怎样用Matlab求解差分方程题.
差分方程3Matlab求解
Matlab实现
• 首先建立一个关于变量n ，r的函数 • function x=sqh(n,r) • a=1+r; • x=100; • for k=1:n • x(k+1)=a*x(k); • end
• 在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
• k=(0:20); • Y1=zwfz(100,21,0.18); • Y2=zwfz(100,21,0.19); • Y3=zwfz(100,21,0.20); • round([k',y1',y2',y3']) • plot(k,y1,k,y2, ':',k,y3, 'o'), • gtext('b=0.18'),gtext('b=0.19'),gtext('b=0.20')
模型及其求解
• 记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能 活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过 一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2 岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2 岁种子发芽率a2。
• 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 • 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由
差 分 方 程(3) ——Matlab求解
主要内容：
1. 一阶线性常系数差分方程 2. 高阶线性常系数差分方程 3. 线性常系数差分方程组
matlab差分方程
matlab差分方程MATLAB是一种广泛使用的计算机辅助工具，其中包含了许多实用算法和解决方案。
差分方程是MATLAB中非常重要的一种工具，可以用于模拟和解决各种差分方程问题。
下面将介绍如何使用MATLAB来解决差分方程问题。
首先在MATLAB窗口中打开一个新的脚本文件（Ctrl+N），左侧显示脚本编辑器的窗口。
在窗口中输入以下内容：function dy = diffeq(t,y)dy = zeros(2,1);dy(1) = y(2);dy(2) = -0.1*y(2) - y(1) - 10*(y(1)^3);在这个脚本中，我们定义了一个名为“diffeq”的函数，它有两个参数（t和y）。
该函数返回一个长度为2的dy向量，dy是y的导数（dy/dt）。
在本例中，我们使用了系统描述的常见方法：x'=f（x，t），y是系统状态向量。
换句话说，我们将梯度设置为我们想要模拟的方程。
一旦函数被定义，我们现在可以开始运行模拟。
接下来，我们将使用MATLAB的ODE求解器来解决我们的差分方程问题。
我们可以这样编写代码：[t,y] = ode45(@diffeq,[0 30],[1 0]);在这里，ode45是MATLAB中用于解决常微分方程的函数，它需要三个参数。
第一个参数是定义我们的方程的函数（即我们之前声明的diffeq函数），第二个参数是我们期望的时间范围（从0到30，单位为秒），第三个参数是初值（在这个例子中，我们使用y(0)=1和y'(0)=0作为初值）。
运行后，MATLAB会将结果存储在两个向量t和y中，我们可以使用下面的代码来显示不同时间点t的y值：plot(t,y(:,1),'-')在此代码中，我们使用plot函数来绘制y的前一个元素（我们的状态向量正在被建模）以及时间t之间的关系。
结果应该是一个类似于与时间的函数y（t）的曲线。
这个值可以根据不同的初值和系统变量被改变。
matlab有限差分法
matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。
有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。
本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。
二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。
其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。
假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。
2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。
三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。
在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。
则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。
根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。
MATLAB差异方程与微分方程求解技巧
MATLAB差异方程与微分方程求解技巧差异方程和微分方程是数学中重要的概念和工具，它们在各个领域的建模和分析中发挥着重要作用。
而MATLAB作为一款强大的数学软件，提供了丰富的工具和函数来求解差异方程和微分方程。
本文将介绍MATLAB中差异方程和微分方程的求解技巧，并提供一些实际案例来加深理解。
一、差异方程的求解技巧差异方程是描述离散域系统的数学模型，通常用递归关系来表达。
MATLAB 提供了多种方法来求解差异方程，其中最常用的是通过递推关系进行迭代。
1. 递推法递推法是通过迭代计算差异方程中的每一项来求解整个方程。
首先，需要定义差异方程的初始条件和递推关系。
然后，可以使用循环结构来进行迭代计算，直到达到所需精度或迭代次数。
假设我们要求解以下差异方程：y[n] = a * y[n-1] + b * y[n-2]其中，a和b为常数，y[n]为求解的项，y[n-1]和y[n-2]为已知的前两项。
在MATLAB中，可以使用for循环或while循环来实现递推法求解差异方程。
以下是使用for循环的实例代码：``` MATLABn = 1:10; % 定义计算的范围y = zeros(size(n)); % 初始化y的空间y(1) = y0; % 设定初始条件y(2) = y1; % 设定初始条件for i = 3:length(n)y(i) = a * y(i-1) + b * y(i-2); % 递推计算end```2. 齐次差异方程和非齐次差异方程的求解在求解差异方程时，需要区分齐次差异方程和非齐次差异方程。
对于齐次差异方程，它的非零解为零解；对于非齐次差异方程，它的非零解可以通过叠加齐次解和特解来得到。
MATLAB中，可以使用dsolve函数来求解差异方程。
以下是求解一阶齐次差异方程的实例代码：``` MATLABsyms y(t); % 定义符号变量eqn = diff(y, t) == a * y; % 定义差异方程cond = y(0) == y0; % 定义初始条件ySol(t) = dsolve(eqn, cond); % 求解差异方程```二、微分方程的求解技巧微分方程是描述连续域系统的数学模型，通常用导数关系来表达。
怎样用Matlab求解差分方程题.
Matlab实现
首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n
