数学实验概率论与数理统计分册习题1
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
《概率论及数理统计》习题一课后答案
C83
36 65
1.29设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%， 从中随意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一 等品的概率.
解 Ai=｛取到的是i等品｝i=1，2，3.
则所求概率为
P( A1 A3)
0.6
P( A1A3) P( A3)
2
P( A1) 1 P( A3)
即为求在2红2黑四个球中,取到1红1黑的概率.
(用条件概率的本来含义)
P( X
1Y
0)
C21 C21 C42
2 3
1.31已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A∪B).
解 P(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B A) 0.5 0.6 0.50.8 0.7
P(AB) 0 即P(AB) 0
∴A与B相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(3)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∪B)=1
(√)
解 Q A AUB
P(A) P(AU B)
1 P(A) P(A UB) 1
P(AUB) 1
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
1.8 设A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求 P(B)
解 ∵A与B互不相容
∴P(AB)=0 又P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ∴P(B)=P(A+B)-P(A)
=0.6-0.2
=0.4
1.9设P(A) 0.7, P(A B) 0.2,求P(A B)
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=BA ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
概率论与数理统计练习册
概率论与数理统计练习册练习⼀随机事件的概念和概率的定义⼀、选择题：1.设A 、B 、C 为任意三个事件,⽤A 、B 、C 表⽰“⾄多有三个事件发⽣”为 ( ) A A B C ++ B ABCCABC ABC ABC ++ D Ω2.在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A =“选出的学⽣是男⽣”;B =“选出的学⽣是三年级学⽣”;C =“选出的学⽣是篮球运动员”.则ABC 的含义是 ( )A 选出的学⽣是三年级男⽣B 选出的学⽣是三年级男⼦篮球运动员C 选出的学⽣是男⼦篮球运动员D 选出的学⽣是三年级篮球运动员3.在掷骰⼦的试验中,观察其出现的点数,记A =“掷出偶数”;B =“掷出奇数点”;C =“掷出的点数⼩于5”;D =“掷出1点”.则下述关系错误的是 ( )A B A = B A 与D 互不相容 C C D = D A B Ω=+ 4.某事件的概率为0.2,如果试验5次,则该事件 ( ) A ⼀定会出现1次 B ⼀定会出现5次 C ⾄少会出现1次 D 出现的次数不确定5.对⼀个有限总体进⾏有放回抽样时,各次抽样的结果是 ( )A 相互独⽴B 相容的C 互为逆事件D 不相容但⾮逆事件 6. 若()p A =0.5 .()0.5p B =,则()p A B += ( )A 0.25B 1C 0.75D 不确定7.某射⼿向⼀⽬标射击两次，A i 表⽰事件“第i 次射击命中⽬标”，i =1，2，B 表⽰事件“仅第⼀次射击命中⽬标”，则B =（）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A8.从⼀批产品中随机抽两次，每次抽1件。
以A 表⽰事件“两次都抽得正品”，B 表⽰事件“⾄少抽得⼀件次品”，则下列关系式中正确的是（） A ．A ?B B ．B ?AC ．A=BD ．A=B9.从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取⼀个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（） A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 10.设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（） A ．A 与A 互为对⽴事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=?A A D ．A A =⼆、填空题：1. 在⼗个数字0、1、2.….9中任取四个数（不重复），则能够排成⼀个四位数的偶数的概率为2. ⼀个⼩组有10个学⽣，则这个⼩组10个学⽣都不同⽣⽇的概率是（设⼀年365天）3. 设袋中有五只⽩球，3只⿊球。
概率论与数理统计练习册—第一章答案
第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。
A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。
A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。
A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。
4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。
A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。
A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。
A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。
二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。
2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。
概率论与数理统计练习册（内附答案）
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
数学实验 概率论与数理统计分册习 题
P{ X n − a < 0.1} ≥ 0.95
是少要称多少次？分别用切比雪夫不等式和独立同分布的中心极限定理求解． 3． 设个零件的重量都是随机变量，他们相互独立且服从相同的分布，其数学期 望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多 少？ 4． 学校图书馆阅览室共有 880 个座位，学校共有 12000 名学生。已知每天晚上 每个学生到阅览室去自习的概率为 8%。 (1)求阅览室晚上座位不够用的概率； (2)若要以 80%的概率保证晚上去阅览室自习的学生都有座位，阅览室还需要增 添多少个座位？ 5． 有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3m，现从钢材中随机抽出 100 根，试 用中心极限定理求小于 3m 的钢材不超过 30 根的概率。 6． 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重 50kg， 标准差为 5kg，若用最大载重量为 5t 的汽车承运，试利用中心极限定理说明每 辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0.977。 7.对同一目标进行 300 次独立射击，设每次射击时的命中率均为 0.44，试求 300 次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？试用 matlab 进行模拟，观察试 验与理论结果的差异。
2) 3 个球中最大的标号为 5 的概率。 3．抽签实验
有十张外观相同的扑克牌, 其中有一张是大王, 让十人按顺序每人随机抽 取一张, 讨论谁先抽出大王。甲方认为: 先抽的人比后抽的人机会大。乙方认为: 不论先后, 他们抽到大王的机会是一样的。究竟他们谁说的对，试用 Matlab 进 行模拟判断。
{ 16. 设 43; y 2 ≤ r 2 } (r > 0) 上 服 从 均 匀 分 布 ， 求
概率论与数理统计习题册答案
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”,C 表示事件“乙种产品滞销”,则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销,故选D.2. 由A B B A B B A AB =⇔⊂⇔⊂⇔=Φ,故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间1. {}3,420，，2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度;三、1任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验,易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=,{}36,B ωω=2{}135,,A ωωω=,{}1245,,,B ωωωω=,{}2346,,,A B ωωωω=,{}6AB ω=,{}15,AB ωω=四、1ABC ；2ABC ；3“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件,所以应记为ABC ；4A B C ；5“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件,所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”,即为三事件AB AC BC 、、的并,所以也可以记为AB ACBC .