1定积分的概念
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
1 定积分的概念
§1.定积分的概念※ 学习目标1．理解定积分产生的背景；2．掌握定积分问题的基本思想和解决方法. ※ 学习过程 一、课前准备 复习：导数的的概念；导数在几何、物理上的意义；应用导数在解决数学最值问题上的方法步骤二、研读课本 课本问题1图中阴影部分时由抛物线f(x)=x 2，直线x=1及x 轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S.新知总结积分问题的基本思路及步骤 1、分割：将区间[a ，b]插入n －1个点（一般都是均匀插入这些点），使得：a=x 0<x 1<x 2<…<x 1-i <x i <…<x 2-n <x 1-n <x n =b ，则将区间分成了[a ，x 1]，[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，…，[x 1-i ，x i ]，…，[x 2-n ，x 1-n ]，[x 1-n ，b]n 个区间，记第i 个区间[x 1-i ，x i ]长度为△x i （i=1，2，3，…，n ），过每个分点x i 作x 轴的垂线段，则将曲边梯形分割成了n 个小的曲边梯形；2、近似代替：在第i 个区间[x 1-i ，x i ]内任取一个值ξi （一般都是取左端点x 1-i 或者右端点x i ），那么这个曲边梯形可以近似看作是一个矩形，其高为f(ξi )，易知宽为x i －x 1-i =△x i ，那么这个小曲边梯形的面积就可以近似看作S i ≈ f(ξi )·△x i （i=1，2，3，…，n ）；3、求和：S ≈S 1+S 2+ S 3+…+S 1-n +S n = f(ξ1)·△x 1+ f(ξ2)·△x 2+ f(ξ3)·△x 3+…+ f(ξ1-n )·△x 1-n + f(ξn )·△x n =∑=∆ξni i i x f 1)(4、取极限：分割的细度n →∞，则S=∞→n lim∑=∆ξni iif 1)(课本问题二想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s 后停下，在这一过程中，汽车的速度v （单位：m/s ）是时间t 的函数：v （t ）=t 2－10t+25(0≤t ≤5).请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.例 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： （1）⎰12dx （2）⎰21xdx （3）⎰--1121dx x小结：定积分的几何意义就是求曲边梯形的面积.知识点： 定积分有如下性质：性质1⎰ba dx 1=性质2 ⎰b a dx x kf )(=性质3 ⎰±b a dx x g x f )]()([=性质4 ⎰b ax f )(=⎰cax f )(+⎰bcx f )(三 动手试试 练1. 面积问题：设S 表示由曲线y=x ，直线x=1以及x 轴所围成平面图形的面积.(1）画出该平面图形；（2）试估计该平面图形的面积，并写出估计值的误差.练2. 做功问题一根弹性系数为0.4N/cm 的弹簧，其拉力F 随着弹簧拉伸的长度x 的变化而不断变化，根据胡克定律可知：F=F(x)=0.4x.如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端固定在物体上，在不考虑摩擦力的情况下物体在力F 作用下匀速移动，从原来位置 移动10cm.估计这一过程中拉力所做的功W.练3．用图形表示下列定积分： （1）⎰102dx x （2）⎰21ln xdx （3）⎰-11dx e x※ 总结提升 学习小结1. 积分问题的基本思路及步骤：1、分割；2、近似代替；3、求和；4取极限． 2. 积分的几何意义就是求曲边梯形的面积． ※ 课后练习：（1-4选择题）1．利用定积分的几何意义求下列定积分（1）⎰212xdx （2）⎰-224dx x（3）⎰-11dx x2．已知⎰10dx e x=e ，⎰102dx x ，求下列定积分：（1）⎰+12)(dx x e x（2）⎰-12)2(dx x e x3．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v （t ）=20t ，0≤t ≤5，试估计汽车在这段时间内走过的距离，并写出估计值的误差.4．设力F （单位：N ）的方向与抛物线运动的方向一致，力的大小随着物体走过的路程x （单位：m ）而变化，可以表示为F=F(x)=x11,估计力F 在0—10m 这段路程内所做的功，要求误差不超过1N ·m.。
1.5.3《定积分的概念》课件-(1)
5 S v(t )dt (t 2)dt 0 0 3
1 1 2
O
1 1 2 3 j n - 1
t
n n n n
n
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
y y=f ( x)
b
c
b
f (x)dx。
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
0
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（2）在图②中，被积函数 f ( x) x 在[1 ， 2] 解： 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面 积为 A 2 x 2 dx
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 定积分的概念
高等数学（上）
定理3 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界，
且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在
区间[a , b]上可积.
