最短路径问题--教学设计
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计
八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计最短路径问题（第一课时） 在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。
思考以下两个问题：复习1：如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短 复习2：点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。
通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。
lC PA B D教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。
引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。
教师：（1）点C是直线l上的一个动点。
我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。
（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB 最短。
依据是：两点之间，线段最短。
作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。
总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。
教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。
例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAl练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B 的路径在地面上爬行。
小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。
问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。
13.4课题学习 最短路径问题教学设计
13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。
八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解最短路径问题的背景和应用，知道其在现实生活中的重要性。
2.掌握图形中两点间线段最短的性质，能够运用这一性质解决实际问题。
3.学会使用三角形两边之和大于第三边的原理，解决最短路径问题。
4.掌握运用数学符号和表达式来描述最短路径问题，并能运用相关公式进行计算。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，提供适当的引导和帮助。同时，注重启发式教学，激发学生的兴趣和思考，引导学生主动探究，培养他们解决问题的能力。通过师生互动、生生互动，促进学生之间的交流与合作，使他们在探索最短路径问题的过程中，不断提高自己的数学素养和思维能力。
三、教学重难点和教学设想
5.能够运用所学的最短路径知识，解决一些简单的实际问题。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养解决问题的能力：
1.通过观察和分析实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活中发现数学问题的意识。
2.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生从简单问题入手，逐步深入，掌握解决最短路径问题的方法。
c.教师介绍三角形两边之和大于第三边的原理，并解释其在解决最短路径问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同探究解决最短路径问题的方法。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的最短路径问题，要求学生分组讨论。
b.学生在小组内分享思路，共同寻找解决问题的方法。
c.教师巡回指导，给予提示和建议，帮助学生解决问题。
五、作业布置
为了巩固学生对最短路径问题的理解，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
最短路径课程设计
最短路径课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最短路径的概念，掌握其在现实生活中的应用；2. 学会使用Dijkstra算法和Floyd算法求解有向图和无向图的最短路径问题；3. 了解最短路径问题在实际问题中的应用和拓展。
技能目标：1. 能够运用所学算法解决简单的最短路径问题；2. 能够分析并优化最短路径算法，提高解决问题的效率；3. 能够运用数学语言和工具软件描述和求解最短路径问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对图论和算法的兴趣，激发他们探索问题的热情；2. 培养学生合作交流、分享成果的团队精神；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高他们的数学素养。
课程性质：本课程为选修课，旨在拓展学生的知识面，提高他们的数学应用能力。
学生特点：学生为八年级学生，已掌握基本的数学知识和逻辑思维能力，对新鲜事物充满好奇。
教学要求：结合学生特点，通过生动的案例导入，激发学生兴趣；采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究；注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
