初中数学几何模型系列之(一)线和角三大模型
初中几何 一线三等角模型
一、一线三等角的起源上面这个图是一线三等角的老祖宗了，旋转一下又会有所变化，如下图。
旋转到更特殊的位置，如下图。
（其实这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
）“一线三等角”模型一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“K 形图”，哈尔滨通常称为“M 形图”，以下统称为“一线三等角”。
二、一线三等角的两种基本类型1．三等角都在直线的同侧2．三等角分居直线的两侧l三、一线三等角的性质1．一般情况下，由∠1＝∠2＝∠3，易得△AEC∽△BDE. 2．当等角所对的边相等时，两个三角形全等。
如图，当CE＝ED时，易得△AEC≌△BDE.3．“中点型一线三等角”的特殊性质如图，当∠1＝∠2＝∠3且D 是BC 的中点时，△BDE ∽△CFD ∽△DFE .如图，加画两条垂线．．．．．．，“一线三等角”就与“四边形中的半角模型”联系在一起了。
半角模型：EF ＝EM ＋FN . 4．“中点型一线三等角”的变式 如图，当∠1＝∠2且∠AOC ＝90°＋21∠BAC 时，点O 是△ABC 的内心.易证∠4＝∠5＝∠6，以下就省略了。
四、一线三等角的常用构图下面以等腰三角形为例说明一线三等角的常见构图。
由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各种各样的变式，但万变不离其宗：构造相似三角形列比例式解决问题。
当然，特殊情况下也可能是全等。
五、一线三等角的应用1．一线三等角应用的三个层次⑴初级阶段：图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；⑵中级阶段：图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造此模型；⑶高级阶段：图形中只有直线上的一个角，补上“二等角”构造此模型。
2．在张角问题中，构造“一线三等角”是基本手段之一。
对坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造“一线三等角”是解决问题的关键。
初中数学58种模型之一线三等角模型
初中数学58种模型之一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
“一线三等角”的起源DE 绕A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”结论：△ADB ∽△CEA二、锐角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB三、钝角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB下面总结几种常考类型：类型一三角齐见，模型自现类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．类型二隐藏局部，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．类型三一角独处，两侧添补类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．类型四线角齐藏，经验来帮类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。
中考数学相似三角形重要模型一线三等角模型
相似三角形重要模型-一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，A B C为等边三角形，点D，E分别在边B C，A B上，60A D E∠=︒，若4B D D C=， 2.4D E=，则A D的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.2例2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，,C A ADE D A D⊥⊥，点B是线段A D上的一点，且C B B E⊥．已知8,6,4A B A C D E===．(1)证明：A B C D E B∽△△．(2)求线段B D的长．例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，A BA C＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：B DA E＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，A BA C＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，A BA E ＝A CA G＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．例4．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，A B A C=，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有B D AA E CB AC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设C P Qβ∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在A B C中，90A C B ∠=︒，A C B C=，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：A D C C E B△≌△．（1）探究问题：如果A CB C≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；A D CC E B△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线C D 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3ta n 2α=，请你求出直线C D 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形A B C D 中，3A B=，5B C=，点E为B C 边上—个动点，连接A E ，将线段A E 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形A B C D外部时，连接P C ，P D ．若D P C △为直角三角形时，请你探究并直接写出B E 的长．Rt ABD中，上一动点，连接折叠得H E F，延长②B E M H E M≅；③当M2B，则正确的有（九年级校考阶段练习）已知A B C是等边三角形，E F和B D F∠，将B C E沿B则A F=P C D△；九年级校考阶段练习）如图，在A B C中，12．