北京四中网校数学试卷
2024年北京四中高三(上)期中数学试题及答案
2024北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集R U =，集合{}240A x x =−<，{}1B x x =≥，则()UA B ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()2,2−C. (),2∞−D. ()2,1−2. 不等式111x x >−的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (1,)+∞ C. (0,1)D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（ ） A. 2B. 2−C. 1D. 1−4. 已知函数()23f x x x=−−，则当0x <时，()f x 有（ ）A. 最大值3+B. 最小值3+C. 最大值3−D. 最小值3−5. 设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos23α=，则cos β=（ ）A.19B. 19−C.9 D. 9−7. 近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e t aQ Q−=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（ ） （参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈） A. 280B. 300C. 360D. 6408. 已知函数()1,2,x x x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0]−∞B. [0,1]C. [0,)+∞D. (,1]−∞9. 已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（ ）A. 0a s >，0a t >B. 0a s <，0a t <C. 0a s >，0a t <D. 0a s <，0a t >10. 已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=−．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（ ） A. ()3,4 B. ()2,3 C. 3216,115⎛⎫⎪⎝⎭ D. 832,311⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知复数5i2iz =−，则z =______. 12. 已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =______. 13. 已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为______. 14. 在ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=_____； （2）若ABC，则最短边的长为______.15. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M −.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”； ②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.16. 已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =−. （1）求ϕ的值；（2）若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. 在ABC 中，2cos 2c A b a =−.（1）求C ∠的大小；（2）若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC 的面积为条件②：1b a −=； 条件③：1sin sin 2B A −=. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+−−. （1）求()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()f x x a '<−+有解，求实数a 的取值范围.19. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .（1）求C 的方程；（2）是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由. 20. 已知函数()e xf x x ax =−，R a ∈.（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程； （2）若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；（3）当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. 已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），ij A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.（1）若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；（2）若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；（3）若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 【答案】D【分析】先求出集合A ，然后求出UB ，进而求得()U A B ⋂.【详解】由240x −<，得22x −<<，所以{}|22A x x =−<<, 因为{}|1B x x =≥，所以{}|1UB x x =<,所以(){}|21UA B x x ⋂=−<<.故选：D. 2. 【答案】C【分析】根据题意，由条件可得10(1)x x −>−，即可得到结果.【详解】111x x >−，则11101(1)x x x x −−=>−−，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1． 故选：C3. 【答案】A【分析】找基底分别表示,AE BC ，然后计算即可. 【详解】由题可知，111222AE AC AB AD ==+,BC AD =, 所以2111122222AE BC AB AD AD AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭故选：A 4. 【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由题意当0x <时，()()233f x x x ⎡⎤⎛⎫=+−+−≥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，等号成立当且仅当x = 故选：B. 5. 【答案】D【详解】若0,2a b ==−，则22a b <，故不充分；若2,0a b =−=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. 6. 【答案】A【分析】根据对称得2k βππα=+−，再结合二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】由题意2,Z k k αβππ+=+∈，即2k βππα=+−，而2221cos 2cos 121239αα⎛⎫=−=⨯−=− ⎪⎝⎭，()1cos cos 2cos 9k βππαα=+−=−=． 故选：A ． 7. 【答案】C【分析】根据题意建立等式，然后化简求解即可. 【详解】由题可知，28028000000.5,0ee.2an aQ Q Q Q −−+== ，即280280ln 2,ln 5na a+==， 两式相比得280ln 5ln10ln 2280ln 2ln 2n +−== 解得360n ≈ 故选：C 8. 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数a 的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示：由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ； 同理当1a >,值域也不是R ；当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤. 故选：B 9. 【答案】D【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，0a >，区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度相同；取π6a =，则[][]ππππ,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t >，故A 可能； 取7π6a =，则[][]7π7π7π7π,2,,2,3,6332a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s <，0a t <，故B 可能； 取5π12a =，则[][]5π5π5π5π,2,,2,3,12664a a a a ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时0a s >，0a t <，故C 可能； 由三角函数性质可知，假设0a s <，0a t >成立，必然有πa >，所以区间[],2a a 与[]2,3a a 的区间长度大于π，根据sin y x =的函数图象可知， 当区间长度大于π，sin y x =在区间[],2a a 与[]2,3a a 上的取值必然有正有负， 此时0a s <，0a t <，故与假设矛盾，故D 不可能. 故选：D 10. 【答案】D【分析】根据递推关系分析式子要有意义，数列中的项不能取那些值即可求解. 【详解】p 为真命题，则2n a ≠， 由2n a ≠从后往前推，14n a −≠，283n a −≠, 3165n a −≠,43211n a −≠,,n k a −,而8(2,3)3∈，排除，16(3,4)5∈,排除， 由蛛网图可知3n k a −→,而63321,115∈⎛⎫⎪⎝⎭，n a 之前的项会趋向于3，所以C 项排除. 因为()24832,,311n n a a −−⎛⎫= ⎪⎝⎭，已经越过不能取的值，故正确.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【分析】根据复数的除法和模的公式即可. 【详解】()()()5i 2i 5i 10i 512i 2i 2i 2i 5z +−====−+−−+，则z ==.. 12. 【答案】3【分析】首先求出()273f =，再对a 分类讨论即可. 【详解】()327log 273f ==， 则()33f a =，()1f a =，当0a >时，由3log 1a =，得3a =； 当0a <时，由31a =，得1a =.（舍去） 故答案为：3 13. 【答案】{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）【分析】分类讨论过点D 和不过点D 的幂函数即可. 【详解】幂函数都经过点()1,1B ；若该幂函数经过点D ，可得1242αα=⇒=，该幂函数方程为y =()0,0A ， ()1,1B ，()4,2D ；若该幂函数不过点D ，则12α≠，此时过点()0,0A ，()1,1B ，()1,1C −， 显然{}N 21,Z k k ααα∈∈=−∈. 故答案为：{}1N 21,Z 2k k αα⎧⎫∈=−∈⋃⎨⎬⎩⎭（取该集合中的任意一个元素均算正确）14. 【答案】 ①.3π4②【分析】（1）利用三角形三内角和为π计算即可； （2）先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可. 【详解】（1）由题可知()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=−+=−=−−所以3π4C ∠=；（2）由题可知，最长边为边c =a ；易知sin ,sin 172A C ==由正弦定理可知，sin sin ca A C==故答案为：3π4； 15. 【答案】①③④【分析】①中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；②中举反例保证函数的值域为集合[],M M −的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；③根据反证法可判断；④中根据函数的值域，可以发现()()f x g x +∈R ，从而发现命题正确； 【详解】对①，“()f x A ∈”即函数()f x 值域为R ，“t ∀∈R ，关于x 的方程()f x t =都有实数解”表示的是函数可以在R 中任意取值， 命题①是真命题；对②，若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[],M M −． ()M f x M ∴−≤≤．例如：函数()f x 满足2()5f x −<<，则有5()5f x −≤≤，此时，()f x 无最大值，无最小值．命题②是假命题；对③，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈， 则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，()()f x g x M ≤，若()g x B ∉，则对任意的正实数()1u u >，总存在1X ，当1x X >时，()g x u >， 而()f x A ∈，故存在2X ，当2x X >时，()f x u >， 故当{}12max ,x X X >时，有()()2f xg x u u >>，这与()()f x g x M ≤矛盾，故()g x B ∈,故命题③是真命题． 对④，若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()f x 值域为R ，即()(,)f x ∈−∞+∞，并且存在一个正数M ，使得()M g x M −≤≤，()()f x g x ∴+∈R ，则()()f x g x B +∉．命题④是真命题．故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.三、解答题共6小题，共85分.16. 【答案】（1）π3ϕ=−（2）()f x 的最小值为()f x的最大值为1【分析】（1）首先利用和差公式进行化简，再结合正弦型函数的周期性以及()2f T =−即可求得ϕ的值；（2）首先根据题意得出()f x 的最小正周期，进而可得()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图像与性质即可求得最值. 【小问1详解】由两角和与差的正弦公式可得()()sin cos cos sin sin f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+, 由于0ω>，则()f x 的最小正周期为2πT ω=，()()2sin sin 2πsin 2f T πωϕϕϕω⎛⎫=+=+==−⎪⎝⎭, 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=−；【小问2详解】因为()f x 与x 轴相邻的两交点间的距离为π2，所以()πsin 3f x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 所以2π2πω==，即()πsin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质可得：当ππ233x −=−即x =0时，()f x 取最小值2−, 当ππ232x −=即5π12x =时，()f x 取最大值1. 17. 【答案】（1）π3（2）选①时三角形不存在；选②时AC 边上的中线的长为1；选③时AC 边上的中线的长为1. 【分析】（1）由正弦定理及sin sin cos cos sin B A C A C =+得到1cos 2C =，结合()0,πC ∈，得到π3C =； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到2211a b +=，由222a b ab +≥推出矛盾； 选②，先求得2ab =，则可得1,2a b ==，再利用余弦定理求解即可得中线长. 选③，根据三角恒等变换得到π6A =，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，由正弦定理得到AC ，求出中线. 【小问1详解】 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =−， 得2sin cos 2sin sin C A B A =−.（i ）因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+.（ii ） 由（i ）（ii ）得2sin cos sin 0A C A −=.因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】选①，ABC 的面积为1sin 2ab C =，即4ab =8ab =，因为c =，由余弦定理得222cos 2a b c C ab+−=，即2231162a b +−=，解得2211a b +=，由基本不等式得222a b ab +≥，但1128<⨯， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：1b a −=，两边平方得2221a b ab +−=，（iii ）由余弦定理得223122a b ab +−=，即223a b ab +−=，（iiii ） 联立（iii ）（iiii ）得2ab =，所以1,2a b ==， 设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+−⋅2242b ab a =+−1=. 所以AC 边上的中线的长为1. 选条件③：1sin sin 2B A −=. 由（1）知，π33ππ2B A A ∠=−−∠=−∠.所以2π1sin sin sin sin cos sin sin 322B A A A A A A ⎛⎫−=−−=+−⎪⎝⎭1cos sin 22A A =−π=sin 3A ⎛⎫− ⎪⎝⎭.所以π1sin 32A ⎛⎫−=⎪⎝⎭. 因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭. 所以π3π6A −=，即π6A =. 所以ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =，所以2sin sin 3AB AC C ===. 所以AC 边上的中线的长为112AC =. 18. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ （2）22ln 2a >−【分析】（1）求出函数的定义域，1()2ln f x x x x '=+−，设1()2ln h x x x x=+−，2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立，由(1)0h =，利用导数与函数单调性的关系即可求解. （2）令1()2ln g x x a x=+−，利用导数求出()g x 的最小值，使()min 0g x <，解不等式即可求解. 【小问1详解】 定义域为{|0}x x >，1()2ln f x x x x'=+−， 设1()2ln h x x x x=+− 2'2(1)()0−=−≤x h x x恒成立 所以()h x 在()0,+∞上是减函数，且(1)0h = 则当(0,1)x ∈时，()0h x >，即()0f x '>， 则当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，()f x 的单调递减区间(1,)+∞ 【小问2详解】由（1）知1()2ln f x x x x'=+−，所以1()2ln '+−=+−f x x a x a x ，令1()2ln g x x a x=+−， 222121()x g x x x x−'=−=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为112ln 222ln 222g a a ⎛⎫=+−=−−⎪⎝⎭， 所以若关于x 的不等式()0g x <有解，则22ln 20a −−<， 即22ln 2a >−19. 【答案】（1）2214x y +=（2）存在，1t =或4t =【分析】（1）由题可知，24,2a c ==，然后利用,,a b c 的关系求解即可.（2）先设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y ，然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到212122224,44mt t y y y y m m −−+==++，然后求出1120,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，再计算OM ON 的值，化简最后求出t 即可. 【小问1详解】由题可知，24,2a c ==得2,1a c b ====所以椭圆C 的方程为2214x y +=【小问2详解】由题可知，直线PQ 不能水平，A (−2,0)设直线PQ 的方程为x my t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立()22222142404x y m y mty t x my t ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩所以Δ=(2mt )2−4(m 2+4)(t 2−4)=16(m 2−t 2+4)>0212122224,44mt t y y y y m m −−+==++ 直线AP 方程为y =y 1x 1+2(x +2)所以1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以()()121212122242222y y y y OM ON x x my t my t =⨯=++++++ ()()()()()221222222121222444442222244t y y m t mt m y y m t y y t m m t t m m −+==−−+++++++++++()()()()22242222224t t t m t m t t m −−==+−−+++ 若13OM ON ⋅=，得4t =或1t =当4t =时，Δ=16(m 2−12)>0，得m >m <− 当1t =时，Δ=16(m 2+3)>0恒成立， 所以存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13，1t =或4t =. 20. 【答案】（1）e e y x =− （2）21e a ≤−（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）按照求具体函数在某点处的切线方程的方法求解即可；（2）先求导，然后利用导函数大于等于零恒成立，参变分离，求参数的范围即可； （3）先判断函数()e xf x x ax =−的单调性的情况，然后再判断不存在即可.【小问1详解】 由题得()e e xf x x x =−所以()()10,e e e xxf f x x ==+−'所以()1e f '=所以在点(1,f (1))处的切线方程为e e y x =−. 【小问2详解】由题得()()1e xf x x a =+−'要使函数()f x 是单调递增函数， 则()()1e 0xf x x a '=+−≥恒成立，即()1e xa x ≤+恒成立，令()()1e xg x x =+得()min a g x ⎡⎤≤⎣⎦，()()2e xg x x ='+令()()2e 0xg x x =+='，得2x =−显然，当2x <−时，()0g x '<，所以函数()()1e xg x x =+单调递减；当2x >−时，()0g x '>，所以函数()()1e xg x x =+单调递增；故()()2min12e g x g ⎡⎤=−=−⎣⎦所以21e a ≤−【小问3详解】 不存在，理由如下， 由题得()()1e xf x x a =+−'因为0a ≥，显然当1x ≤−时，()()1e 0xf x x a '=+−≤，f ′(a )=(1+a )e a −a >0由（2）可知，()()f x g x a '=−在()2,∞−+单调递增， 所以()()1e xf x x a =+−'在R 上由唯一的零点[)01,x a ∈−当0x x <时，f ′(x )<0，所以()f x 单调递减； 当0x x >时，f ′(x )>0，所以()f x 单调递增；所以当0a ≥时，不存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==. 21. 【答案】（1）3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A = （2）max 16=m （3）max m n =【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合{1,2,3,4,5}A =的子集进行两两配对得到16组，写出选择A 的16个含有元素1的子集即可得到max m ；（3）分1~m A A 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及1~m A A 均为三元集合讨论即可. 【小问1详解】因为13231N N ==，则13A A ⋂和23A A 的元素个数均为1，又因为{}{}124,1,2,1,3n A A ===，则{}1,2,3,4A =， 若{}131A A ⋂=，{}231A A ⋂=，则3{1}A =或3{1,4}A =； 若{}132A A ⋂=，{}233A A ⋂=，则3{2,3}A =或3{2,3,4}A =； 综上3{1}A =或3{1,4}A =或3{2,3}A =或3{2,3,4}A =. 【小问2详解】集合{1,2,3,4,5}A =共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组,(1,2,,16)i i B C i =，使得,i i i i B C B C A ⋂=∅⋃=，则,i i B C 不能同时被选中为子集(1,2,,)j A j m =，故16m ≤.选择A 的16个含有元素1的子集:12316{1},{1,2},{1,3},A A A A A ===⋯⋯=，符合题意. 综上，max 16=m . 【小问3详解】 结论:max m n =，令123{1},{1,2},{1,3},,{1,}n A A A A n ====，集合1~n A A 符合题意.证明如下：①若1~m A A 中有一元集合，不妨设1{1}A =，则其它子集中都有元素1，且元素2~n 都至多属于1个子集， 所以除1A 外的子集至多有1n −个，故m n ≤.②若1~m A A 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设1{1,2}A =.其它子集分两类:{}1,j j B b =或{}1,,(1,2,,)j j b b j s '=，和{}2,j j C c =或{}2,,(1,2,,)j j c c j t '=，其中,,j j s t b b '≥互不相同，,j j c c '互不相同且均不为1，2.若0t =，则2s n ≤−，有11m s t n n =++≤−<若1t ≥，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都恰包含1C 中的1个元素（不是2)， 且互不相同，因为1C 中除2外至多还有2个元素，所以2s ≤. 所以1122m s t n =++≤++<.③若1~m A A 均为三元集合，不妨设1{1,2,3}A =.将其它子集分为三类：{}{}{}1,,(1,2,,),2,,(1,2,,),3,,(1,2,,)j j j j j j j j j B b b j s C c c j t D d d j r '''======，其中s t r ≥≥. 若0t r ==，则32n s −≤(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合1~s B B )， 所以3112n m s n −=+≤+<. 若1t ≥，不妨设1{2,4,5}C =，则由11j B C ⋂=得每个集合j B 中都或者有4、或者有5， 又12,,,s B B B 中除1外无其它公共元素，所以2s ≤.所以112227m s t r n =+++≤+++=≤. 综上，max m n =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对1~m A A 中集合元素个数进行分类讨论；当1~mA A均为三元集合时，不妨设1{1,2,3}A=，再将其它子集分为三类讨论.。
2023-2024学年北京市第四中学九年级上学期开学考试数学试卷含详解
数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C.D.2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，253.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A.36cmB.82cmC.83cmD.86cm8.图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点．求证：12CD AB =．方法一方法二证明：如图，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,AE BE ．证明：如图，取BC 的中点E ，连接DE ．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a ______，C 点坐标为_____；（2）当x 何值时两车相遇？（3）当x 何值时两车相距200千米？25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD 的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．27.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点Q ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点P ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点Q 为线段AB 的“银杏点”．已知3214A B （，），（，）．（1）在()()()()12341,3,2,6,2,2,4,4Q Q Q Q ----中，线段AB 的“银杏点”是_________；（2）点Q 为直线2y kx =-上一点，若点Q 是线段AB 的“银杏点”且不在第四象限，求k 的取值范围；（3）已知正方形CDEF 边长为1，以()2,T t 为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M ，N 在线段AB 上．若正方形CDEF 上的任意一点都存在线段MN ，使得该点为线段MN 的“银杏点”，直接写出t 的取值范围．数学练习学生须知1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试卷用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每题2分，共16分）1.下列各式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．【详解】解：A 3=，不是根式，故不符合题意；B C是最简二次根式，故符合题意；D25，可化为故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.5，12，13D.7，24，25【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A 、123+=，不能构成三角形，则此项符合题意；B 、222345+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；C 、22251213+=，能构成直角三角形，则此项不符合题意；D 、22272462525+==，能构成直角三角形，则此项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．3.下列化简正确的是（）A.+=B.=C.3=D.3-=【答案】B【分析】利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可逐一判断结论．【详解】解：A 5=，选项的运算结果不正确，不符合题意；B =，选项的运算结果正确，符合题意；C ．3=-，选项的运算结果不正确，不符合题意；D ．-=故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则．4.菱形和平行四边形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分【答案】D 【分析】结合平行四边形和菱形的性质即可求解．【详解】解：A ：菱形与平行四边形的对角线都不具有相等的性质，故A 错误；B ：菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不具有这一性质，故B 错误；C ：菱形的对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不具有这一性质，故C 错误；D ：菱形与平行四边形的对角线都具有互相平分的性质，故D 正确．故选：D【点睛】本题综合考查菱形和平行四边形的性质．熟记相关结论是解题的关键．5.在平面直角坐标系xOy 中，点()()122,3,A y B y ，在函数74y x =--的图象上，则（）A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.以上都有可能【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性即可求解．【详解】解：∵70k =-<∴y 随x 的增大而减小∵23<∴12y y >故选：A【点睛】本题考查一次函数的性质．关键是掌握一次函数的增减性．6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）A.甲同学平均分高，成绩波动较小B.甲同学平均分高，成绩波动较大C.乙同学平均分高，成绩波动较小D.乙同学平均分高，成绩波动较大【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可．【详解】解：100859080958590808580908455x x ++++++++====乙甲，，∴()()()()22222110090859080909590505S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙，()()()2222128584908428084145S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-=⎣⎦甲，∵9084>，5014>，∴乙的平均分较高，成绩波动较大，甲的平均分较低，成绩波动较小；故选：D ．【点睛】本题考查了算术平均数、方差．解题的关键在于正确的计算．7.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC ，90B CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点N 在边CD 上运动，点M 在边BC 上运动，连接MN ，AN ，分别作出MN 和AN 边的中点E 和F ，测得EF 的最小值是6cm ，则最长的斜边CD 的长为（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】连接AM，根据三角形中位线定理求出AM，根据题意求出AB，解直角三角形得到答案．【详解】解：连接AM，∵点E和F分别为MN和AN边的中点，∴AM＝2EF，∵EF的最小值是6cm，∴AM的最小值是12cm，由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，∴AB＝12cm，∴ACAB＝cm，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，则CD＝cos32ACACD==∠（cm），故答案选：D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、解直角三角形，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．8.图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】设两个直线关系式，再表示出z ，x 之间的关系式，即可得出图象．【详解】解：根据图像可知y 与x 是一次函数，z 和y 是正比例函数，设关系式为y kx b =+，1z k y =，∴0,0k b <>，10k >，∴<>，1100k k k b ，∴1111()z k y k kx b k kx k b ==+=+，可知z 与x 是一次函数，且图象经过一，二，四象限；∴图像B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9.5x -在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是_________．【答案】5x ≥##5x≤【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案.【详解】解：式子5x -50x -≥，即5x ≥故实数x 的取值范围是5x ≥.故答案为：5x ≥【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键.10.2≈____.414，则8的近似值是____（精确到0.01）．【答案】①.1②.2.83【分析】用“夹逼法”的整数部分即可．【详解】解：∵1<2<4，∴12，≈1.414．=2≈2.83．故答案为：1，2.83．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．11.