椭圆的光学性质
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。
本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。
其中，a为椭圆的半长轴。
二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。
这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。
2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。
3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。
通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。
4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。
这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。
三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。
2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。
总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。
椭圆光学性质
椭圆光学性质
人类早在几千年前就开始认识天文宇宙的基本光学特性，发现椭圆的特性就是其中之一。
椭圆具有重要的光学性质，在许多方面给我们的日常生活带来了很多便利。
在本文中，我们将探讨椭圆的光学性质，从而更好地理解它的重要性和用途。
首先，椭圆是一种光学形状，具有长轴和短轴的特征，可以完美地表示线性光学效应，特别在多次反射和透射后仍保持光学性质不变。
椭圆和圆形完全不同，因为它们在多次反射和透射内部具有类似的因素，但是椭圆可以实现非线性和折射效应。
这使得椭圆成为理想的光学元件，且它们可以根据变化的光学需求实现不同的结果。
其次，椭圆还具有重要的镜头特性。
椭圆形镜头可以聚焦多条平行光线以及它们的衍射效应，并具有最优的折射比。
在日常生活中，椭圆形镜头被广泛用于相机和显微镜的制造，以及电视机屏幕的设计，都是为了更好地聚焦光线，减少反射损失。
此外，椭圆形镜头还被广泛用于激光望远镜，以及根据宇宙光学测量进行宇宙距离计算。
另外，椭圆也具有抗热震动平衡的性能。
由于椭圆型设计可以很好地平衡应力振动，所以在汽车、航空、摄影和其他机械设备的设计中都可以使用它们。
特别是在汽车环境发动机中，椭圆型设计可以有效地抵抗汽车发动机的热振动，从而有效地保护空间，提高舒适度和可靠性。
总之，椭圆具有多种光学和物理特性，为我们人类对宇宙的研究和发展做出了巨大贡献，我们可以清楚地看到它在日常生活中的广泛
应用。
椭圆具有多种性质和使用方式，必须结合我们的实际需求进行选择，才能发挥出椭圆的最大潜力。
椭圆光学性质的几何证明
椭圆光学性质的几何证明
椭圆具有良好的光学特性:从一个焦点发出的光会会聚到另一个焦点。
这个神奇性质的证明，往往用解析几何来解释。
这里有一个只能用几何方法解释的简单证明。
问题描述和证明思路
先描述下问题：已知椭圆的半长轴为a，焦点是(F_1)和
(F_2)，在椭圆上任选一点C（共线情况好说，这里不妨认为C 与(F_1)、(F_2)不共线），作C的角平分线(l)，过C点作(l)的垂线m，则m是椭圆的切线。
这和高中的一道题有些像：已知有两个村庄F1、F2和河流m，在m上要建一个抽水站P，问P在哪里使得(PF_1+PF_2)最小。
受到启发，证明如下
证明思路：添加辅助线——作(CF_1)关于m的对称线段CA。
容易证明A、C、(F_2)是共线的。
这和抽水站问题很像：如果取m上不是C的点P，则
[PA+PF_2>CA+CF_2=2a ]
也就是说，(PF_1+PF_2)也要大于2a，即P点要落在椭圆外面。
这意味着直线m与椭圆只有一个交点。
即m是椭圆的切线。
后记
当时遇到了一道物理题，一根2a长的绳子两端固定在两点上，一个人挂在滑轮上从一端滑向另一端。
他的轨迹就是椭圆，而速度就是切线。
从这个出发突然想到了椭圆的光学性质，可以这样证。
我在百度的时候发现有人发表过类似的完全证明，还有其他类型的二次曲线。
以下是一些链接:
1.利用反证法证明圆锥曲线的光学性质
2.“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考。
椭圆光学性质的妙用
椭圆光学性质的妙用
椭圆光学性质是因两个平行的球面对聚焦距离的变化而产生的，在椭圆的几何形状里，球面失去了对称性，形成扁平的一线两端，它们被称之为聚焦距离。
由于椭圆光学性质，它可以被用来制造出多种有用的光学元件，比如双透镜组，消色差片和室外照明等。
双透镜组通过椭圆光学性质制造出整体聚焦，它可以将光线大范围集中到一个点，从而达到较强的聚焦效果和更高级的光效果，其中聚焦效果还可以在很小的角度调节。
此外，由于聚焦效果的可视化，双透镜组可以轻松地制作一个长焦镜头，还可以使用多组双透镜组来实现复杂的光学效果。
另外，椭圆光学性质也用于制作消色差片，它的主要作用是消除不同光线的几何折射差异，这样使图像显示出来更加清晰，不会出现光斑效果，从而能够更清晰地展现出物体的细节特征。
最后还有室外照明性能，椭圆光学性质可以体现出来，比如高压钠灯，它使用了椭圆夕型的准球面作为光源，可以散射地把光发射出去，使光源能够更好地投射到外部空间，提高照明效果，给人以舒适的视觉感受。
总之，椭圆光学性质是光学技术发展中不可或缺的一大支柱，由它制造出来的多种有用的光学元件不仅能够轻松地实现各种复杂的光学效果，还能大大提高照明效果，为人类带来无尽的视觉乐趣。
一、圆锥曲线的光学性质及其应用
