最短路径问题--教学设计

教材：人教版初中数学八年级（上）
课题：13.4 最短路径问题
一. 教学内容解析
最短路径问题是生活中常见的实际问题，又是初中数学中的一种重要题型。

因此，引导学生运用所学知识解决最短路径问题，体现了数学学习与社会生活的密切联系，强调了数学来源于生活，服务于生活的新课程理念。

随着新一轮基础教育改革的推进，以数学课题学习为载体进行数学实践活动教学便顺理成章的成为培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。

本课就以课题学习中的“最短路径问题”，引导学生以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，结合法国数学家笛卡尔的名言“一切问题都可以转化为数学问题”，借助轴对称、平移等全等变换方法进行研究，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，培养学生的转化意识，使学生对数学理解的同时，获得成功的体验和克服困难的经历。

本节课主要内容包括最短路径问题中基本类型的建立，将军饮马问题的转化，最值问题的迁移。

二．教学目标设置
1. 会将实际问题中的地点、河（湖）岸等抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题，体会实际生活和数学之间的密切联系。

2. 体验利用轴对称和平移全等变换的方法来解决最短路径问题，通过观察、操作、归纳等一系列过程，培养学生的实际动手能力，以此激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究科学的热情。

3. 理解把求最短路径的实际问题转化成数学中的线段和最小问题，再利用轴对称等线段变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，进而把最短路径的实际问题迁移到数学学习中的求解最值的题型中来。

三．重点与难点
1. 重点：理解轴对称把“将军饮马问题”转化为最短路径中的“基本类型”，实现等线段变换的实质；
2. 难点：把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中。

四. 教学问题诊断分析
从学生学习的情况来看，最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大。

很多同学能理解找对称点的目的是使“将军饮马问题”转化为“基本类型”，但没有理解找到对称点后，实质上也是把最短路径问题转化为对称点和另一点之间的最短路径问题，导致仍然有同学即使找到对称点，也仍然不能顺利的找到实现最短路径的交点。

对于最值问题的迁移，有少量同学仍然不能灵活运用最短路径来解决，这是最短路径问题应用到数学问题中的一个难点，对于初中生来说，理解是需要一些时间的。

五．教学策略分析
本节课的难点是把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中，突破策略主要是：
1. 创设问题情境，从名人名言出发，结合身边的简单实例，设计旅游景点为背景，把每一种类型的问题都设计在景点中，激发同学们的兴趣；
2. 学生适度模仿，找相似题型进行类比，自己动手方能熟知最短路径的作图方法；
3. 学生比较两种最短路径问题的区别；引导类比思考，让学生将已学习过的知识与这一新知之间建立联系；
4. 运用轴对称的性质及“两点之间，线段最短”的公理，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的本质转移.
在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例的方式，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新知识、解决新问题的方法．
六．教学方法与教学手段
问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习．
七．教学过程
1.创设情境引入课题
【引用名人名言】数学家笛卡尔的名言：“一切问题都可以转化为数学问题”。

设计我校简单的平面地图，如果从教学楼到图书馆，有几条线路可走？最
短的线路是哪一条？选择的依据是“两点之间，线段最短”。

从而得出我们在解决实际问题时，很自然的运用了笛卡尔的名言启发；由“线段最短”得出这节课的主题——最短路径问题。

[设计意图] 通过名人名言的启发和学生熟悉的学校环境，引导学生将实际问题转化为数学问题。

[教学片段]
师：先来做个小调查，学了好几年的数学，你们都认识了哪些数学家呢？
生：阿基米德
生：华罗庚
师：有谁还记得他是谁吗？
生：笛卡尔
师：他对数学做出了哪些重要贡献呢？
生：建立笛卡尔坐标
师：还有吗？
生：……
师：他还有一句名言：一切问题都可以转化为数学问题。