一次函数的图象经过（-1,0）且函数值随自变量增大而减小，写出一个符合条件的一次函数解析式__________．【答案】y=-x-1，满足()y=ax+a a 0＜即可【分析】根据题意假设解析式，因为函数值随自变量增大而减小，所以解析式需满足a 0＜，再代入（-1,0）求出a 和b 的等量关系即可．【详解】设一次函数解析式()y=ax+b a＜0代入点（-1,0）得0=-a+b ，解得()a=b a 0＜所以()y=ax+a a 0＜我们令a=-1y=-x-1故其中一个符合条件的一次函数解析式是y=-x-1．故答案为：y=-x-1．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，根据题意得出a 和b 的等量关系，列出其中一个符合题意的一次函数解析式即可．12.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：项目演讲内容演讲能力演讲效果成绩908090若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为__________．【答案】86【分析】利用加权平均数的计算方法解题即可．【详解】解：选手的综合成绩为9050%8040%9010%86⨯+⨯+⨯=，故答案为：86【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．13.如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为_______．【答案】165【分析】根据图形和三角形的面积公式求出ABC 的面积，根据勾股定理求出AC ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，AE BC ⊥，BD AC ⊥，∴ABC 的面积1144822BC AE =⨯=⨯⨯=，由勾股定理得，5,AC ==则8125BD ⨯⨯=，解得165BD =，故答案为：165【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14.如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是___．【答案】5【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD ＝BC ＝EB ＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD ＝AB ＝8，∠EDC ＝90°，根据勾股定理可求CE 的长．【详解】解：∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ＝5，∴AD ＝5，∵EA ＝3，ED ＝4，在△AED 中，32+42＝52，即EA 2+ED 2＝AD 2，∴∠AED ＝90°，∴CD ＝AB ＝3+5＝8，∠EDC ＝90°，在Rt △EDC 中，CE 22224845ED DC +=+=故答案为：5【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．15.如图，在ABC 中，点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且=90AFC ∠︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为________．【答案】2【分析】根据三角形中线定理求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，再进行计算即可．【详解】解：∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ∴是ABC 的中线，1=2DE BC ∴，12BC = ，=6DE ∴，在Rt AFC 中，=90AFC ∠︒，点E 是AC 的中点，8AC =，1==42EF AC ∴，==64=2DF DE EF ∴--，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16.A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=_________（用含123,,x x x 的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_________时，这种产品的成本最低．【答案】①.12323x x x ++②.1，5，1【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．【详解】∵A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：kg ）依次是1，2，3，需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），∴12323W x x x =++，故答案为：12323x x x ++；设总成本价为M 元，根据题意，得()()()12313123133252223132M x x x x x x x x x x =++=++≥++++，∵123,,x x x 均为正整数，1231323W x x x ++=≥，∴()132********M x x ≥+≥⨯=++，当且仅当，131x x ==时，成本最低，此时292x ≥，故25x =，故答案为：1，5，1．【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）17.计算：()012π--+--．【答案】1-【分析】根据零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则对各项进行计算再从左往右依次计算即可．【详解】解：原式12=-+-1=-．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，绝对值的意义，二次根式的性质以及二次根式的加减法则是解答本题的关键．18.已知1x =-，求代数式224x x +-的值．【答案】2-【分析】根据()222415x x x -++=-，将1x =代入求解即可．【详解】解：∵()222415x x x -++=-，将1x =代入得，)21152-+-=-，∴代数式的值为2-．【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值．解题的关键在于正确的运算．19.下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a ，b ，及90MAN ∠=︒．求作：矩形ABCD ，使AB a =，AD b =．作法：如图2，①在射线AM ，AN 上分别截取AB a =，AD b =；②以B 为圆心，b 长为半径作弧，再以D 为圆心，a 长为半径作弧，两弧在MAN ∠内部交于点C ；③连接BC ，DC ．∴四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：AB DC a == ，AD =b =，∴四边形ABCD 是平行四边形()(填推理的依据)．90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形()(填推理的依据)．【答案】（1）见解析（2）BC ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，矩形ABCD 即为所求；【小问2详解】证明：∵AB DC a AD BC b ====，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），90MAN ∠=︒ ，∴四边形ABCD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：BC ，两组对边分别相等的四边形的平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了作线段，矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．20.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A ，过点A 作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使2AB ＝，以原点O 为圆心，OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数是；（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB 推至AC 处，它的绳索始终拉直，量得水平距离21CD m DB m ＝，＝，求绳索AC 的长．【答案】（113（2）绳索AC 的长为2.5m【分析】（1）根据勾股定理求出OB ，根据实数与数轴解答即可．（2）设秋千的绳索长为x m ，根据题意可得3AD x m -＝（），利用勾股定理可得22263x x +-＝（），即可得到结论．【小问1详解】在Rt OAB V 中，OB 22OA AB +2232+13，∴13OC ＝，∴点C 13，13；【小问2详解】解：设秋千绳索AC 的长度为xm ，由题意可得AC ＝AB ＝xm ，∵21CD m DB m ＝，＝，∴AD AB BD x m -＝﹣＝（1），在Rt ADC 中，222AD DC AC +＝，∴22212x x +（﹣）＝，解得 2.5x ＝，即AC 的长度为2.5m ，答：绳索AC的长为2.5m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AD，AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．21.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法．．．．，完成证明．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在ABC中，90ACB∠=︒，点D是AB的中点．求证：12CD AB=．方法一证明：如图，延长CD到点E，使得DE CD=，连接,AE BE．方法二证明：如图，取BC的中点E，连接DE．【答案】见解析【分析】方法一：证明四边形ACDE为矩形，即可得证；方法二：利用是三角形的中位线定理，推出DE是BC的中垂线，即可得证．【详解】证明：（法一）∵点D是AB的中点，∴AD BD=．∵DE CD=，∴四边形ACBE是平行四边形．∵90ACB∠=︒，∴ACBE是矩形．∴AB CE=．∵12CD CE=，∴12CD AB=．（法二）∵点D 是AB 的中点，∴AD BD =．∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =．∴∥DE AC ．∴DEB ACB ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90DEB ∠=︒．∴DE 是BC 的垂直平分线．∴CD DB =．∵12BD AB =，∴12CD AB =．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理以及中垂线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握相关判定和性质．22.在平面直角坐标系xOy 中，点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，直线2:l y x m =+过点()23B ，．（1）求a 的值及直线2l 的表达式；（2）当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）3a =，直线2l 的表达式为1y x =+；（2）312k ≤≤．【分析】（1）点()1A a ，和点()23B ，，分别代入各自的函数表达式，即可求解；（2）求得过点()10-，时，k 的值，再求得两直线平行时k 的值，根据函数图象即可解答．【小问1详解】解：∵点()1A a ，在直线1:3(0)l y kx k k =+->上，∴33a k k =+-=，∵直线2:l y x m =+过点()23B ，，∴32m =+，∴1m =，∴直线2l 的表达式为1y x =+；【小问2详解】解：函数()313y kx k k x =+-=-+，当1x =时，3y =，即直线3y kx k =+-恒过点()13，，当=1x -时，10y x =+=，即直线1y x =+过点()10-，，将点()10-，代入3y kx k =+-，得03k k =-+-，解得32k =，当两直线平行时，1k =，∵当1x >-时，对于x 的每一个值，函数3(0)y kx k k =+->的值大于函数y x m =+的值，如图，∴312k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 交BD 于点O ，延长BC 到点E ，在DCE ∠的内部作射线CM ，使得15ECM ∠=︒，过点D 作DF CM ⊥于点F ．若70ABC ∠=︒，DF =，求ACD ∠的度数及BD 的长．【答案】（1）证明见解析（2）55︒，【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义证明ABD ADB ∠=∠，得到AB AD =，即可证明平行四边形ABCD 是菱形；（2）由菱形的性质可得902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，进而得到70DCE ∠=︒，110BCD ∠=︒；进一步求出55ACD MCD ==︒∠∠，则由角平分线的性质得到OD DF ==，则2BD OD ==．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴平行四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴902AB CD DOC BD OD =︒=∥，∠，，∴70DCE ABC ∠=∠=︒，180110BCD ABC =︒-=︒∠∠；∵15CEM =︒∠，∴55DCM DCE CEM =-=︒∠∠∠；∵四边形ABCD 是菱形，∴1552ACD BCD ==︒∠∠，∴ACD MCD ∠=∠，又∵OD AC DF CM ⊥⊥，，∴OD DF ==，∴2BD OD ==．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．24.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为()2km y ，慢车离乙地的距离为()1km y ，慢车行驶时间为()h x ，两车之间的距离为()km S ，1y ，2y 与x 的函数关系图象如图1所示，S 与x 的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：（1）图中的=a______，C点坐标为_____；（2）当x何值时两车相遇？（3）当x何值时两车相距200千米？【答案】（1）3，(3,180)（2）15 8（3）58或103【分析】(1)由S与x之间的函数的图象可知3a=，即得快车的速度为100km/h，由慢车5h行驶300km，知慢车的速度为60km/h，即可得快车到达乙地时，慢车行驶了180km，据此即可求得点C的坐标；(2)由15300(10060)(h)8÷+=，可得当x为158时两车相遇；(3)分两种情况：①当两车行驶的路程之和为100km时；②当两车行驶的路程和为500km时，分别计算即可求得【小问1详解】解：由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，∴由此可以得到3a=，∴快车的速度为3003100(km/h)÷=，由图可得，慢车5h行驶300km，∴慢车的速度为300560(km/h)÷=，360180(km)⨯=，∴快车到达乙地时，慢车行驶了180km，即两车相距180km，(3,180)C∴，故答案为：3，(3,180)；【小问2详解】解：由(1)可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，∴两车相遇所需时间为15300(10060)(h)8÷+=，∴当x为158时两车相遇；【小问3详解】解：①当两车行驶的路程之和为300200100(km)-=时，两车相距200km ，此时5100(10060)8x =÷+=；②当两车行驶的路程和为300200500(km)+=时，两车相距200km ，3x = 时，快车到达乙地，即快车行驶了300km ，∴当慢车行驶200km 时，两车相距200km ，此时10200603x =÷=，综上所述，x 为58或103时，两车相距200km ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．25.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义()()00a a a a a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩．阳阳结合上面的学习过程，对函数2y x a =-的图象与性质进行了探究．（1）当1a =时，①化简函数的表达式：当12x ≥时，y =_________，当12x <时，y =_________；②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（2）函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向_________平移_________个单位得到；（3）对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，请直接写出实数a 的最大值．【答案】（1）①21x -，21x -+；②画图见解析（2）右，1（3）5【分析】（1）①根据绝对值的意义化简即可；②描点画出图象即可；（2）画出23y x =-的图象，结合图象即可解答；（3）先解不等式22x a x -<+，得出223a x a -<<+，然后根据题意得出21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，最后解不等式即可解答．【小问1详解】解：当1a =时，21y x =-，①当12x ≥时，21y x =-，当12x <时，21y x =-+；②图象如下：【小问2详解】解：当0y =时，230x -=，解得32x =，当32x ≥时，23y x =-，当32x <时，23y x =-+；画图如下：，观察图象，发现：函数23y x =-的图象可由21y x =-的图象向右平移1个单位得到；【小问3详解】解：∵22x a x -<+，∴222x x a x --<-<+，∴223a x a -<<+，∵对于任意的13x <<都满足关于x 的不等式22x a x -<+，∴21323a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得15a ≤≤，∴a 的最大值为5．【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．26.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 为BC 延长线上一点．连接DE ，在线段DE 上取点F 使12FBE CDE ∠=∠，点G 为FB 与CD的交点．求证：（1）FD AD =；（2）请写出线段GC CE EF 、、之间的数量关系，并证明．。