二战期间，德军有一个椭 圆面的洞穴用来关押战俘，被 关押的犯人不堪忍受折磨 ，秘 密商讨逃跑的计划，可每次的 逃跑计划都会很快被看守知道。 犯人们百思不得其解，开始相 互猜疑，以为内部出现了内奸。 其实他们内部并没有内奸。
2
F
y
5
85
图3.4.1
40
x
O
图3.4.2
例3.电影放映机上的聚光灯泡的反射 镜的轴截面是椭圆的一部分（如图所 示），灯丝在焦点F2处，而且灯丝与 反射镜的顶点A的距离|F2A|=1.5cm,过 焦点且垂直于轴的弦|BC|=5.4cm,为了 使电影机片门获得最强的光线，灯泡 应安在距片门多远的地方？
犯人们商讨的地方正好位 于椭圆的一个焦点上，而看守 却位于椭圆的另一个焦点，虽 然商讨的声音很小，但经椭圆 面墙壁反射后集中到看守所在 的位置上，所以看守听得清清 楚楚。
平行：远 汇聚：强
汇聚：强
发散：广、弱 汇聚：广、强
转角镜、汽车后视镜：远处的物体在虚 焦点前形成正立、缩小的虚像，可以反 射大范围的缩小景观，主要用来扩大视 野，口径相同的凸面镜视野比平面镜大.
F2处，对F2处的物体加热．
2.双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发 出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延 长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．
B D
A
F2
O
F1
F2
高中数学——圆锥曲线的光学模型
关于圆锥曲线的光学模型及应用一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F 1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F 2处，对F 2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．∙图1.3F 2∙∙F 1图1.2∙∙AF 1F 2D O图1.1B要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在光学领域，圆锥曲线具有重要的光学性质，并且在光学器件的设计和应用中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍圆锥曲线的光学性质及其应用，以加深对该领域的理解。
一、椭圆的光学性质及其应用椭圆是一种闭合的曲线，它具有一些独特的光学性质。
首先，椭圆具有两个焦点，这意味着从一个焦点发出的光线将会在另一个焦点聚焦。
这种特性使得椭圆在激光器、望远镜等光学器件中得到了广泛的应用。
另外，椭圆还具有折射和反射的特性，因此在光学透镜和反射镜的设计中也有着重要的作用。
二、双曲线的光学性质及其应用双曲线是一种开放的曲线，它同样具有一些独特的光学性质。
首先，双曲线也具有两个焦点，但与椭圆不同的是，光线会从一个焦点经过另一个焦点而无法聚焦。
这种特性使得双曲线在望远镜、摄影镜头等光学器件中得到了广泛的应用。
另外，双曲线还具有强大的能量聚焦能力，因此在激光器、微波天线等领域有着重要的应用。
三、抛物线的光学性质及其应用抛物线是一种特殊的曲线，它具有一条渐近线和一个焦点。
抛物线在光学领域中有着广泛的应用，其中最典型的应用就是抛物面反射器。
这种器件能够将从一个焦点发出的光线聚焦到另一个焦点，因此在卫星通信、激光雷达等领域得到了广泛的应用。
此外，抛物线反射器还被应用在太阳能收集器、天线设计等领域。
四、圆锥曲线在光学器件中的应用圆锥曲线在光学器件中有着广泛的应用，例如激光器、望远镜、摄影镜头、卫星通信、激光雷达等领域。
这些器件都是依靠圆锥曲线的光学性质来达到特定的功能。
随着科学技术的不断发展，圆锥曲线的光学性质也得到了更深入的研究和应用，为光学领域的发展带来了新的机遇和挑战。
总的来说，圆锥曲线具有着丰富的光学性质，它在光学器件的设计和应用中发挥着重要的作用。
通过对圆锥曲线的深入研究，可以更好地理解光学现象，并且为新型光学器件的设计提供理论支持。
希望本文能够对圆锥曲线的光学性质及其应用有所了解，同时也能够为相关领域的研究和发展提供一定的参考价值。
椭圆的性质与分类解析
椭圆的性质与分类解析椭圆是我们学习数学时经常遇到的一种几何图形，具有许多独特的性质和分类方法。
在本文中，我们将深入探讨椭圆的性质与分类，并逐一进行解析。
1. 椭圆的定义与基本性质椭圆可以被定义为平面上到两个给定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点被称为焦点，而等于这两个距离之和的常数则被称为椭圆的离心率。
椭圆的性质之一是其离心率小于1，因此椭圆是一个有限的闭合曲线。
另外，椭圆还具有以下基本性质：- 椭圆的中心点是焦点连线的中点。
- 焦点和椭圆上的任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
- 椭圆的长轴是椭圆的最长直径，而短轴是椭圆的最短直径。
- 椭圆的两条焦点与椭圆的中心点在同一条直线上，并且与该直线上的任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的参数方程与标准方程椭圆的参数方程描述了椭圆上每个点的坐标，其形式为：x = a * cos(θ)y = b * sin(θ)其中，a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴长度，而θ表示椭圆上每个点对应的角度。
椭圆的标准方程则是以中心为原点的坐标系下，椭圆上每个点的坐标满足的方程，其形式为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 13. 椭圆的分类根据椭圆的长轴与短轴之间的长度关系，我们可以将椭圆分为以下几种类型：- 当椭圆的长轴与短轴长度相等时，即a=b，此时椭圆为一个圆。
圆是椭圆的特殊情况，其性质与椭圆相似，但圆上的每个点到圆心的距离都相等。
- 当椭圆的长轴大于短轴长度时，即a>b，此时椭圆的形状更接近于一个水平拉长的圆形。