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线l上，分别过两锐角的顶点M，N作l的垂线，垂足分别为P，Q，（1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与N R Q∠相等的角是_____(2)问题探究直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF 和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角A B C中，90B∠=︒，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果A C kC E=，试探究TE与TH=，C D kC H之间的数量关系，并证明你的结论.将．A B P沿着这样的点P，使得点问题解决（3）15．（2023春·四川广安·九年级校考阶段练习）如图1和图2，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点．把线段AM以A为旋转中心、按顺时针方向旋转90°得到AB．过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．设A点的横坐标为m．（1）求证：△AOC∽△BEA；（2）若m=3，则点B的坐标为；若m=﹣3，则点B的坐标为；（3）若m＞0，△BCD的面积为S，则m为何值时，S=6？（4）是否存在m，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由．16．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形A B C D E、不重，是B C边上一动点（与B C 合），连结A E G，是B C延长线上的点，过点E作A E的垂线交D C G∠的角平分线于点F，若F G B G⊥．（1）求证：A B E E G FE C=，求C E F△△；（2）若2∽△的△的面积；（3）请直接写出E C为何值时，C E F面积最大．的何位置时有B E H B A E∽？B C。
初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型
初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc在初中数学中，全等三角形是一个重要的知识点，其中有许多模型。
掌握好这些模型，对于研究几何和提高成绩都有帮助。
今天我要介绍的是“一线三等角”模型。
这个模型贯穿初中几何的始终，也是相似三角形一个非常重要的知识点。
一线三等角”是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。
例如，如果在直线AB上，有∠1=∠2=∠3，那么这就是一个“一线三等角”模型。
对于这个模型，我们可以得到以下性质：1.只要题目中满足“一线三等角”的条件，三角形必相似。
2.如果题目中还有对应边相等的条件，那么三角形就必全等。
一线三等角”模型常见的背景图形包括正方形、等边三角形、等腰三角形等等。
例如，正方形ABCD中，有一个直角的顶点在边AB上。
又如，等腰直角三角形ABC中，有一个45°角的顶点在边AB上。
下面以一个例题来说明如何运用“一线三等角”模型：已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE。
解析：因为BD⊥直线m，CE⊥直线m，所以有∠BDA＝∠CEA＝90°。
又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°。
又∠BAD＋∠ABD＝90°，所以∠CAE＝∠ABD。
因为AB＝AC，所以△ADB≌△CEA，从而AE＝BD，AD＝CE。
因此，XXX。
如果将条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角。
请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
八年级数学上册：一线三等角模型及应用
八年级数学上册：一线三等角模型及应用【知识导航】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图：321132CEB ADDCBEll二、“一线三等角”的基本性质：1．如果∠1＝∠2＝∠3，那么∠D ＝∠CBE ，∠ABD ＝∠E ．2．如果图中△ABD 与△CEB 中有一组对应边相等，则有△ABD ≌△CEB ． 三、“一线三等角”的基本应用：本讲主要学习“一线三等角”与全等．对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60°角和45°角及一般的角． 【方法技巧】用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角．【板块一】 直角型“一线三等角”——“三垂直”【知识导航】直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种．认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊．【例1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过点A 作直线l ,过B ，C 分别作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ．（1）如图1，当直线l 在△ABC 的外部时，求证：DE ＝BD ＋CE ； （2）当直线l 在△ABC 的内部如图2所示时，求证：DE ＝BD －CE ；（3）当直线l 在△ABC 的内部如图3所示时，直接写出DE ，BD ，CE 三者之间的数量关系式为___________．lBBCBC图1 图2 图3【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ，BF 交AC 于D ．（1）如图1，求证：点D 为BF 中点； （2）如图1，求证：BE ＝2CD ； （3）如图2，若BE CE ＝23，则ADCD＝____． 图2图1E CBAFDEAC F针对练习11．（1）如图1，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求点B 的坐标． （2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求点B 的坐标．（3）如图3，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，B （2，2），C （4，－2），求点A 的坐标．图1图2图3【板块二】等边三角形中的“一线三等角”【例3】如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB，BC，AC上的点，∠DEF=60°，BD=CE，求证：BE=CFAB DFE C针对练习21．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点BE，AD交于F，∠AFE＝60°．求证：AD＝BEEA B D FC【板块三】等腰直角三角形中的“一线三等角”【例4】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC上的点，且CD=DE，∠CDF=45°，求证：BD＝BCA B CDE针对练习31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，BC＝7，AD＝4，过点A作AE⊥AB，垂足为A，且AE＝AB，连接DE，求△ADE的面积。