§ 随机事件的概率 一、填空题1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10,设{}A =指定的3本书放在一起,所以A 中包含的样本点数为8!3!⋅,即把指定的3本书捆在一起看做整体,与其他三本书全排,然后这指定的3本书再全排;故8!3!1()10!15P A ⋅==; 2. 样本空间样本点7!5040n ==,设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE,则因为C 及C, E 及E 是两两相同的,所以A 包含的样本点数是2!2!4A =⨯=,故2!2!1()7!1260P A ⋅==二、求解下列概率1. 1 25280.36C C ≈; 2 1515373766885!0.3756!C C C A C A == 2. 412410.427112A -≈3. 由图所示,样本点为随机点M 落在半圆202 ()y ax x a <<-为正常数内,所以样本空间测度可以用半圆的面积S 表示;设事件A 表示远点O 与随机点M 的连线OM 与x 轴的夹角小于4π,则A 的测度即为阴影部分面积s , 所以2221142()22a a s P A S aπππ+===+ §概率的性质 一． 填空题 1．; 2. 1p -; 3. 16; 4. 712二． 选择题1. C;2. A;3. D;4. B;5. B. 三． 解答题解：因为,AB A AB ⊆⊆所以由概率的性质可知：()()().P AB P A P A B ≤≤又因为()0,P AB ≥所以可得 ()()(),P AB P A P B ≤+于是我们就有()P AB ≤ ()()P A P A B ≤()()P A P B ≤+.如果,A B ⊆则,AB A = ()()P AB P A =； 如果,B A ⊆则,AB A =这时有()().P A P A B =如果,AB φ=则(0,P AB =）这时有()()().P A B P A P B =+§ 条件概率与事件的独立性aa2a1.1图一． 填空题 1.23；2. 0.3、；3. 23；4. 14； 5. 2； 5. 因为AB AB =,所以()(),()()AB AB AABB AB AB AB AB φ====,则有,AB A B A B φ=+=+=Ω,因为,AB A B φ=+=Ω且所以A 与B 是对立事件,即A B A B ==，;所以,()()1,P A B P A B ==于是()()2P A B P A B +=二． 选择题1. D ；2. B ；3. A ；4. D ；5. B1． 已知()()1,P A B P A B +=又()()1,P A B P A B +=所以()(),P A B P A B =于是得()()()()P AB P AB P B P B =,注意到()()(),()1(),P AB P A P AB P B P B =-=-代入上式并整理后可得()()()P AB P A P B =;由此可知,答案D; 三． 解答题 1.33105，； 2. 2n§ 全概率公式和逆概率Bayes 公式 解答题 1. 2. 1；23.10.943；20.848§ 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题1. 11(1),(1)(1)n n n p p np p ----+-；2.23二． 解答题 1. .2. 0.94n,222(0.94)(0.06)n n n C --,11(0.94)(0.06)(0.94)n n n ---3.1,2,3章节测验一． 填空题 1.825； 2. 对立；3. 0.7； 4. 84217，二． 选择题 三、解答题 1.1； 22232. .0038 四、证明题略; 随机变量 分布函数一、填空题1.)(1a F -；)1()1(--F F ；)()()(b F a F b F -；2. 1,12a b ==/π；3.121--e二、选择题1、D ；2、A ； 三、计算题1.所以得随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5,154,10443,1013,0)(x x x x x F2.解：1由条件知,当1-<x 时,0)(=x F ； 由于81}1{=-=X P ,则81}1{)1(=-≤=-X P F ； 从而有 8581411}1{}1{1}11{=--=-=-=-=<<-X P X P X P ；由已知条件当11<<-x 时,有 )1(}111{+=<<-≤<-x k X x X P ； 而1}1111{=<<-≤<-X X P ,则21=k 于是,对于11<<-X 有}111{}11{}11,1{}1{<<-≤<-⋅<<-=<<-≤<-=≤<-X x X P X P X x X P x X P 16)1(52185+=+⨯=x x 所以 167516)1(581}1{}1{)(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F 当1≥x 时,1)(=x F ,从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F2略;离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题1．3827；2.2二、选择题； ；三、计算题1.12,1==B A ；2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=2,121,12210,20,0)(22x x x x x x x x F ；343 2.略;常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题1.649；2.232-e ；3.2.0 二、计算题 1、43；2、352.0；3、5167.0；4、19270.01)5.1()5.2(=-Φ+Φ；229.3=d随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题1、(,)(,)(,)(,)F b b F a b F b a F a a --+；(,)(,)F b b F a b -；2、0；1 二、计算题1、12,2,12πππ===C B A ；2161； 3R x x x F X ∈+=),2arctan 2(1)(ππ,R y yy F Y ∈+=),3arctan 2(1)(ππ 2、1⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(2x x e x F x X ,⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y ,；242---e e;3、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππx x x x x x F X ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππy y y y y y F Y二维离散型与连续性随机向量的概率分布一、填空题1、87；2、∑+∞=1j ij p ,∑+∞=1i ij p ；3、41；4、41二、计算题1、1=c ；⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f xX ；⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2y y y y f Y2、16,(,)(,)0,x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它；226(),01()0,X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其它；),01()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它3、条件分布 随机变量的独立性一、选择题1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、D 二、计算题1、2、||2,012,01(|),(|)0,0,X Y Y X x x y y f x y f y x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其它其它 3、18=c ；241}2{=<X Y P ；3不独立; 4、)1(11121Φ-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--e π 随机变量函数的概率分布一、填空题1、2、1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它二、选择题1、B ；2、D ； 三、计算题1、⎩⎨⎧<<=else y y f ,010,1)(；2、⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-<=--1,)1(10,10,0)(z e e z e z z f z zZ3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,21,0)(z z z z f Z ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤=1,21110,20,0)(z zz z z z F Z 第二章测验一、填空题1、41；2、34；3、0；4、2.0 二、选择题1、C ；2、A ；3、B 三、计算题1、~(3,0.4)X B ,则随机变量的概率函数为其分布函数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x x x x x F2、124=A ；2⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2x x x x f X ,⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2y y y x f X ；3不独立；4⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它其它,010,10,2)|(,,010,10,)1()1(2)|(2|2|y x x y x y f y x y x y x f X Y Y X ;3、1⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(z z ze z f z Z ；2⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2z z z z f Z第三章 随机变量的数字特征数学期望 一 、填空题1、13,23,3524 ； 2、21,0.2 3、 2 ,4796二、计算题1. 