- 当椭圆的长轴小于短轴长度时，即a<b，此时椭圆的形状更接近于一个垂直拉长的圆形。
4. 椭圆的应用椭圆在日常生活和科学领域中有许多应用。
以下是一些典型的应用场景：- 天体轨道：行星和其他天体的运动轨道可以被建模为椭圆，其中太阳处于焦点之一。
这一模型对研究天体力学和预测天体运动具有重要意义。
- 平面建筑：椭圆的形状常常被应用在许多建筑设计中，如公园中的喷泉、广场与花坛的装饰等。
椭圆光学性质
椭圆光学性质
椭圆光学性质是椭圆面特有的性质，是它们弯曲或折射
光线的能力。
它是由椭圆反射或折射面产生的光学效应，使光线有不同的轴向偏转角度，这是由于椭圆面能使每一个光线的轴向原点有不同的偏转光线的速度而产生的。
椭圆光学性质的应用领域非常广泛，主要包括折射和反
射光学，传输和分析实验，透镜成像，化学实验，生物学研究，显微镜实验，加工精密件，光学定位，精密尺度刻度和其他精密测量。
在这些应用领域中，椭圆光学性质被广泛用于改善精度，准确性和精密性方面的性能。
此外，椭圆光学性质也可以用于分析光谱，物理机械，
新材料开发，飞行测控，可视化，建筑，军事，医学和放射学的实验，以及环境监测等方面的研究。
在现代光学领域，椭圆光学性质发挥着重要作用，特别
是在生物医学研究，测量，数据分析，仪器制造，反射和传输光学等方面。
它不仅可以调节，识别和测量光线，而且还可以用于制作精确的光学元件，如镜片、滤光片、折射板、偏振片等，并用于提高光学系统的精度。
总之，椭圆光学性质具有广泛的应用前景，可以在众多
领域实现多种性能的改进，使得它成为光学领域的重要技术和工具的重要技术之一。
椭圆的光学性质及其应用
椭圆的光学性质及其应用
“椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上。
证明:过点P做椭圆的切线l,焦点F关于l的对称点F,则反射光线与FP在同一直线上.|PF共线时“=”成立)即2a|FF|=2a|MF为切点)2a|MF|+|MF|2a|FF|=2a此时F、P、F由以上证明可知:若椭圆存在切线l,且F关于l的对称点F,则|FF|=2a
运用：医学上用来对付肾结石,让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置,在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上,将其击碎,实现碎石。
高考数学总复习考点知识专题讲解16 圆锥曲线光学性质
高考数学总复习考点知识专题讲解专题16 圆锥曲线光学性质知识点一：光学性质概念椭圆的光学性质：从一个焦点发出的照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点。
双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经过另一个焦点。
抛物线有一个光学性质：从焦点发出的照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线开口方向。
知识点二：光学性质定理定理1点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，则椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小作来解读，根据物理学的反射原理，反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点P 处切线看成镜面，那么法线就是12F PF ∠的平分线，所以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线.推论1：设椭圆22221x y a b+=（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为椭圆上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为22220000(0)a y x b x y a b x y ---=.根据光学性质可知00(,)P x y 处切线方程为12020=+b yy a xx ，由于P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直，故12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程为000022()a y b x y y x x =--，即22220000(0)a y x b x ya b x y ---=.【例1】已知点P 为椭圆上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证椭圆在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线垂直.定理2点P 为双曲线上任一点.1F 、2F 为双曲线的两焦点，则双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.推论2 设双曲线22221x y a b-=±（0a >，0b >）的两焦点为1F ，2F ，00(,)P x y （0x ，00y ≠）为双曲线上一点，则12F PF ∠的角平分线所在直线l 的方程.为222200b x x a y y a b -=±. 【例2】已知点P 为双曲线上任一点，1F 、2F 为椭圆的两焦点，求证双曲线在P 点处的切线与12F PF ∠的平分线重合.定理3点P 为抛物线上任一点，F 为拋物线的焦点，过P 作拋物线的准线的垂线，垂足为P '，则拋物线在点P 处的切线与FPP ∠'的平分线重合.证明：设拋物线的方程为22y px =，200(,)2y P y p.利用导数知识易得抛物线在P 点处的切线斜率存在时为0PQ P k y =.又(,0)2pF ，则02202PP py k y p'=-，0PP k '=.