初中数学线和角的模型总结—全面完整版2018.5.23
初中数学线和角的模型总结——完整全面版（模型总结+精选例题+优化练习）第一部分 模型总结一、线段模型1.线段“子母”模型1）AB=AC-BC2）AB=AC+BC例：已知线段AB=18厘米，线段BC=20厘米，求线段AC 为多少厘米？2.线段中点模型E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，则EF=1/2AC二、相交线模型OE 为∠BOC 的角平分线，OF 为∠BOD 的角平分线，则∠EOF=90 （即：一对领补角的角平分线互相垂直）三、角的模型1.“子母型”——两种（包含与被包含）∠AOB=∠AOC+∠BOC2 ∠AOB=∠AOC-∠BOC2.边互相平行型——两种情况（相等和互补）1）如下图四种情况 ∠A 和∠B 的两边分别互相平行，则∠A=∠BB C C B A C B A B C A CB F A2）如下图： ∠A和∠B 的一边同向另一边方向相反且两边互相平行，则∠A+∠B=1803.边互相垂直型6）∠A 和∠B 的两边方向互相垂直，则∠A+∠B=180 或∠A=∠B4.重叠型1）如图，若∠AOC ＝∠BOD ,则有∠AOB ＝∠COD,反之亦然特别的，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠AOD ＝α，则∠BOC 等于180°－α．第二部分 精选例题例1如图，直线AB 、CD 相交于O ，OD 平分∠AOF ，OE ⊥CD 于点O ，∠1＝50°，求∠COB 、∠BOF 的度数。
BA B B_ B _ _ABA B F 1 A B O D EC (例1)A O D BE C例2 如图，DO 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若OA ⊥OB ，（1）当∠BOC ＝30°，∠DOE ＝_______________当∠BOC ＝60°，∠DOE ＝_______________（2）通过上面的计算，猜想∠DOE 的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由。
初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型
初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一 三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一 致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试 题，由于模型的题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题． 两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都 着重推理转化等数类型二 隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查， 提升了学类型三 一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模 型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性． ，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型 这几道题实时也有效地检测类型四 线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。
几何模型一线三等角模型知识讲解
几何模型：一线三等型模角．一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇D D C D C C BA BAP P ABP同侧锐角直角钝角D DDAP A A B P PB BC C C异侧相似篇D D C D C C BA BA P P ABP同侧钝角直角锐角D DDAP A B PB APB C C C异侧三、“一线三等角”的性质BDE.∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE.AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2.3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且D 是 BC) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用．1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)(解析版)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论； ②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，AB AC=，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？ （3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE=BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC ∠=∠ADP ∴∽△△（3）EFD ∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =4DF =，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC ECEC CD∴=5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴=【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长． 【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =+或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解； （2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM=，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MHAM AB MB==，根据5AM =，可得3543GH MH==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AEDE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒． △EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽； (2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ， △CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AGMN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ． △MHG MBA ∽△△．