现代设计方法课件_优化设计_PPT

现代设计方法
/2
>/2
可行下降方向所在的区域
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假设现已由初始点沿着目标函数的负梯度方向，找到 处于约束条件边界上的点 ，此时目标函数的梯度为f (X(k)) ，约束条件gu(X) ≤0 的梯度为 gu (X(k)) ，并设下 一步的迭代方向为 S(k) 。要求沿 S(k)方向迭代时，既能 满足使目标函数值有所下降的条件，即 [f (X(k))]TS(k)) <0(两向量夹角大于90)，又能满足约束条件，即 [gu (X(k))]TS(k) <0 (两向量夹角大于90)，则 S(k) 必须位于阴 影区。
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满足 [f (X(k))]TS(k)) <0的 S(k)称为下降方向； 满足 [gu (X(k))]TS(k)) <0的 S(k)称为可行方向； 两者都满足的 S(k) 称为可行下降方向。 即:可行下降方向区是位于点X(k)的约束曲线的切线 与目标函数等值线的切线所围成的扇形区域内。
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第三章 优化设计 Optimization Design
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本章主要内容
➢ 优化设计概述 ➢ 优化问题的数学分析基础 ➢ 一维探索优化方法 ➢ 无约束多维问题的优化方法 ➢ 约束问题的优化方法 ➢ 多目标函数的优化方法 ➢ LINGO在优化设计中的应用
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3.5 约束问题的优化方法
约束问题的优化方法： 设计变量的取值受到某种 限制时的优化方法。只要目标函数和约束函数为 连续、可微的函数，且存在一个有界的非空可行 域，约束优化问题就一定有解。 约束问题的优化方法主要解决三个问题：探索方 向、步长以及初始可行点。
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1. 约束优化问题的直接法---可行方向法 在可行域内按照一定的准则，直接探索出问题的最优 点，而无须将约束问题转换成无约束问题去求优的方 法，称为约束优化问题的直接法。 约束条件常常使得可行域非凸集出现众多的局部极值 点，不同的初始点往往会导致探索点逼近不同的局部 极值点，因此需要多次变更初始点进行多路探索。
f
(X
(k) )
T
S (k)
0
当可行下降方向为零向量或 S (k) 时，表明目标
函数值已无法进一步改善，此时的X(k)即为最优点 X*。
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2. 等式约束优化问题的间接法 等式约束优化问题可表示为如下形式：
minf ( X ) X Rn s.t.hv ( X ) 0 (v 1,2,...,p n)
即为拉格朗日乘子法。
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2）n 维目标函数的拉格朗日乘子法( p个等式约束）
拉格朗日函数为：
p
L( X , ) f ( X ) vhv ( X ) v 1
对应的极值点存在的必要条件为
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对应的极值点存在的必要条件为
L( X , )
xi
0
L( X , )
v
0
(i 1,2,...,n) (v 1,2,...,p)
数” (X,m)来代替，从而变成一个无约束优化问题。
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(X,m)定义如下：
p
2
(X , m) f (X ) B(X , m) f (X ) mvhv (X )
v1
mv：代表第 v 个等式约束条件的待定乘子或惩罚因子。
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当迭代点越出可行域时， hv (X) 0，因此，只要 mv 足够大，B(X,m) >> f (X) 将成立，说明B(X,m)在新目 标函数中起主导作用，相当于是对违反约束条件的一 个很大惩罚，让 f(X)难于得到最小值的解；相反，当 迭代点在可行域内， hv (X) =0 ，无论 mv多大， B(X,m) =0都成立，说明此时不受罚。
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可行方向法是采用梯度法求解非线性优化问题的一 种最具代表性的解析法。 适用于目标函数和约束函数都是n维空间的一阶连续 可微的函数，且可行域是连续闭集的情况，是求解 大型约束优化问题的主要方法之一,收敛速度快，效 果好，但程序比较复杂，计算困难且工作量大。
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其基本思想是：从初始点出发，沿着目标函数的负 梯度方向前进至约束条件的边界上，然后继续寻找 既能满足约束条件，又能使目标函数值有所改善的 新方向，直至找到最优点为止。
等式约束优化问题的间接解法主要包括消元法、拉格朗 日乘子法、惩罚函数法和增广拉格朗日乘子法等。 消元法主要是通过将 p 个等式约束，变换为 p 个设计变 量的等式，并代入到目标函数中，从而达到降维的目的。
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（1）拉格朗日乘子法
目标函数在等式约束条件h(x1,x2)下的最优点处，已 经不存在可行的下降方向，即，既满足[f(X*)]TS=0 又满足 [hv(X*)]TS=0的下降方向。换句话说，在最 优点处，任何方向允许的位移[dx1,dx2]T都必须满足
可行方向法的求优过程可归结为:
X (k1) X (k)
s.t.gu (X (k) ) 0
(k)S (k) (u 1,2,...,m)
min f ( X (k) ) T s.t. gu ( X (k) ) T
S (k) S (k)
0
f ( X (k1) ) f ( X (k) )
解此方程组，可以求出 n+p 个数值，x1*, x2*,…,xn*,
1*, 2*,…,p* 。从而得出原问题的优化解 X*=[x1*,
x2*,…,xn*]T。
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（2）惩罚函数法 惩罚函数法也是一种采用待定乘子，将约束优化问题 转换成无约束优化问题的一种间接解法。 其基本原理是将原目标函数 f(X)，用所谓的“惩罚函
h( X *) / x1 h( X *) / x2
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则
f
(X x1
*)
h( X x1
*)
0
L( X , )
x1
0
f ( X *)
x2
h( X *) x2
0
L( X , )
x2
0
h(
x1*
,
x2*
)
0
L( X , )
0
通过解此拉格朗日函数的无约束极值X*和拉格朗日
乘子*Байду номын сангаас来求解等式约束条件下目标函数值的方法，
f ( X *)
x1
dx1
f ( X *) x2 dx2
0
h( X *)
x1
dx1
h( X *) x2 dx2
0
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1）二维目标函数的拉格朗日乘子法 令拉格朗日函数和拉格朗日乘子为：
L(X , ) f (X ) h(X ) f ( X *) / x1 f ( X *) / x2