高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：微积分建立的时代背景和历史意义
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案
§2微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？ 提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )| b a 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分： (1)∫10(2x ＋3)d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ；(3)∫31⎝⎛⎫2x －1x 2d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )| 0－π＝1－e－π. (3)∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2， ∴∫31⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝223. [一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1. 答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x＝(－cos x )|π－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211x d x ＝12x 2|21＋ln x|21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：(1)20π⎰ sin 2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π2 ＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，[2,4]三段积分求和． [精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x＝(－cos x ) |20π＋x|22π＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56. 答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |－1＋13x 3|10＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． [精解详析] f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪10＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f (a )＝∫a 0sin x d x ＝－cos x |a＝－cos a ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应课时跟踪训练(十五)]1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x 解析：∫101d x ＝x ⎪⎪10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) |1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C.答案：C4．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1. 答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x . 解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x ＝∫212x d x ＋∫211x d x ＋∫211d x ＝x 2 |21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π02sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) |π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2 |200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
2014-2015学年高二数学(北师大版选修2-2)教案第4章《简单几何体的体积》
简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。
三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题； 难点；数学模型的建立及被积函数的确定。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。
2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。
求它的体积。
学生阅读课本P89页分析，教师引导。
解：圆锥体的体积为 12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =，12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。
则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。
则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 平面图形的面积 参考教案
平面图形的面积一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.2xy =y xABC D O分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|23x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：走出定积分运用的误区
走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(x f 是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=)(x f ，那么⎰ba dx x f )(=)()(a Fb F -． 例1．计算⎰+212)1(dx xx ． 错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629． 错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是⎰ba dx x f )(=|)(b a x F =)()(a F b F -，而不是⎰ba dx x f )(=)()(b F a F -． 正解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629． 评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分⎰b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图象以及直线x=a ，x=b 之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为（ ）A ．⎰b a dx x f )(B ．⎰c a dx x f )(－⎰bc dx x f )(C ．―⎰c a dx x f )(―⎰b c dx x f )(D ．―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰b a dx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰ba dx x f )(． 正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部分的面积S =―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(， 故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000， 即火箭前s 5内的位移为31000． 错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰ba dt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰ba dt t a )(．正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=t dt t t v 02)4100()(=334100t t -， 那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125， 即火箭前s 5内的位移为33125． 评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．。
高中数学北师大版选修2-2第4章2《微积分基本定理》ppt课件
在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一条切线，使之与曲线 以及 x 轴所围成图形的面积为112.试求切点 A 的坐标以及过切点 A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点 A(x0，y0)， 由 y′＝2x，过 A 点的切线方程为 y－y0＝ 2x0(x－x0)，即 y＝2x0x－x20.令 y＝0，得 x ＝x20，记切线与 x 轴的交点为 Cx20，0.设 由曲线和过点 A 的切线 x 轴所围成图形的
0
5. (2)由于 x3 的导函数是 3x2，根据微积分基本定理可得53x2dx
2
＝x3|52＝53－23＝117.
(3)由于－cosx 的导函数是 sinx，根据微积分基本定理可得π 0
sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cos π)－(－cos0)＝2. (4)由于 lnx 的导函数是1x，根据微积分基本定理可得31xdx
第四章 定积分
第四章 §2 微积分基本定理
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例，直观了解微积分基本定理的含义及意 义．
• 2．会用微积分基本定理求函数的定积分．
• 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直线运动的 路程及变力做功问题．
• 本节重点：微积分基本定理．
a
的面积.
1.(2015·湖南理，11)2(x－1)dx＝________. 0
[答案] 0 [解析] 2(x－1)dx＝(x22－x)|20＝2－2＝0.
0
2．已知自由下落的物体的运动速度 v＝gt(g 为常数)，则当
t∈[1,2]时，物体下落的距离为( )
A．12g
B．g
[解析] 图形如图所示，
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 拓展资料：高考中的定积分
高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分：⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰． 分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -． 所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ． 所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14． 评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分： ⑴322x dx x⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)． 二、逆向型 主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为 ．分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+． 03x =∴． 评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -•⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 2 分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)． 评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。
2013年高二数学同步课程课件第4章《微积分基本定理》(北师大版选修2-2)
2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃbaf(x)dx＝ S上 ．
1． (1＋cos x)dx等于
A．π
B．2
C．π－2
解析 ∵(x＋sin x)′1＋cos x，
(D)
D．π＋2
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．若ʃa1(2x＋1x)dx＝3＋ln 2，则a的值是
(D)
A．5
B．4
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使 F′(x)＝f(x)? 答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实 数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
研一研·问题探究、课堂更高效 例1 计算下列定积分：
(1)ʃ211xdx；(2)ʃ31(2x－x12)dx；(3)ʃ0－π(cos x－ex)dx. 解 (1)因为(ln x)′＝1x， 所以ʃ 211xdx＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2. (2)因为(x2)′＝2x，(1x)′＝－x12， 所以ʃ31(2x－x12)dx＝ʃ312xdx－ʃ31x12dx＝x2|31＋1x|31＝(9－1)＋(13－1) ＝232.