x(k+1)=a*x(k); end
在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量 趋于180，300，120
可以考察这个结果与初始条件是否有关
若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变 化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于 稳定，与初始值无关
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
模型及其求解
记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能 活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过 一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2 岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1， 2岁种子发芽率a2。
设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决 于第k时段变量Xk，而且与以前时段变 量有关，就要用高阶差分方程来描述
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季 产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的 那些种子可以活过冬天，其中一部分能 在第2年春季发芽，然后开花，产种，其 中的另一部分虽未能发芽，但如又能活 过一个冬天，则其中一部分可在第三年 春季发芽，然后开花，产种，如此继续， 一年生植物只能活1年，而近似的认为， 种子最多可以活过两个冬天，试建立数 学模型研究这种植物数量变化的规律， 及它能一直繁殖下去的条件。
怎样用Matlab求解差分方程题课件
Matlab实现
• 首先建立一个关于变量n ，r的函数 • function x=sqh(n,r) • a=1+r; • x=100; • for k=1:n • x(k+1)=a*x(k); • end
• 在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
• b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2]; • s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]); • L=[b;s,zeros(4,1)]; • x(:,1)=100*ones(5,1); • >> n=30; • >> for k=1:n • x(:,k+1)=L*x(:,k); • end • >> round(x) • k=0:30; • >> subplot(1,2,1),plot(k,x),grid
• 可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量 趋于180，300，120
• 可以考察这个结果与初始条件是否有关
• 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变 化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于 稳定，与初始值无关
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
差分方程matlab解法
b 1 a
一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
xk 1 axk b
• 自然环境下,b=0 • 人工孵化条件下
xk ak x0
xk ak x0 b(1 a
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ak 1 )
1 ak a x0 b 1 a
• 令xk=xk+1=x得
x
差分方程的平衡点 • k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的
用matlab求解差分方程问题一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组一阶线性常系数差分方程?濒危物种的自然演变和人工孵化?问题florida沙丘鹤属于濒危物种它在较好自然环境下年均增长率仅为194而在中等和较差环境下年均增长率分别为324和等和较差环境下年均增长率分别为324和382如果在某自然保护区内开始有100只鹤建立描述其数量变化规律的模型并作数值计算
模型建立
• 记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为 •
xk+1=(1+r)xk k=0,1,2· · · · · ·
• 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
Matlab实现
• • • • • • • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
MATLAB中的差分方程建模与求解方法
MATLAB中的差分方程建模与求解方法引言差分方程是数学中常见的一种方程类型，是一种离散形式的微分方程。
在实际问题中，差分方程能够提供对系统的离散描述，对于动态模型的建立和求解具有重要作用。
MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，其内置了丰富的工具箱和函数，为差分方程的建模和求解提供了便利。
一、差分方程的建模差分方程的建模是将实际问题转化为数学方程的过程。
在MATLAB中，差分方程的建模可以通过定义离散系统的状态和状态转移方程来实现。
下面以一个简单的例子说明差分方程的建模过程。
假设有一个人口增长模型，人口数在每年增加10%，则差分方程可以表示为：P(n+1) = P(n) + 0.1 * P(n)，其中P(n)表示第n年的人口数，P(n+1)表示第n+1年的人口数。
在MATLAB中，可以通过定义一个函数来描述差分方程的状态转移方程，代码如下：```matlabfunction Pn = population_growth(Pn_minus_1)growth_rate = 0.1;Pn = Pn_minus_1 + growth_rate * Pn_minus_1;end```上述代码定义了一个名为"population_growth"的函数，该函数的输入参数为上一年的人口数"Pn_minus_1"，输出为当前年的人口数"Pn"。
其中，growth_rate表示人口增长率，根据差分方程的定义，将上一年的人口数乘以增长率再加上本身，即可得到当前年的人口数。
二、差分方程的求解方法在MATLAB中，差分方程的求解可以通过多种方法实现。
下面介绍两种常用的差分方程求解方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。
1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是差分方程求解中最简单直观的一种方法。
其基本思想是通过离散化的方式逐步逼近连续函数的解。
具体步骤如下：1) 将时间段分割成若干个小区间；2) 根据差分方程的状态转移方程，在每个小区间内进行计算；3) 迭代计算直到达到指定的时间点。