定理4 设函数
则
f ( x ) 在区间 [a , b] 上有界且单调，
2
n
2
1 n 2 3 i n i 1
1 n( n 1)(2n 1) 3 n 6
1 1 1 1 2 6 n n
1 因为 max{x1 , x2 , xn } n
高等数学（上）
所以 0 n ，
故有
[a , b ]
上可积。
f ( x)
在区间
例1 设 R, 则
b
a
dx (b a ).
高等数学（上）
例2 利用定义计算定积分
0 x
1
2
dx .
解 由于 f (x) = x2 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , 因此可积 .
所以取如下划分:
将
[0,1] 分成 n 等分，分点为
0
1
xdx
n n n (2) lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n n 1 dx 1 1 lim 2 n 0 1 x2 n i i 1 1 n
高等数学（上）
用和式极限表示定积分： ba ba 2(b a ) n(b a ) lim ) f (a ) f (a ) f (a n n n n n
i b a lim f a (b a ) n n n i 1 b 1 n i f a (b a ) f ( x )dx n i 1 n a
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的定义
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数f()在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系，一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。
定积分的分类
不定积分
即已知导数求原函数。
若F’()=f()，那么[F()+C]'=f()，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f()积分，不一定能得到F()，因为F()+C的导数也是f()（C是任意常数）。
所以f()积分的结果有无数个，是不确定的。
所以一律用F()+C代替，这就称为不定积分。
即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分
定积分就是求函数f()在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由
y=0,=a,=b,y=f()所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分的常用积分法
换元积分法
如果f（）∈c（[a，b]）；=ψ（t）在[a，β]上单值可导；当
a≤t≤β时，a≤ψ（t）≤b，且ψ（a）=a，ψ（β）=b,则∫ba f（）d=∫βa f（ψ（t））ψ’（t）dt
定积分的分点问题
定积分是把函数在一些区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴
的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
习惯上，人们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δ是相等的。
但是
必须指出，即使Δ不相等，积分值仍然相同。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
1定积分的定义
§積分的意義1.我們把區間[],a b 分割成等長度的n 等分且限制函數值()0f x ≥，黎曼和是圖形下區域面積的近似值﹐而n 趨近於∞的極限值是這區域的面積。
(1) 分割出來的區間可以不等寬﹐定∆j x ＝1j j x x --（j ＝1,2,,n ），黎曼和nj 1＝Σ*()j f x x ∆﹐取極限=0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆，x ∆是12,,,n x x x ∆∆∆中的最大值。
但這個方法有時並不方便﹐我們不採用這種不等寬度的分割而回到原來的等寬度分割。
(2) 函數()f x 的值有正有負。
對於上面(2)的放寬是有必要的，至少可運用到多項式或一些我們熟知的函數。
不管是等寬分割或不等寬分割，對任意區間[],a b 上的連續函數﹐極限值0lim →∆x nj 1＝Σ*()j f x j x ∆存在且唯一，這時黎曼和的極限值就是這函數的定積分。
2.定積分的定義：若函數()f x 是定義在[],a b 的連續函數﹐設01n a x x x b =<<<=是區間[],a b 的一等寬分割，x ∆＝na b －﹐在區間1,j j x x -⎡⎤⎣⎦任取一點*j x ﹐稱為參考點，則()f x 從a 到b 的定積分是∞→n lim nj 1＝Σ*()jf x x ∆，而以符號⎰b ax f ）（dx 表示。
※(1) 符號⎰是萊布尼茲首先引用的稱為積分符號。
(2) 函數()f x 稱為被積分函數。
(3) a 是積分的下限，b 是積分的上限，當a ＝b 時﹐積分值規定為0，即⎰b ax f ）（dx ＝0。
規定：⎰b ax f ）（dx ＝－⎰b ax f ）（dx 。
