圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用
定勇
（省宁国中学 ，242300）
圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.
文[1]给出了两个较为简洁的结论：
命题1 椭圆122
22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .
双曲线122
22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b
y y a x x .
抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .
命题 2
圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应
的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.
以上结论在文[2]中有证明.
如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：
题1、（2010文15）.已知椭圆12
:22
=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2
2
00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值围为_______，直线12
00=+y y x x 与椭圆C 的公共
点个数_____.
P 在椭圆内 P 在椭圆外
解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得围为[)
22,2.
第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12
:22
=+y x C 的部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线
12
00=+y y x
x 并不经过()00,y x P .还有学生看到
12
00=+y y x
x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.
事实上，12
00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22
=+y x C 的部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用
极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.
题2、（2010文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率
52
e =
. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中
21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线
C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.
解析：（I ）C 的标准方程为.14
22
=-y x C 的渐近线方程为.2
1x y ±
= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和
44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线
MN 的方程为.44=+y y x x E E
MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.
设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，
由方程组⎩⎨
⎧=+=+⎩⎨
⎧=-=+,
02,
4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.22
24,22,24⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
--=-=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=E E N E E N E E C E
E C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=
⋅-⋅+-+-.412
2
2E
E y x -= 因为点E 在双曲线.44,14
2
222=-=-E E y x y x 有上所以22
12 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线
44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+4
42=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.
题3、（201018）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、
),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .
（Ⅰ）设动点P 满足42
2
=-PB PF ,求点P 的轨迹； （Ⅱ）设3
1
,221=
=x x ，求点T 的坐标； （Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.
解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.
（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m
直线)3(12
:+=x m
y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(2
22++--m m m M
直线)3(6
:-=x m
y TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(2
22+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：2
22
22
222220)
20(380)80(320)
20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.
分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.
如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：
15
091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）.
题4、已知椭圆C
的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
22x y 1a b 0a b +=>>。

…………………
1分
∵a 2=
，c e a ==
c =222b a c 1=-=。

……………… 4分
∴椭圆C 的方程为2
22x y 14
+=。

……………………………………… 5分
（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，直线1A P
的方程是y =+ 直线2A Q
的方程是y =
交点为(1S . …………7分,
若P 1,,Q ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，由对称性可知交点为(2S 4,. 若点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。

…………………8分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。

事实上，由22
x y 1
4
x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=， 记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4--+=
=++。

………… 9分
设1A P 与交于点00S (4,y ),由011y y ,42x 2=++得1
016y y .x 2=+
设2A Q 与交于点00S (4,y ),''由022y y ,42x 2'=--得2
022y y .x 2
'=- (10)
12
00126y 2y y y x 2x 2'-=-
+-()()()()1221126y my 12y my 3x 2x 2--+=+-()()()
1212124my y 6y y x 2x 2-+=+- ()()
22
1212m 12m m 4m 40x 2x 2---++=
=+-，……12分 ∴00y y '=，即0S 与0S '重合，这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

13分 解法二：（Ⅱ）取m 0,=
得P ,Q 1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭
，直线1A P
的方程是y =+直线2A Q
的方程是y =
交点为(1S . ………………………………………… 7分 取m 1,=得()83P ,,Q 0,155⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，直线1A P 的方程是11y x ,63=+直线2A Q 的方程是1y x 1,
2=-交点为()2S 4,1.∴若交点S 在同一条直线上，则直线只能为:x 4=。

……………8分
以下证明对于任意的m,直线1A P 与直线2A Q 的交点S 均在直线:x 4=上。

事实上，由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩
得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=，记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则1212
222m 3
y y ,y y m 4m 4
--+=
=++。

………………9分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=--消去y,得
()()1212y y
x 2x 2x 2x 2+=-+-… ①以下用分析法证明x 4=时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明
12
126y 2y ,x 2x 2
=+-即证()()12213y my 1y my 3,-=+即证()12122my y 3y y .=+……………… ②∵()121222
6m 6m
2my y 3y y 0,m 4m 4
---+=
-=++∴②式恒成立。

这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

解法三：（Ⅱ）由22
x y 1
4x my 1⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22my 14y 4,++=即()
22m 4y 2my 30++-=。

记()()1122P x ,y ,Q x ,y ，则121222
2m 3
y y ,y y m 4m 4
--+=
=++。

…………… 6分 1A P 的方程是()11y y x 2,x 2=++2A Q 的方程是()22y
y x 2,x 2
=-- ……
7分
由()()11
22y y x 2,x 2y y x 2,x 2⎧
=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩
得()()1212y y x 2x 2,x 2x 2+=-+- …………………
9分
即()()()()21122112y x 2y x 2x 2
y x 2y x 2++-=+--()()()()21122112y my 3y my 12y my 3y my 1++-=+--1221
21
2my y 3y y 2
3y y +-=+ 112
211232m 2m 3y y m 4m 42
4.2m 3y y m 4--⎛⎫
+-- ⎪++⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
………………………………
12分
这说明，当m 变化时，点S 恒在定直线:x 4=上。

………………
13分
2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）
已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、
B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。

（I ）证明.FM AB 为定值；
（II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。

（21）（本小题满分13分）
设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2=上运动，
点Q 满足BQ QA λ=，经
过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足
QM MP λ=,求点P 的轨迹方程。

（20）（本小题满分13分）
点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b π
βββ==<<直线
2l 与直线00122:
1x y l x y a b
+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.
（I ）证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点；
（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.
参考文献：
1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法[J].中学数学教学，
2006（6）
2梅向明，增贤，林向岩.高等几何[M].：高等教育，1983。