由夹角公式可得：0tan ||||1PP PQ PP PQk k PQPP k k y ∠''-=+'=，0220002202tan ||||121PP PQ PP PQ py pk k y y p FPQ py p k k y y p ''---∠==++⋅-2222232000022222220000021||||()2py p py y p p py y y y p y p p y p -----=⋅=⋅--++22022000()1||||p p y p y y y p -+=⋅=+. 即有tan tan QPP FPQ ∠∠'=，所以PQ 为FPP ∠'的平分线.【例3】（2011年高考全国卷II 理15）已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF =________.【例4】（2023•东莞市期末）如图，从椭圆的一个焦点1F 发出的光线射到椭圆上的点P ，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F ，事实上，点0(P x ，0)y 处的切线00221xx yy a b+=垂直于12F PF ∠的角平分线．已知椭圆22:143x y C +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的角平分线PT 交椭圆C 的长轴于点(,0)T t ，则t 的取值范围是．【例5】（2023•老唐说题教师群探讨）如图，椭圆焦点三角形的1290F AF ∠=︒，AB 为12F AF ∠的角平分线且2AB BD =，则椭圆离心率为.【例6】（2023•广东期末）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠．若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论不正确的是()A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44(,)33k ∈-B ．当m n ⊥时，12||||32PF PF ⋅= C ．当n 过点(7,5)Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13 D ．若点T 坐标为(1,0)，直线PT 与C 相切，则2||12PF =【例7】（2023•阳信期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HF PF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2【例8】（2023•天河区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:C y x =，O 为坐标原点．一束平行于x 轴的光线1l 从点(P m ，1)(1)m >射入，经过C 上的点1(A x ，1)y 反射后，再经C 上另一点2(B x ，2)y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则()A ．121y y =-B ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则D ，B ，Q 三点共线 C ．25||16AB =D ．若PB 平分ABQ ∠，则4116m =知识点三：光学定理与内心旁心 定理一：椭圆焦点三角形内心如图，I 为12PF F △内切圆的圆心，PI 和12F F 相交于点N (区分切点M )，则①INe IP=．②121212IF F PF F IF F S e S S =-△△△证明：法一（利用角平分线定理＋等比定理）：1212121222F N F N F N F N IN c e IP F P F P F P F P a+=====+． 法二：（光学定理+中垂线）PI 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线（考虑极限情况，切点看为两个交点的中点），根据中垂线截距定理202ax c x N =，再根据角平分线定理可知e ex a c a x c P F N F IP IN =++==020211,根据等面积法，121212IF F N N P NP NPF F IF F S y c y IN IPy y c y y S S ===---△△△.中垂线截距定理：若B A 、关于直线PQ 对称，可以知道线段AB 被直线PQ 垂直平分，其中(0)P n ，，(0)Q m ，则能得出以下定理（不妨设焦点在x 轴上）： 202y c m b =-（椭圆），202y c m b =（双曲线）；202x c n a =（椭圆），202x c n a=（双曲线）．因为22AB OM b k ak =-⋅（点差法），1AB PQ k k =-⋅，所以22OMPQb a k k =，故220000b a y x y m x =-，即202y c m b =-；同理220000b a y x y x n=-，即202x c n a =．定理二：双曲线焦点三角形旁心旁心定理：I 是12PF F △的旁心，1F I 、2F I 分别是1PF D ∠、2PF D ∠的角平分线．如图,则：ID e IP =，11IF D PF IS e S =△△．证明：法一：(利用外角平分线定理＋等比定理)：111212121222DIF PIF S ID DF F D DF F D ce S PIPF PF PF PF a -======-△△，法二：（光学定理+中垂线）PD 是)(00y x P ，处切线（切点弦）的中垂线，根据中垂线截距定理202ax c x D =，再根据角平分线定理可知，e a ex c a x c PF DF IP ID =--==020222 【例9】（2023•思明区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -和2(,0)F c，1(M x 为C 上一点，且△12MF F 的内心为2(I x ，1)，则椭圆C 的离心率为()A ．