解： 11211()(1)(1)1k k k k k a a a E X k k a a a -+∞+∞+==⎛⎫== ⎪+++⎝⎭∑∑ 根据公式()''12111(1)11k k k k x kx x x x x +∞+∞-==⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑ 得到221()(1)11a E X a a a a ==+⎛⎫- ⎪+⎝⎭2． 0 ；3．:2a4. 2/3,4/3 ,-2/3,8/5 ； 5．4/5,3/5,1/2,16/15 方差一、填空题1. 0.49 ；2. 1/6 ；3. 8/9 ；4. 8 , 二、计算题 1.： , 提示： 设0,1,i i X i ⎧=⎨⎩部件个不需要调整部件个需要调整则123,,X X X 相互独立,并且123X X X X =++,显然1(1,0.1),X B2(1,0.2),X B 3(1,0.3)X B2.：1/3,1/3 ； 3．： 16/3 ,28三、 证明题提示： [][]22()())D XY E XY E XY E XY EX EY =-=-[]2)E XY YEX YEX EX EY =-+-[]2()()E Y X EX EX Y EY DX DY =-+-≥ 协方差与相关系数 一、 选择题 1. A ； ； 二、 计算题1. ()()0E X E Y ==,()()0.75D X D Y ==, 0XY ρ=, () 1.5D X Y += X 与Y 不独立2. 0 ,0提示：111()0Y y f y π⎧=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它 1211()10E Y yy dy π-=-=⎰()0.25D Y =同理可得()()0E X E Y ==,()()0.25D X D Y ==221(,)()0x y xyCov X Y E XY dxdy π+≤===⎰⎰3. ：2222a b a b-+ 矩与协方差矩阵1. 33321132v v v v μ=-+2.1,,, ；2 ；340.210.020.020.24-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦第三章 测验 一、 填空题1． ； 2. 1 ,； 3． ab二、 选择题 1．B ； ；三、 计算题1.解：设X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数,又设 0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第个零件未报废第个零件报废则由题设知1111iX i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎣⎦于是有 101i i X X ==∑ 且1()(1,2,,10)1i E X i i ==+从而1010101111111()()() 2.0212311i i i i i E X E XE X i =======+++=+∑∑∑ 2.： 10分25秒提示：设乘客到达车站的时间为X ,由题意可知X 为0,60上的均匀分布,根据发车时间可以得到等候时间Y ,且Y 是关于X 的函数10010301030()553055705560X X X X Y g X X X XX -<≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩3. 0,0第四章习题切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1．解：由切比雪夫不等式知,2221(37)(|5|2)12221(|5|8)832P X P X P X <<=-<≥-=->≤=2．解：设X 为在n 次试验中事件A 出现的次数,则~(,)X B n p ,Xn为频率． 21110.750.25()()0.750.75,()()X X E E X n D D X n n n n n n⨯==⨯⨯=== 由题意知{0.70.8}0.9,XP n<<≥而由切比雪夫不等式有20.750.25{|0.75|0.05}10.05X n P n ⨯-<≥- 所以有20.750.2510.90.05n ⨯-=,得750n =大数定理1． 证：有题设知n n=2,3,…的概率分布为：故n 的数学期望为()012101n -)(n =⨯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯=nn n n X EX n 的方差为()(22222121()[()]012n nn D X E X E X n n n⎛⎫=-=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故∑==Nnn X NX 11的数学期望 ()()01111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Nnn Nn n X E N X NE X E方差()()NN X D N X ND X D Nn Nn n Nn n 2211112121===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===在利用车比雪夫不等式得(){}()0222−−−−→−≤≤≥-+∞→N N X D XE X P εεε因此,X 1,X 2,…,X n ,…服从大数定理;2．证：由于X 1,X 2,…,X n 相互独立,且()i i E X μ=,()i D X 存在,令 n 11ni i X X n ==∑则 ()()k k 111111n nn nki i i EX E X E X n n n μ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑有限;()()k k 211110n n n ni i D X D X D X n n →∞==⎛⎫==−−−→ ⎪⎝⎭∑∑故由车比雪夫不等式知,0>∀ε; ()()()()1222111nknn k n n D XD X P XE X n εεε→∞=-≤≥-=-−−−→∑即 1111lim {||}1n ni i n i i P X n n με→+∞==-<=∑∑中心极限定理1．解：设X 为抽取的100件中次品的件数,则(100,0.2)XB ,()1000.220,()200.816E X D X =⨯==⨯=则18202025201205{1825}{}{}444244(1.25)(0.5)(1.25)(0.5)10.89440.691510.5859X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2．解：1 设X 为一年中死亡的人数,则(,)XB n p ,其中n =10000,p =保险公司亏本则必须1000X>120000,即X>120 P{保险公司亏本}={120}P X >=P >=7.769}P >1(7.769)0≈-Φ=2P{保险公司获利不少于40000元}{120000100040000}{80}(2.59)0.995P X P X P -≥=≤=≤=Φ=3．解：设X i ={每个加数的舍入误差},则X i ~ U, ,()0i =X E ,()121i =X D ,i = 1, 2, …故由独立同分布中心极限定理知X 1,X 2,…服从中心极限定理;1[][][]802.10)9099.01(2)4.31(121)4.31(21)4.31()4.31(11211500015001512115000150012115000150015-1151511511515001150011500115001=-⨯=Φ-=-Φ-=-Φ-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯--=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∑∑∑∑====i i i i i i i i X P X P X P X P 21{||10}0.9n i i P X =<≥∑,|0.9n i X P ⎧⎫⎪⎪⎪<≥⎨⎪⎪⎩∑由中心极限定理得,210.9,0.95Φ-≥Φ≥,所以1.65≥,解得440n =．第四章 测验一、填空题 1．1/4；211k-． 2．221n σε-．提示：利用切比雪夫不等式估计． 3．1/12 4．0． 5．． 6．()x Φ． 二、选择题1．A 2．C 3 D ．三、应用题1．解：设X 为1000次中事件A 出现的次数,则(1000,0.5)X B()500,()5000.5250E X D X ==⨯=25039{400600}{|500|100}10.9751000040P X P X <<=-<≥-==2．解：设至少要掷n 次,有题设条件知应有()9.06.04.0≥<<n X P其中∑==nii X nX 1n1, i=1,2,…独立同分布,且()()5.001i i ====X P X P , 5.0)(i =X E ,25.05.05.0)(i =⨯=X D1 用切比雪夫不等式确定()()()2n 1.011.05.06.04.0nn X D X P X P -><-=<<而()nnX D n X n D X D ni ni i ni 25.05.0111)(12212n ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==即要求90.01.025.012≥-n即)次(2501.025.03=≥n 即至少应掷250次才能满足要求; 2用中心极限定理确定()0.40.60.50.50.5210.90555n n X P X P n n n n n n ⎛⎫<<=<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得10.900.9552n ⎛⎫+Φ≥= ⎪ ⎪⎝⎭查标准正态分布表的645.15≥n ,225.8645.15=⨯≥n所以6865.67225.82≈=≥n即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求; 3．