空间曲线及其方程
空间曲线及其方程
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定 一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的 投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是 求原曲线上点x,y坐标的关系.
z
o 1y x
要点:
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程:
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
空间曲线可看作两个曲面的交线.
x x(t)
空间曲线的参数方程:
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影: 注意一个点与其投影
点的x,y 坐标相同.
消去变量z 得：H ( x, y) 0 投影柱面
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两个空间曲面的交线.
曲面S1 : F ( x, y, z) 0 曲面S2 : G( x, y, z) 0
曲 线C
:
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
(完整版)第四节空间曲线及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案教研窒： 高等数学教研室编写时间： ________课名：高等数学（上） 班级： _______课题：第四节空间曲线及其方程教学目的及要求：介绍空间曲线的各种表示形式。
为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：1. 空间曲线的一般表示形式2. 空间曲线在坐标面上的投影教学步骤及内容：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。
F(x, y,z) 0G(x, y,z) 0特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。
二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点的坐标表示为参数t的函数：x x(t) y y(t) z z(t)当给定t右时，就得到曲线上的一个点(x,, %, z,)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C 的一般方程为F （x, y, z ） 0G （x,y,z ） 0消去其中一个变量（例如 z ）得到方程H （x,y ） 0（ 2）曲线的所有点都在方程（2）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于xoy 平面）称为 投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线 叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为H (x, y) 0 z 0同理可以求出空间曲线 C 在其它坐标面上的投影曲线。
在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这 时要利用投影柱面和投影曲线。
例1：设一个立体由上半球面 z J 4 x 2成，见下图，求它在 xoy 面上 的投影。
解：半球面与锥面交C ： z J 4 x2 寸z A/3（P __y 1）"消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为:(1)y 2和锥面z . 3(x 2 y 2)所围线为即xoy平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。
空间曲线及其方程
1第四节空间曲线及其方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S 2S C空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程2方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 解122=+y x 表示圆柱面，6332=++z y x 表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 交线为椭圆.例13方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 解222yx a z --=上半球面,4)2(222a y a x =+-母线平行于z 轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy 面上的圆, 圆心在点.2),0,2(a a 半径为4⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 曲线关于的投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.投影柱面空间曲线投影曲线56类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线,yoz 面上的投影曲线,xoz ⎩⎨⎧==00),(z y x H 空间曲线在面上的投影曲线xoy7求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x （1）消去变量z 后得,4322=+y x 在面上的投影为xoy ,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 解例38求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 解例3所以在面上的投影为线段.xoz ;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在面上的投影也为线段.yoz .23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z (2) 因为曲线在平面上，21=z9求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z yx z 在xOy 面上的投影.消去z 得：122=+y x ,所求投影为圆周⎩⎨⎧==+0122z y x . 注：所围立体在xy 面上的投影为：122≤+y x .即上半球面与圆锥面的交线.解例4。
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
8.3-8.4空间曲面、空间曲线及其方程
(4)
方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
注意：曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于:
z
C
o o
H (x, y) = 0 z=0
y
x
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面
上的投影曲线方程.
已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 例6 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1.求它们的交线C在xOy 面上的投影曲线的方程. 解 联立两个方程消去 z ,得 椭圆柱面
定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
M
o x
y
例2
研究方程
表示怎样
的曲面. 解 配方得 故此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物 面. (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x
y
z
x y z ( p , q 同号) 2p 2q
2
2
[整理]ch9-4第四讲空间曲线及其方程.