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练3
求曲线y＝sin
x与直线x＝－
π 2
，x＝
5 4
π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
2014-2015学年高二数学(北师大版选修2-2)教案第4章《定积分的概念》
1.5 定积分的概念1．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区【 】A ．［0，2e ］B ．［0，2］C ．［1，2］D ．［0，1］2．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为【 】A ．320gtB ．20gtC ．220gtD ．620gt 3. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是【 】 A .4 B . 52C .3D .2 4．dx e e x x ⎰-+10)(=【 】A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1- 5．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为【 】A ．294e B ．22e C ．2e D ．22e 6．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是【 】A ．0.18B ．0.26C ．0.12D ．0.287．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为【 】A ．⎰32dx x ρB ．()⎰+212dx x ρC ．⎰10dx x ρD ．()⎰+321dx x ρ 8．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 9．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．10.设物体的速度v 与时间t 的函数关系为v ＝v (t)，那么它在时间段[a ，b ]内的位移s 用定积分表示为 .11．计算定积分21(1)x dx +ò.12.一物体按规律x＝b t3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．参考答案1.B2.C3.C4.D5.D6.A7.A8. dx x ⎰+10119. dx x ⎰-102)1( 10.()ba s v t dt =ò11.所求定积分是1,201x x y y x ====+，与所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为52.即：215(1)2x dx +=ò.12. 物体的速度233)(bt bt dtdx V ='==．媒质阻力422229)3(t kb bt k kv F zu ===，其中k 为比例常数，k>0．当x =0时，t=0；当x =a 时，311)(ba t t ==，又ds=vdt ，故阻力所作的功为3277130320302727727)3(111b a k t kb dt bt k dt v k dt v kv ds F W t t t zu zu ====⋅==⎰⎰⎰⎰.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 微积分基本定理 第二课时参考教案
微积分基本定理第二课时一：教学目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：定积分的概念及用定义计算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C（a x b ≤≤）其中C 为某一常数。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 定积分的概念 第三课时参考教案
定积分的概念第三课时一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景 ；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义． 二、教学重难点：重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景复习：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． （二）、新课探析 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，其中-ò积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。
说明：（1）定积分()ba f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dx ò，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni i b af n x =-å；④取极限：()1()l i mnbi naib af x dx f n x =-=åò （3）曲边图形面积：()ba S f x dx =ò；变速运动路程21()t tS v t dt =ò；变力做功()baW F r dr =ò2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ³，那么定积分()ba f x dx ò表示由直线,(),0x a x b a b y ==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ò的几何意义。
2019-2020年北师大版数学选修2-2讲义：第4章+§2 微积分基本定理及答案
§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛a bf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪1＝12.]2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . 思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1e π－1．(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x d x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛0π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π2(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪ π20－sin x 2⎪⎪⎪⎪π2＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k 2＋b ， ∴k2＋b ＝1．②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ① f ′(1)＝2a ＋b ＝1，②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316.③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x . (2)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a x 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x n b f (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a bf (x )d x ≤⎠⎛a bg(x )d x .推论2：|⎠⎛a bf (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a－a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )； (5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-a af (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
2019_2020学年高中数学第4章定积分2微积分基本定理学案北师大版选修2_2