解：设X 为每天去阅览室上自习的人数; 则有(12000,0.08),()120000.08960,()9600.92883.2X B E X D X =⨯==⨯=1{880}1{880}9608809601{}883.2883.21( 2.692)(2.692)0.996P X P X X P >=-≤--=-≤≈-Φ-=Φ= 2设总座位数为n960960{}0.8,{}0.8883.2883.2X n P X n P --<=≤=由中心极限定理知, 960()0.8883.2n -Φ=,查表得960883.2n -=,986n =,所以应增添986-880=105个座位; 4．解：令n 为该药店需准备的治胃药的瓶数 X 为在这段时间内购买该药的老人数则由题意知(2000,0.3)XB ,()20000.3600,()6000.7E X D X =⨯==⨯{}0.99600600{}0.99420420P X n X n P ≤=--≤=由中心极限定理知, 600()0.99420n -Φ≈,查表得6002.33420n -=,所以648n ≈四、证明题1．证明：设则有,11,()()(1)4nn k k k k k k k M X E X p D X p p ====-≤∑ 11111()()().nknn n k k k k k pM E E X E X n n n n======∑∑∑12221111114()()().4nnnn k k k k k M D D X D X n n n nn=====≤≤∑∑∑ 由切比雪夫不等式得,1222()111{||}4nn nM D M p p p n P n n n εεε++-≤-≤-<,所以当n →+∞时121{||}1n nM p p p P n nε++≤-<≤,即12{||}1n n M p p p P n nε++-<=．2．证：因为12,,,n X X X 相互独立且同分布,所以21X ,22X ,…,2n X 相互独立且同分布,且有相同的数学期望与方差：()22a X E i =,()()()[]()0a -22242242≠=-==σa X E X E X D ii i满足独立分布中心极限定理条件,所以∑=nii X 12近似服从正太分布()22,σn na N,即∑==ni i nX n Y 121近似服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n a a a N 2242)(, 第五章 数理统计的基本概念总体 样本 统计量 一、选择题 1.D2.A ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑3. D二、应用题1. 5,2.551251511()(,,...)(),,...0,i X i i b a f x x x f x a x x b=⎧⎪-==<<⎨⎪⎩∏其它3.0,11,124()3,2341,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩抽样分布 一、选择题 1.C 注：1~(1)t n -才是正确的.2.B 根据()()2221~1n S n χσ--得到()221()~1ni i X X n χ=--∑ 3.A 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑,()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、应用题 1. (1,1)F n -2. 13~(10,)2X N 23.第五章 测验一、选择题 1. C2.C 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3D对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=,且相互独立,根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.C 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的5.C 12345{max(,,,,)15}P X X X X X >123451{max(,,,,)15}P X X X X X =-≤ ()15115,,15P X X =-≤≤=5)]5.1([1Φ- 二、填空题 1.μ,2nσ2.1nii Xn=∑()2111n i i X X n =--∑,11i n k i X n =∑,()11nk i i X X n =-∑ 3. ,pqp n4. 252(1)n χ-三、应用题1.(1)21211(,,...)()!!n n knn n ni i f x x x e e k k λλλλ+--====∏∏2. 0.13.(1)t n -第六章 参数估计参数的点估计 一、选择题二、解答题 1.解 1()()∑∑∞=-∞=-===1111}{x x x p p x x X xP X E ∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==11x x q q p q dq dpp1=()p q -=1 用X 代替()X E ,则得p 的矩估计量Xp 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X n X 112分布参数p 的似然函数()()∏∏=-=-===ni x i n i p p x X P p L i 1111}{()∑-=-=ni i nx np p 11取对数 ()()p n x p n p L n i i -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1解似然方程 ()011ln 1=⎪⎭⎫⎝⎛---=∑=n i i n x p p n dp p L d得p 的极大似然估计量 Xp 1=⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i X n X 112.解 1()()()26;32θθθθθ=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E ,用∑==ni i X n X 11代替总体均值()X E ,则得参数θ的矩估计量为.2X =θ2()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ()()()∑====ni iX D nX nD nX D n122444因为()()()()⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=22222;][θθdx x f x X E XE X D ()⎰=--=θθθθθ022332046 dx x x 所以 ()nn D 520422θθθ==3.解 取()()∑-=+-=112121,,,,n i i i n X X C X X X ϕ由定义()]()⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡=⎥⎦⎤-=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑-=+=-1121n i i i X X E C][=+-∑-=++1121212n i i i i i X X X X E C ()()()][∑-=++=+-1121212n i i i i i X E X X E X E C()()()()][=+-∑-=++1121212n i iii i X E X E X E XE C ()()()][∑-=+=+-1122212n i ii X E X E X E C()()21122221σσσσ=-=+∑-=n i n C C所以 ()121-=n C参数的区间估计 一、选择题1. C2. A一个总体均值的估计1.解 由于,99.01=-α 故,31,01.0=-=n 又α查t 分布表得()0.0123 5.841,t =又%,03.0%,34.8==s x 故得μ的99%的置信区间为][%428.8%,252.8)%403.0841.534.8()%,403.0841.534.8( =⎢⎣⎡⎥⎦⎤⨯+⨯- 2.解 计算得样本均值16,0171.0,125.22===n s x10.120.10,1.645,0.01,u ασ=== 总体均值μ的90%的置信区间为]22 2.121, 2.129x u x u αα⎡⎤⎡-+=⎢⎣⎢⎣2.151,10.0=-=n α查t 分布表得()0.1215 1.753t =()753.11510.0=t ,总体均值μ的90%的置信区间为((]2211 2.117, 2.133x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣3.解：计算得265,3000,0.05x s α===, n -1=7,查t 分布表得()0.1027 1.895t =,计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为(2128.298x t n α--=. 4.解 每20.10hm 的平均蓄积量为315m ,以及全林地的总蓄积量375000m ,估计精度为0.9505A =5. ,一个总体方差与频率的估计1.解 由样本资料计算得3750.60=x ,3846.02=s ,6202.0=s ,又由于05.0=α,025.02=α,975.021=-α,151=-n 查2χ分布表得临界值,488.27)15(2025.0=χ,262.6)15(2975.0=χ从而2σ及σ的置信概率为%95的置信区间分别为,与,.2. 解 1由于,14=n ,05.0=α查t 分布表得()0.05213 2.16,t =又67.1,7.8==s x ,故得总体均值μ的95%的置信的区间为((]22117.736,9.664x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣2由于,10.0=α 05.0=２α,,95.021=-α,131=-n 查2χ分布表得()362.2213205.0=χ,()892.513295.0=χ,故得总体方差2σ的90%的置信区间为()()()()][153.6,621.111,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n S n n S n ααχχ 3. 