![[整理]ch9-4第四讲空间曲线及其方程.](https://img.taocdn.com/s3/m/c8d16715bcd126fff7050b90.png)
第四讲Ⅰ 授课题目§7.4 空间曲线及其方程Ⅱ 教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。
Ⅲ 教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。
难点：空间曲线在坐标面上的投影。
Ⅳ 讲授内容：一、空间曲线的一般空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F (x , y , z )=0和G (x , y , z )=0是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 反过来, 如果点M 不在曲线C 上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组. 因此, 曲线C 可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C 的一般方程.例1 方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O , 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y 轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.例2 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点)0 ,2(a , 半行为2a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2 方程组⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O , 半行为2a 的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a , 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数方程空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x .当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2 上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中ω、v 都是常数), 那么点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 取时间t 为参数. 设当t =0时, 动点位于x 轴上的一点A (a , 0, 0)处. 经过时间t , 动点由A 运动到M (x , y , z ) . 记M 在xOy 面上的投影为M ', M '的坐标为x , y ,0. 由于动点在圆柱面上以角速度ω 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t ,∠AOM '= ω t . 从而x =|OM '|cos ∠AOM '=a cos ω t ,y =|OM '|sin ∠AOM '=a sin ω t ,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以z =MM '=vt .因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz t a y t a x ωωsin cos ,也可以用其他变量作参数; 例如令θ=ω t , 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos , 其中ωv b =, 而参数为θ . *曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如⎪⎩⎪⎨⎧===),() ,() ,(t s z z t s y y t s x x .例如空间曲线Γ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (α≤t ≤β),绕z 轴旋转, 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (α≤t ≤β, 0≤θ≤2π). (4)这是因为, 固定一个t , 得Γ上一点M 1(ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )), 点M 1绕z 轴旋转, 得空间的一个圆, 该圆在平面z =ω(t )上, 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+, 因此, 固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程. 再令t 在[α, β]内变动, 方程(4)便是旋转曲面的方程.例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ.(上式消t 和θ, 得曲面的直角坐标方程为41222z y x +=+) 又如球面x 2+y 2+z 2=a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0≤ϕ≤π)绕z 轴旋转所得, 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π).三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面, 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影).设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 设方程组消去变量z 后所得的方程H (x , y )=0 ,这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面.这是因为: 一方面方程H (x , y )=0表示一个母线平行于z 轴的柱面, 另一方面方程H (x , y )=0是由方程组消去变量z 后所得的方程, 因此当x 、y 、z 满足方程组时, 前两个数x 、y 必定满足方程H (x , y )=0 , 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x , y )=0所表示的曲面上, 即曲线C 在方程H (x , y )=0表示的柱面上. 所以方程H (x , y )=0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面. 曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为:⎩⎨⎧==00),(z y x H . 讨论: 曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么?例4 已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1, (5)和x 2+(y -1)2+(z -1)2=1, (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程.解 先将方程x 2+(y -1)2+(z -1)2=1化为x 2+y 2+z 2-2y -2z =1,然后与方程x 2+y 2+z 2=1相减得y +z =1.将 z =1-y 代入x 2+y 2+z 2=1 得x 2+2y 2-2y =0.这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程. 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x . 例5 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影.解 由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x 2+y 2=1. 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面, 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x . 这是xOy 面上的一个圆, 于是所求立体在xOy 面上的投影, 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2+y 2≤1.Ⅴ 小结与提问小结：1、空间曲线的一般方程及参数方程。
高等数学(二)_ 向量代数与空间解析几何2_ 空间曲线及其方程_
包含曲线 C 关于 zox面 的投影柱面的柱面方程
例3 求空间曲线
z
x2 + y2 + z2 =1, C :
x2 +(y 1) +2(z 1) =12
在 xoy 面上的投影曲线方程.
C
o
1
y
x
解 消去 z 得包含曲线 C 而母线平行于z轴的柱面方程
x2 +2y2 2y = 0.
易见此方程就是曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面方程, 因此空间曲
x2 + y2 2x = 0, 0. z =
消去 x 得 C 关于 yoz 面的投影柱面方程
z
z4 4z2 + y2 = 0.
因此空间曲线 C 在 yoz 面上的投影曲线方程为
O
y
z 4 4z 2+ y =2 0,
x
x = 0.
包含曲线 C 关于 zox 面的投影柱面的柱面方程为 z2 = 2x.
2
z2 = 2x,(0 x 2), 空间曲线 C 在 zox 面上的投影曲线方程为
四、空间立体或曲面在坐标面上的投影
空间立体或曲面在坐标面上的投影 —— 正投影.
例5 求由上半球面
和锥面
所
围成的立体在 xoy 面上的投影.
z
解 两曲面的交线C的方程为
C
o y
x
消去 z 得包含曲线 C 而母线平行于z轴的柱面方程
设空间曲线 C 的一般方程为 ②
消去 z 得 ③
此方程表示包含曲线 C 且母线平行于 z 轴的柱面.
