第九讲 Laurent级数

c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n (1)
其中z0及cn (n 0,1,2,)都是常数 ---双边幂级数
正幂项(包括常数项)部分：
n n c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) ( 2) n 0 0 1 0 n 0 n 0
z0
记为
1 1 1 z z z0 ( z0 ) z z0
1 1
z0
f ( ) 两边乘以 , 并沿k1逐项积分得: 2i
( z z0 ) 2 2i ( z z0 ) n f ( ) k1 ( z0 )1 d 2i
1. 预备知识
Cauchy 积分公式推广到复连通域
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内 解析 .作圆周：k1 : z z0 r , k 2 : z z 0 R , 且r R , k1、k 2 D, D1：r z z0 R，
R2 R r
D
R1
皮埃尔· 阿方斯· 洛朗[1] （Pierre Alphonse Laurent1813年7月18日—1854年9月2日）法 国数学家，因发现洛朗级数而著名，洛朗级 数是对函数的无穷幂级数展开，它是泰勒级 数的推广。为获取法国科学院大奖，洛朗在 1843年提交了一篇研究报告，在此报告中洛 朗级数首次出现。但是他提交的研究错过了 最后期限，因此他的研究成果没有被发表、 获奖。1854年9月2日年仅41岁的洛朗在巴黎 去世。
sin z 在0 z ＋展开成洛朗级数。 例1 求 z n 2 n1 sin z 1 ( 1 ) z 解 0 z z z n 0 ( 2n 1)!
3 5 2 4 1 z z z z z 1 z 3! 5! 3! 5!
1 cn 2i
f (z)
( z )
c 0

f ( )
n1
d ( n 0,1,2,)
证毕！
n
n c ( z z ) n 0
级数中非负整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的正则部分和主要部分。
1 f ( ) cn d ( n 0,1,2,) n 1 2i k ( z0 )
令 1 1 1 将 代回得, R , 则级数(4) z z0 z z0 R1
当 z z0 R1收敛, 且和为s( z )－;当 z z0 R1发散.
当且仅当R1 R2时，级数( 2)及( 3)有公共收敛 区域即圆环域： R1 z z0 R2，此时， 称 cn ( z z0 ) 收敛, 且和s( z ) s( z ) s( z ) 。
f ( )
n n a ( z ) n 0
z0
c
f ( )
1 将上式两边乘以 P 1 ( z0 ) ( P为任一整数), 并沿c的正向积分得：
n
n a ( z ) n 0

R2
D
R1
z0
c
1
p 1 n
( z )
c 0
c是D内绕z0的任何一条简单闭曲线 .
证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： 1 f ( ) 1 f ( ) f (z) d d (*) 2i k z 2i k z
2 1
R2
R r R1
D z
z0
k1
z z0 当 k 2时， 1， z0
第五章
解析函数的洛朗（Laurent） 展式与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展式 2、孤立奇点
§5.1 洛朗(Laurent)级数

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

4. 展开式的唯一性
由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 1 在z 0, z 1都不解析, 但在 例如，f ( z ) z(1 z )
ez 例2 将 3 在0 z ＋内展开成Laurent级数. z ez 1 zn 1 z2 zn 解 3 3 (1 z ) 3 z z n 0 n! z 2! n! n 1 1 1 1 z z 3 2 z z 2! z 3! 4! n!
c 1 ( z z 0 ) 1 c 2 ( z z 0 ) 2 c n ( z z 0 ) n
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子：


f ( z ) c n ( z z 0 ) n c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) n
本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
例3 将e 在0 z 内展成Laurent级数. 1 2 1 n t 解 在复平面上， e 1 t t t 2! n! 1 1 1 1 1 z 令t , e 1 2 n z z 2! z n! z (0 z )
1 z
1 例4 将 f ( z ) 在以下圆环域 ( z 1)( z 2) ( i ) 0 z 1; ( ii ) 1 z 2; ( iii) 2 z 内展开成z 0 0的Laurent级数。
y y y
o
1
2
x
o
1
2
x
o
1
z
z0
k1
D1
k2
对z D1有，
1 f (z) 2i
f ( ) 1 k2 z d 2i
f ( ) k1 z d
2. 双边幂级数
定义 形如
n
---含有正负幂项的级数
n 1
c (z z )
n 0

n
c n ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
可以

( 3) R1 0

R2 ，此时，
n
可以
收敛域为： 0 z z0
(4)级数 cn ( z z0 ) 在R1 z z0 R2内的
n
和函数是解析的而且可 以逐项求积和逐项求导 .
3. 函数展开成双边幂级数
定理
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内解析, 则 f (z)
圆环域 : 0 z 1及0 z 1 1内处处解析. 当0 z 1时, 1 1 1 z 1 1 2 n f (z) 1 z z z z (1 z ) z 1 z z
当0 z 1 1时, 1 1 1 f (z) z (1 z ) 1 z 1 ( 1 z ) z 1 1 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n 1 z 1 n 1 1 (1 z ) (1 z ) 1 z 由此推想，若f (z) 在R 1<z - z0<R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即
(1)当n 0时, 系 数cn 形 式 上 与 高 阶 导 数 公 式
相同 , 但c n 解析的 .
(2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。
f
( n)
( z0 ) , f ( z )在k内 不 是 处 处 n!
负幂项部分：
n 1 n c ( z z ) c ( z z ) c ( z z ) ( 3) n 0 1 0 n 0 n 1
级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散。
1 对于级数( 3), 若令 ,则 z z0 n n 2 n c ( z z ) c c c c ( 4) n 0 n 1 2 n
n 1 n 1
对变数级数(4)为幂级数, 设其收敛半径为 R, 则当 R级数收敛, R级数发散。
z z n 1 0 z0 ( z0 ) 1 2 n z z0 ( z z0 ) ( z z0 )
( z z 0 ) 1 1 f ( ) I2 d f ( )d k k 1 2i 1 z 2i f ( ) k1 ( z0 ) n1 d (*2)
n n
R2
R1
R1
R2
z0
z0
R1 R2 有公共收敛域
R1 R2 无公共收敛域
(1)当R1 R2时，称 cn ( z z0 )n 处处发散。
n

(2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,
n n c ( z z ) 可能有些点收敛，有些点发散 。 n 0
f ( )
p 1
d
n
a ( z )
n c 0

d 2ia p
1 解得：a p 2i
( z )
c 0
f ( )
p 1
d
由此可知, 在圆环域内解析的函数 展开成级数 就是Laurent级数.

由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法。
n n c ( z z ) n 0
( 5)
称为f ( z )在D : R1 z z0 R2内的Laurent级数 称为f ( z )在D : R1 z z0 R2内的Laurent展开式
1 其中 : cn 2i
f (z) c ( z z0 )n1 dz(n 0,1,2,) (5' )
4. 展开式的唯一性
结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内解析， 事实上， f (z)
可表示为

n
a
n
( z z0 )
R2
nwk.baidu.com
( 6)
R1
D
设c为D内任何一条绕 z0 的简单闭曲线， c
记为I1
记为I2
D1
k2
重复§3的推导得：
1 f ( ) n n I1 ( d )( z z ) c ( z z ) (*1) 0 n 0 n 1 k n 0 2i 2 ( z0 ) n 0
当 k1时， q 1， z z0