简单的超静定问题

M A Me M B 0
Me MB
A
C
B
2、变形协调方程
B 0
即
BM BM 0
e B
Me
MB
A
C
B
3、补充方程
BM
e
M e a GI p
BM
BM Bl GI p NhomakorabeaM e a M Bl 0 GI p GI p
M ea MB l

4、联立解得
3、物理方程
FN 1l l1 EA FN 3 l l 3 EA FN 2 l l 2 EA
得
FN 1 FN 2 FN 3
F 12 F 3
C′
补充方程 FN 1 FN 3 2FN 2
7F 12
例题3：如图所示结构，杆①、②的刚度为EA，梁BD 为刚体，载荷F=50kN，许用应力[s]160MPa。试确 定各杆的横截面积。 解： 1、确定各杆内力 取横梁为研究对象 平衡方程
FB aEAT
由平衡方程得 FA FB aEAT
例题5：如图所示结构，三杆的刚度均为EA，杆③的长 度比设计长度l短了d。试求装配后各杆的轴力。
A
D
① ③ a a C′ C l2 ②
B
解：对称结构，内力对称 变形协调方程
l1 d l 3 cos a
l
d
l3 l1
lt a1 T l1 a 2 T l 2
A
l1
C
l2
B
约束力产生的变形
l FB FB l1 F l B2 E1 A1 E2 A2
lt
FB
变形协调方程
l lt lFB 0
l FB
FB
lt a1 T l1 a2 T l2
补充方程
F 2l F l 2 2 N1 N2 EA EA
B

l
l
l
解得 FN 1
FN 2
4F 2 16
16F 2 16
两杆面积均为A，按② 杆设计。
FN 2 16 50 103 A [s ] 2 16 160
2、确定杆的面积


287.1mm2
练习题：如图所示结构，水平横梁AD可视为刚性，①、 ②杆的刚度均为EA。试写出求解①、②杆轴力所需的 平衡方程和变形协调方程。 解：1、平衡方程
q0 A y EI l B
RB
x
2、几何方程——变形协调方程
wB wBq wBRB 0
3、物理方程
RB l 3 ql 4 w Bq ; wBRB 8EI 3EI
3ql RB 8
q0 B
l
4、补充方程 ql 4 RB l 3 0 8EI 3EI
MA
A
思考： 求B点的约束反力。
C
q0
A w
EI
EA l BC
l
B x
C
q0
A w
EI
EA l BC
l B x
解：1.建立静定基 2.几何方程——
变形协调方程
x B
=
A
l
wB wBq wBRB l BC
w
RB
C
q0
A w
EI
EA l BC
l B x
3、物理方程
RB l 3 ql 4 w Bq ; wBRB 8EI 3EI
FN1
A B
D
2l2 2l1
F
A B
C
D
l1
B′
l2
C′
三、温度应力和装配应力
A D B A
D
B
均匀 30°30° 制造 升温 误差 dT
C
C
超静定问题特点：温度变化会使构件内产生温度应力。 超静定问题特点：制造误差会使构件内产生装配应力。
例题4：两端固定的杆件，AC段刚度为E1A1，线膨胀系 数为a1；CB 段刚度为E2A2，线膨胀系数为a2；求当温 度升高T时杆两端的约束力。 解： 取静定基如图 温升产生的变形
l A
① ②
F
取横梁为研究对象
a
B
45° C D a a
FN2 C D
M
A
0
FN1 A B
2 FN 1a FN 2 2a F 3a 0 2
F
l A
①
②
F
a
B
45° C D a a
FN2
C
2 FN 1a FN 2 2a F 3a 0 2
2、变形协调方程
CC 2 BB
补充方程
FN 3 l FN 1l d EA EA cos2 a
FN1 FN3
C′
FN2
平衡方程
FN 3 2FN 1 cosa
FN 3 l FN 1l d EA EA cos2 a
FN 3 2FN 1 cosa
联立解得
FN 1 FN 2 FN 3 cos2 a EAd 1 2 cos3 a l
b
D 30° 45° C F
B
多余约束：不是维持平衡所 必需的约束。
二、超静定问题的解法
FA A
平衡方程
补充方程
三 不能完全求出约束力 方 变形协调 面 a 的 方程 F 条 件 物理方程
b
B
C
FC
§6-2 拉压超静定问题
例题1：两端固定的杆件受力如图所示，AC段刚度为 E1A1，CB 段刚度为E2A2，求两端的约束力。 解：
2 cos3 a EAd 1 2 cos3 a l
§6-3 扭转超静定问题
例题： 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转 力偶矩Me作用。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端 的约束力偶矩以及C截面的扭转角。
Me
A MA
a
C l Me
b
B MB
A
C
B
解: 1、静力平衡方程
M
x
0，
45° ① l1
B
F
C D ②
MB 0
l
l
l2
2 FN 1l FN 2 2l F 2l 0 2
l
变形协调条件
2 2l1 l2
B
FN1 C D
F
FN2
2 FN 1l FN 2 2l F 2l 0 2
45° ①
2 2l1 l2
F
C D ②
F FB a
FB b 0 E 2 A2
aE2 A2 F aE2 A2 bE1 A1
4、建立平衡方程
FA FB F
B FB
得
bE1 A1 FA F aE2 A2 bE1 A1
超静定问题的一般解题步骤：
1、解除多余约束，代之于相应约束反力，取静定基。 2、利用变形协调方程和物理方程得到补充方程，求
第六章
简单的超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题
§6-4 简单超静定梁
§6-1 超静定问题及其解法
一、超静定的基本概念
A B C
超静定问题：结构或构件中未 知力的个数多于静力平衡方程 数。 超静定次数：未知力的个数 与独立平衡方程个数之差。
A
F a
l BC RB l BC EA
4、补充方程
B RB
ql 4 RB l 3 RB l BC 8EI 3EI EA
RB ql 4 l BC l3 8I ( ) A 3EI
=
A
+
q0 A B
作业：6-1、6-5、 6-9、6-11、6-15
1、解除多余约束，代之于约束反力
2、建立变形协调方程
B l 0
F
A a
A
F
l C
l
C
b
即
l AC lCB 0
B
FB
B
静定基
3、建立补充方程 物理方程 lCB 补充方程 得
FB b E2 A2 E1 A1 FB l AC
F FB a
E1 A1
FA A F C
FN3
a FN 1a FN 3 a F 0 2
C
F
FN 1 FN 2 FN 3 F 0
a FN 1a FN 3 a F 0 2
FN1 A A l1 A′ l2 B
FN2
C
FN3
2、变形协调方程
l1 l3 2l2
B
F
C l3 B′
协 调 一 致
M A Me M B
M e a M eb Me l l

Me
MB
A
C
B
5、杆的AC段横截面上的扭矩为
TAC M eb M A l M a MB e l
TAC a M e ab C GI p lGI p TBC b M e ab C GI p lGI p
解多余未知力。
3、利用平衡方程求解所有未知力。
例题2：如图所示结构，水平横梁ABC可视为刚性，三根 竖直杆的刚度均为EA。试求三杆的轴力。
解： 1、平衡方程 取横梁为研究对象
a
① A ② B
a
③ C
l
F
y
0
FN 1 FN 2 FN 3 F 0
a/2 F
FN2
M
B
0
FN1 A B
l FB FB l1 FB l 2 E1 A1 E2 A2