在教学过程中，关注学生的个体差异，给予个性化指导，确保课程目标的实现。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 图的基本概念：图的定义、顶点、边、路径、连通图、有向图与无向图。
2. 最短路径问题：最短路径的定义、性质及其在实际问题中的应用。
3. Dijkstra算法：算法原理、步骤、示例演示及编程实现。
4. Floyd算法：算法原理、步骤、示例演示及编程实现。
5. 最短路径问题的拓展：多源最短路径、带有权重和负权边的最短路径问题。
6. 教学案例：结合实际生活中的问题，如交通网络、计算机网络等，分析最短路径问题。
7. 教学实践：运用算法解决具体的最短路径问题，对比不同算法的性能。
教学内容安排和进度：第一课时：图的基本概念及最短路径问题导入。
第二课时：Dijkstra算法原理及示例。
第三课时：Floyd算法原理及示例。
八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。
课程设计最短路径问题
课程设计最短路径问题一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握最短路径问题的基本概念，理解其在现实生活中的应用。
2. 学会运用Dijkstra算法和Floyd算法解决最短路径问题。
3. 了解最短路径问题与其他优化问题的联系，拓展知识视野。
技能目标：1. 培养学生运用算法解决问题的能力，提高逻辑思维和计算思维能力。
2. 培养学生团队合作意识，学会在团队中分工合作，共同解决复杂问题。
3. 提高学生运用计算机软件（如Excel、编程语言等）处理数据的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对问题的积极态度，勇于尝试和克服困难。
2. 增强学生对数学学科的兴趣和自信心，认识到数学在生活中的重要作用。
3. 培养学生具备良好的道德品质，遵循学术规范，尊重他人成果。
课程性质：本课程属于数学学科，以算法和实际应用为主线，结合计算机软件辅助教学。
学生特点：学生处于高年级阶段，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对算法和编程有一定了解。
教学要求：结合学生特点，课程要求注重理论与实践相结合，以学生为主体，引导他们主动探索和解决问题。
同时，关注学生的个性化差异，提供有针对性的指导和帮助。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，并在实际生活中运用所学知识解决问题。
二、教学内容1. 导入：通过实际生活中的最短路径问题（如导航系统、物流配送等）引出本节课的主题。
2. 基本概念：介绍最短路径问题的定义，包括加权图、路径长度等基本概念。
教材章节：第二章 图论基本概念3. 算法原理：a. Dijkstra算法：介绍单源最短路径算法原理，阐述其适用范围和限制。
b. Floyd算法：介绍多源最短路径算法原理，分析其时间复杂度。
教材章节：第三章 算法设计与分析4. 实践操作：a. 应用Dijkstra算法解决实际问题，如校园内两点间的最短路径。
b. 应用Floyd算法解决实际问题，如城市间最短路径规划。
教材章节：第四章 图论应用5. 计算机软件应用：运用Excel、编程语言（如Python、C++等）实现最短路径算法，分析实际数据。
13.课题学习最短路径问题-人教版八年级数学上册教案
13. 课题学习最短路径问题-人教版八年级数学上册教案1. 学习目标本节课的学习目标是：•了解最短路径的概念；•掌握求解最短路径的方法；•熟练解决最短路径问题。
2. 学习重点本节课的学习重点是：•最短路径的概念；•求解最短路径的方法；•最短路径问题的解决。
3. 学习难点本节课的学习难点是：•最短路径算法的理解；•最短路径问题的解决。
4. 学习内容4.1 最短路径的概念什么是最短路径？最短路径，顾名思义，就是指从起点到终点经过的路程最短的路径。
在现实生活中，最短路径一般指的是两个地点之间的最短距离。
最短路径的应用最短路径在现实生活中有很多应用，例如：•计算物流配送的最短路径来降低成本；•导航系统可以帮助人们找到最短路径；•人工智能中的路径搜索算法等。
4.2 求解最短路径的方法迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种经典的求解最短路径的算法。
该算法可以解决从一个起点到其他所有点的最短路径问题。
算法步骤如下：1.找到距离起点最近的一个点，将其距离值加入结果集中，并将该点标记为已处理；2.对于未处理的相邻点，计算到起点的距离，并将该距离值更新至该点的距离值中；3.重复上述步骤1、2，直到所有点都被处理过。
弗洛伊德算法弗洛伊德算法也是一种常用的求解最短路径的算法。
该算法可以解决任意两个点之间的最短路径问题。
算法步骤如下：1.定义一个矩阵D，用于存储所有点之间的距离；2.对于所有点之间的距离，如果有直接连接的路径，则将该距离值存入矩阵D 中，否则将这两个点之间的距离定义为无穷大；3.对于任意一对点i、j，检查是否存在一个点k，使得从点i到点k再到点j 的路径比直接从点i到点j的路径更短。
如果存在这样的点k，则将矩阵D中i、j 的值更新为i到j经过k的路径长度。
在更新过程中，需要遍历所有的i、j、k组合，直到找出最短路径。
4.3 最短路径问题的解决例题分析有一个无向带权图G={V，E}，其顶点集V={A，B，C，D}，边集E={AB，AC，BC，BD，CD}，边权如图所示。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题优秀教学案例
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：
最短路径问题课程设计
最短路径问题 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的定义，掌握其在现实生活中的应用。
2. 学生掌握使用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法求解最短路径问题的方法。
3. 学生能够分析并描述不同算法的时间复杂度及其适用场景。
