1定积分的概念

牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式
b
例4：计算定积分
(1) x 2 dx
1
4
1 解： （ x 3） ' x2 3


0
4
1
1 3 43 13 2 x dx x 21 3 1 3 3
4
(2) sin xdx
解： （ cos x） ' sin x
S v(t )dt (3t 5)dt
1 1
3
3
S vt dt
T2 T1
四、几何意义(Geometry significance)
◆定积分的几何意义
1、
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
分割
求近似
化整为零
以直（不变）代曲（变）
求和
积零为整
取极限
精确值——定积分
引例曲边梯形的面积
exit
估值定理
exit
积分中值定理
exit
牛顿-莱布尼兹公式
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再见！
性质6
6
m b a f x dx M b a
a
b
其中 m 是 f x 的最小值，M 是
A?
o
分割
a
b
求
x
取极限
近似
和
定积分(The Definite Integral)的定义
若 I= lim f ( i )x i 存在，则称此极限为
0 i 1
n
函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为

b
a
f ( x)dx ，即
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1

b
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du
a a
b
b
b a 3．规定： f ( x)dx f ( x)dx a b

a
a
f ( x)dx 0
曲边梯形面积A：
A lim f (i )xi
0
i 1
n
记为

b
a
f x dx
4.1 积分的概念与性质 训练1 某工件的形状如图所示，用定积分表示此工 件平面的面积。 y
练习 1. 求

2
0
| sin x |dx
x 1, f x 2.设 1 2 x , 2
x 1 x 1
，求

2
0
f x dx
小结：定积分的定义是一种构造性定义，
通过四步骤归结为一个和式的极限. １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
(1) 3dx 3 (7 1) 18 1
1 (2) 2 xdx (2 8) 3 15 1 2
4
7
8
3 2 1
7 1 4
◆定积分几何意义的应用
(3)
3
3
2
1 9 2 9 x dx 3 2 2
2
(4) sin xdx 0
a a
b
b
y y=f(x) f(a) y=g(x) g(a) o b

b a
b
f ( x)dx
g( x)dx
a
a
x
例、利用定积分的性质，比较
积分值的大小 解：在区间【1,2】上有
(ln x) dx与（ln x）dx
1 1
2
3
2
2
(ln x) (ln x)
3
2 3 2 1 1
2
2
由定积分的性质知：
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值
y a b x
y=f(x)>0 A
0 a
b x
0
A y=f(x)<0
◆定积分的几何意义
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
y=f(x)
A1
a 0
A3
A2
b
x

b
a
f ( x)dx A1 A2 A3
◆定积分的几何意义
f x dx A A
a c
c
b
y

c a
f ( x)dx
y=f(x)

b c
f ( x)dx
o
a
c
b
x
性质4
f ( x) 1, 则 如果在区间[a,b]上，

b
a
f ( x)dx b a
y f(x)=1 1

b
b a
1dx
o
a
x
性质5
若在区间[a, b]上，有 f ( x) g ( x),则 f ( x)dx g ( x)dx
(ln x) dx （ln x）dx
训练：比较大小
(1) ( 2)

1
0
xdx, x 2 dx
0
1


4 0
cos xdx, 4 sin xdx
0

引例3：求作变速直线运动的物体从时刻a到时刻b所经过 的路程。
（1）若已知路程函数S(t)，那么要求的路程是：S(b)-S(a)
(2)若已知速度函数v(t),则按引例1可知，所求路程为：
x 轴、直线 x a 、
x b 所围成.
A?
o
a
b x
求曲边梯形的面积 A 的思路如下：
用矩形面积近似取代曲边梯形面积：
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
◆定积分的概念
引例——曲边梯形的面积（演示）
y f ( x)
y
y x
解：积分区间为[0，2]
0
A
2 x
A f ( x)dx
0
2
2
0
xdx
面积A f ( x)dx
a
b
( f ( x) 0)
变速运动的路程 S：
S(t)
记为
vt dt
T2 T1
训练2：一辆汽车以速度v(t)=3t+5(m/s)作直线运 动，试用定积分表示汽车在t1=1s到t2=3s期间所经 过的路程 . 解：
0
y
2
0 -3
x
3
◆定积分的基本性质 性质1（数乘） 被积式中的常数因子可以提到积分 号前面，即
kf ( x)dx k
a
b
b
a
f ( x)dx
y=kf(x)
(k为常数).
y kf(a) y=f(x) f(a) o b
kf ( x)dx
a
b

b a
f ( x)dx
x
a
性质2（加减法） 两个函数代数和的积分等于这两个函数积分的代数 和，即
f x 的最大值。几何演示
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形(Curved edge echelon)的面 积） 何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可 理解成数个曲边梯 形的集合。
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f ( x)
定积分的概念
The Concept of Definite Integral
4.1 积分的概念与性质
Deviation Analysis
知识目标
1、理解定积分的概念和几何意义； 2、掌握定积分的性质; 3、掌握积分基本公式及其应用
能力目标
1、会利用定积分的概念与性质求简单的定积分 2、会用定积分解决生活和专业中的实际问题.
a 1
b
2
A3
表示曲线与 x 轴围成的图形面积的代数和。
y f x
a
A1
A2
A3
b
◆定积分的几何意义
若f
( x) 是偶函数，则

a
a
f x dx 2 f x dx
0
a
-a
a
a
若f
( x)是奇函数，则

a
f x dx 0
a
-a
◆定积分几何意义的应用
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
详细定义见课本略
注：
1 .当
f ( )x 的极限存在时，其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关，而与区间 a, b 的分法及
i 1 i
n
i
点的取法无关。 2．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
sin xdx cos x 0 ( cos ) ( cos0) 2
0


训练：求 | x | dx
1
2
解：

2
1
| x | dx ( x)dx xdx
1
0
2
x 2
2 0
x 2 1
0 2 2
0
1 4 ( 0 ) ( 0) 2 2 1 5 2 2 2
[ f ( x) g ( x)]dx
a
b
b
y
a
f ( x)dx g ( x)dx.
a
b
y=f(x)
o
a y=g(x)
b
x
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质3（区间的可加性） 若点c 将区间[a,b] 分成两个小区间[a,c] 和 [c,d] ， 则

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
v(t )dt
a来自百度文库
b
两种不同的算法得出的结果应该相同，故有
v(t )dt S (b) S (a)
a
b
或写作
v(t )dt S (t )
a
b
b a
2、微积分学基本公式
设函数F(x)是连续函数f (x)在区间[α ，b]上的 任意一个原函数，则

b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b) F (a)