§2 微积分基本定理1．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1)(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则⎠⎛abf (x )d x ＝－S 下．(2) (3)(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则⎠⎛abf (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛abf (x )d x ＝0.1．下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪1＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x ⎪⎪⎪10＝32； 选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.] 2．⎠⎛02π(－sin x )d x 等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．4A [⎠⎛02π(－sin x )d x ＝cos x |2π0＝cos 2π－cos 0＝0.]3．⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝________.ln 2＋32 [根据题意得⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋12＝ln 2＋32.](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛－π(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ；(4) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x . 思路探究：(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解．[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253. (2)⎠⎛－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛－πcos x d x －⎠⎛－πe xd x＝sin x ⎪⎪⎪－π－e x ⎪⎪⎪－π＝1eπ－1． (3)2x 2＋x ＋1x＝2x ＋1＋1x，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x.∴⎠⎛122x 2＋x ＋1xd x ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2．(4)原式＝⎠⎜⎛0π212(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π2(1－cos x )d x ＝12⎠⎜⎛0π21d x －12⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪π2－sin x 2⎪⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．⎠⎛12x －1x 2d x ＝________.ln 2－12 [⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x | 21＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12.](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2．分段函数的积分问题1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .[解] 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3,3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛-33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x1．满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值． 2．如何求对称区间上的定积分？[提示] 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．【例3】 (1)设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．思路探究：(1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f (x )d x ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值．(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解． [解] (1)∵f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ′＝ax 2＋c ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋c x ⎪⎪⎪1＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．∵函数图像过点(3,4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ， ∴k2＋b ＝1． ②由①②得，k ＝65，b ＝25，∴f (x )＝65x ＋25.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)且f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝316，求函数f (x )的解析式．[解] 由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4， ①f ′(1)＝2a ＋b ＝1， ②又由⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c)d x ＝316，知a 3＋b 2＋c ＝316. ③①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋3x ＋2．1．定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．2．定积分计算时常用的几个结论 (1)⎠⎛a bf (x )d x ＝－⎠⎛baf (x )d x .(2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x (a <c<b )，该结论称为定积分对积分区间的可加性，积分区间的可加性也可以推广：⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛ax 1f (x )d x ＋⎠⎜⎛x 1x 2f (x )d x ＋…＋⎠⎛x nbf (x )d x ，其中a <x 1<…<x n <b .(3)若在区间[a ，b ]上，f (x )≥0，则⎠⎛abf (x )d x ≥0.推论1：若在区间[a ，b ]上，f (x )≤g(x )，则⎠⎛a b f (x )d x ≤⎠⎛abg(x )d x .推论2：|⎠⎛a b f (x )d x |≤⎠⎛ab|f (x )|d x .(4)若函数f (x )为偶函数，则不含常数项的原函数F (x )为奇函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝2F (a )；(5)若函数f (x )为奇函数，则不含常数项的原函数F (x )为偶函数，⎠⎛-aaf (x )d x ＝F (x )|a －a ＝F (a )－F (－a )＝0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数． [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．⎠⎜⎜⎛-π2π2(sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4C ．2D ．43．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 [⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2．]4．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．[解] 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22， 所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 定积分的概念 第一课时参考教案