技能目标：1. 学生能够运用所学算法，解决简单的最短路径问题。
2. 学生能够通过编程实践，加深对算法的理解，提高解决实际问题的能力。
3. 学生能够运用数学思维，对给定的问题进行分析，提出合理的解决方案。
情感态度价值观目标：1. 学生通过解决最短路径问题，培养对数学学科的兴趣和热情。
2. 学生在团队协作中，学会相互沟通、分享和借鉴，培养合作精神。
3. 学生在面对问题时，能够保持积极的态度，勇于挑战，不断探索和尝试。
课程性质：本课程为数学学科，结合计算机科学的知识，旨在提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
学生特点：学生处于高中阶段，具备一定的数学基础和编程能力，对新鲜事物充满好奇，喜欢挑战。
教学要求：注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，鼓励学生主动探究、积极思考，培养其创新意识和实践能力。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 最短路径问题的定义及其应用场景介绍- 网络图的基本概念- 最短路径问题的分类及其意义2. 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法- 算法原理和步骤- 代码实现及案例分析- 算法时间复杂度分析3. 弗洛伊德（Floyd）算法- 算法原理和步骤- 代码实现及案例分析- 算法时间复杂度分析4. 最短路径算法的应用- 实际问题建模- 算法选择与应用- 解决方案评估5. 教学案例分析与实践- 结合实际案例，分析最短路径问题的解决方案- 学生编程实践，加深对算法的理解和应用- 针对不同场景，讨论算法的优缺点及适用性教学内容依据教材相关章节，结合课程目标进行安排。
在教学过程中，注意引导学生从理论到实践的过渡，通过案例分析和编程实践，使学生更好地掌握最短路径问题的求解方法。
第十八章平行四边形四边形中的最短路径问题(教案)
在实践活动方面，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有个别学生操作不够熟练，对实验结果的理解也不够深入。为了提高实践活动的效果，我计划在后续教学中增加一些简单的练习，让学生有更多机会动手操作，提高他们的实际应用能力。
五、教学反思
在本次教学活动中，我重点关注了平行四边形的性质以及四边形中最短路径问题的解决方法。从学生的反应和学习成果来看，我觉得有以下几个方面值得反思：
首先，关于平行四边形性质的讲解，我尝试通过生动的例子和实际操作，让学生更好地理解这一概念。从课堂反馈来看，这种方法效果还不错，学生能够较快地掌握平行四边形的性质。但在接下来的教学中，我需要更多地关注那些对几何图形理解能力较弱的学生，尽可能让他们也能跟上教学进度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是具有两组对边分别平行的四边形。它在几何学中具有重要性，因为它的性质可以帮助我们解决很多实际问题，如最短路径问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在平行四边形中找到两点之间的最短路径，以及这一知识如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行四边形的性质和最短路径的寻找方法这两个重点。对于难点部分，我会通过图形示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行四边形最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何在实际图形中应用平行四边形的性质来寻找最短路径。
最短路径问题教案
最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。
最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。
一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。
3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。
4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。
二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。
2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。
三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。
2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。
四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。
2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。
3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。
4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。
（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。
5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。
（2）小组展示解题过程和结果。
6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。
五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。
2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。