△GM GH MHAM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB=，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AFAEDE DC． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<+，036<<，△3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =； （3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒， △MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠， 在MPR △和NRQ △中，PMR NRQMPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠； （2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC和△四边形CDGH HL BC⊥，在DCB和△3）解：过3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE 绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NOOE ME MO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，ON33NF OF33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标． （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO，AB=5m，）可证得CDB∆3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =，△直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下： △AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α， 补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．∽AMF BGM，即可求出长度，即可求出FG的长度．(1)解：ABP PDC△≌△△中在ABP△和PDC Array在AOB和△Rt AOB 中，AOD △中，12OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠B =∠△∽AMF BGM △AM BG 45B ∠=︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、相似三角形9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．边长为4的等边△OAB 的边OA 在x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，， ∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°， 又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆； （2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=，180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8)y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．NF OF NO90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE。
中考数学“一线三等角”模型解析
中考数学“一线三等角”模型解析一、“一线三等角” 模型定义两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角型”相似三角形 .二、“一线三等角” 模型类型（1）点 P 在线段 AB 上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型（2）点 P 在线段 AB 的延长线上，则有△ACP∽△BPD .①锐角一线三等角锐角一线三等角模型②直角一线三等角直角一线三等角模型③钝角一线三等角钝角一线三等角模型三、“一线三等角” 模型常出现的题型1、等腰三角形中，在底边上作一角与底角相等；2、等腰梯形中上（下）底作一角与上（下）底角相等；3、矩形（正方形）；4、矩形和正方形的翻折（简称：一线三直角）；5、等边三角形的翻折；6、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题 .四、典例解析（一）一线三等角模型——等腰三角形【例题1】如图，已知：在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4 , 点 M 是边 AB 的中点，点 E 、G 分别是边 AC 、BC 上的一点，∠EMG = 45°，AC 与 MG 的延长线相交于点 F，（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接 EG，当 AE = 3 时，求 EG 的长 .解析：（1）△AEM∽△BMG（一线三等角型）；△FEM∽△FMA（共角共边型）.（2）AE = 3 , CE = 1 ,由△AEM∽△BMG 可计算出 BG = 8/3 ，则 CG = 4/3 .在Rt△CEG 中，由勾股定理可得 EG = 5/3 .另解：点 M 是 AB 的中点，恰好是“中点型一线三等角”，则有△AEM∽△BMG∽△MEG .对可解△AEM 由余弦定理可计算出ME = √5 ，由△AEM∽△MEG，可得 AE/ME = ME/EG ,即3/√5 = √5/EG ,解得 EG = 5/3 .（二）一线三等角模型——等腰梯形【例题2】已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5 , AB = DC = 2 .（1）如图，点 P 为 AD 上的一点，且满足∠BPC = ∠A .①求证：△ABP∽△DPC；②求 AP 的长 .（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A 、D 不重合），且满足∠BPE = ∠A ，PE 交直线 BC 于点 E , 同时交直线 DC 于点 Q ，那么①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP = x , CQ = y , 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当 CE = 1 时，写出 AP 的长 .