用Matlab求解差分方程问题
Matlab实现
• • • • • • • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程
线性常系数差分方程组
差分方程是在离散时段上描述现 实世界中变化过程的数学模型
• 例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ， 现存入M元，问年3;r)xk , k = 0 , 1 , 2 · · · · ·
方程(1)的解可以表为 C1,c2 由初始条件x0,x1确定。
1,2 1, xk 0( k )
1,2 1, xk ( k )
• 本例中，用待定系数的方法可以求出 b=0.18时,c1=95.64, c2=4.36 ， (1, 2 ) (0.9430, 0.0430) 这样 xk 95.64(0.9430)k 4.36(0.0430)k 实际上，
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
600 500
400
300
200
100
0
0
1
2
Matlab解差分方程
Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
• 实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 • X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 • 这样可以用matlab计算了
模型及其求解
• 记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能 活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过 一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2 岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2 岁种子发芽率a2。
• 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 • 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由
Xk+1=aXk +b ,a=1+r
• • • • • •
function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; X=100; For k=1:n X(k+1)=a*x(k)+b; end
• k=(0:20) ; %一个行向量 • y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 • round( [ k ’, y 1 ’] ) 对k,y1四舍五入，但 是 不改变变量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以 也可以观察200年的发展趋势，以及在较差 条件下的发展趋势，也可以考察每年孵 化数量变化的影响。
方程(1)的解可以表为 C1,c2 由初始条件x0,x1确定。
1 ,x ( k ) 1 ,x 0 ( k ) 1 , 2 k 1 , 2 k
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1].1 迭代法例1 已知离散系统的差分方程为)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()43()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出2459)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下:clc;clear;format compact;a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件[yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件2 时域经典法用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下.（1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出41 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )41()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()43()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-⋅+-1,)43(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )43()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)43(213 )41()21()(21n n n C C n y ⋅++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用)(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为)(])43(213 )41(35)21(317[)1(])43(213 )41(35)21(317[)(25)(n u n u n n y n n n n n n ⋅+⋅+⋅-=-⋅+⋅+⋅-+=δ MATLAB 没有专用的差分方程求解函数,但可调用maple 符号运算工具箱中的rsolve 函数实现[5],格式为y=maple('rsolve({equs, inis},y(n))'),其中:equs 为差分方程表达式, inis 为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式.rsolve 的其他格式可通过mhelp rsolve 命令了解.在MATLAB 中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下.clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2,y(-1)=4},y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(0)=1,y(1)=13/12},y(n))'),3 双零法根据双零响应的定义,按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应.理解了双零法的求解原理和步骤,实际计算可调用rsolve 函数实现.yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(-1)=4, y(-2)=12},y(n))'),yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=1,y(-1)=0},y(n))'),4 变换域法设差分方程的一般形式为)()(00r n x b k n y a r Mr k N k -=-∑∑==.