锐角三角函数的技巧及练习题

∴AC＝ AD＝ ×8＝2．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，
∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.
∵∠A= ∠BOC，∴∠A=∠BOD.
∴tanA=tan∠BOD= .
故选D．
考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．
解得：BM= ，
故选A.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
6．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．
∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．
∵∠DEB=90°，∴BD= ．
【详解】
解：∵矩形纸片 ，点 在 边上，将 沿 折叠，点 落在点 处，
根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP，
∴.DC=DE=4，CP= EP，
在△OEF和△OBP中
∴△OEF≌△OBP(AAS)
∴ОE=OB，EF= ВР.
设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,РС=ВC-BP=3-x,
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：原式 ．
故选A．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
15．如图所示， 中， ，顶点 分别在反比例函数 与 的图象器上，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO= ，S△AOC= ，根据相似三角形的性质得到= ，根据三角函数的定义即可得到结论．
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，
∴BE= AB=2，∠BEF=90°，
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，
∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，
∴∠EA′B=30°，
∴∠EBA′=60°，
∴∠ABM=30°，
∴在Rt△ABM中，AB=BM cos∠ABM，即4=BM cos30°，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．
在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，
解得x= ，故CE=8- = ，
∴tan∠CBE= .
故选C.
考点：锐角三角函数.
11．如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（）
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2 ，
∵AG分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝ ，cos∠GAM＝ ，
∴GM＝AG•sin30°＝ ，AM＝AG•cos30°＝3，
CF2+CD2＝DF2，
即x2+1＝（2﹣x）2，
解得： ，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
8．如图，矩形纸片 ， ， ，点 在 边上，将 沿 折叠，点 落在点 处， 、 分别交 于点 、 ，且 ，则 的值为（）
A．2B．4C． D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90 ，∠D＝∠B，则sinD＝sinB＝ ，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
【详解】
连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90 ，
∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝ ，
在Rt△ACD中，∵sinD＝ ＝ ，
∴AF=AB-BF=1+x.
在Rt△DAF中，AF2+AD2= DF2，即(1+x)2+32= (4-x)2
解得: x=
∴DF=4-x=
∴cos∠ADF=
故选: C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．
9．如图， 是 的外接圆， 是 的直径，若 的半径是4， ，则线段 的长是（）．
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设 ，以 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如： ， ．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）
【详解】
解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO=∠ACO=90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数 与 的图象上，
∴S△BDO= ，S△AOC= ，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴ ，
∴ ，
∴tan∠BAO= .
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
锐角三角函数的技巧及练习题
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）
A．3B．4C．5D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
A． B． C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得BE= AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.
【详解】
设EC=x,则EF= ,
∴
,
故选:A
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．
3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在 上找一点 ，取 ， ， ，要使 ， ， 成一直线，那么开挖点 离点 的距离是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°， 、 、 都是格点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直Байду номын сангаас利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案．
【详解】
解:连接DC，交AB于点E．
由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,
如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝2 ，BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．
【详解】
解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=