(4) 符號dx 本身沒有獨特的意義，⎰b ax f ）（dx 代表一極限值，⎰b at f ）（dt ﹐⎰b ay f ）（dy ﹐⎰b az f ）（dz 表示同一定積分。
1的定积分
1的定积分1的定积分是一个重要的数学概念，也是微积分中的一个重要内容。
它是由著名的微积分学家、微分几何学家、力学学家狄拉克首先提出来的。
他发现，积分可以用来表达一个函数的空间变化。
对于同一个函数，不同的被积分区域是不同的，因此，对于不同的被积分区域，可以求出不同的积分值。
1的定积分就是这样一个积分，它可以用来研究函数的变化率，从而确定函数的行为。
1的定积分定义如下：给定一个函数f(x)，它的1的定积分为：∫f(x)dx,其中a∈[a,b]，这里的定积分被称为狄拉克积分。
1的定积分有一个重要的性质，即它可以有效地表示一个函数在某一个区域内的变化率。
通常情况下，当函数的积分值大于0时，函数在该区域内是增加的，而当函数的积分值小于0时，函数在该区域内是减少的。
1的定积分的计算方法有多种。
其中，最简单的是采用梯形法，即将被积分区域分成若干小矩形，然后分别求其下面的矩形的面积，最后把这些面积相加求和，得出1的定积分的值。
另外，也可以采用更复杂的数值积分方法，如Simpson积分法，Gauss-Kronrod求积法，Trapezoidal积分法等，以计算出更精确的定积分结果。
1的定积分在数学，物理，化学和工程学等多个领域有着广泛的应用。
在物理学中，它可以用来求解微分方程，即求解物理系统中的动态变化；在数学中，它可以用来求解定积分和无穷级数的值；在化学和工程学中，它可以用来求解复杂的物理和化学过程的传递系数等等。
总之，1的定积分在数学、物理、化学和工程等各个领域均有着重要的作用，它可以有效地帮助我们了解函数的变化规律，研究物理和化学等复杂过程的传递系数，甚至可以应用在定积分和无穷级数的求解中。
因此，1的定积分是一个非常重要的概念，并且可以应用到很多不同领域中。
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
定积分的概念与性质(1)
a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < xi −1 < xi < ⋯ < x n −1 < x n = b
把曲边梯形的底[a,b]分成 个小区间 ： [ xi −1 , xi ] 分成n个小区间 把曲边梯形的底 分成 小区间长度记为： ∆x i = x i − x i −1 (i = 1,2,3, ⋯ , n ) 过各分点作垂直于x轴的直线段， 过各分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分 轴的直线段 个小曲边梯形， 成n个小曲边梯形，其中第 个小曲边梯形的面积记为 ∆ A i 个小曲边梯形 其中第i个小曲边梯形的面积记为 y y=f(x)
确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 上的定积分 定积分， 在区间[a , b ]上的定积分， 记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分
∫a f ( x )dx = A
b
曲边梯形的面积
∫a
b
f ( x )dx = − A 曲边梯形的面积
的负值
17
一般情形, 一般情形
∫
b
a
的几何意义为： f ( x)dx 的几何意义为：
它是介于 x 轴、函数 f ( x )及两条直线 x = a , x = b 之间的各部分面积的代 数和． 数和． 轴上方的面积取正号； 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号． 积取负号．
1≤i≤n
对上述和式取极限就得物体以变速v(t)从时刻 到时刻 这段 对上述和式取极限就得物体以变速 从时刻a到时刻 从时刻 到时刻b这段 时间内运动的距离s, 时间内运动的距离 即
定积分概念、性质(1)
◆定积分的基本性质
1
b
a
f
x
g
x
dx
b
a
f
x dx
b
a
g
xdx
可推广至有限个函数的代数和的情形。
2
b
a
k
f
x dx
k
b
a
f
x dx
3
b
a
f
x
dx
c
a
f
x dx
b
c
f
x dx
·a ·c ·b ·b ·a ·c
c
b
f
xdx
a
b
f
xdx
c
a
f
xdx
无论 a, b, c 的相对位置如何，（3）式均成立。
dx
2 0
sin
x
cos
x
dx
cos x sin x2 0 1 1 0 2 0
x 1, x 1
8 设
f
x
1 2
x2,
x
1
，求 2 f x dx 0
a
a
因 f (x) f (x) f (x)
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
0
(1 3
x3 )
1 0
1 3
变：（2 x 1）dx 1
计算定积分 b f（x）dx a
a 0,b 2, f (x) x3
2013考研第一讲：积分及其等式、不等式问题(数学三)
∫ g(t ) f (t )dt
a
x
∫ g(t )dt
a
x
在 (a , b]上单调增加 ]
解 对于 x ∈(a,b]
F'( x) = g( x) f ( x)∫ g(t )dt − g( x)∫ g(t ) f (t )dt
a a x x x
(∫ g(t )dt )2
a
=
g( x) (∫ g(t )dt )2