看似简单的几个字，却道破了解决数学问题的天机。

我们先来看一个简单的例子，这是我们学校的简易平面地图，如果要从教学楼去图书馆，有多少条路线呢？
生：无数条。

师：正确。

如果我给你指定这三条线路，你会走哪一条？
生：第3条
师：为什么？有什么依据？
生：两点之间，线段最短
师：对。

这说明同学们自然而然的就把教学楼和图书馆抽象成数学里的两个点了。

这就是笛卡尔的名言无形的引导着我们的数学学习。

另外，像这种线段最短的问题，你还知道哪一种呢？
生：（思考。

）
师：过直线外一点作直线上所有点的线段中，什么线段最短？
生：垂线段
师：对，像这类关于“线段最短”的问题，我们称它们为最短路径问题。

而这
两个结论也是我们这节课要解决问题的重要依据。

像刚才从教学楼到图书馆的线路选择，就是我们生活中最寻常不过的最短路径问题了。

等下我们会再讨论两类不同的问题，来体会如何运用所学知识并结合笛卡尔的名言选择最短路径。

（板书：最短路径问题）
【设计背景】接下来要先给大家介绍一个既好看又好玩的地方。

（播放PPT）这是贵州荔波小七孔。

这里是世界自然遗产之一，拥有全球独特的喀斯特地貌，堪称地球腰带上的绿宝石。

地貌独特，风景优美，山清水秀，还有很多的神话传说。

（播放PPT）这是景点卧龙潭，碧蓝的湖水清澈见底；鸳鸯湖，树木从湖水里生长出来，别具一格，湖水四季恒温；水上森林，水上嬉戏，培养亲子感情等情感的娱乐佳地；68级跌水瀑布，每一级有不同角度的美……
如此美景佳境，大家一定很想去看看了，那我们就迫不及待咯。

来到景点下车后，要先去售票厅买票。

[设计意图]虽说最短路径问题是一堂与实际生活紧密联系的问题，但每每上起来都感觉有些枯燥乏味，现将其中的问题都设计在有名的景点中，可以达到激发同学们的学习兴趣的目的。

2.设计情景得出基本类型
【情景1】下图是停车场和售票厅的相对位置，为了在旅游高峰期尽快到达售票厅排队买票，你们会在人行小路的哪个位置横过小路使得所走的路程最短？
售票
大厅
人行小路
停
车
场
[设计意图] 设计旅游景点作为背景，激发同学们兴趣和求知欲，要想快速到达售票厅，则需要将实际问题转化为数学问题. 然后继续追问如何转化，突出转化过程中正确建立模型的重要性.
[教学片段]
这就是第一类最短路径问题。

根据笛卡尔对我们的启发，首先做什么？
生：转化为数学问题
师：好。

如何转化？
生：把售票大厅和停车场分别抽象为A、B两点，人行路抽象为直线l
师：对，建立模型如下，那么我们的实际问题就转化为求在直线l上存在的C点，使得AC和BC的距离和最短。

这个C点该如何确定呢？请同学们拿出《导学案》，动手画一画，并总结出最佳方案（或作法）和依据。

生：画图，找方案和依据。

师：发现很多同学很快就找到C点了，这说明一旦把实际问题转化为数学问题，问题就变得更加简单了。

谁来分享一下你的作法？
生：直接连接A、B两点与直线l有个交点，就是C点
师：大家说这种作法，对不对？
生：对
师：那你们的依据是什么呢？一起来大声说。

生：两点之间，线段最短
师：很好。

我们最终按要求确定了横穿小路的位置。

像这种两点处于一条直线异侧的类型，做起来很简单，我们把这种最简单的最短路径问题的模型作为基本类型。

用来类比其它的最短路径问题，然后加以转化，达到使复杂的问题简单化的目的。

（板书：类型1：基本类型）
3. 设计情景得出将军饮马问题
【情景2】如图，鸳鸯湖的河岸1 处的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后将游客送往小岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得其路径最短，才能达到节约成本的目的。

[设计意图] 把历史上有名的将军饮马问题设计到旅游景点的娱乐项目里，激发同学们的学习兴趣和求知欲。

并且点出“这可不像基本类型那么简单了哦！”
引导学生把这种类型转化为基本类型的思维方向，突出本节课的重点。

[教学片段]
说着说着，我们不知不觉来到了鸳鸯湖。

鸳鸯湖是一定要去玩的，人们都说：下了鸳鸯湖，白发老翁都能变少年呢！如图，鸳鸯湖的河岸 1 处的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后将游客送往小岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得其路径最短，才能达到节约成本的目的。

这就是第二类最短路径问题，同样的，我们要先把实际问题转化为数学问题，建立模型如下：
把旅游船和小岛抽象为A、B两点，河岸2抽象为直线l，实际问题就转化为求在直线l上存在的C点，使得AC和BC的距离和最短。

这个C点该如何确定呢？这可不像基本类型那么简单了哦！
生：转化
师：如何转化？
生：……
师：让我们先来类比基本类型，有何不同呢？
生：类型二的两点在同侧，类型一的两点在异侧
师：那么我们需要把其中一个点转移到直线的异侧，那该如何转移呢？转移的条件是什么？同桌之间可以相互讨论一下，并在《导学案》上画出来，等下请一位同学来分享你的方案。