35B ．25C ．13D ．12【例10】(2023哈三中高三一模16题）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x与双曲线)00(12222>>=-n m ny m x ，有公共焦点)0(1，c F -，)0(2，c F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，︒=∠6021PF F ,则=+222131e e ；I 为21F PF ∆的内心，G I F 、、1三点共线，且0=⋅IP GP ，x 轴上点A 、B 满足IP AI λ=，GP BG μ=，则22μλ+的最小值为.知识点四：光学定理与大圆小圆问题1. 椭圆的大圆焦点作椭圆切线的垂线，垂足轨迹是以长轴为直径的圆．这个圆我们称之为大圆.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上点P 处的切线为l ，则过焦点12F F 、作直线l 的垂线，垂足H 的轨迹是以长轴为直径的圆，即为222x y a +=．证明: 如图，作2F H l ⊥,1F H l '⊥．当点P 不在长轴的两个端点时，延长1F P 交2F H 于点Q ，根据椭圆的光学性质可知：切线l 平分2F PQ ∠，故2PQF △是等腰三角形，点H是线段2F Q 的中点．因此，在12F F Q 中，1112222FQ F P PQF P PF OH a ++====，故点H 的轨迹是222()x y a x a +=≠±，同理，H`的轨迹也符合此轨迹方程，当点P 在长轴的两个端点时，此时的射影点(,0)a ±亦满足上述方程．【例11】（2023•连城县月考）如图所示，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为()A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线2.大圆性质拓展如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：上点P 处的切线为l ，且焦点12F F 、在直线l 上的垂足分别为G 、H ，设12F PF θ∠=，椭圆的上顶点为B ，左右顶点分别为1A 、2A ，则：(1) 212FG F H b =； (2)直角梯形12F F GH 的面积的为2sin S a θ=，又12F BF θ≤∠,故212max12,22,02a F BF S bc F BF ⎧π⎛⎫∠≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨π⎛⎫⎪<∠< ⎪⎪⎝⎭⎩；证明(1) 法一：设1F P m =，2F P n =，则2cos 11θPF G F =，2cos 22θPF H F =222222212411cos ()42cos 2224m n c m n c mn FG F H mn mn mn b θθ+-+++-=====．法二延长1MF 交大圆222x y a +=于点I ，根据对称性，有21F H F I =，再利用相交弦定理，则212111112()()FG F H FG F I A F F A a c a c b ===-+=．(2) 利用椭圆的光学性质，如图所示，延长1F P 交2F H 于点N ，过点N 作//GH MN 交G F 1延长线于点M，因此，2121111111()()sin cos 222222S FG F H MN FG MG MN F M MN F N θθ=+=+==，又1122F N F P PF a =+=，则2214sin cos sin 222S a a θθθ==． 注意：大题在证明光学性质时比较麻烦，建议参考例题方式书写大题，那样其实也不难.【例12】已知椭圆22143x y +=，圆224x y +=，直线2y x =与椭圆交于点A ，过A 作椭圆的切线交圆于M 、N 两点（M 在N 的左侧），则12MF NF =．【例13】（2023•南充模拟）设点1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．3.双曲线的小圆焦点在双曲线切线上的垂足轨迹是以实轴为直径的圆，我们称之为小圆.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上点P 处的切线为l ，则焦点12F F 、在直线l上的射影点H 的轨迹是以实轴为直径的圆，即为222x y a +=．【例14】已知双曲线221916x y -=的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一动点，过点1F 作12F PF ∠平分线所在直线的垂线，则垂足M 的轨迹方程为( )．A ．229x y +=B ．2216x y +=C ．229x y -=D ．2216x y -=【例15】（多选）设双曲线22:14x C y -=左右焦点分别为1F ，2F ，设右支上一点P 与2F 所连接的线段为直径的圆为圆1O ，以实轴为直径的圆为圆2O ，则下列结论正确的有() A ．圆1O 与圆2O 始终外切B ．若2F P 与渐近线垂直，则2F P 与圆2O 相切 C ．12F PF ∠的角平分线与圆1O 相切D ．三角形12F PF 的内心和外心最短距离为2【例16】（2023•江苏模拟）已知椭圆22:143y x C +=，点0(P x ，0)y 为椭圆C 在第一象限的点，12F F 为椭圆的左、右焦点，点P 关于原点的对称点为Q ． （1）设点Q 到直线1PF ，2PF 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 取值范围； （2）已知椭圆在0(P x ，0)y 处的切线l 的方程为：00143x x y y+=，射线1QF 交l 于点R ．求证：11F RP RPF ∠=∠．