2023-2024学年北京市第四中学高三上学期开学测试数学试卷含详解
北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.403.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c<< D.b a c<<4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.4455.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③B.②③C.②④D.③④7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.598.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,)-∞-⋃+∞二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.12.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b 的夹角为________．13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 3sin b a C c A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：2a b =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.北京四中2023-2024学年度第一学期开学测试高三数学考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.集合{}{}12,1A x x B x x =-≤≤=<，则R ()A B = ð（）A.{}1x x >B.{}1x x ≥C.{}12x x <≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D【分析】先求出集合B 的补集，再求出()A B R ð【详解】因为{}1B x x =<，所以{}R 1B x x =≥ð，因为{}12A x x =-≤≤，所以R ()A B = ð{}12x x ≤≤，故选：D2.在6(x 的展开式中，3x 的系数为（）A.-B.C.40- D.40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】6(x -的展开式的通项公式为(()666216612r rrrrr r r T C x C x ---+==-，要求3x 项，只需令r=3,所以3x 的系数为()636332612=C ----.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．3.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（）A.815B.625C.215D.445【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：1146210C C 8C 15P ==.故选：A5.已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设(2)(1)21f f a -=-，则下列不等式正确的是（）A.(1)(2)f f a ''<<B.(1)(2)f a f ''<<C.(2)(1)f f a ''<<D.(1)(2)a f f ''<<【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在[0,)+∞上的增长越来越快，故函数图象在点00(,())x f x （0(0,)x ∈+∞）的切线的斜率越来越大，因为(2)(1)21f f a -=-，所以(1)(2)f a f ''<<.故选：B.6.给出下面四个命题：①“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分而不必要条件；②“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件；③“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的充要条件；④“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件.其中正确命题的序号是（）A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】C【分析】根据空间中直线的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定及性质可判断②；根据线面平行的判定及性质可判断③④.【详解】①若直线a ，b 不相交，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线a ，b 为异面直线，则a ，b 不相交，所以“直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的必要而不充分条件，故①错误.②根据线面垂直的判定及性质可知，若l ⊥平面α，则直线l ⊥平面α内所有直线；反之，亦成立，所以“l⊥平面α”是“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件，故②正确.③若a 平行于b 所在的平面，则//a b 或a ，b 为异面直线；若直线//a 直线b ，a 平行于b 所在的平面或a 在b 所在的平面内，所以“a 平行于b 所在的平面”是“直线//a 直线b ”的既不充分也不必要条件，故③错误.④若直线a 平行于α内的一条直线，则//a α或a α⊂；若直线//a 平面α，则能得到直线a 平行于α内的一条直线，所以“直线a 平行于α内的一条直线”是“直线//a 平面α”的必要而不充分条件，故④正确.故选：C.7.“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“〣〤”，在B 点处里程碑刻着“〩〢”，则从A 点到B 点里程碑的个数应为（）A.29B.30C.58D.59【答案】B【分析】里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出,A B 两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．【详解】根据题意A 点处里程碑上刻着数字34，B 点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为92341302-+=．故选：B ．8.ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B A B===，∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=，∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．9.已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）A.0B.1C.2D.无数【答案】B【分析】分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x af x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若a<0，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A.(2,2)- B.[22,22]-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(,2][22,)-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，得到A ，C 关于点B 对称，则2PA PC += ，即为1PB =，然后将问题转化为点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1求解.【详解】因为直线y mx =与曲线3y x =都关于原点对称，且都过原点，所以B 为原点，A ，C 关于点B 对称，因为直线l ：30kx y -+=（R k ∈）上存在点P 满足2PA PC +=，所以1PB =，则点B 到直线30kx y -+=的距离不大于1，1≤，解得k ≤-或k ≥所以实数k 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞.故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若复数z 满足2i1iz =+，则z 的虚部为______.【答案】1【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可.【详解】因为()()()i 1i i i i i i 221111z -===+++-，所以z 的虚部为1，故答案为：112.已知向量,a b ,满足：()1,6,2a b a b a ==⋅-= ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【分析】先根据()2a b a ⋅-= 求出a b ⋅ ，利用夹角公式可得答案.【详解】因为()2a b a ⋅-= ，1a = ，所以3a b ⋅=；所以31cos ,62a b a b a b ⋅===，因为[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = .故答案为：π3.13.角α的终边与单位圆的交点A 位于第一象限，其横坐标为35，那么sin α=__________，点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为__________．【答案】①.45②.10-【分析】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α=，由已知可知α为第一象限角，则4sin 5α=，将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为2cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；10-.14.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【答案】6【详解】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得考点：本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.15.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，动点,E F 分别在线段AB 和1CC 上.给出下列四个结论：①113D DEF V -=；②1D EF V 不可能是等边三角形；③当1D E DF ⊥时，1D F EF =；④至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【分析】根据长方体的特征，利用等体积法确定①，根据特殊情况分析三角形边长可判断②，利用向量法可判断③，根据长方体中的特殊位置找出满足条件三棱锥判断④.【详解】由题意，在长方体中，E 到平面CC 1D 1D 的距离为1，F 到边1DD 的距离为2，所以11111112323D DEFE DDF V V --==⨯⨯⨯⨯=，故①正确；由图可知，1D F 的最小值为2，若12D E =，则DE ===,则AE ==，若此时2EF =，则EC ===，可得BE ==，则2AE BE AB +=>=，即1D F 取最小值为2时，1,D E EF 不能同时取得2，当1D F 变大时，1,D E EF 不可能同时大于2，故1D EF V 不可能是等边三角形，故②正确；建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,0),(0,0,1)D D ,设(1,,0)(02)E m m ≤≤，(0,2,)(01)F n n ≤≤，1(1,,1),(0,2,)D E m DF n =-= ，由1D E DF ⊥可得1(1,,1)(0,2,)20D E DF m n m n ⋅=-⋅=-=，即2n m =，1D F ===，EF ===，显然1D F 与EF 不恒相等，只有0m n ==时才成立，故③错误；当E 为AB 中点，F 与C 重合时，如图，此时，1D D DE ⊥，1D D DC ⊥，又2DE EC ==2DC =，故222DE EC DC +=，所以DE EC ⊥，因为113,2,5D E EC D C ===22211D E EC D C +=,所以1D E EC ⊥，即三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，当E 与B 重合，F 与C 重合时，如图，显然1D D DB ⊥，1D D DC ⊥，CB DC ⊥，1CB D C ⊥，故三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，综上可知，至少存在两组,E F ，使得三棱锥1D DEF -的四个面均为直角三角形，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立，①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值；②分析三边中1D F 的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2;③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等；④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键.三、解答题（共6小题，共85分）16.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，对角面11AAC C 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面ABCD .（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ：（2）设AC BD O = ，若1AB AA =，求二面角11D OB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25719【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】四边形11AA C C 是矩形，1AA AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，平面11AA C C 平面ABCD AC =，1AA ⊂平面11AA C C ，1AA ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,OB OC正方向为,x y 轴，平行于1AA 的直线为z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设12AB AA ==，则()0,0,0O，)13,0,2B ，()10,1,2C ，)13,0,2OB ∴=，()10,1,2OC =，设平面11OB C 的法向量(),,n x y z =，则1132020OB n x z OC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，解得：23y =3z =，(2,3,3n ∴= ；平面1OB D y ⊥轴，∴平面1OB D 的一个法向量()0,1,0m =，257cos ,19m n m n m n⋅∴==⋅ ，二面角11D OB C --为锐二面角，∴二面角11D OB C --的余弦值为25719.17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，cos sin b a C A =+.（1）求角A 的大小；（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求ABC 的面积.条作①：7a =，8b =条件②：1sin 7B =，7a =条什③：a =，8c =注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得tan A ，由此可得A ；（2）若选①，利用余弦定理构造方程求得c ，知三角形不唯一，不合题意；若选②，利用正弦定理可求得b ，再利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可；若选③，利用余弦定理可构造方程求得b ，代入三角形面积公式即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin sin cos sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴>，cos A A =，即tan 3A =，()0,πA ∈ ，π6A ∴=.【小问2详解】若选条件①，由余弦定理得：22222cos 6449a b c bc A c =+-=+-=，即2150c -+=，解得：2c =或2c +=，∴三角形不唯一，不合题意；若选条件②，由正弦定理得：sin 121sin 2a Bb A===，由余弦定理得：22222cos 449a b c bc A c =+-=+-=，即2450c --=，解得：c =-（舍）或c =，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时11153sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；若选条件③，由余弦定理得：222222cos 642a b c bc A b b =+-=+-=，即2640b +-=，解得：b =--b =-，∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时(111sin 8222ABC S bc A ==⨯-⨯⨯=- .18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；（2）已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是110，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：18~35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为0p ，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）1132（2）分布列见解析，15（3）01p p <【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；（3）由表格可计算得01,p p 判定大小即可.