宁波大学数学分析2008+答案年考研专业课初试真题
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2008年考研数学一真题及分析
【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数.
类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类）【例 2.20】，精选习题二 1（9）.
∞
∞
∑ ∑ （11）已知幂级数 an ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数 an ( x − 3)n
n=0
n=0
的收敛域为________. 【分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理. 由题中条件可知，该幂级数收敛区
调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型.
定理可见各教材和辅导讲义.
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3 = O ，则
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （B） E − A 不可逆， E + A 可逆
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0
（C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]
【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（9）微分方程 xy′ + y = 0 满足条件 y (1) = 1 的解 y = __________.
【分析】本题为变量可分离方程.
【详解】 xy′ + y = 0 ⇒ y′ = − 1 ，两边积分得 y = C ，将 y (1) = 1 代入得 C = 1，
类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类）【例 2.20】，精选习题二 1（9）.
∞
∞
∑ ∑ （11）已知幂级数 an ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数 an ( x − 3)n
n=0
n=0
的收敛域为________. 【分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理. 由题中条件可知，该幂级数收敛区
调有界，故收敛，故选（B） 【评注】本题为基础题型.
定理可见各教材和辅导讲义.
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3 = O ，则
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆 （B） E − A 不可逆， E + A 可逆
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0
（C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]
【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征 值，然后从特征方程入手.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（9）微分方程 xy′ + y = 0 满足条件 y (1) = 1 的解 y = __________.
【分析】本题为变量可分离方程.
【详解】 xy′ + y = 0 ⇒ y′ = − 1 ，两边积分得 y = C ，将 y (1) = 1 代入得 C = 1，
2016年宁波大学671数学分析(B卷)考研真题研究生入学考试试卷
1 1
0
=
3. lim( n n 1) ln n
n
;
二. 判断讨论题，正确的给出证明，错误的举出反例（每小题 6 分，共 30 分）
1.设{u n }为一实数列, p为任意的正整数, 若 lim | u n p u n | 0, 则 lim u n 0.
n n
5.若f ( x, y )在点( x0 , y0 )处存在全微分,则f ( x, y )在( x0 , y0 )处沿任意方向的方向导数 均存在.
三.计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）
1.计算二重积分 | x 2 y 2 1 |dxdy , 其中积分区域D={( x, y ) | 0 x 2, 0 y 2}.
3(15分)证明:若f ( x)在闭区间[a, b]上连续, 则f ( x) 在[a, b] 上一致连续. 4(15分).设f ( x)在闭区间[1,2]上连续,在开区间(1,2)内可导,且f ( x) 0. 若极限 lim
x 1
f (2 x 1) 存在, 证明: x 1 (1)在(1, 2)内, f ( x) 0. (2)在(1, 2)内存在点 ,使
宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业: 数学分析 基础数学、应用数学 科目代码： 671
一.填空题（每题 5 分，共 15 分） 1. 函数y ln(1 3x )在x 0处的n阶导数为 2. ; ;
1
xdx (4 x 2 ) 1 x 2
3.设函数z f ( xy , yg ( x )), 其中函数f 具有二阶连续偏导数, 函数g ( x )可导, 且在x 1处取得极值g (1) 1. 求 2 z |x 1 . xy y 1
0
=
3. lim( n n 1) ln n
n
;
二. 判断讨论题，正确的给出证明，错误的举出反例（每小题 6 分，共 30 分）
1.设{u n }为一实数列, p为任意的正整数, 若 lim | u n p u n | 0, 则 lim u n 0.
n n
5.若f ( x, y )在点( x0 , y0 )处存在全微分,则f ( x, y )在( x0 , y0 )处沿任意方向的方向导数 均存在.
三.计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）
1.计算二重积分 | x 2 y 2 1 |dxdy , 其中积分区域D={( x, y ) | 0 x 2, 0 y 2}.
3(15分)证明:若f ( x)在闭区间[a, b]上连续, 则f ( x) 在[a, b] 上一致连续. 4(15分).设f ( x)在闭区间[1,2]上连续,在开区间(1,2)内可导,且f ( x) 0. 若极限 lim
x 1
f (2 x 1) 存在, 证明: x 1 (1)在(1, 2)内, f ( x) 0. (2)在(1, 2)内存在点 ,使
宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(B 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业: 数学分析 基础数学、应用数学 科目代码： 671
一.填空题（每题 5 分，共 15 分） 1. 函数y ln(1 3x )在x 0处的n阶导数为 2. ; ;
1
xdx (4 x 2 ) 1 x 2
3.设函数z f ( xy , yg ( x )), 其中函数f 具有二阶连续偏导数, 函数g ( x )可导, 且在x 1处取得极值g (1) 1. 求 2 z |x 1 . xy y 1
宁波大学871高等代数2004,2008--2018年考研初试专业课真题试卷
1 0 0
4. 设 A 为 n 级方阵，且 Ak 0 ，则 (E A)1 _____________________.
5．已知 5 级 λ－矩阵 A(λ)的各级行列式因子：
D1() D2() D3() 1, D4() ( 1), D5() 3( 1)2
幂零矩阵（即存在正整数 m 使 N m 0 ）.