解,41,95.021,05.02,10.0=-=-==n ααα查2χ分布表得(),488.94205.0=χ ()711.04295.0=χ,又计算得1.21=x ,505.82=s ,故得该地年平均气温方差2σ的90%的置信区间为()()()()][85.47,58.311,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n s n n s n ααχχ 4. 解 造林成活率的置信区间为[0.8754,0.9369] 两个总体均值差的估计1. 解 由于182,05.021=-+=n n α,查t 分布表得临界值()0.05218 2.101.t =又,8.126,06.14,1021====y x n n ,96.71,93.162221==s s 从而求得21μμ-的置信概率为95%的置信区间为,.即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg 到20.064kg.2.解由样本值计算得5,5,27,4.24221=====A B A n n y x σ,82=Bσ,05.0=α,,96.105.0=u 故21μμ-的95%的置信区间为()()]5.76,0.56A B A B x y x y ⎡⎢⎡---+=-⎣⎢⎣3.解由样本值计算得222211.10,875.75,30.11,44.81====B B A A s y s x ,,91=n ,82=n ,05.0=α 查t 分布表得()0.05215 2.131,t =故得B A μμ-的95%的置信区间为4. ,两个总体方差比的估计解 ,025.02,05.0,911===-=-ααB A n n 查F 分布表得()=--1,12B A n n F α()(),03.49,91,1025.02==--F n n F A B α故 2221σσ的95%的置信区间为：()()][⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤----6008.3,2217.01,1·,1,11·222222 n n F s s n n F s s A B BA B AB A αα第六章 测验一、选择题二、填空题 1.12α=2.21ˆ2X θ-= 3. ][588.5,412.4 4. 21;1λλ 5. ()0.351t n k -=三、计算题1.解 因为X ～N (),4,2μ所以(),9492222χχ～S =于是, ⎩⎨⎧=⎭⎬⎫>=>1.0169169}{22σS P a S P 查2χ分布表得,684.14169=a所以.105.26≈a ()(()(12212222 5.58,16.71.A B A B x y t n n x y t n n αα⎡--+-⎢⎣⎡⎤⎤-++-=-⎢⎥⎥⎦⎦⎣2.解 1()()λλλ-==∏∏==ex x f x x x f n i ni ix in i1121!;,,, ∏=-∑==ni i x n x eni i 1!·1λλ；2()()()λλλnn S E nX D X E n 1,,2-===. 3.解 因为X ～N()22,30 ,于是()(),)21(,30)162(,3022 ＝N ～N X 从而()1,02130 ～N X U -=,故 }{⎩⎨⎧⎭⎬⎫-<-<-=<<2/130312/1302/130293129X P X P()()()9545.0197725.0212222221302=-⨯=⎩⎨⎧-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫<-<-=X P4.解 1178320,314022====b x σμ ；219813322==s σ5.解 设施肥与不施肥的收获量分别为总体,,Y X 且X ～N ()，，21σμY ～N)(~22σμ，N Y ,计算可得,1738.1,9227.0,7.9,4.11222221====s s y x 又,05.0,162,10,82121==-+==αn n n n 查t 分布表得临界值()0.05216 2.12,t =从而计算均值差21μμ-的95%的置信区间为()()][.7773.2,6227.016810181738.199227.0712.27.94.11,16810181738.199227.0712.27.94.112222=⎥⎦⎤⨯⨯⨯+⨯+-⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯--故在置信概率下,每201亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产到斤.第七章 假设检验假设检验概念和原理 一、填空题：1、概率很小的事件在一次试验抽样中是不至于发生的;2、0H 为真,通过一次抽样拒绝0H 所犯错误； 0H 为假,通过一次抽样接受0H 所犯错误; 二、选择题 1、B ；2、D;三、应用计算题1、解：{}1232|1258P x x x p α=++≥=={}1232|14364P x x x pβ=++<==2、解：1、0.62c ==2、因c u α= 故拒绝原假设00:0H μμ==;3、{}1.15P x P α⎫=≥=≥[]3.6412(3.64)10.0003P ⎫⎪=≥=-Φ-=⎬⎪⎭一个总体参数的假设检验 一、填空题：1、X U =12(,,):1n X x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭;3、1(,,):n R x x u p α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、选择题1．A 3. B 三、应用计算题1、1若根据以往资料已知σ=14 ；2σ未知; 解：101:500:500H H μμ=↔≠ 0.452x u ===因 20.452 1.96u u α=<= 故接受原假设0H . 从而包装机工作正常; 2.先检验标准差 0010:=15:H H σσσσ≥↔< 22222(1)(101)1610.2415n S χσ--=== 22110.24 3.325(1)n αχχ-=<=- 故拒绝原假设00:=15H σσ≥其次检验01:500:500H H μμ=↔≠ 0.395x T ===因2T 0.395 2.262(1)t n α=<=- 故接受原假设0:500H μ= 所以,综合上述两个检验可知包装机工作正常;2、解：0010:=0.3:=0.3H H σσσσ≤↔<22222(1)(251)(0.36)0.3456(0.3)n S χσ--=== 220.345636.415(1)n αχχ=<=- 故接受原假设;标准差没有明显增大;3、解：0010:0.9:0.9H p p H p p ≤=↔>= 4400.88500W ==1.49U ===-0.050.011.645, 2.33u u ==0.05 1.645U u <= 0.01 2.33U u <= 故两个水平下均接受原假设;两个总体参数的假设检验 一、填空题 1、等方差; 2、22122212S S F σσ=服从12(1,1)F n n --.分布;3、U =, 其中112212n W n W W n n +=+;二、选择题 1、 B 2. A 三、应用计算题1、解：012112::H H μμμμ=↔≠X YT =0.206==-因20.206 2.131(15)T t α=<= 故接受原假设;2、解：检验012112::H H μμμμ=↔≠1.5X Y U ==-因21.5 1.96U u α=<= 故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异; 3、解：012112::H p p H p p ≤↔>1202000.1W == 2152000.75W ==112212350.07500nW n W W n n +===+5.97U ==因 5.97 1.645U u α=>= 故拒绝原假设,即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂; 非参数假设检验 一、填空题 1、1m k --2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合;3、(1)(1)r c --; 二、选择题 1. A ；2. C 三、应用计算题1、解：0:H 该盒中的白球与黑球球的个数相等;记总体X 表示首次出现白球时所需摸球次数,则X 服从几何分布{}1(1)k P X k p p -==-,1,2,k=其中p 表示从盒中任摸一球为白球的概率;若何种黑球白球个数相等,则此时12p = 从而{}1112p P X ===, {}2214p P X === ,{}3318p P X === {}44116p P X ===,{}552116kk P X +∞-=≥==∑2521() 3.2i i i i v np np χ=-=∑2(4)9.488αχ= 223.29.488(4)αχχ<= 则接受原假设;2、解：0:H X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤{}100.250.0625p P X =<≤=,{}20.250.50.1875p P X =<≤={}30.50.750.3125p P X =<≤=,{}40.7510.4375p P X =<≤= 2421()64 1.82935i i i i v np np χ=-==∑ 2(3)7.815αχ= 因221.8297.815(3)αχχ<=故接受原假设即认为X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤; 3、解：0:H 公民对这项提案的态度与性别相互独立223211()2173.7ij ij i j ijn e e χ==-==∑∑因222173.7 5.991(2)αχχ>= 故拒绝0H ,即认为公民对这项提案的态度与性别不独立;4、略;第七章 测验一、填空题每小题4分,共20分1、12(,,):2n X R x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭2、X T =3、222(1)n S χσ-=；2χ；4、2122S F S =；(){}222211221212,,:,n R x x S S F S S F αα-=≥≤或；5、 =14α； 916β=．