b a
∫ f ( x) g( x)dx = f (ξ)∫ g( x)dx
a
b
(7)定积分值与变量的名称无关 定积分值与变量的名称无关: 定积分值与变量的名称无关 若 y= f (x)在 [a, b] 上连续 , 则 在 ]
b a
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt
a
b
(8)微积分第一基本定理 若 f (x) 在 [a, b]上连续 , 则变 微积分第一基本定理: 微积分第一基本定理 ] 上限积分函数 F( x) = ∫ f (t )dt 在[a, b]上可微 且有 ]上可微,
定积分及其等式、 第一讲 定积分及其等式、不等式问题
1°定积分的概念 °
b
(1) 定积分的定义 定积分的定义:
∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ξi )∆xi
n λ→0 i =0
其中极限值与区间 [a , b] 的划分 , ξi ∈[ xi −1, xi ] 的 ] 选取无关 . (2) 定积分的几何意义 定积分的几何意义: 曲边梯形的面积: 曲边梯形的面积
0
1
试证: 试证 在 (0 , 1) 内至少存在一点 ξ , 使
f (ξ) + ∫ f ( x)dx = 0
第四章 §1 定积分的概念
b a b a
2．定积分的几何意义
x＝a 与_____ x＝b ， y＝0 (1)当 f(x)≥0 时， f(x)dx 表示的是_______ ______ y＝f(x) 所围成曲边梯形的面积． 和________
[一点通] 解决这类问题， 是通过分割自变量的区间求得过剩 估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当 分割成的小区间的长度趋于 0 时，过剩估计值和不足估计值都趋 于要求的值．
1．把区间[0,1]n 等分，所得 n 个小区间，每个小区间的长度为 ( 1 A.n 3 C.n 2 B.n 1 D. 2n )
f(x)dx± g(x)dx (3) [f(x)± g(x)]dx＝________________；
f(x)dx＋ f(x)dx (4) f ( x )d x ＝ ________________. b b a
b a b a
b a b a
f(x)dx＋ g(x)dx＝3， f(x)dx－ g(x)dx＝－5，
1 0 1 0
1 0
两式相加，得2 f(x)dx＝－2， 故 f(x)dx＝－1.
1 0
(2)∵ 2f(x)dx＝2 f(x)dx＝5， 5 ∴ f(x)dx＝ . 2
b 1 1 b b ∫ ∫ 于是 [2－f(x)]dx＝ a2dx－ afxdx 3a 3
1 1 1 ×12＋ ×1.22＋ × 2 2 2 1 1 2 2 1.4 ＋ ×1.6 ＋ ×1.8 ×0.2＝ 2 2
2
1定积分的概念与性质
x x
t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
( )
2 lim 3 f ( ) 6.
五、小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
１．定积分的性质
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
b
a.
性质5 如果在区间[a,b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,,n)
4
2
M f () 2 2, m f () 2 ,
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
1.定积分的概念及性质
1 i 1 i i n1
n个小的曲边梯形 .这些小的曲边梯形的面 积为 A1 , A2 ,, An 21
第二步：近似 .在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i , 以 [ xi 1 , xi ]为底, f ( i ) 为高的小矩形面积为
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
5
曲边梯形如图 , 第一步：分割 .在区间[a , b]内插入若干个分点 , a x0 x1 x2 xn1 xn b,
y
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ x i 1 , x i ], 长 度为 Δx i x i x i 1 ;
b
b
因为 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,
b a
所以 f ( x )dx
n n
b
b
a kf ( x )dx
lim kf ( i )Δxi lim k f ( i )Δx i
0
i 1
0
i 1
k lim f ( i )Δx i k f ( x )dx .
b
n
0
i 1
a
39
2.对积分区间的可加性
性质3 设a c b, 则
v ( i )Δt i . i 1
25
i 1
路程的精确值 s lim 0
n
上述两个问题的具体含 义并不相同，一 个是几何问题，另一个 是物理问题.但是所求 的量表现了相同的数学 形式.在数学上抛开这 些问题的实际意义，抓住它们在数学关系上 共同的性质与特性加以概括，抽象出定积分 的概念.