第3页 共3页
宁波大学 2015 年攻读硕士学位研究生
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)
考试科目: 适用专业:
高等代数 基础数学、 应用数学
科目代码： 871
一．填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设矩阵 A 2 31 4 2 3 , B 21 3 2 4 3 ， 其中, ,1, 2 , 3 为四维
(1) 证明: C(A)是 Pnn 的一个子空间.
0 0 1
(2)
若
A
1
0
0
,
求 C(A)的维数5 分）设矩阵 A
2
5
4
，
2 4 5
1．求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
2．求正交矩阵 T 使得 T 1 AT 为对角形矩阵。
2. 若二次型 f 为正定二次型，求： a 的取值范围.
3. 当 a 1 时，化二次型 f 为标准形,并写出所作的线性变换.
八. 证明题(38 分)
1. (10 分)
设 A 为 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中每一非零向量都是它的特征向量， 证明：A 必是数乘变换.
2. （10 分）
第2页 共3页
宁波大学 2014 年攻读硕士学位研究生
宁波大学考研真题671数学分析2015年-2017年
入学考试试题(A卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目: 数学分析科目代码：671 适用专业: 基础数学、应用数学入学考试试题(A卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目: 数学分析科目代码：671 适用专业: 基础数学、应用数学入学考试试题(B卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:数学分析科目代码：671适用专业:基础数学、应用数学入学考试试题(B卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:数学分析科目代码：671适用专业:基础数学、应用数学科目代码:671科目名称：数学分析适用专业:基础数学应用数学一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
1.关于数列极限下列叙述正确的是（）A．lim {}n n n a a a a →∞=的充要条件是在的任意小领域内有中的无限多个点;B．{}{}n n a a 若数列存在极限,则数列一定为一有界数列;C.{},{},{}lim {}n n n n n n n n n n a b c a b c c a b →∞≤≤若数列满足,且(-)=0,则数列一定收敛;D .1{}lim()0,{}n n n n n a a a a +→∞-=若数列满足则数列一定收敛.2.下列叙述正确的是（）A.(),();f x f x I 若在区间I上连续则在上一定有界B.()[,],()[,];f x a b f x a b 若在闭区间上可积则在上一定有界C.()[,],()()[,],()();xa f x ab F x f t x a b x f x '=∈=⎰若在上可积令dt,则有F D.00(),()f x x x f x 若在处可导则一定存在的某领域,使得在该领域内连续.3.1,n n u ∞=∑设级数收敛则下列必收敛的级数为（）A.1;1n n n u n ∞=+∑ B.21;nn u ∞=∑ C.1(1);nn n u n ∞=-∑ D.2121().n n n uu ∞-=-∑4.,0()111,11x x f x x n n n ≤⎧⎪=⎨<≤⎪++⎩已知函数，下列叙述正确的是（）A.0();x f x =是的第一类间断点B.0();x f x =是的第二类间断点C.()0;f x x =在处连续但不可导D.()0f x x =在处可导.5.(0,0)下列函数在处存在重极限的是（）A.22(,);xyf x y x y =+ B.2224()(,);x y f x y x y -=+C .222(,);x yf x y x y=+ D.2233(,).x y f x y x y=+科目代码:671科目名称：数学分析适用专业:基础数学应用数学科目代码:671科目名称：数学分析适用专业:基础数学应用数学。
宁波大学671数学分析2004,2005,2007--2020年考研真题
1. 下列叙述正确的是（
）
（A）若数列
{an}无界,则必有
lim
n
an
.
(B)若f (x)在点x0连续,而g(x)在点x0不连续,则f (x)g(x)在点x0处不连续. (C)若f (x)在x0处可导,则一定存在x0的某个领域U(x0 ),使得f (x)在U(x0 )内的任意点处
都可导.
(D)若f (x)在点x0处连续,则在x0的某个领域内一定有界.
2. f (x)在[a,b]上可积,则f 2 (x)在[a,b]上也可积;f (x)的反常积分在[a, )上收敛,
则f 2 (x)的反常积分在[a, )上(
)
（A）收敛； （B）不收敛； （C）不一定收敛；
（D）以上三个答案都不正确
3.设 f (x) (x a)(x) ，其中(x) 在 x a 处连续但不可导，则 f ' (a) （
xn 的收敛域以及在收敛域内求这个级数的和。
n1 n(n 1)
五．(本题 15 分)请用 语言证明： lim 2 (sin x)n dx 0 。 n 0
六．(本题 15 分)
设 0 b a ，证明： a b ln a a b 。
a
bb
七．(本题 15 分)
设 f (x) 是定义在实数域上的可导正函数，并且 f '(x) 2020 f (x), f (0) 1，求 f (x) 。 八．(本题 15 分)
三、(本题 15 分) 计算二重积分
四、(本题 15 分)实轴上的连续函数 f 被称为凸的，若对任意
及
，满足
请证明：(1)对任意
及任意的
(2)对任意的[0,1]上的黎曼可积函数 , 成立
, , 成立
宁波大学871高等代数2004,2008--2020年考研真题
阵 P 使得 P1AP B.
1 0 0
4.
