统计学各章计算题公式及解题方法

统计学各章计算题公式及解题方法WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】统计学各章计算题公式及解题方法第四章 数据的概括性度量1. 组距式数值型数据众数的计算：确定众数组后代入公式计算： 下限公式：M 0=L +?1?1+?2×d ；上限公式：M 0=U −?2?1+?2×d ，其中，L 为众数所在组下限，U 为众数所在组上限，?1为众数所在组次数与前一组次数之差，?2为众数所在组次数与后一组次数之差，d 为众数所在组组距 2. 中位数位置的确定：未分组数据为n+1 2；组距分组数据为n 23. 未分组数据中位数计算公式：M e ={x (n+12) ，n 为奇数12(x n 2+x n 2+1)，n 为偶数4. 单变量数列的中位数：先计算各组的累积次数（或累积频率）—根据位置公式确定中位数所在的组—对照累积次数（或累积频率）确定中位数（该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布）5. 组距式数列的中位数计算公式： 下限公式：M e =L +n2−S m−1f m×d ；上限公式：M e =U −n2+S m+1f m×d ，其中，f m 为中位数所在组的频数，s m−1为中位数所在组前一组的累积频数，s m+1为中位数所在组后一组的累积频数 6. 四分位数位置的确定：未分组数据：{下四分位数：Q L =n+14上四分位数：Q U =3(n+1)4；组距分组数据：{下四分位数：Q L =n4上四分位数：Q U =3n 4 7. 简单均值：x̅=x 1+x 2+⋯+x nn=∑x in i=1n8. 加权均值：x̅=M 1f 1+M 2f 2+⋯+M k f kf 1+f 2+⋯+f k=∑M i f ik i=1n=∑M i k i=1fin ，其中，M 1，M 2…M k 为各组组中值9. 几何均值（用于计算平均发展速度）：x̅=√x 1×x 2×…×x n n =√∏x i n i=1n10. 四分位差（用于衡量中位数的代表性）：Q D =Q U −Q L 11. 异众比率（用于衡量众数的代表性）：V r =∑f i −f m ∑f i=1−fm ∑fi12. 极差：未分组数据：R =max (x i )−min (x i )；组距分组数据：R =最高组上限−最低组下限13. 平均差（离散程度）：未分组数据：M d =∑|x i −x̅|n i=1n；组距分组数据：M d =∑|M i −x̅|k i=1?f in14. 总体方差：未分组数据：σ2=∑(x i −μ)2N i=1N；分组数据：σ2=∑(M i −μ)2k i=1?f iN15. 总体标准差：未分组数据：σ=√∑(x i −μ)2N i=1N ；分组数据：σ=√∑(M i−μ)2ki=1?fiN16. 样本方差：未分组数据：s n−12=∑(x−x̅)2n i=1n−1；分组数据：s n−12=∑(M i −x̅)2?f ik i=1n−117. 样本标准差：未分组数据：s n−1=√∑(x−x̅)2i=1n−1；分组数据：s n−1=√∑(M i −x̅)2?f ik i=1n−118. 标准分数：z i =x i −x̅s19. 离散系数：v s =s x̅第七章 参数估计1. Z α2的估计值：2. 不同情况下总体均值的区间估计：其中，t α2查p448 ，查找时需查n-1的数值3. 大样本总体比例的区间估计：p ±z α2√p (1−p )n4. 总体方差σ2在1−α置信水平下的置信区间为：(n−1)s 2χα/22≤σ2≤(n−1)s 2χ1−α/225. 估计总体均值的样本量：n =(Z α/2)2σ2E 2，其中，E 为估计误差6. 重复抽样或无限总体抽样条件下的样本量：n =(Z α/2)2π(1−π)E 2，其中π为总体比例第八章 假设检验1. 总体均值的检验（σ2已知或σ2未知的大样本）[总体服从正态分布，不服从正态分布的用正态分布近似]2. 总体均值检验（σ2未知，小样本，总体正态分布）注：σ已知的拒绝域同大样本3. 一个总体比例的检验（两类结果，总体服从二项分布，可用正态分布近似）（其中π0为假设的总体比例）4. 总体方差的检验（χ2检验）5. z 统计量的参考数值第九章 列联分析1. 期望频数的分布（假定行变量和列变量是独立的）一个实际频数 f ij 的期望频数 e ij ，是总频数的个数n 乘以该实际频数 f ij 落入第i 行 和第j 列的概率，即：e ij =n ·(ri n )?