§1 定积分的概念第一课时一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L ，其长度为11i i x n n n-∆=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1n i i S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g 211(1,2,,)i i n n n-⎛⎫== ⎪⎝⎭g L ① （3）求和：由①，上图中阴影部分的面积n S 为2111111n n n n i i i i i i S S f x n n n===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑g g =22111110n n n n n n -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g =()22231121n n ⎡⎤+++-⎣⎦L =()()312116n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限：分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑g 从数值上的变化趋势3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n =L ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。
高中数学：4.2微积分基本定理(二)教案(北师大选修2-2)
4.2微积分基本定理教课过程：（一）创建问题情境求不定积分的运算是导数运算的逆运算，结果为函数，定积分则是在求曲边梯形的面积问题时产生的，结果为数. 这两种运算产生的背景与含义仿佛没有什么共同之处. 但它们的名称这样邻近，说明它们之间又存在着联系.（二）探究新知1、解说变上限制积分的定义，配合图形便于让学生理解变上限制积分是定义在[ a, b]上的函数，它会跟着x 在区间[ a,b]上变化而获得相应的定积分值. 接着，给出定理 4.2.1 ，让学生知道变上限制积分的导数就是被积函数，并联合原函数与导函数（也就是被积函数）的关系让学生主动去探究定理 4.2.2 ，经过这个定理既让学生发现了连续函数的原函数是存在的，又初步揭露了定积分与原函数，也就是不定积分之间的关系 . 变上限制积分的重要性质在下边证明微积分基本定理时有重要作用 .——以学生现有的知识水平想到导数和定积分的内在联系是很困难的，所以对于这一部分内容以教师直接解说为主，主动揭露它们之间的内在联系。
依据学生实质状况，联合定理解说例和例，此二例的作用是让学生熟悉定理；在解说例的过程中，重申学生注意当积分的下限为x ，上限为定值时，要变为变上限制积分才能够应用这个定理求解. 例 4.2.3 、例对于本班学生较为困难，省略不讲。
2、牛顿—莱布尼兹公式的证明证明的要点在于联合定理的已知条件 F (x)是f (x)在 [ a,b]上的一个原函数及定理的结论变上限的定积分也是 f (x)在 [ a,b]上的一个原函数，获得 F ( x)( x) C ，再分别让 x 获得 a, b ，牛顿—莱布尼兹公式即可得证.这一过程要让学生主动参加，由于它不单让学生熟习了定理 4.2.2 ，更重要的是揭露了定积分与不定积分之间的联系，解决了第一阶段创建的问题.——在这里我插入对于牛顿和莱布尼兹的个人背景资料，以及他们的学术成就在整个社会以致全球的影响，有益于丰富讲堂内容。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章 平面图形的面积 习题课参考教案
平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。
二、教学重点与难点： 1、定积分的概念及几何意义； 2、定积分的基本性质及运算的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）练习1．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰． ∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 4．求定分32166x x -+-⎰x ． 5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。
（二）、新课探析例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第四章 定积分(第5讲)
例3中，若改为绕 轴旋转一周，所得几何体体积为多少？
教学反思
备注：
练案
1.直线 及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周，所得圆锥体得体积为( )
2.由 以及 轴围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )
3．由曲线 绕 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )
4.由 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积为
2. ，直线 以及 轴，小梯形， ，小圆柱， ，
，
3.
四、堂中互动
例2．解：
五、即学即练
堂中互动例3．
练案答案
组
1. 2. 3. 4. 5.
组
1.
2.
5.双曲线 及直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积为
能力提升
1.求由曲线 和直线 围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积。
2.求抛物线 与直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积。
第三节定积分的简单应用：简单几何体的体积学案答案
三、课前预习
1．定直线，旋转面，旋转体的轴，旋转体
如图，在平面直角坐标系中，直角边长为 的等腰三角形可以看成由所围成的。在区间 内插入 个分点，使 ，把这个三角形分割成 个垂直于 轴的，设第 个小梯形的宽是 ，这个小梯形绕 轴旋转一周就得到一个厚度为的小圆台，当 很小时，第 个小圆台近似于底面半径为 的，第 个小圆台的体积 ，圆锥的体积
由定积分的概念可知：
3.如图，由曲线 以及直线 以及 轴围成的平面图形绕 轴旋转一周，则所得旋转体得体积
■合作探究（对学、群学）
例1．一个半径为 的球可以看成是由曲线 与 轴所围成的图形绕 轴旋转一周得到的，求球的体积 。
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微积分建立的时代背景和历史意义
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．
微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一”．微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了人类的数学知识对于人的认识发展和改造世界的能力的巨大促进作用． 积分的思想产生得很早，公元前200多年，希腊科学泰斗阿基米德
（Archimedes ，约公元前287~前212）就用积分的观点求得球体积公式34π3
V r =他用球体“薄片”的叠加与球的外切圆柱及相关圆锥“薄片”的叠加，并用杠杆原理得到球体积公式．公元5世纪，中国数学家祖冲之、祖日恒 父子提出了“缘幂势既同，则积不容异”，也是积分概念的雏形．
微分观念的发生比积分大概迟了2000年．公元16世纪，伽利略发现了自由落体的运动规律21
2S gt =，落体的瞬时速度近似于()()S t t S t gt t +∆-≈∆． 当t ∆很小时，这个比值接近于时刻t 的瞬时速度，这是导数的启蒙．
同时，在探求曲线的切线的时候，人们发现，切线是割线的近似，割线的斜率是()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆，当x ∆很小时，y x
∆∆应该是切线斜率的近似，求瞬时速度及切线斜率，是产生导数观念的直接动因．
17世纪，法国数学家笛卡儿（Descartes ，1596~1650）建立了坐标系，使几何图形能够用函数来表示，从而为研究函数及其变化率提供了有力的工具．
在17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学．牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理()()()b
a F x dx F
b F a '=-⎰，它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示
了微分和积分的逆运算关系．所不同的是，牛顿（Newton ，1642~1727）创立的微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题，而莱布尼茨（Leibniz ，1646~1716）主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响．
19世纪，法国数学家柯西（Cauchy ，1789~1857）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass ，1815~1897）为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套
完整的、严谨的理论体系．
微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践．数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分．。