以C为准线，母线平行于 z 轴(即垂直于 xoy 面)的柱面称为 曲线C关于 xoy 面的投影柱面. 投影柱面与 xoy 面的交线C ′叫做
空间曲线及其方程
空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线的一般方程定义称⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 为空间曲线C 的一般方程. xyzOC1∑2∑例 讨论方程组⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示的曲线.解221x y +=236x z +=xyzOΓ例 讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 表示的曲线. 解zyxa空间曲线的参数方程定义 称方程组⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 为空间曲线的参数方程.例 如果空间一点M 在圆柱面x 2+y 2=a 2上以角速度ω绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(ω,v 都是参数),那么点M 构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.yz OhPMM 't ωx空间曲线——圆柱螺线P圆柱面222x y a +=yz0xax =y =z =a cos ωt vta sin ωt M螺线从点P →Q当t 从0 →2π，QtωM '空间曲线在坐标面上的投影定义 设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z 后得方程：H (x,y )=0称此方程为曲面C 关于xOy 面的投影柱面,投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线,简称投影.xyzOC'Γ即空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线方程为：⎩⎨⎧==0),(z y x H 同理,空间曲线C 在yOz 面与xOz 面上的投影曲线方程分别为00),(⎩⎨⎧==x z y R 和 (,)0T x z y =⎧⎨=⎩例 已知两球面的方程为x 2+y 2+z 2=1和x 2+(y －1)2+(z －1)2=1,求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程.解消去z 后,得柱面方程x 2+2y 2－2y =0,于是两球面的交线在xOy 面上的投影方程是：⎩⎨⎧==-+002222z y y xzyx1OC例 设立体由上半球面z =224y x --和锥面z =)(322y x +所围成,求它在xOy 面上的投影.解 上半球面和锥面的交线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 消去z 后,得投影曲线的方程为: ⎩⎨⎧==+0122z y x消去z 后,得投影曲线的方程为: ⎩⎨⎧==+0122z y x从而所求立体在xOy 面上的投影为: x 2+y 2≤1.zxy1CO空间曲线及其方程1.掌握空间曲线的一般形式、参数方程形式.2.会根据一般方程讨论其所表示的曲线.3.理解空间曲线在坐标面上的投影的概念.4.会求特殊空间曲线在坐标面上的投影的形状和方程。
第6-4节(曲面、空间曲线及其方程)
江西理工大学理学院第 4 节曲面、空间曲线及其方程江西理工大学理学院一、曲面方程的概念曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) = 0 有下述关系：（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．江西理工大学理学院以下给出几例常见的曲面.例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.解设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，根据题意有| MM 0 |= R2 22 2 2( x − x0 )2+ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = R2所求方程为 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R2 2 22江西理工大学理学院例 2 求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4)的距离之比为1 : 2 的 点的全体所组成的曲面方程.解设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，| MO | 1 = , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 + y2 + z2( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)2 221 = , 222⎞ 4 ⎞ 116 2 ⎛ ⎛ . 所求方程为 ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 3⎠ 9 ⎝ ⎝2江西理工大学理学院例 3 已知 A(1,2,3) ， B( 2,−1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程.解设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，根据题意有 | MA |=| MB |,( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3 )2 22( x − 2)2 + ( y + 1)2 + ( z − 4)2 , =化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.江西理工大学理学院2 2 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？解根据题意有 z ≥ −1用平面 z = c 去截图形得圆：z( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 1 + c (c ≥ −1)当平面 z = c 上下移动时， 得到一系列圆coxy圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．江西理工大学理学院以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）江西理工大学理学院二、旋转曲面定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．播放 播放江西理工大学理学院旋转过程中的特征： 如图设 M ( x , y , z ),z⋅ M ( 0, y , z ) ⋅ Md1 1 1(1) z = z1（2）点 M 到 z 轴的距离o x2 2f ( y, z ) = 0yd=x + y =| y1 |2 2将 z = z1 , y1 = ± x + y 代入f ( y1 , z1 ) = 0江西理工大学理学院z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0 将得方程f (± x + y , z = 0,2 2)yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为f y, ±(x 2 + z 2 = 0.)江西理工大学理学院例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 ⎛ 0 < α < π ⎞ 叫圆锥面的 的顶点，两直线的夹角 α ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为α 的圆锥面方程． z解yoz 面上直线方程为 z = y cot α2 2⋅ αoM 1 (0, y1 , z1 )y圆锥面方程z = ± x + y cot αxM ( x , y, z )江西理工大学理学院例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．