福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案

《数学建模》期末考试A卷
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一、判断题（每题3分，共15分）
1、模型具有可转移性。

------------------------------（对）
2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

----（对）
3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

-------------------------------------------（对）
4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。

------（对）
5、数学模型是原型的复制品。

----------------- （错）
二、不定项选择题（每题3分，共15分）
1、下列说法正确的有AC 。

A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。

B、模型误差是可以避免的。

C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。

D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。

2、建模能力包括ABCD 。

A、理解实际问题的能力
B、抽象分析问题的能力
C、运用工具知识的能力
D、试验调试的能力
3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。

A、传染病模型
B、代数模型
C、几何模型
D、微分模型
E、生态模型
4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。

A、机理分析法
B、几何法
C、系统辩识法
D、代数法
5、一个理想的数学模型需满足AB 。

A、模型的适用性
B、模型的可靠性
C、模型的复杂性
D、模型的美观性
三、用框图说明数学建模的过程。

（10分）
答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：
四、建模题（每题15分，共60分）
1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？
解：4条腿能同时着地
（一）模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设:
(1)地面为连续曲面
(2)长方形桌的四条腿长度相同
(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

（二）模型建立
现在，我们来证明:如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B、C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除
这一不确定性，令f(θ) 为A、B离地距离之和，g(θ)为C、D离地距离之和，
它们的值由θ唯一确定。

由假设(1)，f(θ), g(θ)均为0的连续函数叹由假设(3),三条腿总能同时着地，故f(θ) g(θ)=0必成立()。

f(θ), g(θ)均为0的连续函数。

又由假设(3),三条腿总能同时着地，故f(θ) g(θ)=0必成立()。

不妨设f(θ)=0, g(θ)>0 (若g(0)也为0,则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转)，于是问题归结为:已知f(0), g(θ)均为θ的连续函数，f(0)=0, g(0)> 0且对任意θ有f(θ) g(θ)=0,求证存在某一0。

，使f(θ) g(θ)=0。

（三）模型求解
证明:当日=π时，AB与CD互换位置，故f(π)>0, g(π)= 0 o作h(θ)= f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(θ)= f(θ)- g(θ)<0而h(π)= f(π)-8(r)> 0，由连续函数的取零值定理，存在θ，0<θ<π，使得h(θ)=0，即h(θ)= g(θ)。

又由于f(θ) g(θ)=0,故必有f(θ)= g(θ)=0,证毕。

2、建立模型说明同样多的面粉，多包几个饺子能多包馅，还是少包几个饺子能多包馅？
解：在饺子皮相对与饺子馅比较薄的情况下,忽略饺子皮厚度对饺子体积的影响，每个饺子能包的馅y=f(x)=kx^1.5 其中x为每个饺子消耗面粉量,k为常数。

所以能包的馅总共有My/x=Mkx^0.5 其中M为总面粉量。

显然这个函数在0到正无穷上是增函数,
所以结论：饺子包越大相同面粉能包的馅越多，少包几个饺子能多包馅。

3、投资生产A产品时，每生产一百吨需资金200万元，需场地200平方米，可
获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百吨需资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元、场地900平方米，问应做怎么样的组合投资，可使所获利润最多。

解:设生产A产品X百吨,生产B产品Y百吨,则最大利润为Z,则有模型如下：Z=300X+200Y,
由题得X、Y需要满足：200X+300Y≤1400
200X+100Y≤900
画图解得X=3.25；Y=2.5时Z最大，且此时Z=300*3.25+200*2.5=1475 得出，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百吨时获利最大，最大利润为1475万元。

4、在某5000个人中有10个人患有一种病，现要通过验血把这10个病人查出来，若采用逐个人化验的方法许化验9999次，（这里所需化验次数是指在最坏情况下化验次数，如果碰巧，可能首先化验的10个人全是病人，10次化验就够了，下面讨论的化验次数均指在最坏情况下的化验次数）。

为了减少化验次数，人们采用分组化验的办法，即把几个人的血样混在一起，先化验一次，若化验合格，则这几个人全部正常，若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对它们重新
化验（逐个化验或再分组化验）。

试给出一种分组化验的方法使其化验次数尽可能地小，不超过1000次。

解：解我们给出如下的方法:
从1000人中任取64人，把他们的血样混合化验。

一般地，n个人中有k个病人，令s使2s≤n/k<2s+1,则从n个人中任取25个人一组，当n=1000 , k=10时，25=64
若这64人混合血样合格(化验是阴性) ,则这64个人正常，可排除，无需再化验，再从剩下未化验的人中任取64个人，混合血样化验。

若这64人混合血样不合格(化验呈阳性)，说明这64人中有病人。

把这64个人，分为两组，每组32人。

任取一组的混合血化验，即可确定有病人的一组。

(即只需化验-次，若化验的这组血样成阴性，则病人在另- -组。

若化验的这组血样成阳性，这组有病人，但此时，另-组也可能有病人)。

作为最坏的可能情形，我们无法保证另-组的32人中没有病人，故选定有病。

人的一组后，把另一组人退回到未化验的人群中去。

把有病人的这组32人，再分为两组，每组16人，重复上述过程。

即化验- -次，确定有病人的一组，把另一组退回到未化验的人群中。

依次下去，直到找到一个病人为止。

至此一-共化验了7次。

再从未化验的人中任取64人重复上述过程。

总之，对每次64人混合血化验成阳性的，通过7次化验可找到1个病人，由于共有10个病人，因此，这样的情形，化验次数不超过7X10=70次。

对每次64人混合血化验成阴性的，由于1000=15X64+40，化验次数不超过15次。

故总的化验次数不超过70+15=85次。