NOIP2008提高组复赛题解

状态压缩 因为两条路线长度相等，所以有i+j=k+l，则状态 可以压缩为三维，压缩后的转移方程为： f[i-1,j,k-1] (i>1) f[i,j,k]=min f[i-1,j,k] (i>1) +s[i,j]+s[k,i+j-k] f[i,j-1,k-1] (j>1)且(k>i+1) f[I,j-1,k] (j>1) 关于k>i+1：当k=i+1时，(i,j-1)和(k-1,i+j-k)是同一点， 由于两条路线不可交叉，所以两条路线的状态不可 能由同一点发展而来。
总结： 这是一道较高难度的动规题，有一个小陷阱 （如果把两条线分开做动态规划则会由于两条线路 可能交叉而出错），边界条件也较为复杂，并且需 要状态压缩才能拿满分。在比赛中遇到这种题如果 一时无法找到合适的算法，最好先做下一题，因为 即使写搜索也无法过多少数据。同时在考虑动态转 移方程时一定要注意边界条件，否则极易出错。
思路： 枚举两加数，计算所需火柴棒是否等于n。枚举 范围0~1000。 总结： 这也是比较水的一道题，数据规模较小，算法 简单，比赛中这样的题也应该拿到满分。
参考样程
#include <fstream> #define I_F "matches.in" #define O_F "matches.out" #define MAX 1000 using namespace std; const short match[10]={6,2,5,5,4,5, 6,3,7,6}; //10个数字所需火柴棒 long ans; short n; void Input(); int Matches(int x); void Search(); void Output(); int main() { Input(); Search(); Output(); } void Input() { ifstream fin(I_F); fin>>n; fin.close(); } int Matches(int x) //计算摆出x所需的火柴棒 { int t=x,s=0; if (x==0) return 6; else while (t>0) { s+=match[t%10]; t/=10; } return s; } void Search() { int i,j; n-=4; for (i=0; i<MAX; i++) for (j=0; j<=i; j++) //这样对于A+B和B+A就只 会搜索到一次，可以节约一半时间 if (Matches(i)+Matches(j)+Matches(i+j)==n) { if (i!=j) ans+=2; else ans++; } } //Output函数略
4维动态规划 本题可以使用动态规划法解决。 设f[i,j,k,l]为第一条线走到(I,j)，第二条线走到 (k,l)时的最优值（方便起见，两条线都看作从左上角 开始，右下角结束）。 动态转移方程： f[i-1,j,k-1,l] (i>1) f[i,j,k,l]=min f[i-1,j,k,l-1] (i>1) +s[i,j]+s[k,l] f[i,j-1,k-1,l] (j>1)且(k>i+1) f[I,j-1,k,j-1] (j>1) 同时，由于两条线不能交叉，有k>i。
NOIP2008提高组复赛题解
河南省实验中学 彭勃
第一题 笨小猴
* 题目描述：
笨小猴的词汇量很小，所以每次做英语选择题的时 候都很头疼。但是他找到了一种方法，经试验证明，用 这种方法去选择选项的时候选对的几率非常大！ 这种方 法的具体描述如下：假设maxn是单词中出现次数最多的 字母的出现次数，minn是单词中出现次数最少的字母的 出现次数，如果maxn-minn是一个质数，那么笨小猴就认 为这是个Lucky Word，这样的单词很可能就是正确的答 案。
样例1 输入： error 输出： Lucky Word 2 解释： 单词error中出现最多的字母r出现了3次，出现 次数最少的字母出现了1次，3-1=2，2是质数。
样例2 输入： olymipic 输出： No Answer 0 解释： 单词olympic中出现最多的字母i出现了2次，出现次 数最少的字母出现了1次，2-1=1，1不是质数。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
#include <fstream> #define I_F "message.in" #define O_F "message.out" using namespace std; short n,m; short s[60][60]; long f[60][60][60]; void Input(); long max(long a, long b); void Dyna(); void Output(); int main() { Input(); Dyna(); Output(); return 0; } void Input() { short i,j; ifstream fin(I_F); fin>>n>>m; for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<m; fin>>s[i][j++]); fin.close(); } void Output() { ofstream fout(O_F); fout<<f[n-2][m-1][n-1]<<endl; //不要输出f[n-1][m-1][n-1]，正确 的方程是不会计算这个状态的 fout.close(); }
第三题 传纸条
问题描述： 小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完 的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的 矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就 无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。 纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐 标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的 纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向 上或者向左传递。 在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小 轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一 次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在 小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。 还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度 有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表 示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小 渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到 来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。 现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