对差分方程两边取单边z 变换,并利用z 变换的位移公式得])()([])()([1010m r m r r M r l k l k k N k z m x z X z b z l y z Y z a ---=-=---=-=∑∑∑∑+=+整理成)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+形式有. )(, )(110110M M N N z b z b b z B z a z a a z A ----+++=+++=. )()(, )()(110110∑∑∑∑=--=--=--=--==M r r m m r r N k k l l k k z m x b s X zl y a s Y可以看出,由差分方程可直接写出 )(z A 和 )(z B ,系统函数)(/)()(z A z B z H =,将系统函数进行逆z 变换可得单位样值响应.由差分方程的初始状态可算出 )(0z Y ,由激励信号的初始状态可算出 )(0z X ,将激励信号进行z 变换可得 )(z X ,求解z 域代数方程可得输出信号的象函数 , )()()()()()(00z A z Y z X z X z B z Y -+= 对输出象函数进行逆z 变换可得输出信号的原函数)(n y .利用z 变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:（1）根据差分方程直接写出 )(z A 、 )(z B 和)(z H ,)(z H 的逆变换即为单位样值响应；（2）根据激励信号算出 )(z X ,如激励不是因果序列则还要算出前M 个初始状态值；（3）根据差分方程的初始状态 )(, ),2( ),1(N y y y -⋅⋅⋅--和激励信号的初始状态 )(, ),2( ),1(M x x x -⋅⋅⋅--算出 )(0z Y 和 )(0z X ；（4）在z 域求解代数方程)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+得输出象函数 )(z Y , )(z Y 的逆变换即为全响应；（5）分析响应象函数的极点来源及在z 平面中的位置,确定自由响应与强迫响应,或瞬态响应与稳态响应；（6）根据零输入响应和零状态响应的定义,在z 域求解双零响应的象函数,对双零响应的象函数进行逆z 变换,得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下. 根据差分方程直接写出2181431 )(--+-=z z z A ,1311 )(-+=z z B .系统函数的极点为41,21. 对激励信号进行z 变换得)43/( )(-=z z z X .激励象函数的极点为3/4. 根据差分方程的初始状态算出102123 )(-+-=z z Y .根据激励信号的初始状态算出 0)(0=z X . 对z 域代数方程求解,得全响应的象函数)323161123/()83243125( )(2323-+-+-=z z z z z z z Y . 进行逆z 变换得全响应为)(])43(213 )41(35)21(317[)(n u n y n n n ⋅+⋅+⋅-= 其中,与系统函数的极点对应的是自由响应;与激励象函数的极点对应的是强迫响应. )(z Y 的极点都在z 平面的单位圆内故都是瞬态响应.零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB 的符号运算编程实现.实现变换域法求解差分方程的m 程序如下: clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4,12],x0=[0], %输入初始状态,长度分别比a 、b 短1,长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号,自动单边处理,u(n)可用1^n 表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 %N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a,'z')/z^N;Bz=poly2sym(b,'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'),sys=filt(b,a),%计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='),pretty(hn),%计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp,%计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='),pretty(Xz),%激励信号的单边z 变换Y0z=0;%初始化Y0(z),求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'),Y0z,%系统初始状态的z 变换X0z=0;%初始化X0(z),求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'),X0z,%激励信号起始状态的z 变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z 变换Y(z)'),pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='),pretty(yn),% 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='),pretty(Yziz),%零激励响应的z 变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='),pretty(yzin),% 计算并显示零输入响应 Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='),pretty(Yzsz),%零状态响应的z 变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='),pretty(yzsn),% 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应,显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.。
怎样用Matlab求解差分方程题解读
Xk+1=aXk +b ,a=1+r
function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; X=100; For k=1:n X(k+1)=a*x(k)+b; end
k=(0:20) ; %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 round( [ k ’, y 1 ’] ) 对k,y1四舍五入，但 是 不改变变量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以 也可以观察200年的发展趋势，以及在较差 条件下的发展趋势，也可以考察每年孵 化数量变化的影响。
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决 于第k时段变量Xk，而且与以前时段变 量有关，就要用高阶差分方程来描述