(ej n )=r i c j n2. χ2统计量（用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性；用于测定两个分类变量之间的相关程度χ2=∑∑(f ij −e ij )2eijcj=1r i=1，自由度为(r −1)(c −1)，f ij 为列联表中第i 行 第j 列的实际频数，e ij 为列联表中第i 行 第j 列的期望频数 1) 检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H 0：?1 = ?2 = … = ?j ；H 1： ? 1 ， ?2 ， …，?j 不全相等；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平?和自由度(r -1)(c -1)查出临界值??2，若?2>??2，拒绝H0；若?2<??2，不拒绝H02)利用样本数据检验总体比例是否等于某个数值检验的步骤提出假设H0：?1 = ，?2 = ，… ；H1：原假设的等式中至少有一个不成立；计算检验的统计量；进行决：根据显着性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出临界值??2；若?2>??2，拒绝H0；若?2<??2，不拒绝H03)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤提出假设H0：行变量与列变量独立；H1：行变量与列变量不独立；计算检验的统计量；进行决策：根据显着性水平?和自由度(r-1)(c-1)查出临界值??2，若?2???2，拒绝H0；若?2<??2，不拒绝H03.?相关系数：测度2?2列联表中数据相关程度；对于2?2 列联表，?系数的值在0～1之间φ=√χ2，其中，n为实际频数总个数，即样本容量n4.列联相关系数（C系数）用于测度大于2?2列联表中数据的相关程度，其中，C的取值范围是 0≤C<1；C = 0表明列联表中的两个变量独C=√χ2χ2+n立；C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大；根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较5.V相关系数，其中，V 的取值范围是 0≤V≤1； V = 0表明列联表中的V=√χ2n min[(r−1)，(c−1)]两个变量独立；V=1表明列联表中的两个变量完全相关；不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较；当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=φ第十章方差分析1.单因素方差分析的要点：1)建立假设的表述方法：H0：μ1=μ2=⋯=μk ,自变量对因变量没有显着影响H1：μ1，μ2，…，μk不全相等，自变量对因变量有显着影响2)决策：i.根据给定的显着性水平α，在F分布表中查找与第一自由度df1=k−1、第二自由df2=n−k相应的临界值 F αii.若F> F α，则拒绝原假设H0，表明均值之间的差异是显着的，所检验的因素对观察值有显着影响iii.若F< F α，则不拒绝原假设H0，不能认为所检验的因素对观察值有显着影响3)单因素方差分析表的结构：2.方差分析中的多重比较（步骤）：采用Fisher提出的最小显着差异方法，简写为LSD1)提出假设：H0：μi=μj(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H0：μi≠μj(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)2)计算检验统计量：x̅i−x̅j3)计算LSD：LSD=tα2√MSE(1n i+1n j)4)决策：若|x̅i−x̅j|>LSD,则拒绝H0；若|x̅i−x̅j|<LSD，则不拒绝H3.双因素方差分析：1)无交互作用的双因素方差分析表结构：2)有交互作用的双因素方差分析表结构：4.关系强度测量：变量间关系的强度用自变量平方和(SSA)及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比例大小来反映，根据R2平方根R进行判断R2=SSA（组间平方和）SST（总平方和）第十一章一元线性回归1.样本的相关系数：r=∑(x−x̅)(y−y̅)∑()2∑()2=n∑xy−∑x∑y√n∑x2−(∑x)2?√n∑y2−(∑y)22.相关系数的显着性检验步骤：1)提出假设：H0：ρ=0；H1：ρ≠02)计算检验统计量：t=|r|√ n−21−r2~t(n−2)3)确定α并决策：|t|>tα2，拒绝H0；|t|<tα2，不拒绝H03.