解析：（1）①由等腰梯形同一底上两个底角相等+ 三角形内角和及平角（∠APD）等于180°，可证△ABP∽△DPC .② ∵ △ABP∽△DPC ，∴ AP/DC = AB/PD ,∴ AP/2 = 2/（5 - AP），解得 AP = 1 或 AP = 4 .（2）①建立 y 关于 x 的函数解析式，AP = x , DP = 5 - x , CQ = y , 则DQ = 2 = y ,易证：△ABP∽△DPQ，∴ AB/PD = AP/DQ ,即 2/（5 - x）= x/（2 + y）,∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 ,定义域：由于点 Q 在线段 DC 的延长线上，故 DQ > 2 , 即 y + 2 > 2 ,∴ y = -1/2 x^2 + 5x/2 - 2 > 0 , 即 1 < x < 4 .②分类讨论点 E 的位置如下：1、当点 E 在线段 BC 上时，CE = 1 , 过 C 点作 PQ 的平行线交AD 于点 H ，由△ABP∽△DHC，∴ AB/DH = AP/DC ,∴ 2/（5 - 1 - x）= x/2 ,解得 x = 2 .2、当点 E 在线段 BC 的延长线上时，CE = 1 , 过点 E 作 CD 的平行线交 AD 的延长线于点 M ，由△ABP∽△MPE，∴ AB/MP = AP/ME ,∴ 2/（5 + 1 - x）= x/2 ,解得 x1 = 3 - √5 , x2 = 3 + √5 > 5 （舍去）.五、小结1、此次课程展示了相似模型“一线三等角型” 在初中数学范围内常见的两种考题形式；2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展提高，通过知识间的串联，找出一些通性通法，来提高解题效率 .。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略(解析版)
专题06全等三角形之一线三等角模型全攻略目录【知识点归纳】 (1)【例题精讲】 (2)【课后练习】 (13)【知识点归纳】“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。
“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。
基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠，CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE⇒ ≌异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠，任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE ⇒ ≌【例题精讲】例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，且∠DBA ＋∠BAD ＝180°−α，可得∠DBA ＝∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）①∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD 、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GN GHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）∴EI=GI∴I 是EG 的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．例2．（异侧一线三直角）如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．OA OB ⊥，OC OD ⊥90AOB COD ∴∠=∠=︒，AOB AOC AOC ∠+∠=∠ AOD BOC ∴∠=∠，又 OA OB =，OC OD =AOD BOC ∴ ≌()SAS ，（3）如图，过点,C D ，分别作90CFO OGD ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒ ，90COF GOD ∴∠=︒-∠=∠又CO DO = ，()AAS CFO OGD ∴ ≌，FO GD ∴=，AOC 的面积为1S ，BOD 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ，求证：ABD CAF V V ≌；（2）如图2，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E 、F 都在MAN ∠内部的射线AD 上，已知AB AC =，且12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌；（3）如图3，已知ABC 的面积为15，且AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ACF △与BDE △的面积之和是6，求:CD BC 的值．∵12∠=∠，∴AFC BEA ∠=∠，∵34BAC ∠+∠=∠，1∠∴4ABE ∠=∠，∵AB AC =，∴()AAS ABE CAF △≌△∵12BAC ∠=∠=∠，∴3ACF ∠=∠，BEA ∠∵AB AC =，∴(AAS ABE CAF △≌△∴ABE CAF S S = ，∵ACF △与BDE △的面积之和是∴ABD ABE BDE S S S =+ △△∵ACD 与ABC 等高，∴底边之比3：5，∴:3:5CD BC =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等的判定方法，是解题的关键．例4．（坐标系中的K 字模型）A B y 轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为5，求点B 的坐标；（2）如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求CD AM的值；（3）如图③，若点A 的坐标为()4,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限中作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE ，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变求PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．例．（）已知等腰ABE 和，连接，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC ∠=；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC ∠=∠=︒==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ⊥交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC 的面积．