二、选择题每空4分,共20分1、A ；2、C ；3、B ；4、C ；5、A三、应用题共60分1、解：检验01:70:70H H μμ=↔≠ 1.4x T ===因2T 1.4 2.02(1)t n α=<=- 故接受原假设0:70H μ= 2、解： 001:=8:8H H σσσ=↔≠ 2220(1)(101)75.73310.6564n S χσ--⨯===221210.65 2.7(1)n αχχ-=>=- 故拒绝原假设00:=8H σσ=3、解：先检验2222012112::H H σσσσ=↔≠2122 3.3251.492.225S F S ==2212S S > 查表的212((1),(1)) 5.35F n n α--=因2121.49 5.35((1),(1))F F n n α=<=--故可认为方差相等; 其次检验012112::H H μμμμ≤↔>X YT =3.52=-因 3.52 2.552(18)T t α=-<= 故接受原假设012:H μμ≤ 4、解：0010:0.2:H p p H p p ≤=↔>,3.5U ===因 3.5 1.645U u α=>= 故拒绝原假设; 5、解：（1）1.026α= （2）0.0132β=第八章 方差分析与回归分析方差分析的概念与基本思想 一、名词解释1. 因素：影响试验指标变化的原因;2. 水平：因素所设置的不同等级3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验,这类试验一般可用因素的数目来命名5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合6. 处理效应组间误差：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异 二、问答题1. 单因素试验中,因素的每一个水平即为一个处理,试验有几个水平,就相应地有几个处理；多因素试验中,处理的数目是各因素水平的乘积;例如,三因素试验中,A 因素有a 个水平,B 因素有b 个水平,C 因素有c 个水平,则处理数为abc 个;2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差,利用数理统计的相关原理建立适当的统计量,在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差,从而检验处理效应是否显著; 单因素方差分析 一、填空题1. 平方根变换,角度弧度反正弦变换,对数变换；2. 最小显著差数法,最小显著极差法；新复极差法,q 法；3. 总平方和,随机误差平方和,组间平方和; 二、计算题 1.2.解：112229i n r i j i j T X ====∑∑,211199327in rij i j X ===∑∑, ()222112229199327589.3625in rT ij i j T SS X n ===-=-=∑∑()()222122291200704219024174724495.36525ri A i iT T SS n n ==-=+++-=∑589.36495.3694e T A SS SS SS =-=-=方差分析表如下：因为0.01=26.35 4.43(4,20)F F >=,所以,当显著性水平=0.01α,5个温度对产量的影响有显著差异;3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析;其方差分析表如下：多重比较省略;4.母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用; 双因素方差分析1.F 检验结果表明,品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平; 2.; 回归分析的基本概念1.如何用数学语言描述相关关系相关关系就是一个或一些变量X 与另一个或一些变量Y 之间有密切关系,但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度,其数学语言描述可为：如果给定变量X 任意一个具体取值0x ,存在变量Y 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0x 的不同而不同；同时给定变量Y 任意一个具体取值0y ,存在变量X 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0y 的不同而不同,则称X 与Y 之间具有相关关系;相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系;2.什么是回归关系回归关系与相关关系有何联系回归关系是指在相关关系中,如果X 容易测定或可人为控制,就将X 看成为非随机变量,并记为x 称为预报因子,这时x 与Y 称为预报量之间的关系称为回归关系; 回归关系是相关关系的简化,是变量之间的因果关系;一元线性回归模型的建立与检验 一、填空题 1.()211ˆ2n i i i Y y n =--∑; 2.01ˆˆy x ββ=- , ()()()1121ˆ=ni i xy i n xxi i x x Y Y L L x x β==--=-∑∑; 二、应用题1. 解：21111211113755.68,11xx i i i i L x x ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑11111111118708.58,11xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111121116050.58311yy i i i i L y y ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于1=0.633,xy xxL L β=01=-38.97,y x ββ-=所以Y 关于x 的回归方程为ˆy0.633-38.97,x = 2用相关系数检验法计算样本相关系数00.955r ==因为()0.0190.7348,r =而()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的 3把0200x =代入回归直线方程,得ˆ0.633200-38.9787.63y=⨯=, 2. 略; 3. 证明略;预测、控制与残差分析（1） 解：211112211113675051013104.55,1111xx i i i i L x x ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑11111111111139105102143988.18,1111xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111122111154222141258.731111yy i i i i L y y ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于13988.18=0.304,13104.55xy xxL L β==01214510=0.304 5.36,1111y x ββ-=-⨯= 所以Y 关于x 的回归方程为ˆy5.360.304,x =+ 在检验,用相关系数检验法计算样本相关系数00.982r ===取=0.01α,查相关系数检验表得,()0.0190.7348,r =由于()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的;2把075x =代入回归直线方程,得ˆ 5.360.3047528.16y=+⨯=, ˆ 2.301σ==,0.05(9) 2.626t =， 故当075x s =时,腐蚀深度Y 的95%预测区间为[]28.16 2.262 2.301 1.074,28.16 2.262 2.301 1.074,-⨯⨯+⨯⨯即 []22.57.7，335. 3要使腐蚀深度在1020m μ之间,即1210,20,y y Y ==的取值在区间[]1020，内时,则由方程组10112012ˆ2ˆ2,y x y x ββσββσ=+-⎧⎨=++⎩ 解得()()()()1101220111ˆ210 5.362 2.30130.40,0.30411ˆ220 5.362 2.30133.02.0.304x y x y βσββσβ=-+=⨯-+⨯==--=⨯--⨯=可线性化的一元非线性回归 一、填空题011ln ,ln ,ln ,Y Y x x ββββ''''====；00111ln ,,ln ,Y Y x xββββ''''====；ln ,lg Y Y x x ''==;二、解答题解：做散点图如右图;由于Y 与x 散点图呈指数曲线形状,于是有•,x Y e βαε=()2ln 0,N εσ两边取对数,令ln ,ln ,,,ln Y Y a b x x αβεε'''=====模型转化为线性模型()2,0,Y a bx N εεσ''''=++对所给数据进行形影变换得到10ˆˆ0.29768,8.164585ββ=-= 所以Y '对x '的样本回归方程为 8.164585-0.29768Y x ''=用t 检验法检验'Y 对'x 的回归效果是否显著,取显著性水平为,可得()0.02532.36938 2.3060t t ==>=即线性回归效果是显著的;代回原变量,得曲线回归方程()0.29768ˆˆexp 3514.26x yy e -'== 第八章 测验一、选择题1、A ；2、C ；3、B ；4、D 二、填空题1. 正态 ,独立, 等方差 ;2. ()201,~0,Y x N ββεεσ=++;3. ˆr β=三、解答题 1.提示与解答：方差分析结果表明,农药的杀虫效果是极显著的;2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用. 销售费用Y 与销售收入x 之间的经验回归方程为ˆ 3.140.108Yx =+ 销售费用Y 与销售收入x 之间的线性回归关系是显著的;。
