抛物线的几何性质课堂版1精品PPT课件

x
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
练习
1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是
( )D
A.圆
B.抛物线
C.线段
D.直线
解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与 定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0
p; 2
p | PF | - x0 2
|
PF
|
y0
p 2
|
PF
|
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
y轴 (0,0) e 1
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。
练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
来自百度文库
(
3 2
,0)
x
3 2
F (1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4 y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
题型一 求抛物线的标准方程
练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在直线x-2y-4=0上;
(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则由 p =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2
②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标标为答_案__: P___74_,__27.
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线的焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
设抛物线方程为y2=2px(p>0),则由
p 2
=4得p=8,
∴所求抛物线方程为y2=16x.
综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
（2） 求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的 距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐 标与准线方程.
[解] 焦点在x轴上,可设抛物线方程为y2 2px(p 0),
( p ,0) 2
x p 2
x0
x轴 (0,0)
e 1
y
Fo
( p ,0) x p
x2
2
x 0 x轴 (0,0) e 1
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
y
F o
(0, p ) y p
x
2
2
y0
y轴 (0,0) e 1
y
o F
x
(0, p ) 2
y p 2
y0
O
x
B
由条件可得A (40,30), 代入方程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45 2
x,
焦点为( 45 ,0)
8
抛物线的几何性质
标准 方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF
x
则焦点为F( p , 0),由 FA 5得 : 2
( p 2)2 0 32 52,
2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8 B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
准线方程
( p ,0) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
练习4：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜
•
的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程为:y2=2px
y
A (40,30)