多项式的因式分解

§1-5多项式的因式分解定理

多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解

]

[)

2)(2)(2)(2(4][)

2)(2)(2(4][)2)(2(44242

2

4

x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）

（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分 平凡因式：

零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前

两个的乘积

Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的。

`

如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，

的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数。

反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约。 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的。 不可约多项式的重要性质：

一个多项式是否不可约是依赖于系数域；

1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约。

2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).

3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。 #

Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.

证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立; 假设s=n-1 时,结论成立;

当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,

如果1))(),((),(|)(11=/

x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设

)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.

因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；

)()()()(21x p x p x p x f s =

所谓唯一性是说，如果有两个分解式

#

)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==

那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有

),2,1()()(s i x cq x p i i ==

标准分解式（典型分解式）：)()()()(2

1

2

1x p x p x cp x f s

r s r

r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首

项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数。 例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f 。

)2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f

例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=。

23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f

例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f >

例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式

15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积。

解:)1)(1()1(2

3

4

5

++++-=-x x x x x x Q[x]

]

[)

15

4cos 2)(152cos 2)(1()

1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-π

π]

[)

5

2sin 52cos ()1()1)(1()1(4

12345x C k i k x x x x x x x x k π

π---=++++-=-=

在Q[x]上

)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ;

在R[x]上