生：讨论
师：OK，请大家停下讨论。

哪位同学先来分享一下。

生：通过对称转化为类型一
师：选择对称的理由是什么？
生：线段的长度不能改变
师：哦！那也就是说我们转移一个点到直线异侧的条件是：不能改变各条线段的长度！简单说就是要全等变换。

全等变换的方法除了轴对称，还有平移和翻折。

我以转移B点为例，作B点关于直线l的垂线，截取OB=OB’，B’点就是B 点的对称点，根据轴对称的性质：对称点到轴对称上任何一点的距离都……？
生：相等
师：最终实现了转化为基本类型的目的。

最后如何来确定C点呢？
生：直接连接AB’，与直线l的交点就是C点
师：非常好！连接A点和对称点B’与直线的交点就是C点。

所以旅游船的最短路线是A→C →B。

【师生互动】回顾轴对称的性质，总结全等变换的方法除了轴对称，还有平移和翻折，为后续“造桥选址问题”的解决做铺垫.
【问题】为什么我们通过这种方法找到的C点就一定是最短的呢？你能以理服人吗？
[设计意图] 引导学生要以理服人，并非凭空想象或机缘巧合得到的。

凡事都得有个凭据才能说服他人。

[教学片段]
为什么我们通过这种方法找到的C点就一定是最短的呢？你能以理服人吗？
生：思考
师：哪位同学来说一说？
生：在直线L上另外找一点C’，证明AC’+BC’比AB+BC长。

师：如图所示，另取一点P（不与C点重合）。

连接AP、BP、B’P，证明AC+BC＜AP+BP。

分析：
∵BC=B'C
∴AC+BC=AC+B'C=AB
又∵BP=B'P
∴AP+BP=AP+B'P
∴AB＜AP+B'P
即AC+BC＜AP+BP 照这么分析看来，无论在直线上哪个位置找一个与C点不一样的点，都要比AC+BC的距离和长。

对不对？
生：对。

师：那么你的依据是什么呢？
生：三角形的两边之和大于第三边
师：请同学们课后完成证明过程。

其实像这种模型的最短路径问题，在古时候就已经出现并流传至今，说的是：古时候有位将军拜访数学家海伦：我每天从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B处营地开会（如图），究竟到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
因此，数学上把这种最短路径问题称为“将军饮马问题”。

（板书：2、将军饮马：轴对称）
4. 设计情景运用新知
【运用新知】如下图，大家围在一起坐下休息(如AC、BC)，把带去的零食摆成一条(如AB)，小明坐在C处。

他想先去拿零食，再去和坐在D处的同学小宇说话，最后回到C处，请帮他找出他的最短行走路线。

[设计意图] 仍然将例题也设计在旅游过程中，让学生把实际问题与数学紧密联系起来，从而在心中留下“生活中处处皆数学”的印象，凸显数学学科的重要性。

[教学片段]
从鸳鸯湖的小岛上下来已到中午时分，我们找到了一块草地，（播放PPT）如下图，大家围在一起坐下休息(如AC、BC)，把带去的零食摆成一条(如AB)，小明坐在C处。

他想先去拿零食，再去和坐在D处的同学小宇说话，最后回到C处，请帮他找出他的最短行走路线。

（停顿片刻）同样的，首先建立数学模型，如右图。

根据题意，有没有哪段
B
A
l
路程是确定的？
生：CD
师：那么实际就是问你小明在哪里拿零食，路线最短。

这属于今天的哪一种最短路径问题？
生：将军饮马
师：好，请大家动手在《导学案》上画一画，找到拿零食的最佳位置P点。

生：动笔画图
师：（在黑板上画出模型图，请同学到黑板上画）。

画好的同学可以看看你的同桌的完成情况，如果需要帮助请给予帮助。

生：黑板上画图展示
师：画好的同学可以检查一下你的同桌有没有画好，如果没有，请给予指导。

[解法点评]分析学生在黑板上的画图情况：
同学1：把作对称点的垂足当作要找的P点了。

请同学2上黑板订正
同学2：画图正确
师总结：找对称点的目的是，把点转移到对称点后，求对称点和点D的最短距离，根据“两点之间，线段最短”，直接连接对称点和D点与AB的交点就是要找的P点。

5. 知识迁移最值题型
【知识迁移1】同学们，我们今天学习的最短路径问题不仅可以解决实际生活问题，也能解决纯数学问题，请看：如图，M、N为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小．
请大家在《导学案》上画一画。