【小问1详解】甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间Ω有212A 1211132=⨯=个基本事件，记事件A ：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则1()132P A =；【小问2详解】由题知，0,1,2X =，1~(2,)10X B 22181(0)C 110100P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，12119(1)C 1101050P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，22211(2)C 10100P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，则X 的分布列：X012P811009501100X 的数学期望()81911012100501005E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】易知019019190189051410090519p p +==<==++++.19.设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(，单调递增区间是)+∞；极小值()1ln 2k k f-=；（2）证明详见解析.【详解】试卷分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对()f x 求导，令()0f x '=解出x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当x =时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知f 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln )02k k -≤，从而解出k e ≥，下面再分情况分析函数有几个零点.试卷解析：（Ⅰ）由()2ln 2x f x k x =-，（0k >）得2()k x kf x x x x-=-='.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x=(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=.因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212xy +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-.因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0=t ，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.正实数构成的集合{}()12,,,2n A a a a n =⋅⋅⋅≥，定义{},,i j i j A A a a a a A i j ⊗=⋅∈≠且.当集合A A ⊗中恰有()12n n -个元素时，称集合A 具有性质Ω.（1）判断集合{}11,2,4A =，{}21,2,4,8A =是否具有性质Ω；（2）若集合A 具有性质Ω，且A 中所有元素能构成等比数列，A A ⊗中所有元素也能构成等比数列，求集合A 中的元素个数的最大值：（3）若集合A 具有性质Ω，且A A ⊗中的所有元素能构成等比数列.问：集合A 中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）3（3）存在，4【分析】（1）将集合1A ，2A 进行计算，得出集合中的元素个数即可知1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.（2）利用等比数列性质和集合性质Ω的定义，即可得集合A 中的元素个数最大值为3；（3）根据集合具有的性质Ω的定义，对集合中的元素个数进行分类讨论，再由集合元素的互异性得出矛盾即可求出A 中的元素个数最大值是4.【小问1详解】1A 具有性质Ω；2A 不具有性质Ω.若{}11,2,4A =，则{}112,4,8A A ⊗=，恰有()33132-=个元素，所以1A 具有性质Ω；若{}21,2,4,8A =，{}222,4,8,16,32A A ⊗=，有5个元素，()44152-≠，2A 不具有性质Ω.【小问2详解】当A 中的元素个数4n ≥时，因为A 中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,,,n a a a 构成等比数列，则121n n a a a a -=，其中121,,,n n a a a a -互不相同.于是这与A 具有性质Ω，A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A 中的元素个数恰有3个时，取{1,2,4}A =时满足条件，所以集合A 中的元素个数最大值为3.【小问3详解】因为0(1,2,,)i a i n >= ，不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，所以121321n n n n a a a a a a a a --<<<< .（1）当5n >时，121321,,,,n n n n a a a a a a a a -- 构成等比数列，所以131122n n n na a a a a a a a --== ，即2132n n a a a a --=，其中2132,,,n n a a a a --互不相同.这与A A ⊗中恰有()21C 2n n n -=个元素，即任取A 中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n =时，12133545,,,,a a a a a a a a 构成等比数列，第3项是23a a 或14a a .①若第3项是23a a ，则132345121335a a a a a a a a a a a a === ，即324213a a a a a a === ，所以2314a a a a =，与题意矛盾.②若第3项是14a a ，则134514121335a a a a a a a a a a a a === ，即344233a a a a a a === ，所以234,,a a a 成等比数列，设公比为q ，则A A ⊗中等比数列的前三项为：121314,,a a a a a a ，其公比为q ，第四项为312a a q ，第十项为912a a q .(ⅰ)若第四项为23a a ，则12332a a a a q =，得221a a q =，又94512a a a a q =，得751a a q =，此时A 中依次为234711111,,,,a a q a q a q a q 显然1534a a a a =，不合题意.(ⅱ)若第四项为15a a ，则31512a a a a q =，得352a a q =，又94512a a a a q =，得421a a q =，此时A 中依次为456711111,,,,a a q a q a q a q ，显然2534a a a a =，不合题意.因此，4n ≤.取{1,2,4,16}A =满足条件.所以A 中的元素个数最大值是4.【点睛】方法点睛：对于“新定义”的题目关键在于充分理解定义的本质，把新定义与高中已学内容建立联系，灵活运用类比、归纳、分类讨论等数学思想才能将问题解决.。
北京四中网校高中数学专题卷
北京四中网校高中数学专题卷本试卷总分100分，标准答题时间30分钟一解答题（本题共3小题，共计100分）1：求证：函数f(x)＝的图象关于直线y＝－x成轴对称图形。
(29.0分) 北京西城2：已知的是奇函数．(1)求a的值；(2)若关于x的方程f-1(x)＝m·2－x有实解，求m的取值范围．(30.0分) 重庆市南开中学解答题（本题共3小题，共计100分）1：已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，a≠1)。
(1)求f(x)的定义域；(2)求y＝f－1(x)。
(27.0分) 北京西城2：已知奇函数f(x)定义域R，且f(x)在[0，＋∞)为增函数，是否存在m∈R，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞f(0)对恒成立，若存在，求m的范围．(35.0分) 山西大同1：已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，求不等式f[g(x)]＞g[f(x)]的解集。
(30.0分) 北京西城2：在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，点P由点B开始沿折线BCDA移动到A 点，设P点移动的距离为x，ΔABP的面积为y。
(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)作出函数y＝f(x)的图象。
(30.0分) 北京西城1：用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数。
(30.0分) 北京西城2：已知函数f(x)＝。
(1)把函数y＝的图象进行怎样的变换，可得到f(x)的图象；(2)作出y＝f(x)的图象。
(30.0分) 北京西城3：定义在R上的函数f(x)满足如下两个条件：①对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＞0时，f(x)＜0，且f(1)＝－2。
(1)判断f(x)的奇偶性并加以证明；(2)判断函数f(x)在[－3，3]上的单调性并加以证明；(3)求函数f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值。
(40.0分) 北京西城1：已知函数。
(1)证明：对定义域内的所有x，都有f(2a－x)＋f(x)＋2＝0.(2)当f(x)的定义域为[a＋，a＋1]时，求f(x)的值域．(3)设函数g(x)＝x2＋|(x－a)f(x)|，若，求g(x)的最小值。
北京四中网校初中数学综合卷
北京四中网校初中数学综合卷预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制北京四中网校初中数学综合卷本试卷总分100分，标准答题时间30分钟一选择题（本题共2小题，共计23分）1：在梯形ABCD中，AD//BC，AC为对角线，AE⊥BC于E，AB⊥AC，若∠ACB=30°，BE=2，则BC的长为( )。
(11.0分)A. 4B. 6C. 8D. 92：下列命题中是真命题的个数有( )①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1∶2，则它的斜边为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在直角三角形中，若两条直角边长为n2－1和2n，则斜边长为n2＋1；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5。
(12.0分)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二填空题（本题共2小题，共计19分）3：填空题：如图，在平行四边形ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝＿＿＿＿＿；AB与CD的距离为＿＿＿＿＿；AD与BC的距离为＿＿＿＿＿；∠D＝＿＿＿＿＿。
(8.0分) 北京西城4：如下图，Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离为＿＿cm。
(11.0分) 北京西城三解答题（本题共2小题，共计58分）5：如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N。
(1)观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；(2)选择(1)中的一个结论加以证明。
(21.0分) 江西省中考题6：如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．⑴求证：ME = MF．⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF的关系，并加以证明．⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．⑷根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由。
精品解析：北京市第四中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(原卷版)
①曲线G关于原点对称；
②曲线G关于直线 对称；
③点P纵坐标取值范围是 ;
④曲线G围成图形的面积是 ．
其中叙述正确的有____________．
（注：如果一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，则把该球称为多面体的外接球．）
21.椭圆 经过点 ，右焦点为 ，直线 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点F的直线 与椭圆C交于A、B两点（都不与点P重合），与直线l相交于点M，记 的斜率分别为 ．问：是否存在常数 ，使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
3.已知双曲线C的一个焦点是 ，渐近线为 ，则C的方程是（）
A. B.
C. D.
4.将甲、乙、丙、丁四位学长分配到三个不同 活动小组进行交流指导，每个活动小组至少分到一名学长，且甲、乙两名学长不能分到同一个活动小组，则不同的分法种数为（）
A.18B.24C.30D.36
5.设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是（）
A. 或 B. 或
C 或 D. 或
9.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D.
10.已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 的直线与双曲线 交于 两点，且 则 的面积为
A. B. C. D.
11.已知抛物线 与椭圆 有相同 焦点 ， 是两曲线的公共点，若 ，则椭圆的离心率为（）
15.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆的一个顶点， 是等腰直角三角形，则椭圆的方程为____________．
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。
北京市第四中学2023~2024学年七年级下学期开学考试数学试题
北京市第四中学2023~2024学年七年级下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 2．下列关于单项式2x 2y 的说法正确的是（ ）A ．系数是1，次数是2B ．系数是2，次数是2C ．系数是1，次数是3D ．系数是2，次数是33．教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A 和B 分别代表的是（ ）A ．整式，合并同类项B ．单项式，合并同类项C ．多项式，次数D ．多项式，合并同类项4．实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．m n <B ．0m n +>C ．0m n -<D ．0mn > 5．下列等式变形正确的是（ ）A ．若2x ＝1，则x ＝2B ．若2（x ﹣2）＝5（x +1），则2x ﹣4＝5x +5C ．若4x ﹣1＝2﹣3x ，则4x +3x ＝2﹣1D ．若3112123x x +--=，则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝1 6．若方程x +y ＝3，x ﹣2y ＝6和kx +y ＝7有公共解，则k 的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2D ．﹣27．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD ．当直线CD 绕点O 顺时针旋转α°（0＜α＜180）时，下列各角的度数与∠BOD 度数变化无关的角是（ ）A ．∠AODB ．∠AOC C ．∠EOFD ．∠DOF 8．把如图①的两张大小相同的小长方形卡片放置在图②与图③中的两个相同大长方形中，已知大长方形的长比宽多10cm ，若记图②中阴影部分的周长为1C ，图③中阴影部分的周长为2C ，那么12C C -=（ ）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm二、填空题9．计算38396932''︒+︒的结果为．10．建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，沿这根绳子可以砌出直的墙，这样做蕴含的数学道理是.11．一个角的补角比它的余角的3倍少20︒，这个角的度数是度．12．当2x =时，336++=ax bx ，则当2x =-时，多项式33ax bx ++的值为. 13．点C 是直线AB 上一点，若线段AB 的长为4，12BC AC =，线段BC 的长为. 14．如果a ，b 为定值，关于x 的一次方程21262kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1，则6a b +=．15．对于三个数a ，b ，c ，用{,,}M a b c 表示这三个数的平均数，用min{,,}a b c 表示这三个，数中最小的数．例如：1234{1,2,3}33M -++-==，min{1,2,3}1-=-，如果{3,21,1}min{3,7,25}M x x x x +-=-++，那么x =．16．四个互不相等的数a ，b ，c ，m 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，M ，其中4a =，8b =，0.5()m a b c =++．（1）若2c =，则A ，B ，C 中与M 距离最小的点为；（2）若在A ，B ，C 中，点C 与点M 的距离最小，且不等于A ，B 与点M 的距离，则符合条件的点C 所表示的数c 的取值范围为．三、解答题17．计算： (1)37(2)( 1.25)34-+--+； (2)1325554⎛⎫⎛⎫÷⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)3751412660⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)22131105(3)5⎛⎫---⨯-+- ⎪⎝⎭. 18．先化简再求值： 已知21302x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，求()222213455x y xy x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值． 19．填空：已知90AOB ∠=︒，90COD ∠=︒，OE 平分BOD ∠，30AOC ∠=︒，(1)如图，OC 在AOB ∠内部时，求COE ∠的度数．