1 定积分的概念
§1 定积分的概念学习目标1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 学习指导 20 预习教材P 75~ P 81，找出疑惑之处问题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ,作和式：()()11nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰， 即()baf x dx ⎰=()i ni n f nab ξ∑=∞→-1lim 其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 叫做积分 ，a 叫做积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数 ；（2）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰； 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰.性质11badx =⎰性质2 ()ba kf x dx =⎰性质312[()()]baf x f x dx ±=⎰性质4()()bc aaf x dx f x dx =+⎰⎰当堂练习:+20 1、定积分⎰bacdx （常数0c >）的几何意义是2、由sin y x =，0x =，2x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是3、连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰badx x f )(的符号( )A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 4、与定积分dx x ⎰π230sin 相等的是( )A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdxC.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx5、定积分⎰badx x f )(的大小（ ）A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 6、下列等式或不等式成立的个数是（ ） ①⎰⎰=101)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ220sin sin sin③dx x dx x a aa⎰⎰=-02④11dx <⎰⎰A 、1B 、2C 、3D 、4 7、计算下列定积分 （1）21(1)x dx +⎰； （2）22x dx -⎰； （3）a-⎰（0a >）；（4）()4f x dx ⎰其中(),011,134,34x x f x x x x ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.。
高中数学同步教学 第4章 §1 定积分的概念
因此1x3dx＝14. 0
• 『规律总结』 用定义法求积分的步骤 • (1)分割：将积分区间[a,b]n等分． • (2()3近)求似和：代i＝n替1 b：－n a取f(ξi点)．ξi∈[xi－1,xi],可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.
n
(4)求极限：bf(x)dx＝lim
a
n→∞i＝1
b－n af(ξi)．,
• 〔跟踪练习1〕
• 用定积分的定义求由y＝3x,x＝0,x＝1,y＝0围成的图形的面
积．
[解析]
①分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间[i－n 1，ni ](i＝1,2，…，n)，其
长度为 Δx＝1n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi＝(i＝1,2,3，…，
n)．
②近似代替：用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，ΔSi f(i－n 1)Δx＝
积时，把区间[1,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为( B )
A．[i－n 1，ni ]
B．[n＋ni－1，n＋n i]
C．[i－1，i]
D．[ni ，i＋n 1]
[解析] 把区间[1,2]等分成 n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第 i 个
小区间的左端点不小于 1.故选 B.
3．下列值等于 1 的是( C )
0
0
互动探究学案
命题方向1 ⇨定积分的定义
典例 1 求1x3dx. 0
[思路分析] 这里的被积函数 f(x)＝x3 显然是连续函数．现按定义中包含的几 个步骤来求1x3dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1.
(2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
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解：积分区间为[0，2]
0
A
2 x
A f ( x)dx
0
2
2
0
xdx
面积A f ( x)dx
a
b
( f ( x) 0)
变速运动的路程 S：
S(t)
记为
vt dt
T2 T1
训练2：一辆汽车以速度v(t)=3t+5(m/s)作直线运 动，试用定积分表示汽车在t1=1s到t2=3s期间所经 过的路程 . 解：
v(t )dt
a
b
两种不同的算法得出的结果应该相同，故有
v(t )dt S (b) S (a)
a
b
或写作
v(t )dt S (t )
a
b
b a
2、微积分学基本公式
设函数F(x)是连续函数f (x)在区间[α ，b]上的 任意一个原函数，则
b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b) F (a)
f x 的最大值。几何演示
sin xdx cos x 0 ( cos ) ( cos0) 2
0
训练：求 | x | dx
1
2
解：
2
1
| x | dx ( x)dx xdx
1
0
2
x 2
2 0
x 2 1
0 2 2
0
1 4 ( 0 ) ( 0) 2 2 1 5 2 2 2
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
4.1 积分的概念与性质
Deviation Analysis
知识目标
1、理解定积分的概念和几何意义； 2、掌握定积分的性质; 3、掌握积分基本公式及其应用
能力目标
1、会利用定积分的概念与性质求简单的定积分 2、会用定积分解决生活和专业中的实际问题.