一元回归模型：y=β0+β1x+?4.一元线性回归方程形式：E(y)=β0+β1x，其中β0是直线方程在y轴上的截距，是当x=0时，y的期望值；β1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时y的平均变动值5.一元线性回归中，估计的回归方程：ŷ=β̂0+β̂1x,其中β̂0是估计的回归直线在y轴上的截距，β̂1是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，ŷ是y的估计值，表示当x每变动一个单位时y的平均变动值6. 根据最小二乘法求β̂0以及β̂1的公式： {β̂1=n ∑x i y i −(∑x i n i=1)(∑y i n i=1)n i=1n ∑x i 2n i=1−(∑x i n i=1)2β̂0=y ̅−β1x̅7. 误差平方和之间的关系：∑(y i −y ̅)2=n i=1∑(y ̂i −y ̅)2+∑(y i −ŷi )2n i=1n i=1，即：SST(总平方和)=SSR(回归平方和)+SSE （残差平方和） 8. 判定系数（回归平方和占离差平方和的比例）：R 2=SSRSST =∑(y ̂i −y ̅)2n i=1∑(y i −y̅)2ni=1=1−∑(y i −y ̂i )2n i=1∑(ŷi −y ̅)2n i=19. 估计标准误差(实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根)：s y =√∑(y i −ŷi )2i=1n−2=√SSEn−2=√MSE10. 线性关系的显着性检验：1) 提出假设：H 0：β1=0，线性关系不显着；H 1：β1≠0，有线性关系 2) 计算检验统计量：F =SSR 1⁄SSE n−2⁄=MSRMSE ~F (1,n −2)3) 确定显着性水平α，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F α 4) 决策：若F >F α，拒绝H 0；F <F α，不拒绝H 0 11. 回归系数的显着性检验：1) 提出假设：H 0：β1=0，线性关系不显着；H 1：β1≠0，有线性关系 2) 计算检验统计量：t =β̂1s β̂1~t (n −2)3) 确定显着性水平α并决策：若|t |>t α2⁄，拒绝H 0；|t |<t α2⁄，不拒绝H 0 12. 置信区间估计：E (y 0)在1−α置信水平下的置信区间：y ̂0±t α2⁄(n −2)s y √1n +(x 0−x̅)2∑(x i −x̅)n i=1 其中，s y 为估计标准误差，(n −2)为t α2⁄的自由度13. 预测区间估计：y 0在1−α置信水平下的预测区间：ŷ0±tα2⁄(n−2)s y√1+1n +(x0−x̅)2∑(x i−x̅)2ni=114.回归分析表的结构：15.几点说明：1)判定系数R2测度了回归直线对观测数据的拟合程度，若所有观测点都落在直线上，残差平方和SSE=0，R2=1，拟合是完全的2)在一元线性回归中，相关系数r实际上是判定系数R2的平方根3)相关系数r与回归系数β̂1是同号的第十三章时间序列预测和分析1.环比增长率：报告期增长率与前一期水平之比减1：G i=Y iY i−1−1 (i=1，2，Λ，n)2.定基增长率：报告期水平与某一固定时期水平之比减1G i=Y iY0−1 (i=1，2，Λ，n),其中， Y0表示用于对比的固定基期的观察值3.平均增长率：序列中各逐期环比值(也称环比发展速度) 的几何平均数减1后的结果（描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度）G̅=√Y1Y0×Y2Y1×Λ×Y nY n−1n−1=√Y n Y0n−1，G̅表示平均增长率，n为环比值的个数1)当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率2)在有些情况下，不宜单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析4.时间序列预测的步骤：1)确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型2)找出适合此类时间序列的预测方法3)对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案4)利用最佳预测方案进行预测5.均方误差：通过平方消去正负号后计算的平均误差，用MSE表示MSE=∑(Y i−F i)2ni=1n，其中Y i为观测值，F i为预测值6.简单平均法：根据过去已有的t期观察值来预测下一期数值。