如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD ∠=∠=︒==∴BAD EAC ∠=∠，（2）作BM AF ⊥于M ，CN AF ⊥于N ，∵AF D E ⊥，∴90BMA AFE ∠=∠=︒，∵90,BAE AB AE ∠=︒=，∴90BAM FAE ∠+∠=︒，E FAE ∠+∠=∴BAF E ∠=∠，∴BAM AEF ≌，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【课后练习】1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE △≌△．进而得到AC =___________，BC =___________．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,6，点B 为平面内任一点．若AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【答案】(1)DE ；AE(2)①证明见解析；②()4,2或()2,4-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM △≌△，ACF EAN △≌△，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG △≌△，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，过点B '作B H x '⊥轴于点H ，B H '交DE 于点G ，利用（1）的结论即可解答．【详解】（1）解：∵12290D ∠+∠=∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABC 和DAE 中，1D ACB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DAE △≌△，∴AC DE =，BC AE =．故答案为：DE ；AE ．（2）①证明：如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，90BAD ∠=︒，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，12190B ∠+∠=∠+∠=︒∴2B ∠=∠，在ABF △和DAM △中，2BFA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAM △≌△，∴AF DM =，∵BC AF ⊥，90CAE ∠=︒，∴90CFA ANE ∠=∠=︒，90FAC NAE FAC C ∠+∠=∠+∠=︒∴C NAE =∠∠，在ACF △和EAN 中，CFA ANE C NAE AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．【答案】(1)9(2)=-PE CP AE ；理由见解析(3)10【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）由ABM BCN ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到2AM BN ==，7BM CN ==，即可得到MN ；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到ABE BCP ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到AE BP =，BE CP =，由BE BP PE =+中，即可得到三者的数量关系；（3）延长FE ，过点C 作CP FE ⊥于P ，由两个三角形全等的判定定理得到ABE BCP ≌△△，从而1PC BE ==，5PB AE ==，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥于F ，由平行线间的平行线段相等可得4CF PE ==，代入面积公式得ACE S ，即可得到答案．【详解】（1）解：ABM BCN ≌，2AM =，7CN =，2AM BN ∴==，7BM CN ==，9MN BM BN ∴=+=；故答案为：9．（2）解：=-PE CP AE理由：90ABC ∠=︒ ，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，CP BE ⊥ ，90CPB ∴∠=︒，90BCP CBP ∴∠+∠=︒ABE BCP ∴∠=∠，90AEB ∠=︒ ，90AEB CPB ∴∠=∠=︒，AB BC = ，ABE BCP ∴V V ≌，AE BP ∴=，BE CP=BE BP PE =+ ，PE BE BP PC AE ∴=-=-；90ABE EBC ∠+∠=︒ ，ABE ∠EBC BAE ∴∠=∠，90AEB CPB ∠=∠=︒Q ，AB ABE BCP ∴V V ≌，1PC BE ∴==，5PB AE ==514PE PB BE ∴=-=-=，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥AF PE ⊥Q ，CP PE ⊥，AF CP ∴∥，AF PE ⊥Q ，CF AF ⊥，PE CF ∴∥，由平行线间的平行线段相等可得115422ACE S AE CF =⨯⨯=⨯⨯V 故答案为：10．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，ACF ECG ECG ∴∠+∠=∠+∠ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．4．综合与实践：在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 在直线l 上，点A 、B 在直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D ．(1)问题情境：如图1，在直线l 上取点E ，使BE l ⊥．则BE 与CD 的数量关系是_________________，此时AD BE DE 、、之间的数量关系是_________________．(2)探究证明：如图2，在直线l 上取点F ，使BF BC =，猜想CF 与AD 的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在直线l 上任取一点P ，连接BP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形BPM ，作MN l ⊥于点N ，请直接写出在图3、图4中MN AD CP 、、之间的数量关系．【答案】(1),BE CD AD BE DE =+=；(2)2CF AD =，理由见解析(3),MN AD CP MN AD CP+=-=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．