[设计意图]把实际生活中的问题与数学紧密联系起来，本节课内容与数学中的重要题型——最值问题是密不可分的.
[师生互动]分析学生在黑板上的画图情况：
师：请大家看黑板上的同学画的对不对？
生：不对。

忘记把线段MN连起来了
师：是哦，但是P点找对了没？
生：对了。

师总结：读题要仔细，完成题目要细心。

这就是最短路径问题与数学中的最值问题的无缝迁移，不妨再看一题。

【知识迁移2】
如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是。

[设计意图]考察学生找解题突破口的能力，并使学生熟练地把最短路径问题与最值题型衔接起来，突破本节课的难点。

[师生互动]
生：答案是4.根据题目中的已知条件：EF垂直平分BC，可知：C点就是B 点的对称点。

师：很好，能准确的抓住题目的突破口
生：根据最短路径问题，所以AC与EF的交点才是P点
师：因此，我们要求的AP+BP的最小值实际就是哪条线段的长度？
生：线段AC的长。

师：很棒，不仅能准确找准突破口，而且还能很好的把最短路径问题联系起来。

6. 课堂小结变式提升
【课堂小结】
[设计意图] 加深学生对本节课知识点的印象，并回顾课中重点和难点，为变式提升练习打基础。

【变式提升】如下图，大家坐在草地上休息，把带去的面包和牛奶摆成两条(如OA、OB)，小明坐在C处。

他想先去拿面包，再去拿牛奶，最后回到C处，请帮他找出他的最短行走路线。

[设计意图] 在【运用新知】的题目基础上稍作改动，学生容易理解题意，能快速找到两者的不同，找到解决问题的方法。

[解法点评]前面的问题中都只要找一个动点的位置，所以我们只作了一次对称，而现在这个问题中要找的动点有两个了，所以要做两次对称。

结合作对称点的转换目的，连接两个对称点所得的两个交点才是要找的最短路径的点。

[教学片段] 学生画图
【知识迁移3】如图，P为∠AOB内一点，P1、P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝8㎝，则△PMN的周长是。

[设计意图] 在【变式提升】的实际问题的基础上进行迁移，学生很快就找到了二者的联系，并迅速得到答案。

实现“不仅会找最短路径，而且还能灵活运用最短路径”的目标。

[师生互动]
生：答案是：8cm。

由题意可知：PM=P1M，PN=P2N，所以△PMN的周长就可以等量代换成P1M+MN+P2N.
师：而这三条线段的和实际就是哪条线段呢？
生：P1P2
7. 总结思路作业布置
【课堂总结】有哪位同学能够回答一下本节课我们将实际问题与数学问题联系起来的规律是什么？都用到了哪些重要的数学思想？
[设计意图] 由学生总结概括本节课所学习的主要内容，教师加以提炼. 并总结将实际问题和数学问题联系起来的基本规律和用到的数学思想，即：
从同类具体事基本类比、认识解决问
【作业布置】
1.课本第93页，第15题.
2.【课后探讨】如图，如果你是当时的阿吉，你会将桥建在何处才能使乡亲们快速跨过涵碧潭，到对岸去赶集（或耕种）所走的路程最短呢？（假定湖的两岸是平行的直线，桥要与湖岸垂直）。

[设计意图] 1、让学生巩固最短路径中的“将军饮马问题”。

2、课后探讨体会将实际问题转化为数学问题的思想，深知类比和转化基本类型给解决同类问题带来的方便，培养学生质疑探究的能力。

3、让学生明白“今天学了什么，明天将要学什么”，实现把课堂还给学生的新课程理念。

八．教学设计说明
本节课是“最短路径问题”的第一课时，除了要介绍本课学习内容、目的和
重要性以外，还得为下一节课“造桥选址问题”打基础、埋伏笔. 课程设计要符合学生认知规律．
本堂课从实际问题到数学问题的建模思想，再到“基本类型”的得出，然后到“将军饮马问题”与“基本类型”的类比、转化思想，各个环节都很关键，也很重要。

教师通过设置问题串的形式，激起学生层层递进的求知欲。

最终顺理成章的把“最短路径问题”与“最值问题”联系起来，使同学们过渡的自然，掌握的游刃有余。

最后引导学生总结解决把实际问题转化数学问题的规律：从同类事物中抽象本质特征→基本类型→类比、转化→认识新类型→解决问题并反馈。

在课堂教学中，应充分引导学生进行讨论、互相评判、探究等活动，不轻易打断学生的思维和活动，提供学生充分展示思维的机会．
在作业的设计上，增加了课后探讨问题的布置，帮助学生明白“今天学了什么，明天将要学什么”，实现把课堂还给学生的新课程理念。