0
y
2
0 -3
x
3
◆定积分的基本性质 性质1（数乘） 被积式中的常数因子可以提到积分 号前面，即
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx
y=kf(x)
(k为常数).
y kf(a) y=f(x) f(a) o b
kf ( x)dx
a
b
b a
f ( x)dx
x
a
性质2（加减法） 两个函数代数和的积分等于这两个函数积分的代数 和，即
A?
o
分割
a
b
求
x
取极限
近似
和
定积分(The Definite Integral)的定义
若 I= lim f ( i )x i 存在，则称此极限为
0 i 1
n
函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为
b
a
f ( x)dx ，即
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
详细定义见课本略
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
点的取法无关。 2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
x 轴、直线 x a 、
x b 所围成.
A?
o
a
b x
求曲边梯形的面积 A 的思路如下：
用矩形面积近似取代曲边梯形面积：
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
y
练习 1. 求
2
0
| sin x |dx
x 1, f x 2.设 1 2 x , 2
x 1 x 1
，求
2
0
f x dx
小结：定积分的定义是一种构造性定义，
通过四步骤归结为一个和式的极限. １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
S v(t )dt (3t 5)dt
1 1
3
3
S vt dt
T2 T1
四、几何意义(Geometry significance)
◆定积分的几何意义
1、
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
a c
c
b
y
c a
f ( x)dx
y=f(x)
b c
f ( x)dx
o
a
c
b
x
性质4
f ( x) 1, 则 如果在区间[a,b]上，
b
a
f ( x)dx b a
y f(x)=1 1
b
b a
1dx
o
a
x
性质5
若在区间[a, b]上，有 f ( x) g ( x),则 f ( x)dx g ( x)dx
a 1
b
2
A3
表示曲线与 x 轴围成的图形面积的代数和。
y f x
a
A1
A2
A3
b
◆定积分的几何意义
若f
( x) 是偶函数，则
a
a
f x dx 2 f x dx
0
a
-a
a
a
若f
( x)是奇函数，则
a
f x dx 0
a
-a
◆定积分几何意义的应用
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值
y a b x
y=f(x)>0 A
0 a
b x
0
A y=f(x)<0
◆定积分的几何意义
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a 0
A3
A2
b
x
b
a
f ( x)dx A1 A2 A3
◆定积分的几何意义
f x dx A A
b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
b a 3．规定： f ( x)dx f ( x)dx a b
a
a
f ( x)dx 0
曲边梯形面积A：
A lim f (i )xi
0
i 1
n
记为
b
a
f x dx
4.1 积分的概念与性质 训练1 某工件的形状如图所示，用定积分表示此工 件平面的面积。 y
牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式
b
例4：计算定积分
(1) x 2 dx
1
4
1 解： （ x 3） ' x2 3
0
4
1
1 3 43 13 2 x dx x 21 3 1 3 3
4
(2) sin xdx
解： （ cos x） ' sin x
(ln x) dx （ln x）dx
训练：比较大小
(1) ( 2)
1
0
xdx, x 2 dx
0
1
4 0
cos xdx, 4 sin xdx
0
引例3：求作变速直线运动的物体从时刻a到时刻b所经过 的路程。
（1）若已知路程函数S(t)，那么要求的路程是：S(b)-S(a)
(2)若已知速度函数v(t),则按引例1可知，所求路程为：
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形(Curved edge echelon)的面 积） 何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可 理解成数个曲边梯 形的集合。
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f ( x)
分割
求近似
化整为零
以直（不变）代曲（变）
求和
积零为整
取极限
精确值——定积分
引例曲边梯形的面积
exit
估值定理
exit
积分中值定理
exit
牛顿-莱布尼兹公式
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再见！
性质6
6
m b a f x dx M b a
a
b
其中 m 是 f x 的最小值，M 是
(1) 3dx 3 (7 1) 18 1
1 (2) 2 xdx (2 8) 3 15 1 2
4
7
8
3 2 1
7 1 4
◆定积分几何意义的应用
(3)
3
3
2
1 9 2 9 x dx 3 2 2
2
(4) sin xdx 0
a a
b
b
y y=f(x) f(a) y=g(x) g(a) o b