【例17】（2022•湖北21校）平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)M -，(2,0)N 点A 满足||||AM AN -=A 的轨迹C ． （1）求C 的方程；（2）设点T 与点A 关于原点O 对称，MTN ∠的角平分线为直线l ，过点A 作l 的垂线，垂足为H ，交C 于另一点B ，求：||||AH BH 的最大值．【例18】（2023•闵行区期中）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 、2PF 的夹角相等．已知12BC F F ⊥，垂足为1F ，1||3F B m =，12||4F F cm =，以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系． （1）求截口BAC 所在椭圆C 的方程；（2）点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．①是否存在m ，使得P 到2F 和P 到直线x m =的距离之比为定值，如果存在，求出的m 值，如果不存在，请说明理由；②若12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k ，2k ，请问21k kk k +是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【例19】（2023•上海模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是点1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，点2F 与短轴两个顶点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过椭圆上点0(M x ，0)y 的椭圆的切线方程为00221xx yy a b+=．求证：过椭圆C 上任一点0(M x ，0)y 的切线与直线1MF 和2MF 所成角都相等；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PQ 交C 的长轴于点(,0)Q q ，求q 的取值范围．同步训练1．（2022•怀化二模）若点P 是椭圆22221(0)4x y b b b+=>上的点，且点I 是焦点三角形△12PF F 的内心，12F PF ∠的角平分线交线段12F F 于点M ，则||PIIM等于()A C ．122.（2023•贵州模拟）根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点0(A x ，2)反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为() A．．CD3.（2022•南昌三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△12PF F 的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为() A ．12B3.（2022•焦作一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为C 上一点，且△12MF F 的内心为0(I x ，2)，若△12MF F 的面积为4b ，则1212||||(||MF MF F F +=) A ．32B ．53C．434.（2023•建邺区期中）已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若||16AB =，则||(PQ =) A ．2B ．4C ．6D ．85．（2022•衡阳二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点、由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角、请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在1F P 延长线上，点Q的坐标为，且PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是() A ．12||2||PF PF =B ．12||23PF PF +=C ．点P到x ．2F PM ∠的角平分线所在直线的倾斜角为150︒6.（2023•阳信县期末）已知椭圆22143x y +=上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，12F PF ∠的角平分线与x 轴交于点G ，与y 轴交于点1(0,)2H -，则()A ．四边形12HFPF 的周长为4+．直线1A P ，2A P 的斜率之积为34- C ．12||:||3:2FG F G =D ．四边形12HF PF 的面积为2 7.（2023•佛山期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝2F ，与影片门1F 应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆22:143x y C +=，椭圆的左右焦点分别为1F ，2F ，一束光线从2F 发出，射向椭圆位于第一象限上的P 点后反射光线经过点1F ，且124tan 3F PF ∠=，则12F PF ∠的角平分线所在直线方程为．8.（2023•诸暨市期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关．如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴．某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分1C 和一个“双孔”的椭圆2C 构成（小孔在椭圆的右上方）．