（1）根据AAS 证明ACD CBE ≌，得BE CD =，CE AD =，进而可证AD BE DE +=；（2）过点B 作BH l ⊥于点H ，根据AAS 证明DAC HCB ≌，得AD CH =，由三线合一得2CF CH =，进而可得；2CF AD=（3）如图3，作BH l ⊥于点H ，作PF l ⊥，作BF PF ⊥于点F ，作ME PF ⊥于点E ，可证四边形MEPN 和四边形PFBH 都是矩形，从而BF BH =，MN PE =．结合ACD CBH △≌△，可证MN AD CP +=；如图4，作BH l ⊥于点H ，由ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，得MN PH =，AD CH =，进而可证MN AD CP -=．【详解】（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90CAD ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠．∵AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌，∴BE CD =，CE AD =，∵CE CD DE +=，∴AD BE DE +=．故答案为：BE CD =，AD BE DE +=；（2）2CF AD=理由如下：过点B 作BH l ⊥于点H ，如图，则90BHC ∠=︒，∴四边形MEPN 和四边形PFBH 都是长方形，∴BF BH =，MN PE =．由（1）知，ACD CBH △≌△， ∴AD CH PE BF ==，，∴PH MN =，∵CH PH CP +=，∴MN AD CP +=；由（1）知，ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，∴MN PH AD CH ==，，∵PH CH CP -=，∴MN AD CP -=．5．如图1所示，已知AB 为直线a 上两点，点C 为直线a 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作△ACD 和△BCE ，且90DAC CBE ∠=∠=︒，AD AC =，BC BE =，过点D 作1DD a ⊥于点1D ，过点E 作1EE a ⊥于点1E ．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．他的方法是：作直线CH AB ⊥于点H ，可以先证明1ADD CAH ≌△△和1BEE ≌△________，于是可得：________和________，所以得到线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，试探究三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，小华同学测得线段11D E m =，AB n =，请用含有m 、n 的代数式表示△ABC 的面积为________．三角形面积公式求出答案.【详解】解：（1）∵1DD a ⊥，CH AB ⊥，∴∠1DD A =∠CHA=90DAC ∠=︒，∴∠1D DA+∠1D AD=90°，∠1D AD+∠CAH=90°，∴∠1D DA=∠CAH ，∵AD=AC ，∴△1D DA ≌△HAC ，同理1BEE ≌△△CBH ，∴D 1D =AH ，1EE =BH ，∴11AB DD EE =+故答案为：△CBH ，1DD AH =，1EE BH =，11AB DD EE =+；（2）11AB DD EE =-．理由：如图，过点C 作CG a ⊥于点G ，∵1DD a ⊥，CG a ⊥，1EE a ⊥，∴1DD A AGC ∠=∠，1CGB BE E ∠=∠，∴1190DAD ADD ︒∠+∠=，90∠+∠=︒CBG BCG ，∵90DAC CBE ∠=∠=︒，∴190DAD CAG ︒∠+∠=，190CBG E BE ︒∠+∠=，∴1ADD CAG ∠=∠，1BCG EBE ∠=∠，在1ADD 和CAG 中，11,,,ADD CAG DD A AGC AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴1ADD ≌CAG ，∴1DD AG =，同理可得：1BCG EBE ≅△△，∴1BG EE =，由图可得：AB AG BG =-，∴11AB DD EE =-；侧作AE AD ⊥，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EF AC ⊥于F ，求证：ACD EFA △≌△；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线AC 于点M ．试探究BM 与EM 的数量关系，并说明理由．(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于点M ，若4AC CM =，求ADB AEMS S △△的值．=90DAE ∠︒，F ACD MCB ∴∠=∠=∠，90FAE CDA ∠=∠=在FAE 和CDA 中，F ACD FAE CDA AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FAE CDA ∴ ≌，EF AC BC ∴==，MCB F ∠=∠⎧90FAE D DAC ∴∠=∠=︒-∠，在AFE △和DCA △中，F ACD FAE D AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFE DCA ∴ ≌，AF DC ∴=，EF AC BC ==，AF AC DC BC ∴-=-，CF DB ∴=，18090BCM ACB ∠=︒-∠=︒ ，4AC n ∴=，3AM n ∴=，11222ADB S DB AC n AC n AC ∴=⋅=⨯⋅=⋅ ，12AEM S AM EF =⋅ ∴2332ADB AEM S n AC S n AC ⋅==⋅ ，综上所述，ADB AEM S S △△的值为25或23．。
2023年中考数学微专题复习课件4 一线三等角模型
；
【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90°＜α＜180°，则线段DE、BD、CE之间的
数量关系是
DE＝BD＋CE
；
【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，请问线段AD、
BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.
7
思路点拨
= ∠,
ቃ
(1)∠ = ∠ = ∠➝∠ = ∠
൨→△BDA≌△AEC➝ =
∠ = ∠, =
→DE＝BD＋CE
（2）同（1）易得DE＝BD＋CE
(3)∠ = ∠ = ∠➝∠ = ∠
൨
∠ = ∠,
BD·CE
8
→△ ≌△
➝
=
→AD2＝
点是的中点➝ =
注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.
2
3.构造一线三等角的基本步骤
做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等
的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.
