抛物线的几何性质课堂版1精品PPT课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
抛物线的几何性质 教学课件(共46张PPT)高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
抛物线的简单几何性质1 PPT课件
1.掌握抛物线的图形和简单几何性质
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
H
（重点）
2.能运用性质解决与抛物线有关的问题 （难点）
方程 图形
y2 = 2px （p＞y0）Leabharlann y2 = -2px （p＞0）
y
OF x
FO x
焦点 准线 范围 对称性
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
F ( p ,0) 2
x p 2
关于x轴对称
x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） y
Fx O
（p＞0） y
O F
l x
F (0, p ) 2
y p 2
F (0, p ) 2
y p 2
关于y轴对称
顶点
（0,0）
y
OF x
例1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点 M 2,2 2 ，求它的标准方程，画图。
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
则将M点代入得：(2
2 2)
=
2p×2
解得：p=2
因此所求方程为：y2=4x
： 拓展 求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，
并且经过点M（２， ）的抛物线的标准方程。
例2．在抛物线 y2=8x 上求一点M，使M到焦点F 的距离与
到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
解：由 y2 8x 知：2 p 8 ， p 4
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H
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
抛物线几何性质优秀课件
2．若抛物线 上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的 距离为（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．若垂直于 轴的直线交抛物线 于点 ，且 ‖AB‖=4，则直线AB 的 方程为______. 4.一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是1.1m，跨度是2.2m， 求拱形的抛物线方程 .
小结
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．
它的离心率等于1；
它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线； 它没有中心，也没有渐近线．
再见 再见
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
（2）对称性 以 y 代 y，方程不变，所以抛物线关于 x轴对 称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方 程中，当 y 0 时 x 0 ，因此抛物线的顶点就是坐标 原点．
y
O
F
x
y
F
O
x
y
F
O
x
y
o
F
x
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质 有什么特点？
（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸， 但没有渐近线；
2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；
3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
4）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；
（4）抛物线的离心率是确定3）抛物线只有一个顶点、 的，为1． 抛物线由P决定开口大小 ， P越大开口越大 而椭圆、双曲线由e决定
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有
抛物线的简单几何性质 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
国家中小学：XX
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
抛物线的简单几何性质PPT优秀课件
过
点
2.顶点 在原 点 ,准 线为 y 2 的 抛 物5线的 方程是
______x_2____8__y____.
3.抛物线 ( x 1)2 4( y 2) 的顶点坐标为_(_1_,___2_,)
对 称 轴 方 程 是 __x______1_, 焦 点 坐 标 为 ___(_1_,___1_,) y 3 准线方程为____________________.
9
抛物线的简单几何性质(二)
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
ห้องสมุดไป่ตู้
p
2
2
对称你性和认顶为点这关个于 x标轴对准称,方顶点程(0,对0)(应抛物的线和抛轴的物交点线)
还有范围什么几x≥何0性, y质 R呢(向?右上方和右下方无限延伸)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
2
怎样画抛物线 y 2 4 x 呢?
用画函数图象方法作图：(课后同学们自己画一画)
法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.
继续
10
问题:
倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )
∵焦点 F ( p , 0) ,直线 AB 的倾斜角为
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
抛物线的几何性质(一)精选教学PPT课件
我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
抛物线的几何性质PPT教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
பைடு நூலகம்
y0
p ( y1 y2 )
第8页
例3.过抛物线焦点F直线交抛物线于A,B两点,经 过点A和抛物线顶点直线交抛物线准线于点D,求 证:直线DB平行于抛物线对称轴.
y
A
F
O
D
B
x
练习:P68 T3
第9页
例、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
第17页
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)标准方程和图形,探索其 几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线轴.
(3)顶点 抛物线和它轴交点.
第2页
(4)离心率 一直为常数1
y
P
(5)焦半径 (6)通径
|PF|=x0+p/2
OF
x
经过焦点且垂直对称轴直线，与抛物线相交 于两点，连接这两点线段叫做抛物线通径。
y
A y2=2px
代入y2=2px得，
k 2 x2 (4 pk 2 2 p)x 4 p2k 2 0
可知 xA • xB 4 p2
O
C(2p,0)
x
又
y
2 A
•
yB2
4 p2xAxB
16 p2
B
yA • yB 4 p 2
l
xAxB yA yB 0
所以OA⊥OB.
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推广2： 若直线l与抛物线 y=22px(p>0)交于A、B两点，且OA⊥OB ，
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
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例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
(
3 2
,0)
x
3 2
F (1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4 y F (0,1) y 1
2x2 7y 0
F
(0,
7 8
)
y
7 8
开口向上 开口向下
题型一 求抛物线的标准方程
练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
抛物线的焦半径
抛物线上一点P x0 , y0 与焦点的连线叫抛物
线的焦半径 .
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
|
PF
|
x0
p; 2
p | PF | - x0 2
|
PF
|
y0
p 2
|
PF
|
O
x
B
由条件可得A (40,30), 代入方程得:
302=2p·40
解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45 2
x,
焦点为( 45 ,0)
8
抛物线的几何性质
标准 方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF
x
( p ,0) 2
x p 2
x0
x轴 (0,0)
e 1
y
Fo
( p ,0) x p
x2
2
x 0 x轴 (0,0) e 1
x2 2 py ( p 0)
x2 2 py ( p 0)
y
F o
(0, p ) y p
x
2
2
y0
y轴 (0,0) e 1
y
o F
x
(0, p ) 2
y p 2
y0
y轴 (0,0) e 1
补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义） y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的 线段叫做抛物线的焦半径。
(1)焦点在直线x-2y-4=0上;
(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,
∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则由 p =2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y. 2
②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,
一、温故知新 抛物线的定义及标准方程
定义：在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等
的点的轨迹叫 抛物线.
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
准线方程
( p ,0) x p
2
2
yl
FO
x
y2=-2px (p>0)
( p ,0) 2
xp 2
y
F
O
x2=2py
练习4：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜
•
的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.
设抛物线的标准方程为:y2=2px
y
A (40,30)
则焦点为F( p , 0),由 FA 5得 : 2
( p 2)2 0 32 52,
2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。
- y0
p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标标为答_案__: P___74_,__27.
(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点, 与抛物线交于A, B两点,求线段AB的长.
x2
p) 2
x1 x2 p 6 2 8
抛物线Байду номын сангаас焦点弦
过抛物线焦点的弦叫焦点弦,设焦点弦端点
A x1, y1 , B x2 , y2 ,则
(1) y2 2 px, (2) y2 2 px, (3)x2 2 py, (4)x2 2 py,
| AB | x1 x2 p; | AB | p x1 x2 | AB | y1 y2 p | AB | p y1 y2
x
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
练习
1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是
( )D
A.圆
B.抛物线
C.线段
D.直线
解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与 定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.
y
解法1: 直线AB的方程为y x 1,
A
代入双曲线方程得 : x2 6x 1 0
设A( x1, y1), B( x2 , y2 ), 则x1 x2 6, x1 x2 1,
F
x
KO
| AB | 112 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 8 B
解法2
:|
AB
|
( x1
p 2
)
(
设抛物线方程为y2=2px(p>0),则由
p 2
=4得p=8,
∴所求抛物线方程为y2=16x.
综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.
（2） 求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的 距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐 标与准线方程.
[解] 焦点在x轴上,可设抛物线方程为y2 2px(p 0),