3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。
4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。
六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。
最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′， 使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考： 问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考： 能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：
最短路径教案
最短路径教案第一篇：最短路径教案13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l 上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。
五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
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教材：人教版初中数学八年级（上）课题：13.4 最短路径问题一. 教学内容解析最短路径问题是生活中常见的实际问题，又是初中数学中的一种重要题型。
因此，引导学生运用所学知识解决最短路径问题，体现了数学学习与社会生活的密切联系，强调了数学来源于生活，服务于生活的新课程理念。
随着新一轮基础教育改革的推进，以数学课题学习为载体进行数学实践活动教学便顺理成章的成为培养学生创新意识和实践能力的重要方式之一。
本课就以课题学习中的“最短路径问题”，引导学生以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，结合法国数学家笛卡尔的名言“一切问题都可以转化为数学问题”，借助轴对称、平移等全等变换方法进行研究，让学生亲历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用，培养学生的转化意识，使学生对数学理解的同时，获得成功的体验和克服困难的经历。
本节课主要内容包括最短路径问题中基本类型的建立，将军饮马问题的转化，最值问题的迁移。
二．教学目标设置1. 会将实际问题中的地点、河（湖）岸等抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题，体会实际生活和数学之间的密切联系。
2. 体验利用轴对称和平移全等变换的方法来解决最短路径问题，通过观察、操作、归纳等一系列过程，培养学生的实际动手能力，以此激发学生学习数学的兴趣，培养学生探究科学的热情。
3. 理解把求最短路径的实际问题转化成数学中的线段和最小问题，再利用轴对称等线段变换将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题，进而把最短路径的实际问题迁移到数学学习中的求解最值的题型中来。
三．重点与难点1. 重点：理解轴对称把“将军饮马问题”转化为最短路径中的“基本类型”，实现等线段变换的实质；2. 难点：把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中。
四. 教学问题诊断分析从学生学习的情况来看，最短路径问题，学生比较陌生，对题目的理解难度比较大。
很多同学能理解找对称点的目的是使“将军饮马问题”转化为“基本类型”，但没有理解找到对称点后，实质上也是把最短路径问题转化为对称点和另一点之间的最短路径问题，导致仍然有同学即使找到对称点，也仍然不能顺利的找到实现最短路径的交点。
对于最值问题的迁移，有少量同学仍然不能灵活运用最短路径来解决，这是最短路径问题应用到数学问题中的一个难点，对于初中生来说，理解是需要一些时间的。
五．教学策略分析本节课的难点是把解决最短路径问题的实际迁移到数学中的最值题型中，突破策略主要是：1. 创设问题情境，从名人名言出发，结合身边的简单实例，设计旅游景点为背景，把每一种类型的问题都设计在景点中，激发同学们的兴趣；2. 学生适度模仿，找相似题型进行类比，自己动手方能熟知最短路径的作图方法；3. 学生比较两种最短路径问题的区别；引导类比思考，让学生将已学习过的知识与这一新知之间建立联系；4. 运用轴对称的性质及“两点之间，线段最短”的公理，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的本质转移.在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、学生合作举例的方式，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新知识、解决新问题的方法．六．教学方法与教学手段问题引导教学法，启发式教学，小组合作学习．七．教学过程1.创设情境引入课题【引用名人名言】数学家笛卡尔的名言：“一切问题都可以转化为数学问题”。
设计我校简单的平面地图，如果从教学楼到图书馆，有几条线路可走？最短的线路是哪一条？选择的依据是“两点之间，线段最短”。
从而得出我们在解决实际问题时，很自然的运用了笛卡尔的名言启发；由“线段最短”得出这节课的主题——最短路径问题。
[设计意图] 通过名人名言的启发和学生熟悉的学校环境，引导学生将实际问题转化为数学问题。
[教学片段]师：先来做个小调查，学了好几年的数学，你们都认识了哪些数学家呢？生：阿基米德生：华罗庚师：有谁还记得他是谁吗？生：笛卡尔师：他对数学做出了哪些重要贡献呢？生：建立笛卡尔坐标师：还有吗？生：……师：他还有一句名言：一切问题都可以转化为数学问题。
看似简单的几个字，却道破了解决数学问题的天机。
我们先来看一个简单的例子，这是我们学校的简易平面地图，如果要从教学楼去图书馆，有多少条路线呢？生：无数条。
师：正确。
如果我给你指定这三条线路，你会走哪一条？生：第3条师：为什么？有什么依据？生：两点之间，线段最短师：对。