解：90AOB ∠=︒Q ，90BOC AOC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒Q ，90BOC BOD ∴∠+∠=︒，AOC BOD ∴∠=∠（_________________）（填写推理依据），30AOC ∠=︒Q ，30BOD ∴∠=︒，OE Q 平分BOD ∠，DOE ∴∠=_____=_____°（__________）（填写推理依据），COE COD DOE =∠-∠∴∠=______°．(2)若OC 在AOB ∠外部，COE ∠的度数为________．20．解方程（组）：(1)2(3)5(3)21x x ---=； (2)2135234x x ---=； (3)531825x y x y -=⎧⎨+=⎩． 21．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A 、B 两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A 种航天载人飞船模型和3件B 种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A 种航天载人飞船模型和2件B 种航天载人飞船模型的进价共计105元．(1)求A ，B 两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？(2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．22．点O 为数轴的原点，点A 、B 在数轴上的位置如图所示，点A 表示的数为5，线段AB 的长为线段OA 长的1.2倍．点C 在数轴上，M 为线段OC 的中点．（1）点B 表示的数为________；（2）若线段5BM =，则线段OM 的长为________；（3）若线段AC a =（05a <<），求线段BM 的长（用含a 的式子表示）． 23．定义数对（x ，y ）经过一种运算φ可以得到数对（x '，y '），并把该运算记作φ（x ，y ）＝（x '，y '），其中x ax by y ax by =+⎧⎨=-''⎩（a ，b 为常数）．例如，当a ＝1，且b ＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a ＝1且b ＝1时，φ（0，1）＝ ；（2）若φ（1，2）＝（0，4），则a ＝ ，b ＝ ；（3）如果组成数对（x ，y ）的两个数x ，y 满足二元一次方程2x ﹣y ＝0，并且对任意数对（x ，y ）经过运算φ又得到数对（x ，y ），求a 和b 的值．24．定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1∶2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．(1)如图1，OM 是AOB ∠的一条内倍分线，满足BOM AOM ∠=∠2，若45AOB ∠=︒，求AOM ∠的度数．(2)已知60AOB ∠=︒，把一块含有60︒角的三角板COD 按如图2叠放．将三角板COD 绕顶点O 以2度/秒的速度按顺时针方向旋转t 秒（0180t <<）．①t 为何值时，射线OC 是AOD ∠的内倍分线；②在三角板COD 转动的同时，射线OB 以每秒n （01n <<）度的速度绕O 点逆时针方向旋转至OB '，在旋转过程中存在OB '恰好同时是AOD ∠，AOC ∠的内倍分线，请直接写出n 的值．四、填空题25．如图所示，每个字母分别代表不同的数字，四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE 四个顶点上的数字之和相等，若1A =，3C =，3F =，则H 的值为.五、解答题26．数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A 和数轴B 模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A 上表示2的点与数轴B 上表示3的点恰好对齐．（1）图1中，数轴B 上表示9的点与数轴A 上表示________的点对齐，数轴A 上表示8-的点与数轴B 上表示______的点对齐；（2）如图2，将图中的数轴B 向左移动，使得数轴B 的原点与数轴A 表示2-的点对齐，则数轴A 上表示5的点与数轴B 上表示_______的点对齐，数轴B 上距离原点12个单位长度的点与数轴A 上表示_______的点对齐；（3）若数轴A 上表示2n 的点与数轴B 表示3m 的点对齐，则数轴A 上表示26n +的点与数轴B 上表示_______的点对齐，数轴B 上距离原点()312m +个单位长度的点与数轴A 上表示________的点对齐．（用代数式表示）。
北京市四中2024-2025年初三10月月考数学试卷
数学练习班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________一、选择题（共16分，每小题2分） 1．一元二次方程x 2+2x ＝0的解为（ ）．A ．x ＝ 2B ．x ＝2C ．x 1＝0，x 2＝ 2D ．x 1＝0，x 2＝2 2．抛物线2(1)2y x ＝的顶点坐标是（ ）．A ．( 1，2)B ．(1， 2)C ．(1，2)D ．( 1， 2) 3．若关于x 的方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）．A ．36B ．9C ． 9D ． 36 4．设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y 是抛物线2(1)y x 上的三点，则123,,y y y 的大小 关系为（ ）．A ．123y y yB ．132y y yC ．321y y yD ．213y y y 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜3B ．x ＞ 1C ． 1＜x ＜3D ．x ＜ 1 或 x ＞3（第5题图） （第7题图）6．已知AB ＝10cm ，以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有（ ）．A ．无数个B ．1个C ．2个D ．4个 7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a +c ＜08．若二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1＜x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a ＞0B ．(x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0C ．x 1＜x 0＜x 2D ．a (x 0 x 1)(x 0 x 2)＜0 二、填空题（共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x 与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为 ．10．如图，已知⊙O 的半径OA ＝5，弦AB 的弦心距OC ＝3，那么AB ＝ ．（第10题图） （第13题图）11．若m 是关于x 的方程x 2 2x 1＝0的解，则代数式6m 3m 2+2的值是 ． 12．若抛物线y ＝x 2 2x +m 与x 轴的一个交点是( 2，0)，则另一个交点的坐标是 ．13．如图，一次函数y 1＝kx +n (k ≠0)与二次函数y 2＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象相交于A ( 1，4)，B (6，2)两点，则关于x 的不等式kx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为 ． 14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为 ．15．二次函数y ＝ax 2+bx 的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程 ax 2+bx m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．（第15题图） （第16题图）16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为( 2，3)、(1，3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为 ．三、解答题（共68分，第17题10分，第18、22题5分，第19、20、21、23、24、25题7分，第26题6分） 17．用适当的方法解方程（1）x 2 2x 8＝0； （2）2x (x 3) 5(3 x )＝0．18．如图，已知：在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为垂足，AE ＝4，CE ＝6，求⊙O的半径．19．已知二次函数y ＝ x 2 2x +2．（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）结合函数图象，直接写出方程 x 2 2x +2＝0的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程kx 2+(2k +1)x +2＝0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；（3）已知抛物线y ＝kx 2+(2k +1)x +2恒过定点，求出定点坐标．A21．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为( 3，0)，与y轴交于点C，点D( 2， 3)在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q，使三角形ABQ的面积为24，求Q点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：)m与水平距离x（单位：)m近似满足函数关系2．某位同学进行了两次投掷．y a x h k a()(0)（1）第一次投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式：2y a x h k a；()(0)（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系2．记实心球第一次着地点到原点的距离为0.09( 3.8) 2.97y xd，第二次着1地点到原点的距离为d，则1d2d（填“ ”“ ”或“ ” )．223．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题， 如a 2+2a 4＝a 2+2a +12 12 4＝(a +1)2 5. ∵(a +1)2≥0，∴a 2+2a 4＝(a +1)2 5≥ 5， 因此，代数式a 2+2a 4有最小值 5． 根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a 2 2a +2的最小值为 ；（2）试比较a 2+b 2+11与6a 2b 的大小关系，并说明理由； （3）已知：a b ＝2，ab +c 2 4c +5＝0，求代数式a +b +c 的值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，()()p q A p y B q y ，，，和2()3t C t y ，是抛物线223y x tx 上三个不同的点.（1）当1p q t y y ，时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系； （2）当1p 时，若对于任意的32t q t ，都有p q t y y y ，求t 的取值范围.25. 如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE ＝CF ，AE ，BF 交于点G ．（1）在线段AG 上截取MG ＝BG ，连接DM ，∠AGF 的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；（2）在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值.26. 【阅读材料】（1）抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F 的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等.例如：已知抛物线y =x 2，点F (0，14)，直线l :14y ，抛物线上一点Q (a ，a 2).作QP l 于点P , 连结QF .则QP =a 2+14, 214QF a QP .点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（2）抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦.与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径. 【解决问题】请你仿照（1）中的方法，解决以下问题： ①已知抛物线213y x ，焦点3(0)4，，请计算出准线的解析式； ②已知抛物线218y x，准线2y ，请计算出焦点坐标； ③综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）.。
精品解析：北京市第四中学2023-2024学年七年级上学期开学考试数学试题(原卷版)
数学练习学生须知1．本练习卷共7页，共27道题，满分100分。
练习时间90分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（每小题2分，共16分）1. 下列有理数中，绝对值最大的数是（ ）A. B. C. 0 D. 42. 下面分数中能化成有限小数的是（ ）A. B. C. D. 3. 某商店出售一种商品，有以下几种方案，调价后价格最低的方案是（ ）A 先提价，再降价 B. 先降价，再提价C. 先提价，再降价 D. 先提价，再降价4. 下列说法正确的是（ ）A. ，则a 和b 成正比例B. 一定一个负数C. 两条不相交的直线叫做平行线D. 一个合数至少有三个约数5. 有圆柱与圆锥各一个，圆柱与圆锥底面半径的比是，圆柱与圆锥高的比是，圆锥的体积是立方米，圆柱的体积是（ ）立方米．A. B. C. D. 6. 如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边（ ）A. 上B. 上C. 上D. 上7. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？（ ）.是5-1-91211274781510%10%10%10%15%15%20%20%812.25ab -=a -2:34:3 5.414.49.6 4.8 3.2ABCD A C AB BC CD DA 3613630219A. B. C. D. 8. 某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲乙丙丁已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最最长为（ ）小时．（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（每小题2分，共24分）9. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是__________．10. 比大小，在横线上填上“>”、“<”或“=”．①__________4.6；②__________．11. 规定，如果，那么__________．10201524526:008:00-16:0018:00-6:307:30-17:0020:00-8:0011:00-18:0019:00-7:0010:00-17:3018:30-75.68-63881÷27129÷*23m n m n =-*77*x x =x =12. 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105，已知甲数是21，乙数是_________．13. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__．14. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办，为让学生进一步了解冬奥会历史，某学校组织了一次知识竞赛，有10道选择题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分．（1）小明答对了8道题，答错了2道题，他的总得分是__________分；（2）若参加竞赛的学生中至少有3人的得分相同，则参加竞赛的学生至少有__________人．15. 如图，有9个方格，要求每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，则图中的m 的值是__________．191316. 如图，长方形是由正方形、和长方形①、②、③组成，若长方形①、②周长之比为，则正方形、的面积之比为______．17. 如图，矩形中，，，是中点，以点为圆心，为半径作弧交于点，以点为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分面积的差为______（取3）．18. 如图，正方形面积为1，M 是的中点，则图中阴影部分的面积是________．的的的x mA B 53A B ABCD 8AB =6BC =F AB A AD AB E B BF BC G 12S S -πABCD AB19. 我国古代用天干和地支纪年，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戌己庚辛壬癸甲乙丙丁戌己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右第1列是甲子，可以表示甲子年，第4列是丁卯，可以表示丁卯年……（1）在上面的天干排列中，丙第（是正整数）次出现时，是位于从左向右的第______列（用含的式子表示）；（2）2023年是癸卯年，癸卯可以位于从左向右的第______列（写出一个即可）．20. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．三、操作题21. 在如图的方格纸上，按要求完成下列各题，每个方格边长1厘米．n n n（1）若点O 的位置用数对表示，则点A 的位置用数对可以表示为_________；（2）将圆O 向左平移2个单位，画出平移后的图形；（3）将梯形绕点A 顺时针旋转，画出旋转后的图形．四、计算题（每小题3分，共33分）22.解方程：．23. 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）．24. 计算：(6,5)90︒1463x x +=-18164.83535.17441919-+-()()12.5313⎛⎫++--- ⎪⎝⎭3330.125587112.111⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭⨯1311354152163342456⨯+÷+⨯2221313325231531515⨯+⨯-⨯567345566567345222+⨯⨯+151341710343321812247181217⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0.10.30.90.20.6 1.80.30.9 2.70.10.20.40.20.40.80.30.6 1.2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯222222221223342022202312233420222023+++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯五、解决问题（第25、27、28题每题4分，第26题5分，第29题6分，共23分）．25. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，6小时后在中点相遇；若甲每小时多走4千米，乙提前1小时出发，则仍在中点相遇，那么两地相距多少千米？26. 为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：档次每户每月用电量(度)执行电价(元/度)第一档小于或等于200第二档大于200且小于或等于450时，超出200的部分第三档大于450时，超出450的部分1（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元．（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？27. A 、B 两厂生产同一种疫苗，都进行了实验以计算各自的疫苗效力，两厂的疫苗实验人数皆为30000人，各厂实验人数中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰剂，经过一段时间后观察得知，在A 厂的实验中，施打疫苗后仍感染的人数为50人，施打安慰剂后感染的人数为500人，而疫苗效力的算式如下：疫苗效力，其中，请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释．（1）根据实验数据算出A 厂的疫苗效力为多少？（2）若B 厂的实验数据算出的疫苗效力高于A 厂，请详细说明B 厂的实验中施打疫苗后仍感染的人数，是否一定低于A 厂实验中施打疫苗后仍感染的人数？28. 设的面积为．531579753579753135531579753135579753135357975357975531135357975531357975⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.50.7()1100%p q =-÷⨯p =施打疫苗后仍感染的人数施打疫苗的人数q =施打安慰剂后感染的人数施打安慰剂的人数ABC a（1）如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）（2）如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）（3）如图3，P 为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D 、E 、F ，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．29. 阅读下面材料，并完成问题：我们把不超过数的最大整数称为的整数部分，记作，把称为的小数部分，记作，则．如：，，；（1）_________，_________；（2）若，的值为_____________；（3），求的值．ABC 111A B C △1A B AB =1B C BC =1C A CA =111A B C △1S 1S =a ABC 111A B C △12A B AB =12B C BC =12C A CA =111A B C △2S 2S =a ABC AP BP CP BC AC AB ABC ABC =a x x []x []x x -x {}x []{}x x x =+[]1.31={}1.30.3=[]{}1.3 1.3 1.3=+{}1.6=[]1.6-=[]{}2x x =x []{}312x x x +=+x。
北京四中网校试卷答案七年级下册数学
绝密★启用前北京四中网校试卷答案七年级下册数学考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题 1．2020年春季，一种新型冠状病毒嗜虐着人们的健康，据了解，这种新型冠状病毒的直径约为125纳米，若1米910=纳米，则这种冠病毒的直径用科学记数法可表示为（ ） A ．91.2510-⨯米B ．71.2510⨯米C ．71.2510-⨯米D ．91.2510⨯米2．若关于x 的分式方程222x m x x=---的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ） A ．1,2,3 B ．1,2C ．2,3D ．1,33．下列各式计算正确的是（） A ．3262510x x x ⋅= B ．2442()()a a= C ．862()()c c c -÷-=-D ．326()ab ab =4．下列是无理数的是（ ） A ．0.666B ．227C ．2π D ．0.2502500250005．某学校七年级有m 人，八年级人数比七年级人数的23多10人，用含m 的式子表示八年级的人数为（ ）A ．23mB ．2103m +C ．2103m -D ．3102m +6．如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则1∠与2∠的差是（ ）A ．45︒B ．30C ．25︒D ．20︒7．下列各式中，正确的是( ) A ±2B ．3C 3D 38．在数轴上表示a 、b 两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0b a -<C ．0ab ⋅>D．||||a b >9．如图，m //n ，那么1∠、2∠、3∠的关系是（ ）A ．123360∠+∠+∠=︒B ．123180∠-∠+∠=︒C ．123180∠+∠-∠=︒D ．123180∠+∠+∠=︒10．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题………○………线…………○…※※题※※……○………11．如图所示，已知//a b ，130∠=︒，240∠=︒，则3∠=__________ °．12．计算：（2×（12=_____． 13．分解因式：3223-2+=x y x y xy __________． 14．当x________时，分式x 1x 3+-有意义 ，当x________时，分式x 2x 3-无意义15．如果两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角的度数分别是___________．三、解答题 16．53×48×7112-（） 17．解分式方程 （1）3401x x-=- （2）1112x x x ++=- 18．为迎接购物节，某网店准备购进甲、乙两种运动鞋，甲种运动鞋每双的进价比乙种运动鞋每双的进价多60元，用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求甲、乙两种运动鞋的进价（用列分式方程的方法解答）：（2）该网店老板计划购进这两种运动鞋共200双，且甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的13，甲种运动鞋每双售价为350元，乙种运动鞋每双售价为300元．设甲种运动鞋的进货量为m 双，销售完甲、乙两种运动鞋的总利润为w 元，求w 与m 的函数关系式，并求总利润的最大值． 19．如图，已知同一平面内∠AOB ＝90°，∠AOC ＝60°．（1）问题发现：∠BOD 的余角是 ，∠BOC 的度数是 ；（2）拓展探究：若OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，则∠DOE 的度数是 ；（3）类比延伸：在（2）条件下，如果将题目中的∠AOB ＝90°改为∠AOB ＝2∠β；∠AOC ＝60°改为∠AOC ＝2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE 吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由．20．如图，在四边形ABCD 中，已知BE 平分∠ABC ，交AD 于E ，且AB ＝AE ．(1)求证：AD ∥BC ；(2)若AB ∥DC ，∠D ＝122°，求∠3的大小．21．观察下列各等式，并回答问题：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯…（n 是正整数）． （1）填空：1(1)n n ⨯+＝ ；（2）计算：111111223344520172018+++++⨯⨯⨯⨯⨯＝ ； （3）若|ab ﹣3|与|b ﹣1|互为相反数，求1111(2)(2)(4)(4)(6)(6)ab a b a b a b +++++++++1(2010)(2010)a b +⋯+++的值．参考答案：1．C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】125纳米=125×10-9米＝1.25×10-7米． 故选C ． 【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成10n a -⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 2．D 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案. 【详解】等式的两边都乘以(x - 2)，得 x = 2(x -2)+ m ， 解得x=4-m ，且x≠2，由关于x 的分式方程的解为正数， ∠4-m ＞0，4-m≠2 ∠m<4且m≠2则满足条件的正整数 m 的值为m=1，m=3， 故选: D. 【点睛】本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根.【解析】 【分析】根据整式的乘除运算依次判断即可. 【详解】A 、3252510⋅=x x x ，故A 选项错误；B 、2442()()a a =，故B 选项正确；C 、()2862()()=-÷-=-c c c c ，故C 选项错误； D 、3226()ab a b =，故D 选项错误； 故选B. 【点睛】本题是对整式乘除的考查，熟练掌握同底数幂乘除，幂的乘方及积的乘方运算是解决本题的关键. 4．C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，不能写作两整数之比．根据无理数的定义判断即可. 【详解】解：A ．0.666是有理数，A 选项错误； B ．227是有理数，B 选项错误； C ．2π是无理数，C 选项正确； D ．0.250250025000是有理数，D 选项错误. 故选C. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中常见的无理数有：π，2π等化简后含有π这样开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．B 【解析】本题按照题干要求，理清七八年级数量关系，直接列式求解即可．【详解】由题已知：七年级人数的23表达式为23m，在此基础上多10人为2103m+，故八年级的人数为2103m+．故选：B．【点睛】本题考查代数式，难度较低，解题关键在于理清题意之间的数量关系．6．B【解析】【分析】过点O作EF∠AB,∠AOC=∠A+∠C，∠BOD=∠B+∠D，求出∠1，∠2即可解决问题．【详解】解：如图，设两个直角三角形的交点O,过点O作EF∠AB,则有EF∠AB∠CD,∠∠AOC=∠A+∠C=45°+60°=105°，∠BOD=∠B+∠D=75°，∠∠1-∠2=∠AOC-∠BOD =30°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根和平方根的性质即可判断.A.故A 错误；±3，故B 错误；C. 3 ，故C 错误；D.3，正确. 故选D. 【点睛】本题考查算术平方根，平方根. 8．B 【解析】 【分析】由数轴知，a ＞0，b ＜0，b 的绝对值大于a 的绝对值，根据有理数乘法和加法法则判断即可． 【详解】解：∠a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|， ∠ab ＜0，a+b ＜0， ∠0b a -<， 故选：B ． 【点睛】本题考查有理数的运算和绝对值意义，从数轴上判断a ，b 符号和绝对值的大小是解答的关键． 9．C 【解析】 【分析】作∠1和∠2公共边的延长线，与直线n 交于一点，根据平行线的性质和三角形外角性质求解． 【详解】解：作∠1和∠2公共边的延长线，与直线n 交于一点，∠∠1+∠4=180°， ∠∠4=∠2-∠3， ∠∠1+∠2-∠3=180°． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质，此题的辅助线作法是关键，也是常用的方法． 10．C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为xm ，则种植部分的长为()352x m -，宽为()20,x m - 由题意得：(352)(20)600x x --=． 故选C ．【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 11．70 【解析】 【分析】作c ∠a ，根据平行线的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，过∠3的顶点作c ∠a ，∠∠4＝∠1＝30°， ∠a ∠b ， ∠b ∠c ，∠∠5＝∠2＝40°， ∠∠3＝∠4＋∠5＝70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点． 12．1 【解析】 【分析】根据积的乘方法则及平方差公式计算即可. 【详解】原式=1⎡⎤⨯⎣⎦（（ 2. = 21-2（）. =1. 故答案为1. 【点睛】本题考查积的乘方及平方差公式，熟练掌握并灵活运用是解题关键. 13．()2-xy x y 【解析】 【详解】解：()()23223222-2x y x y xy xy x xy y xy x y -+=+=-故答案为：()2-xy x y ． 14． ≠3 =32【解析】 【分析】根据分式有无意义的条件求解即可，分式分母为零时，分式无意义，分母不为零时，分式有意义 【详解】 分式x 1x 3+-有意义，∠30x -≠，即3x ≠ 分式x 2x 3-无意义，∠230x -=，即32x =所以答案为x≠3；x ＝32【点睛】本题主要考查了分式有无意义的条件，熟练掌握分式的性质是解题关键 15．72,108︒︒ 【解析】 【分析】如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补．根据题意，得这两个角只能互补，然后列方程求解即可． 【详解】解：设其中一个角是x °，当两个角互补时，则另一个角是（180°-x ）°，根据题意得： 1118023x x ︒=-︒（） ， 解得x =72°， ∠180°-x =108°；当两个角相等时，则另一个角是x °，依题意得： 1123x x ︒=︒， 解得：x =0（不符合题意），综上所述，这两个角的度数分别为72°，108°．故答案为：72︒,108︒． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是分类讨论这两个角可能存在的情况． 16．136-【解析】 【分析】利用积的乘方和幂的乘方进行化简计算，即可得到答案. 【详解】解：54277511121132[()]34=⨯⨯-⨯⨯⨯-38（） =56771134()()34⨯⨯-⨯=5621111[3()](4)()3434⨯-⨯⨯⨯-⨯=5611(1)194-⨯⨯⨯=136-； 【点睛】本题考查了乘方的运算法则，灵活运用积的乘方，幂的乘方进行计算是解题的关键. 17．（1）4x =，（2）1x = 【解析】 【分析】（1）确定最简公分母为()1x x -，去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验； （2）确定最简公分母为()2x x -，去分母将分式方程化为整式方程后再求解，注意检验． 【详解】（1）方程两边同时乘以()1x x -去分母得：34(1)0x x --=， 去括号得：3440x x -+=， 解得：4x =，经检验4x =是分式方程的解．（2）方程两边同时乘以(2)x x -去分母得：(1)(2)(2)x x x x x +-+=-， 去括号得：2222x x x x x --+=-，解得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根；分式方程去分母时不要漏乘．18．（1）甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双；（2）w 与m 的函数关系式是w ＝﹣10m +32000，总利润的最大值是31500元．【解析】【分析】（1）根据用30000元购进甲种运动鞋的数量与用21000元购进乙种运动鞋的数量相同，可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意，可以得到w 与m 的函数关系式，再根据甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的13，可以得到m 的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得到w 的最大值． 【详解】解：（1）设甲种运动鞋的价格是每双x 元，则乙种运动鞋每双价格是（x ﹣60）元， 300002100060x x =-， 解得，x ＝200，经检验，x ＝200是原分式方程的解，∠x ﹣60＝140，答：甲、乙两种运动鞋的进价分别为200元/双、140元/双；（2）由题意可得，w ＝（350﹣200）m +（300﹣140）×（200﹣m ）＝﹣10m +32000，∠甲种运动鞋的进货数量不少于乙种运动鞋数量的13， ∠m ≥13（200﹣m ）， 解得，m ≥50，∠当m ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝31500，答：w 与m 的函数关系式是w ＝﹣10m +32000，总利润的最大值是31500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验．19．（1）∠AOD，150°；（2）45°；（3）∠DOE＝β，理由详见解析．【解析】【分析】（1）直接根据余角的定义得到∠BOD的余角，利用∠BOC＝∠AOB+∠AOC求出即可；（2）利用角平分线的性质和（1）中所求得出答案即可；（3）根据角平分线的性质求出即可．【详解】（1）∠∠AOB＝90°，∠∠AOD+∠BOD＝90°，∠∠BOD的余角是∠AOD，∠∠AOC＝60°，∠∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，故答案为：∠AOD，150°；（2）∠OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠∠COD＝12∠BOC＝75°，∠COE＝12∠AOC＝30°，∠∠DOE的度数为：∠COD﹣∠COE＝45°；故答案为：45°；（3）∠∠AOB＝2β°，∠AOC＝2α，∠∠BOC＝2β+2α，∠OD、OE平分∠BOC，∠AOC，∠∠DOC＝12∠BOC＝β+α，∠COE＝12∠AOC＝α，∠∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝β+α﹣α＝β．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键．20．(1)见解析(2)61°【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠1=∠3，由角平分线的定义得到∠1=∠2，进而得到∠2=∠3，根据平行线的判定即可得到AD//BC；（2）先由平行线的性质求出∠A，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠3．(1)证明：∠AB=AE∠∠1=∠3，∠BE平分∠ABC∠∠1=∠2∠∠2=∠3∠AD//BC(2)∠AB//DC∠∠A+∠D=180°∠∠A=180°-∠D∠D=122°∠∠A=180°-122°=58°∠AB=AE，∠∠1=∠3，∠∠A+∠1+∠3=180°，∠2∠3=180°-∠A∠2∠3=180°-58°=122°∠∠3=61°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的两底角相等和两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．21．（1）111n n-+；（2）20172018；（3）10062013．【解析】（1）仿照题目中的例子可以写出所求式子的结果；（2）根据题目中的式子的特点和题目中的例子，可以求得相应的结果；（3）根据|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，可以求得ab、a、b的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】(1)1(1)n n⨯+=111n n-+，故答案为：111n n-+；(2)11111 1223344520172018 +++++⨯⨯⨯⨯⨯=1111111111 223344520172018 -+-+-+-++-=1﹣1 2018=2017 2018，故答案为：2017 2018；(3)∠|ab﹣3|与|b﹣1|互为相反数，∠|ab﹣3|+|b﹣1|=0，∠ab﹣3=0，b﹣1=0，解得，a=3，b=1，ab=3，∠11111(2)(2)(4)(4)(6)(6)(2010)(2010) ab a b a b a b a b ++++⋯+++++++++=11111 353759720132011 +++++⨯⨯⨯⨯=1111111111 12335577920112013⎛⎫⨯-+-+-+-++-⎪⎝⎭=111 22013⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=12012 22013⨯=10062013．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、非负数的性质、数字的变化类，掌握相邻整数积的倒数等于两整数的倒数的差的规律是关键．。