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= ____________ ；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________；2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则A_______ ; B: 数点大于2,贝U B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ；B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= .§ 1 .2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」(3)A与B都不发生，而C发生表示为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表示为： _______ ?贝［|2* T§iS^{xiO<x<x</x(1 ) A<jb=_________________________ ，(="" 2="" )="" ab="______________" ,="" (3)="" ___________________="" 9<="" p=""bdsfid="127">。
(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。
（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。
（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。
（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析 事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
《概率论与数理统计》习题册答案1-8
第一章 随机事件及其概率1. 1) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥2) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。
写下检查四个产品所有可能的结果，根据条件可得样本空间。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++⎧⎫=⎨⎬-+---+-+-++--+++-------+--+---++⎩⎭++--++-++++-+++++--+-+-+-++⎧⎫Ω=⎨⎬-+---+-+-++--+++--⎩⎭3) {}22(,)1.x y x y Ω=+<2.1) ()A B C --， 2) ()AB C -， 3) A B C ++， 4) ABC ，5) ()A B C Ω-++， 6) ()AB BC AC Ω-++，7) ()ABC Ω-， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。
（2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。
4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以()()()()()()()()1111000(0()()0)44485.8P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==5. 解：依题意，()()()()()()()()()()()()()()0.70.50.25.()()()0.70.60.5P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++==++=+=+---===+-+-6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),3412()2P AB P AB P A P B A P B P A B ==⨯=== 所以1111()()()().46123P A B P A P B P AB +=+-=+-=7. 解：1) 2028281222101028()45C C P P A A C P ===，2) 202__________282121212210101()()(|)45C C P P A A P A P A A C P ====，3) 1122________82821212121222210101016()()()145C C P P P A A A A P A A P A A C P P =+==--=， 4) 1120____________8228121212122101()()()5C C C C P A A A A P A A P A A C +=+==.8. 解：（1） 以A 表示第一次从甲袋中取得白球这一事件，B 表示后从乙袋中取 得白球这一事件，则所求为()P B ，由题意及全概率公式得1()()()()().11n N m N P B P A P B A P A P B A n m N M n m N M +=+=⨯+⨯++++++ （2） 以123,,A A A 分别表示从第一个盒子中取得的两个球为两个红球、一红球一白球和两个白球，B 表示“然后”从第二个盒子取得一个白球这一事件，则容易推知211255441232229995103(),(),(),181818C C C C P A P A P A C C C ======123567(|),(|),(|).111111P B A P B A P B A === 由全概率公式得31551063753()()(|).18111811181199i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑ 9. 解：以A 表示随机挑选的人为色盲，B 表示随机挑选的人为男子。
(完整版)概率论与数理统计习题1及答案
概率论与数理统计习题及答案习题 一1。
写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. (2） 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点."B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面." B =“至少有一次出现正面。
”C =“两次出现同一面。
” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2。
设A ，B ,C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ,B ,C 都发生;(4) A ，B ,C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生; （6） A ，B ,C 不都发生；（7） A ,B ，C 至多有2个发生; (8） A ，B ,C 至少有2个发生.【解】(1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC （5） ABC =A B C (6） ABC(7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C(8） AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC5。
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1
推荐精选第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t| t ³ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A发生，B与C不发生。
（2）A与B都发生，而C不发生。
推荐精选推荐精选（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）CB C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++， （8）BCAC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A = （3）AB B A B =⊂则若, （4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC推荐精选解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证：∵事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()()()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解：∵事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n 1，每次摸球相互独立，可知nn n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。
概率论与数理统计练习册 参考答案
概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2)123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4)123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5)123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+=U U U （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品”则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。
《概率论与数理统计》习题及答案 第一章
《概率论与数理统计》习题及答案第 一 章1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
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数学实验概率论与数理统计分册习题1数学实验概率论与数理统计分册习题第1章古典概率2．碰运气能否通过英语四级考试大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。
这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。
除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D 四个选项。