3
类型
条件
图示
结论
点P在线段AB上，∠1
一线三
等角
（不包
含直
角）
同侧型（三
＝∠2＝∠3，三个角在
又∵∠PAD＋∠PDA＝90°，
∠PAD＋∠QAM＝90°，
∴∠PDA＝∠QAM.
26
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
在△APD和△MQA中， = ,
∴△APD≌△MQA（AAS）.
∴AQ＝PD＝2，
∴可设M（5，n），将M（5，n）代入y＝，
初中数学“一线三等角”模型的解析
初中数学“一线三等角”模型的解析一线三等角是初中数学中一个重要的几何模型，它涉及到线段、角度和等边三角形的关系。
本文将对一线三等角模型的定义、性质以及应用进行深入解析。
一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是由一个线段和两个相等的角组成的几何模型。
在该模型中，线段是一条直线段，两个角分别位于线段的两侧，且两个角的度数相等。
这两个角与线段构成了一个等边三角形，同时这个等边三角形的边长等于线段的长度。
二、一线三等角模型的性质1. 线段与等边三角形的关系：线段的长度等于等边三角形的边长。
2. 角的性质：线段两侧的两个角度数相等。
由于等边三角形的三个内角都是60°，所以两个角的度数都是60°。
3. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°。
4. 线段的性质：线段可以作为等边三角形的一条边，也可以作为两个相等角的边。
三、一线三等角模型的应用1. 解题方法：在解决与一线三等角模型相关的问题时，我们可以利用线段的长度、角的性质和等边三角形的性质来分析和推导。
通过观察图像，找出线段、角和三角形之间的关系，从而找到解题的突破口。
2. 题型一：求线段的长度在一线三等角模型中，当已知一个等边三角形的边长时，可以通过等边三角形的性质求出线段的长度。
根据等边三角形的定义，三条边相等，因此线段的长度等于等边三角形的边长。
3. 题型二：求角的度数在一线三等角模型中，当已知线段的长度时，可以通过角的性质求出角的度数。
由于线段两侧的两个角度数相等，且等于60°。
因此可以根据线段的长度推导出角的度数。
4. 题型三：求等边三角形边长在一线三等角模型中，当已知一个角的度数时，可以通过等边三角形的性质求出等边三角形的边长。
由于角度数相等且等于60°，可以求出等边三角形的边长。
5. 题型四：利用一线三等角模型解决实际问题一线三等角模型可以应用于解决实际问题，如建筑设计中的视角问题、航空导航中的方向问题等。
[全]初中数学“一线三等角”模型解析
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初中数学“一线三等角”模型解析一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。
起源与基本类型DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。
基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”性质1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。
（若CE=ED，则△AEC ≌△BDE）3.中点型“一线三等角”如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“一线三等角”的各种变式应用小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，两边的ΔADE与ΔBFE相似。
这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。
通过例题，我们已经证明，“一线三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3个等角又会怎样呢？变式1如图3，已知等边三角形ABC，点D、E分别为BC，AC上的点，∠ADE=60º。
（1）图中有相似三角形吗？如果有，请说明理由。
（2）如图4，若将∠ADE在ΔABC的内部（∠ADE两边不与BC重合）绕点D逆时针旋转一定的角度，得到的两三角形仍相似吗？分析：（1）此时，在直线BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一条线上有3个等角，两边的ΔABD与ΔDEC相似吗？（2）旋转后，变化中的不变量是什么？ΔABD与ΔDEC相似吗？解答：（1）在等边三角形ABC中，∠B=∠C=60°∵∠ADE=60º∴∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE另外：ΔADE与ΔACD也相似。
∵∠DAE=∠CAD（公共角）∠ADE=60º=∠DCA∴ΔADE∽ΔACD（2）旋转后，变化中的不变量是∠ADE的大小那么，依然可以有：∵∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE小结：此时，一条线上的三个等角由90°变成了60°，两边的三角形依然相似。
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。