如图，椭圆22212:1,,43x y C F F +=为2C 的焦点，B 为下顶点，2F 也为1C 的焦点，若由1F 发出一条光线经过点B 反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点D 反射后平行于x 轴射出，由1F 发出的另一条光线经由椭圆2C 上的点P 反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点E 反射后平行于x轴射出，若两条平行光线间隔，则1cos BF P ∠=．11.已知P是双曲线221168x y -=右支上一点，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，1(0)F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，20PN F N =．若22PF =，则ON =．12.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )．A ．OB e OA =B ．OA e OB=C ．OA OB =D ．OA 与OB 关系不确定。
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。
本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。
这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。
二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。
2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。
3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。
4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。
焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。
2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。
五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。
2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。
3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。
4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。
六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。
本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。
椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。
椭圆的光学性质
椭圆的光学性质
椭圆是一种几何图形，具有许多有趣的光学性质。
在光学领域中，椭圆通常被
用来描述某些光学器件的特征，如反射镜和折射器。
本文将探讨椭圆在光学中的作用以及其影响。
椭圆的反射性质
当光线射入椭圆形状的反射镜时，光线在反射过程中会按照椭圆的几何形状进
行反射。
具体来说，对于椭圆反射镜，焦点处的光线将被反射到另一个焦点处，这种性质被广泛应用于望远镜和卫星接收器等光学设备中。
椭圆的折射性质
另外，当光线射入椭圆形状的介质中时，由于介质的折射性质，光线会根据椭
圆的几何形状发生折射。
这种光学性质在制造透镜和棱镜等设备时非常重要，因为它可以帮助设计师确定光线在介质中传播的路径。
椭圆的聚焦性质
除了反射和折射外，椭圆还具有一种独特的聚焦性质。
当光线从无限远处垂直
入射到椭圆形状的透镜上时，光线将被聚焦到另一个焦点处。
这种性质被广泛应用于成像系统和激光聚焦器等光学设备中。
总结
综上所述，椭圆在光学中具有多种有趣的性质，包括反射、折射和聚焦等方面。
这些性质使得椭圆成为光学设计中不可或缺的元素，为各种光学器件的设计和制造提供了重要参考。
希望本文能够帮助读者更好地了解椭圆的光学性质及其在实际应用中的重要性。
椭圆光学性质
椭圆光学性质
椭圆光学是一种特殊的光学理论，椭圆光的特性是线条是完全椭圆的，它的理论有着与圆形光学不同的特性，这种理论得到了广泛的应用。
椭圆光学是一种有效的方法，可以用来满足某些特殊的要求，比如分析误差等。
椭圆光学是一种集合物理和数学原理的论文，它研究了光在椭圆型介质中的行为。
这种理论由实验室中关于椭圆光学属性的实验证明。
可以使用椭圆光学理论来检查光的衰减特性，可以实现高精度的结果。
在椭圆光学中，当光照射到椭圆型介质时，光线会分成轴向和径向两个部分，根据轴向和径向组合，椭圆光可以表示出不同的形状，这是它的最大特点。
椭圆光的折射特性使其具有独特的行为。
椭圆光的折射特性体现在不同的折射率之间的不同行为表现，在调节椭圆光的折射率会出现对其存在的影响，可以使光在空间内反射或吸收，可以用来分析光的衰减特性。
椭圆光学还有一个特性，就是非线性反射特性。
非线性反射特性使得椭圆光拥有强大的折射能力，因此，它可以抵抗不同的折射器，当椭圆光通过不同的折射器时，它的非线性反射特性使其可以反射更多的光，这也是它的折射器的大部分特性。
椭圆光学还有另外一个特性，就是它的穿透特性。
穿透特性是椭圆光学最重要的特性之一，它描述了椭圆光在不同介质中传播的状态，由此可以研究其他不同介质，以及检测和解释这些介质变化时的穿透
特性。
椭圆光学是一个非常有趣的理论，它有多种特性，可以用来检测和分析光的各种衰减特性、折射特性及其它特性。
