)。

解：对区间中的每一个整数i(b=i)，用k(2——sqrt(i))试商：若不能整除，说明该数k不是b的因数，k增1后继续试商。

若能整除，说明该数k是b的因数，打印输出"k*"；b除以k的商赋给b(b=b/k)•后继续用k试商(注意，可能有多个k因数)，直至不能整除，k增1后继续试商。

按上述从小至大试商确定的因数显然为质因数。

如果有大于sqrt(n)的因数(至多一个!)•,在试商循环结束后要注意补上，不要遗失。

如果整个试商后b的值没有任何缩减，仍为原待分解数n，说明n是素数，作素数说明标记。

若k是b的因数，按格式输出，然后b=b/k后继续试商k。

若k不是b的因数，则k增1后继续。

若上述试商完成后1<b<i，说明i有一个大于sqrt(i)的因数，要补上该因数。

若试商后b还是原来的i,则i是素数。

// 质因数分解乘积形式#include"math.h"#include <stdio.h>void main(){long int b,i,k,m,n,w=0;printf("[m,n]中整数分解质因数（乘积形式）.\n");printf("请输入m,n:");scanf("%ld,%ld",&m,&n);for(i=m;i<=n;i++) // i为待分解的整数{ printf("%ld=",i);b=i;k=2;while(k<=sqrt(i)) // k为试商因数{if(b%k==0){b=b/k;if(b>1){printf("%ld*",k);continue; // k为质因数,返回再试}if(b==1) printf("%ld\n",k);}k++;}if(b>1 && b<i)printf("%ld\n",b); // 输出大于i平方根的因数if(b==i){printf("(素数!)\n");w++;} // b=i,表示i无质因数}}2-4 基于素数代数和的最大最小定义和：⨯+⨯±±++nsn=n⨯⨯-9⨯2()1)12(775)(+3153(和式中第k项±(2k-1)*(2k+1)的符号识别：当(2k-1)与(2k+1)中至少有一个素数，取“+”；其余取“-”。