这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。
则该同学通过考试的概率为：P=4540 45851344C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>> nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40ans =2.3448e-008即：82.344810-⨯由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。
3.在区域H＝{(x，y)| (x，y)∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：⎰⎰++=HdxdyyxyxI) sin(解：积分区域如右图所示：16.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m ，b 2)，其中b 已知，m 可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m 的值使得厂方损失最小？解：假设b=1【实验方案】1．设定x 为产品包装后的重量，依题意x 为一随机变量，且服从正态分布N(m ，b 2)，概率密度函数为：222)(21)(b m x e b x f --=π，（－∞<x<＋∞），b>0为已知，m 待定。
当成品重量M 给定后，记：P ＝P(x≥M)＝()M f x dx ∞⎰P ’＝P( x<M) ＝()M f x dx -∞⎰故而有 ： P ＋P’＝1由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)：J(m)＝)(m P m ，P(m)表示概率P ＝P(x≥M)是m 的函数 分析题意可知，厂方损失Y 由两部分组成：（1）x≥L 时，多余部分，重量为（x －L ）；（2）x<L 时，整袋报废，重量为x ；Y ＝()()()MM x M f x dx xf x dx ∞-∞-+⎰⎰＝m －MP 2．上式中的Y 即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N 袋糖果，得到N P 袋成品，损失总重量为（mN －MN P ），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J 1为：2J 1＝mN MPN m M PN P-=-3．求函数J(m)的最小值点即可。
4．问题的简化：设F(x)为正态分布N(m ，b 2)的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，J(m)＝)(m P m ＝1()m F M -＝1()m M m b--Φ 令c ＝b m ，d ＝M b，z ＝d －c 则上式可简化为： J(z)＝1()M bz z --Φ 【实验过程】1．生成目标函数：在Matlab 的Medit 建立文件Jmin ．m ：function J=Jmin(m)J=m/(1-normcdf( (500-m),0,1));2．画目标函数的图形：在Matlab 的Medit 窗口建立文件figer ．m ：for m=5000:0.001:510J=Jmin(m);plot(m,J)hold onend运行结果为：从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值，而且当自变量向500逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线。
3．目标函数的最小值和最小值点的计算：在Matlab的Medit建立文件minwaste．m：min=600;minm=0;for m=500:0.001:530J=Jmin(m);if J<=minmin=J;minm=m;end2endwasteaverage=min-500;minm,min,wasteaverage运行后运行结果为：minm =503.2570min =503.5405wasteaverage =3.5405即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405，此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1 =3.5405。
2第3章随机变量的数字特征1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。
解：在MATLAB命令窗口输入：>> n = 100;sele = [];for ii = 1:nsort = randperm(9);sele(:,ii) = sort(1:4);endsigma = sum(sele);Ex = mean(sigma), Dx = var(sigma)输出结果为：Ex =19.7000Dx =15.50512．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量ξ是随机变量（单位：吨），它服从[2000, 4000]上的均匀分布。
如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?解：每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量ξ有关，也于生产量x有关，即：23()3()()x x y x x ξξξξ⎧≤=⎨-->⎩ 而x 的密度函数1()2000p ξ=，(20004000)x ≤≤ 40002000()2000y Ey y p d d ξξξ+∞-∞=⋅=⎰⎰ 4000200023()320007000400000001000x x x d xd x x ξξξξ--+=-+-=⎰⎰通过对Ey 求导，令2700001000x Ey -+'== 得到当3500x =吨时, Ey 达到最大值8250万元 。
在Matlab 命令窗口输入：>> syms x zita1=3*x; % x < zita2=3*z-(x-z); % x>zphix=1/2000;Eita=simplify(int((ita2)*(phix),z,2000,x)+int((ita1)*(phix),z,x,4000))dif=diff(Eita,x)x=solve(dif)E=eval(Eita)输出结果为Eita =7*x - x^2/1000 - 4000dif =7 - x/500x =3500E =82503．某厂生产的某种型号的细轴中任取20个，测得其直径数据如下（单位：mm）：13.26，13.63，13.13，13.47，13.40，13.56，13.35，13.56，13.38，13.20，13.48，13.58，13.57，13.37，13.48，13.46，13.51，13.29，13.42，13.69求以上数据的样本均值与样本方差。
解：在MATLAB命令窗口输入：X=[13.26,13.63,13.13,13.47,13.40,13.56,13.35,13.56,13.38,13.20,13.48,13.58,13.57,13.37,13.48,13.46,13.51,13.29,13.42,13.69];j=mean(X),f=var(X)输出结果为：j =13.4395f =0.02114．将一枚硬币重复掷n次，并以X，Y分别表示出现正面和反面的次数．求X和Y的相关系数。
解：用MATLAB模仿掷硬币过程，程序如下：>> n=1000; %试验次数for i=1:1:nx(i)=binornd(1, 0.5);end;z=sum(x) %正面朝上次数f=n-z %反面朝上次数s=corrcoef(z,f) %相关系数输出结果：z =499f =501s =15．设某小型水电站一天的供电量X(kWh)在[100，200]上均匀分布，而当地人们的需求量Y 在[100,250]上均匀分布。
设水电站每供电1kWH 有利润0.2元；若需求量超过供电量，则水电站可以从电网上取得附加电量来补充，每供电1kWH 有利润0.1元。
求该水电站在一天内利润的数学期望。
解：由于X ，Y 独立，可知（X,Y ）的联合密度为1,100200,100250(,)150000x y f x y else ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩ 利润函数为：0.2,(,)0.20.1(),Y X Y Z g X Y X Y X X Y≥⎧==⎨+-<⎩ 因此，平均利润为：((,))(,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰下面我们确定有效的积分区域，有效的积分区域应该使得(,)(,)0g x y f x y ≠，所以得到如下的图形：D1表示Y X ≤，D2表示Y>X ，所以((,))(,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰ 12110.20.1()1500015000D D ydxdy x y dxdy =++⎰⎰⎰⎰ 20020025010010010011()75000150000x xdx ydy dx x y dy =++⎰⎰⎰⎰ 31.4=在Matlab 命令窗口输入：syms x yita1=0.2*y/15000;ita2=0.1*(x+y)/15000;a=int(int(ita1,y,100,x),x,100,200)+int(int(ita2,y,x,250),x,100,200)c=vpa(a,4) %得到4位近似解，也可以任意N位解输出结果为：a =565/18c =X Y31.396．甲、乙两组各有6位同学参加同一次测验，A 组的分数为95、85、75、65、55、45，B 组的分数为73、72、71、69、68、67。
这两组的平均数都是70，但A 组的标准差为17.08分，B 组的标准差为2.16分，说明A 组学生之间的差距要比B 组学生之间的差距大得多。
解： 这道题是要比较两组的方差大小。
在Matlab 命令窗口输入：>>A=[95,85,75,65,55,45];B=[73,72,71,69,68,67];EA=mean(A),StdA=std(A,1)EB=mean(B),StdB=std(B,1)输出结果为：EA =70StdA =17.0783EB =70StdB =2.16027．将n 只球（1～n 号）随机地放到n 只盒子（１～n 号）中去，一只盒子装一只球。