样例 输入： 33 039 285 570 输出： 34 数据规模： 30%的数据满足：1<=m,n<=10 100%的数据满足：1<=m,n<=50
思路： 首先想到搜索，但是对于只考虑一条路线来说， 每一步有两种状态 一共要走m+n步，搜索整棵树的 时间复杂度为O(2^(m+n))，如果两条路线都考虑的 话，时间复杂度为O(4^(m+n))，即使是30%的数据， 即m+n=20，4^20≈10^12，这样的数据规模也还是太 大了。
long max(long a, long b) { if (a>b) return a; else return b; } void Dyna() { short i,j,k; for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<m; j++) for (k=i+1; k<=i+j; k++) if (k==i+1) //需要格外注意边界条件 if (i==0) f[i][j][k]=f[i][j-1][k]+s[i][j]+s[k][i+j-k]; else if (j==0) f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i-1][j][k-1])+s[i][j]+s[k][i+j-k]; else f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k],f[i-1][j][k-1]),f[i][j1][k])+s[i][j]+s[k][i+j-k]; else if (i==0) f[i][j][k]=max(f[i][j-1][k-1],f[i][j-1][k])+s[i][j]+s[k][i+j-k]; else if (j==0) f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i-1][j][k-1])+s[i][j]+s[k][i+j-k]; else f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k],f[i-1][j][k-1]),max(f[i][j1][k-1],f[i][j-1][k]))+s[i][j]+s[k][i+j-k]; }
思路：
统计单词中每个字母的出现次数，挑出最多的次数和 最少的次数（不包括0次），相减判断是否为质数即可。 判断质数时可以写函数判断，也可以把100以内的质数 列成常量数组直接判断，因为单词最多只有100个字母。 需要注意的是输出时的LWNA四个字母要大写。 * 总结： 这是一道送分题，没有什么难度，需要注意的细节也 不多，所以在比赛中是一定要拿满分的。
输入格式： 输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开 的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。 接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j m m*n i j 列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行 的n个整数之间用空格隔开。 输出格式： 输出文件message.out共一行，包含一个整数， 表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度 之和的最大值。
void Output() { ofstream fout(O_F); if (Pd()) fout<<"Lucky Word\n"<<ans<<endl; else fout<<"No Answer\n0\n"; fout.close(); }
第二题 火柴棒等式
问题描述： 给你n根火柴棍，你可以拼出多少个形如“A+B=C” 的等式？等式中的A、B、C是用火柴棍拼出的整数 （若该数非零，则最高位不能是0）。用火柴棍拼数字 0-9的拼法如图所示：（图略） 注意： 1. 加号与等号各自需要两根火柴棍 2. 如果A≠B，则A+B=C与B+A=C视为不同的等式 （A、B、C>=0） 3. n根火柴棍必须全部用上
输入格式： 输入文件matches.in共一行，有一个整数n（n<=24）。 * 输出格式： 输出文件matches.out共一行，表示能拼成的不同等 式的数目。
样例1 输入：
14 输出： 2 解释： 2个等式为0+1=1和1+0=1。
样例2 输入： 18 输出： 9 解释： 9个等式为： 0+4=4、0+11=11、1+10=11、2+2=4、 2+7=9、4+0=4、7+2=9、10+1=11、11+0=11
参考样程
#include <fstream> #include <string> #include <cmath> #define I_F "word.in" #define O_F "word.out" using namespace std; string s; short ans; void Input(); void Search(); bool Pd(); void Output(); int main() { Input(); Search(); Output(); return 0; } void Input() { ifstream fin(I_F); fin>>s; fin.close(); } void Search() //统计字母出现次数 { short i, max=0, min=200; short f[26]={0}; for (i=0; i<s.length(); f[s[i++]-'a']++); for (i=0; i<26; i++) if (f[i]>0) { if (f[i]>max) max=f[i]; if (f[i]<min) min=f[i]; } ans=max-min; } bool Pd() //判断质数 { if (ans==1) return false; else if (ans==2) return true; else if (ans%2==0) return false; else for (short i=3; i<=sqrt((dou ble)ans); i+=2) if (ans%i==0) return false; return true; }
输入格式：
输入文件word.in只有一行，是一个单词，其中只可 能出现小写字母，并且长度小于100。 * 输出格式： 输出文件word.out共两行，第一行是一个字符串， 假设输入的的单词是Lucky Word，那么输出“Lucky Word”，否则输出“No Answer”； 第二行是一个整数， 如果输入单词是Lucky Word，输出maxn-minn的值，否则 输出0。