(15 分)
设
A
a
b
c
0 2
，这里
a,
b,
c
是任意数，
1 2
3i ，求 A1000.
5． (15 分) 设方阵 A 满足 A2 +2A 3E O. (1) 求证 A 4E 可逆，并求逆；(2) 讨论 A nE 的可逆
性.
6. (20 分) 用正交变换化二次型 f (x1, x2, x3) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3 为标准形(要求写出
E A1 E A1 1 E.
5. 证明：正交矩阵的特征根的模等于 1.
6. 设 A 0 是 m n 矩阵, bT (b1 , ,bm )，ATX=0 的解空间为W ，证明：线性方程 组 AX b 有解的充要条件是 b W .
第2页共2页
宁波大学 2014 年攻读硕士学位研究生
x1 x1
x2 x2
x3 x3
1, ,
x1 x2 x3 2.
4. 已知二次型 f (x1, x2, x3) 1 a x12 1 a x22 2x32 21 a x1x2 的秩为 2. (1) 求 a 的值.
(2) 求正交变换 X QY ，将 f (x1, x2, x3) 化为标准形. (3) 求方程 f (x1, x2, x3) 0 的解.
并举例说明条件“次数 n 2 ”是不可缺少的.
3.
设 n 阶矩阵 A
aij
的每一行只有一个元素是1，其余元素都是 0 ；而每一列的元素之和
nn
是1. 证明：存在自然数 m 0 ，使得 Am E ，其中 E 为 n 阶单位矩阵.
宁波大学高等数学考研真题试题2009年—2019年(缺13、14)
高等数学 人文地理学
科目代码： 721
一、 单项选择题：(30 分) 本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分。在每小题列出的四个选项中只有一 个是符合题目要求的。
cos n
(
) 1. 设Un
2 ，当 n=（ ）时，Un 与其极限之差的绝对值小于正数 0.001 ？ n
(A) 998
(B) 999
(ez - 1)2 - xyez
(ez +1)2 - xyez
A.
(ez - 1)2
；B.
(ez +1)3
；
(ez - 1)2 + xyez
(ez - 1)2 - xyez
C.
(ez - 1)3
；D.
(ez - 1)3
二、证明题（ 30 分）
1. 设 u1(x)， u2( x)分别满足：
u1′= a( x)u1 + u( x) ； u1(0)= c， u1′≤ a( x)u2 + u( x) ， u2(0)= c 其中 a(x)、 u(x)在 x ≥ 0 上连续， c 为常数
1. 求 lim（1- 1）n 。（ 5 分）
n→∞
n
2. 已知 f (x) = arctan x ，求 f '' (1) 。（ 10 分）
∫ sin 2x
3. 求 1+ cos4 x dx 。（ 5 分）
第 1页共 2页
宁波大学 2015 年攻读硕士学位研究生
入 学 考 试 试 题 (B 卷 ) (答案必须写在答题纸上 )
∞ x2n (A)
n=0 n!
∑ (B) ∞ (1)n x2n
n0 n!
∑∞ xn
2008—数三真题、标准答案及解析
1
（22） （本题满分 11 分） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， X 的 概 率 分 布 为 P X i
1 i 1, 0,1 ， Y 的 概 率 密 度 为 3
1 0 y 1 fY y ，记 Z X Y 0 其它
（1）求 P Z
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 2 - 页 共 14 页
（1）证明对任意实数 t ，有 （2）证明 G x
t 2
t
f x dx f x dx ；
0
2
x
0
2 f t t 2 f s ds dt 是周期为 2 的周期函数． t
所以 f y (0, 0) 存在．故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得
02 y 4
1
y
e y 1 y2 lim lim 0 y 0 y 0 y y
2
F u, v
D
f u 2 v2 u 2 v2
dudv dv
0
v
u f (r2 ) r 1
2 2
dxdy ，其中 Duv 为图中阴影部分，则
（D）
F （ u
）
（A） vf (u )
2
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
3
v f (u ) u
）
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A 0 ，则（
A E A 不可逆， E A 不可逆. C E A 可逆， E A 可逆.
x c
x c x c
2 2 x c
（22） （本题满分 11 分） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， X 的 概 率 分 布 为 P X i
1 i 1, 0,1 ， Y 的 概 率 密 度 为 3
1 0 y 1 fY y ，记 Z X Y 0 其它
（1）求 P Z
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 - 2 - 页 共 14 页
（1）证明对任意实数 t ，有 （2）证明 G x
t 2
t
f x dx f x dx ；
0
2
x
0
2 f t t 2 f s ds dt 是周期为 2 的周期函数． t
所以 f y (0, 0) 存在．故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得
02 y 4
1
y
e y 1 y2 lim lim 0 y 0 y 0 y y
2
F u, v
D
f u 2 v2 u 2 v2
dudv dv
0
v
u f (r2 ) r 1
2 2
dxdy ，其中 Duv 为图中阴影部分，则
（D）
F （ u
）
（A） vf (u )
2
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
3
v f (u ) u
）
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A 0 ，则（
A E A 不可逆， E A 不可逆. C E A 可逆， E A 可逆.
x c
x c x c
2 2 x c