⎧ x2 z2 ⎪ 2 − 2 =1 （1）双曲线 ⎨ a 分别绕 x 轴和 z 轴； c ⎪ y=0 ⎩x2 y2 + z2 绕 x 轴旋转 − =1 2 2 a c x +y z − 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2旋 转 双 曲 面⎧ y2 z2 ⎪ 2 + 2 =1 （2）椭圆 ⎨ a 绕 y 轴和 z 轴； c ⎪x = 0 ⎩ y2 x2 + z2 旋 绕 y 轴旋转 + =1 2 2a c x +y z + 2 =1 绕 z 轴旋转 2 a c2 2 2江西理工大学理学院转 椭 球 面⎧ y 2 = 2 pz （3）抛物线 ⎨ 绕 z 轴； ⎩x = 0x 2 + y 2 = 2 pz旋转抛物面江西理工大学理学院三、柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:播放 播放江西理工大学理学院柱面举例zzy = 2x2平面o xo xyyy= x抛物柱面江西理工大学理学院从柱面方程看柱面的特征：只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) = 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C . （其他类推）实 例y z + 2 = 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 − 2 = 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x = 2 pz22江西理工大学理学院四、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.⎧F ( x, y, z ) = 0 ⎨ ⎩G ( x , y , z ) = 0空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.zS1 S2oxCy江西理工大学理学院⎧ x2 + y2 = 1 例7 方程组 ⎨ 表示怎样的曲线？ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6解x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面，2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，⎧ x2 + y2 = 1 ⎨ ⎩2 x + 3 y + 3z = 6交线为椭圆.江西理工大学理学院⎧z = a2 − x2 − y2 ⎪ 2 表示怎样的曲线？ 例8 方程组 ⎨ a 2 a 2 ⎪( x − ) + y = ⎩ 2 4解z = a2 − x2 − y2上半球面,a 2 a2 2 圆柱面, (x − ) + y = 2 4交线如图.江西理工大学理学院五、空间曲线的参数方程⎧ x = x(t ) ⎪ ⎨ y = y( t ) 空间曲线的参数方程 ⎪ z = z( t ) ⎩当给定 t = t1 时，就 得到曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.,0αb +空间曲线投影柱面。
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C
xOz面上的投影曲线
T ( x , z ) 0 y 0
R( y , z ) 0 x 0
x y z 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 3 xOy面的 解 (1) 消去变量z后得 x 2 y 2 4 投影柱面
2 2 2
在 xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4 z 0
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 1 (2) 因为曲线在平面 z 上，所以在 xOz面上 2
的投影为线段. z 1 3 | x | 2 2 y 0 (3) 同理在yOz面上的投影也为线段.
1 z 2 x 0
3 | y | 2
例5 求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面 2 2 x z 的交线关于 xoy面的投影柱面和 在 xoy面上的投影曲线方程. 解 交线方程为
2 y x z , 2 2 x z
2 2
消去z 得投影柱面
选择题
球面 x y z R 与 x z a 交线
2 2 2 2
在xOy面上投影曲线方程是( D )．
( A) (a z)2 y 2 z 2 R2
(a z )2 y 2 z 2 R 2 ( B) z 0
(C ) x 2 y 2 (a x)2 R2
t
x
M
O
x a cos t y a sin t z vt
a
y
螺旋线的 参数方程.
A
M
z
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin z b
v t , b
Байду номын сангаас
P
螺旋线的重要性质：
t
第六节
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
z
S2 S 1
O
空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程, 同时满足两个方程.
C
x
y
满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能
x2 y2 1 例1 方程组 2 x 3 z 6
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 . z 0
在 xoy面上的投影为
2 2 设一个立体 , 由上半球面 z 4 x y 例6
和锥面z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
2 2 z 4 x y , C : 2 2 z 3 ( x y ),
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于xOy的 投影柱面. 投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、 母线垂直于所投影的坐标面.
C
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影)
(即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x , y ) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面) (即为xOy 面) z 0
解
2 2
表示怎样的曲线？
x y 1 表示圆柱面，
2 x 3z 6 表示平面，
z
x y 1 2 x 3 z 6
2 2
C
2
交 线 为 椭 圆
y
O
1
x
z a2 x2 y2 2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a a x y 2 2 4
消去 z 得投影柱面 x y 1,
2 2
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
是一个圆,
2 2 x y 1. 所求立体在 xoy 面上的投影为
填空题
2 x 2 y 2 z 2 16 母线平行于x 轴且通过曲线 2 2 2 x y z 0 2 2 3 y z 16 的柱面方程是
x
M
O
上升的高度与转过的角度成正比.即
A
M
y
: 0 0
z : b 0 b 0 b
螺距
2 ,
上升的高度 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
x 2 y 2 (a x ) 2 R 2 ( D) z 0
( x1 , y1 , z1 ), 随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以 角速度ω绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升 (其中 , v都是常数), 那末点M 构 成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程.
解
z
取时间t为参数, 动点从A点出发, 经过t时间, 运动到M点. M在xOy面的投影 M ( x , y ,0)
解
z a2 x2 y2
上半球面（如图）
2 a a 2 x y 2 4 2
z
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
O
y
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定t t1时, 就得到曲线上的一个点