北京市第四中学2024届中考冲刺卷数学试题含解析
北京市第四中学2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（3，-1）B．（2，﹣1）C．（1，-3）D．（﹣1，3）.若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为60的扇形，2．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开则()A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为4cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为235cmD．圆锥形冰淇淋纸套的高为63cm3．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB 的最小值为（）A．B．C．10 D．=，4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB2∠=时，AC等于（）B60A．2B．2C．6D．225．将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（）A．4（2x+2）B．8x+8 C．8（x+1）D．4（x+1）6．截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这组数据的中位数是（）A．28 B．29 C．30 D．317．如图是一个正方体的表面展开图，如果对面上所标的两个数互为相反数，那么图中x的值是（）．A．3-B．3C．2D．88．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-9．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．110．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是()A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC△的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点.线段AC的值为______________;在如图所示的网格中，AM是ABC△的角平分线，在AM上求一点P，使CP DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）___________.12．如图的三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm.沿过点B的直线折叠三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD.则△AED的周长为____cm.13．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．14．点(a－1，y1)、(a＋1，y2)在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是________．15．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.16．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为__．17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．19．（5分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)20．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．21．（10分）化简：（x-1-2x2x1-+）÷2x xx1-+.22．（10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。
2024-2025学年北京四中高三上学期开学考数学试题
数 学 试 卷（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是 （A ）{|11}a a -≤≤（B ）{|11}a a -<<（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠2.若复数i 1iaz +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2- 3.已知lg e a =，2e b =，1ln 10c =（e 2.71828=），那么（A ）b c a <<（B ）c b a <<（C ）b a c<<（D ）c a b<<4.函数1()x f x x+=的图象的对称中心为 （A ）(0,0)（B ）(0,1)（C ）(1,0)（D ）(1,1)5.已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则1()3f 的值为（A ）2（B ）14（C ）14-（D ）2-6.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（A ）30（B ）10（C ）9（D ）67.在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（A ）ln y x x=（B ）cos y x=（C ）2xy =（D ）ln y x x=-8.已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9.在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是 （A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形10.已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞（B ）(1,)+∞（C ）(,1]-∞（D ）[1,)+∞11.已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值，则函数()f x 的图象 （A ）关于直线π4x =-对称 （B ）关于点π(,0)4-对称（C ）关于直线π8x =对称 （D ）关于点π(,0)8对称12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是（A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <（D ）数列{}n a 可能为常数列13.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9（B ）10（C ）11（D ）1214.已知函数21()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：①当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；②当10ea <<时，()f x 有两个极值点； ③当1e a ≥时，()f x 有最大值.其中，正确结论的个数是 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）15.已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.16.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则3πcos()2α-=_____.17.若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____.18.写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____.①函数(1)f x +是偶函数；②当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.19.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,0,2()121,.2x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）5(())8f f =_____；（2）不等式3(1)4f x -≤的解集为_____.20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =. 给出如下4个结论：①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 可能为等比数列；③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①：2n a n b =； 条件②：2n n n b a =+； 条件③：11n n n b a a +=⋅.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分15分）已知函数21()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 的极大值为11e-，求a 的值；（Ⅲ）当1ea >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的取值范围.。
北京四中网校数学试卷
北京四中网校数学试卷（三角形）
1、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E，F，ED平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝()
2、如图D是ΔABC中AC边上的一点，∠C＝∠DBC，若∠BDA＝80°，∠ABC＝70°，则∠A的度数是()
3、把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝＿度。
4、如图，已知AB∥ED，∠B＝58°，∠C＝35°，则∠D的度数为________．
5、分别画出ΔABC的三条中线AD、BE、CF。
（2）这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系？
（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论？
6、在△ABC中，
（1）按照下列要求画出图形：画∠BAC的角平分线AE；画BC边上的高AD．（画图要准
确、整洁，画图工具不限）
（2）如果已知∠B＝20°，∠DAE＝54°，则∠C的度数是____________________．
7如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D，
求证：（1）AB＝AD＋BC
（2）若BE＝3，AE＝4，求四边形ABCD的面积？。
北京四中网校初中数学综合1资料讲解
北京四中网校初中数学综合1北京四中网校初中数学综合卷本试卷总分100分，标准答题时间120分钟一选择题（本题共9小题，共计23分）1：若2x2-5x+ -5=0，则2x2-5x-1的值为（）(2.0分)A. 0B. 0或2C. 2D. -22：方程(x－5)(x＋2)＝8的根是（）(2.0分)A. x1=3 x2=－3B. x1=－2 x2=5C. x1＝－1x2＝4D. x1＝6x2＝－33：方程(x＋2)(x＋3)(x－4)(x－5)＝44的解为() (2.0分)A.B.C.D.4：A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，则（）点钟甲，乙两人同时到达B地。
(2.0分)A. 7B. 8C. 9D. 105：关于x的方程mx2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) (3.0分)A. m＜4B. m≤4且m≠0C. m≥4且m≠0D. m＜4且m≠06：(3.0分)A.B.C.D.7：方程的根的个数是（）(3.0分)A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数多个8：判断方程是否是无理方程(3.0分)A. 是B. 不是C. 当x＝1/2时是D. 无法判断9：若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（）。
(3.0分)A. 0B. 1C. -1D. ±1二填空题（本题共9小题，共计20分）10：已知：y＝ax＋b，当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝0，则a＝＿＿＿，b＝＿＿＿。
(2.0分) 注：2009年北京西城11：方程2x m+1＋3y2n＝5是二元一次方程，则m＝＿＿＿，n＝＿＿＿＿.(2.0分) 注：2009年北京西城12：已知：是二元一次方程mx＋ny＝－2的一个解，则2m－n－6的值等于＿＿。
北京四中网校单元测试专题(四)排列、组合、二项式定理
单元测试专题（四）排列、组合、二项式定理考试说明：考试知识点：排列、组合、二项式定理。
试卷满分100分，考试时间100分钟一、选择题（每小题4分，共32分）1. 展开后不同的项数为（）A. 9B. 12C. 18D. 242.某中学高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案种数为（）A. B. C. D.3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（）A. 234B. 346C. 350D. 3634.将9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有（）A. 8种B. 10种C. 12种D. 16种5.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（）A. 20B. 30C. 60D. 1206.设展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中项的系数为（）A. 250B. –250C. 150D. –1507.若与的展开式中含的系数相等，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.8.若，且，则，等于（）A. 81B. 27C. 243D. 729二、填空题（每小题5分，共20分）1．在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有。
2.有三张卡片的正反面分别写着1和2，4和6，7和8，用它们组成三位数，并且6可以当9用，则可得到的不同三位数的个数为。
3.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为。
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北京四中网校数学试卷（三角形）
1、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E，F，ED平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝()
2、如图D是ΔABC中AC边上的一点，∠C＝∠DBC，若∠BDA＝80°，∠ABC＝70°，则∠A的度数是()
3、把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝＿度。
4、如图，已知AB∥ED，∠B＝58°，∠C＝35°，则∠D的度数为________．
5、分别画出ΔABC的三条中线AD、BE、CF。
（2）这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系？
（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论？
6、在△ABC中，
（1）按照下列要求画出图形：画∠BAC的角平分线AE；画BC边上的高AD．（画图要准
确、整洁，画图工具不限）
（2）如果已知∠B＝20°，∠DAE＝54°，则∠C的度数是____________________．
7如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D，
求证：（1）AB＝AD＋BC
（2）若BE＝3，AE＝4，求四边形ABCD的面积？。