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季 产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的 那些种子可以活过冬天，其中一部分能 在第2年春季发芽，然后开花，产种，其 中的另一部分虽未能发芽，但如又能活 过一个冬天，则其中一部分可在第三年 春季发芽，然后开花，产种，如此继续， 一年生植物只能活1年，而近似的认为， 种子最多可以活过两个冬天，试建立数 学模型研究这种植物数量变化的规律， 及它能一直繁殖下去的条件。
用矩阵表示
x1 (k 1) 0.6 0.2 0.1 x1 ( k ) x ( k 1) 0.3 0.7 0.3 x ( k ) 2 2 x (k 1) 0.1 0.1 0.6 x ( k ) 3 3
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用plot 绘图观察数量变化趋势
可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型
plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图
plot(k,y2,':') >> plot(k,y2,'--') >> plot(k,y2,'r') >> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':')
1,2 1, xk 0(k )
1,2 1, xk (k )
b这=本样0.1例8时中xk,，c1用=995待5.6.64定4(0,系.c924数=340的.)3k方6 ，法4.3可6((以1,0求.20) 4出3(00.)9k430, 0.0430)
Matlab实现
首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n
x(k+1)=a*x(k); end
在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 这样可以用matlab计算了
人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如 果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等 自然条件下沙丘鹤的数量如何变化
Xk+1=aXk +5 ,a=1+r
如果我们想考察每年孵化多少只比较合适， 可以令
Xk+1=aXk +b ,a=1+r
function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; X=100; For k=1:n X(k+1)=a*x(k)+b; end
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18); Y2=zwfz(100,21,0.19); Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Function x=zwfz(x0,n,b) C=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c; X1=x0; X2=p*(x1); for k=3:n X(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2); end
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决 于第k时段变量Xk，而且与以前时段变 量有关，就要用高阶差分方程来描述
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季 产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的 那些种子可以活过冬天，其中一部分能 在第2年春季发芽，然后开花，产种，其 中的另一部分虽未能发芽，但如又能活 过一个冬天，则其中一部分可在第三年 春季发芽，然后开花，产种，如此继续， 一年生植物只能活1年，而近似的认为， 种子最多可以活过两个冬天，试建立数 学模型研究这种植物数量变化的规律， 及它能一直繁殖下去的条件。
模型及其求解
记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能 活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过 一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2 岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1， 2岁种子发芽率a2。
设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由
模型建立
记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为
xk+1=(1+r)xk k=0,1,2······
已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然
环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
k=(0:20) ;
%一个行向量
y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量
round( [ k ’, y 1 ’] ) 对k,y1四舍五入，但
是 不改变变量的值
plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以
也可以观察200年的发展趋势，以及在较差 条件下的发展趋势，也可以考察每年孵 化数量变化的影响。
结果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2 (1)
x1+px0=0
(2)
对高阶差分方程可以寻求形如
的解。代入(1)式得
2 p xkq0k
称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根：
方程(1)的解可1以,2 表为p
p2 4q 2
C1,c2 由初始条件x0,x1确定xk。 c11k c22k
用Matlab求解差分方程问题
一、一阶线性常系数差分方程 二、高阶线性常系数差分方程 三、线性常系数差分方程组
一、一阶线性常系数差分方程
濒危物种的自然演变和人工孵化 问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好
自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中 等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤， 建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。
一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
自x然k 环1 境下a,xbk=0 b 人工孵化条件下
xk a k x0
xk ak x0 b(1 a L ak1)
令xk=xk+1=x得
差分方程的平衡点
a k x0
1 ak b
1 a
x
b
1 a
k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的