椭圆光学的应用非常广泛，它可以用来分析误差，也可以用来检测介质的变化，以及分析其他介质的穿透特性等。
通过椭圆光学的应用，可以更好地分析和研究光的特性，使其发挥更大的价值。
高中数学高二下册第十二章12.4 椭圆的性质-椭圆 光学几何性质课件
• 学习椭圆应该关注椭圆常见的几何性质，比如圆与椭圆之 间的仿射变换，采用椭圆离心角表达的椭圆的参数方程及 意义等
6. 课后作业
感谢大家的支持
带着知识走向学生，不如带着学生走向知识。——牛传明 你可以像猪一样的生活，但你永远都不能像猪那样快乐！ 利人乎即为，不利人乎即止。——《 墨子》 也许一个人，要走过很多的路，经历过生命中无数突如其来的繁华和苍凉后，才会变的成熟。 好好的管教你自己，不要管别人。 当你能飞的时候就不要放弃飞。 爱生而败仁者，其下愚之得欤？ 当我活着，我要做生命的主宰，而不做它的奴隶。 生命如流水，只有在他的急流与奔向前去的时候，才美丽，才有意义。 三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。——《论语·子罕》 种子牢记着雨滴献身的叮嘱，增强了冒尖的气。 合理安排时间，就等于节约时间。——培根 不要太在乎自己的长相，因为能力不会写在脸上。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。
身体健康， 只有坚持才能获得最后的成功。
人生没有十全十美，如果你发现错了。重新再来，别人不原谅你，你可以自己原谅自己。千万不要用一个错误去掩盖另一个错误。 生命就像是一种回音，你送出了什么它就送回什么，你播种了什么就是会收获什么，你给予什么就会得到什么。 美丽的心情永远比美丽的外表重要一千倍。 曾经痛苦，才知道真正的痛苦；曾经执著，才能放下执著。 感谢上天我所拥有的，感谢上天我所没有的。
y P
F1
O Q F2
x
2. 新课 证明过程
定理：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆反射后都集中到椭圆的另一焦点上
y P
F1
O Q F2
x
3. 例题解析
3. 例题解析
4. 巩固练习
5. 课堂小结
椭圆的光学性质
椭圆的光学性质
椭圆的光学性质，椭圆的面镜即以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空。
椭圆的面镜可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处，椭圆的透镜有汇聚光线的作用，老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片。
椭圆的基本性质
在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。
因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。
椭圆的形状，由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0，圆的极限情况到任意接近但小于1的任何数字。
椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行是一个常数。
该比率称为椭圆的偏心率。
也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。
椭圆在物理，天文和工程方面很常见。
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C
P
M′ M l1
P1
椭 圆 的 光 学 性 质
探 究 发 现
看到这个图形，你有什么联想。 你会考虑将椭圆的光学性质在实际生 当一束光线从椭圆一个焦点出发，经 活中加以应用吗？ 椭圆反射后，射向另一焦点。
C
P
M
l1
P1
知 识 应 用
电影放映机工作原理示意图
片门 反光镜
放映镜头
建 立 数 学 模 型
椭圆的光学性质
温 故 而 知 新
复 习 思 考
已知圆C：( x＋3) 2＋y2＝100及圆内一点 P(3，0)，求过点P且与圆C内切的动圆圆心M 的轨迹方程。
y
C
P
O
M
x P1
解： ∵ |CM|＋|MP| ＝|CM|＋|MP1| ＝|CP1| ＝10 ( 10＞|CP| ) ∴ M在以C、P为焦点，长轴长 为10的椭圆上。 因而：a＝5，c＝3 ，∴ b＝4 ∴点M的轨迹方程为： y2 x2 ＋ ＝1 25 16
O
M
x P1
l1
发 现 用 纸 能 折 出 椭 圆
实 验 操 作
观察M1, M2, M2 …的分布规律，想象取 遍圆上所有点Pi ，按前面折法画出所有的点 Mi ，将得到什么曲线。
y
C
P
C
P
O
M
x P1 l1 M1
P1
折 痕 都 是 椭 圆 的 切 线
探 究 发 现
观察这个图形，你能发现椭圆和直线 l1 有什么关系？
知 识 应 用
能根据反光镜来测定电影放映机的片 门应安装距反光镜底部多远的地方吗？
y C A
G A1 F1
E
O
F2
A1
x
片门
D B
放映镜头
反光镜
归 纳 总 结
1．椭圆具有独特的光学性质，现实生活 中可充分加以利用。
2 ．掌握数学建模的方法，注重数学知识 的应用。
温 故 而 知 新
提 出 问 题
根据解题过程，能判断动圆圆心M与切点
P1及定点P三者之间有怎样的位置关系吗？
y
C
P
Cห้องสมุดไป่ตู้
P
O
M
x P1
l M
P1
首 先 应 确 定 点
P1
发 散 思 维
不画出圆M ，在纸片上能作出线段PP1 的垂直平分线 l1吗？
y
C
P
C
P
O
M
x P1
l1
P1
“
折 ” 比 “ 画 ” 方 便
实 验 操 作
在圆取一系列点Ｐl Ｐ ， … 按同样的折 在纸片上折出折痕 后，连结点 C Ｐ 交 选用什么方法在纸片上作出线段 PP 的垂 2， 3 1 11 法得到折痕l 2，l 3，…和点M2，M3，… 看看 折痕 l 1于M 。 直平分线 l１ 1呢？ 有什么发现。
y
C
P
C
P P P1 M1 P1