这说明同学们自然而然的就把教学楼和图书馆抽象成数学里的两个点了。
这就是笛卡尔的名言无形的引导着我们的数学学习。
另外，像这种线段最短的问题，你还知道哪一种呢？生：（思考。
）师：过直线外一点作直线上所有点的线段中，什么线段最短？生：垂线段师：对，像这类关于“线段最短”的问题，我们称它们为最短路径问题。
而这两个结论也是我们这节课要解决问题的重要依据。
像刚才从教学楼到图书馆的线路选择，就是我们生活中最寻常不过的最短路径问题了。
等下我们会再讨论两类不同的问题，来体会如何运用所学知识并结合笛卡尔的名言选择最短路径。
（板书：最短路径问题）【设计背景】接下来要先给大家介绍一个既好看又好玩的地方。
（播放PPT）这是贵州荔波小七孔。
这里是世界自然遗产之一，拥有全球独特的喀斯特地貌，堪称地球腰带上的绿宝石。
地貌独特，风景优美，山清水秀，还有很多的神话传说。
（播放PPT）这是景点卧龙潭，碧蓝的湖水清澈见底；鸳鸯湖，树木从湖水里生长出来，别具一格，湖水四季恒温；水上森林，水上嬉戏，培养亲子感情等情感的娱乐佳地；68级跌水瀑布，每一级有不同角度的美……如此美景佳境，大家一定很想去看看了，那我们就迫不及待咯。
来到景点下车后，要先去售票厅买票。
[设计意图]虽说最短路径问题是一堂与实际生活紧密联系的问题，但每每上起来都感觉有些枯燥乏味，现将其中的问题都设计在有名的景点中，可以达到激发同学们的学习兴趣的目的。
2.设计情景得出基本类型【情景1】下图是停车场和售票厅的相对位置，为了在旅游高峰期尽快到达售票厅排队买票，你们会在人行小路的哪个位置横过小路使得所走的路程最短？售票大厅人行小路停车场[设计意图] 设计旅游景点作为背景，激发同学们兴趣和求知欲，要想快速到达售票厅，则需要将实际问题转化为数学问题. 然后继续追问如何转化，突出转化过程中正确建立模型的重要性.[教学片段]这就是第一类最短路径问题。
根据笛卡尔对我们的启发，首先做什么？生：转化为数学问题师：好。
如何转化？生：把售票大厅和停车场分别抽象为A、B两点，人行路抽象为直线l师：对，建立模型如下，那么我们的实际问题就转化为求在直线l上存在的C点，使得AC和BC的距离和最短。
这个C点该如何确定呢？请同学们拿出《导学案》，动手画一画，并总结出最佳方案（或作法）和依据。
生：画图，找方案和依据。
师：发现很多同学很快就找到C点了，这说明一旦把实际问题转化为数学问题，问题就变得更加简单了。
谁来分享一下你的作法？生：直接连接A、B两点与直线l有个交点，就是C点师：大家说这种作法，对不对？生：对师：那你们的依据是什么呢？一起来大声说。
生：两点之间，线段最短师：很好。
我们最终按要求确定了横穿小路的位置。
像这种两点处于一条直线异侧的类型，做起来很简单，我们把这种最简单的最短路径问题的模型作为基本类型。
用来类比其它的最短路径问题，然后加以转化，达到使复杂的问题简单化的目的。
（板书：类型1：基本类型）3. 设计情景得出将军饮马问题【情景2】如图，鸳鸯湖的河岸1 处的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后将游客送往小岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得其路径最短，才能达到节约成本的目的。
[设计意图] 把历史上有名的将军饮马问题设计到旅游景点的娱乐项目里，激发同学们的学习兴趣和求知欲。
并且点出“这可不像基本类型那么简单了哦！”引导学生把这种类型转化为基本类型的思维方向，突出本节课的重点。
[教学片段]说着说着，我们不知不觉来到了鸳鸯湖。
鸳鸯湖是一定要去玩的，人们都说：下了鸳鸯湖，白发老翁都能变少年呢！如图，鸳鸯湖的河岸 1 处的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后将游客送往小岛上游览，请问工作人员把渡口设定在河岸2的何处，使得其路径最短，才能达到节约成本的目的。
这就是第二类最短路径问题，同样的，我们要先把实际问题转化为数学问题，建立模型如下：把旅游船和小岛抽象为A、B两点，河岸2抽象为直线l，实际问题就转化为求在直线l上存在的C点，使得AC和BC的距离和最短。
这个C点该如何确定呢？这可不像基本类型那么简单了哦！生：转化师：如何转化？生：……师：让我们先来类比基本类型，有何不同呢？生：类型二的两点在同侧，类型一的两点在异侧师：那么我们需要把其中一个点转移到直线的异侧，那该如何转移呢？转移的条件是什么？同桌之间可以相互讨论一下，并在《导学案》上画出来，等下请一位同学来分享你的方案。
生：讨论师：OK，请大家停下讨论。
哪位同学先来分享一下。
生：通过对称转化为类型一师：选择对称的理由是什么？生：线段的长度不能改变师：哦！那也就是说我们转移一个点到直线异侧的条件是：不能改变各条线段的长度！简单说就是要全等变换。
全等变换的方法除了轴对称，还有平移和翻折。
我以转移B点为例，作B点关于直线l的垂线，截取OB=OB’，B’点就是B 点的对称点，根据轴对称的性质：对称点到轴对称上任何一点的距离都……？生：相等师：最终实现了转化为基本类型的目的。
最后如何来确定C点呢？生：直接连接AB’，与直线l的交点就是C点师：非常好！连接A点和对称点B’与直线的交点就是C点。
所以旅游船的最短路线是A→C →B。
【师生互动】回顾轴对称的性质，总结全等变换的方法除了轴对称，还有平移和翻折，为后续“造桥选址问题”的解决做铺垫.【问题】为什么我们通过这种方法找到的C点就一定是最短的呢？你能以理服人吗？[设计意图] 引导学生要以理服人，并非凭空想象或机缘巧合得到的。
凡事都得有个凭据才能说服他人。
[教学片段]为什么我们通过这种方法找到的C点就一定是最短的呢？你能以理服人吗？生：思考师：哪位同学来说一说？生：在直线L上另外找一点C’，证明AC’+BC’比AB+BC长。
师：如图所示，另取一点P（不与C点重合）。
连接AP、BP、B’P，证明AC+BC＜AP+BP。
分析：∵BC=B'C∴AC+BC=AC+B'C=AB又∵BP=B'P∴AP+BP=AP+B'P∴AB＜AP+B'P即AC+BC＜AP+BP 照这么分析看来，无论在直线上哪个位置找一个与C点不一样的点，都要比AC+BC的距离和长。
对不对？生：对。
师：那么你的依据是什么呢？生：三角形的两边之和大于第三边师：请同学们课后完成证明过程。