数据结构第七章 树和二叉树

第七章 树和二叉树
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➢ 括号表示法（广义表表示法）：将树的 根结点写在括号的左边，除根结点之外 的其余结点写在括号中并用逗号间隔。
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A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)) (b) 广义表形式
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7.1.3 树的基本术语
R={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<B,E>,<B,F>,<C,G>, <D,H>,<D,I>,<D,J>,<E,K>,<E,L,>,<H,M>}
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➢ 文氏图表示法（嵌套集合）：（即是一 些集合的集团，对于其中任何两个集合， 或者不相交，或者一个包含一个）的形 式表示的。
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A
A
B
C
D
EB
HD
E F G H I J KL F
MJ I
C
KL
M
G
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➢ 凹入表示法：分等级的分类方案都可用 层次结构来表示。使用线段的伸缩关系 描述树结构。
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A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
A B E K L F C G D H M I J
➢ 树的深度（Depth)：树中所有结点的层 次的最大值称为该树的深度，空树的深 度规定为0。
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➢ 有序树：如果一棵树中任意一个结点的 各个子树从左到右都是有次序的，即若 交换了某结点各子树的相对位置则构成 不同的树，这棵树称为有序树。
➢ 无序树：不是有序树的树称之为无序树。
➢ 森林(Forest)：是m(m≥0)棵互不相交的树 的集合。对树中每个结点而言，其子树 的集合即为森林。
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源自文库
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思考分析
A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
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7.1.4 树的性质
➢ 性质1 树中的结点数等于所有结点的度数 加1。
➢ 性质2 度为m的树中第i层上至多有mi-1个 结点,这里应有i≥1。
➢ 性质3
高度为h的m次树至多有
mh 1 m 1
个结
点。
➢ 性质4 具有n个结点的m次树的最小高度为
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➢ 子孙结点：某一结点的所有孩子结点， 以及这些孩子结点的孩子结点称为该结 点子孙结点。
➢ 祖先结点：从根结点到树中某结点所经 过的所有分支结点称为该结点的祖先结 点。
➢ 兄弟结点(Sibling)：具有相同的双亲结点 的结点互相称之为兄弟结点。
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➢ 结点的层次(Level)：从根结点到树中某 结点所经路径上的分支数称为该结点的 层次，其中根结点为第一层。
① 当树T为空树时D=Ф;
② 当数T不为空树时有D={Root} ∪DF, 其 中Root为树T的根结点， DF为树T的根 Root的子树集合， DF可由下式表示：
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DF =D1 ∪ D2 ∪ … ∪ Dm (1≤i,j≤m,Di∩Dj=Ф)
当树T中结点个数n≤1时，R=Ф；当 树T中结点个数n>1时有
① 有且仅有一个结点k0∈D，对于关系R 来说没有前驱结点，结点k0称作树的根 节点。
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② 除根结点k0外，D中的每个结点有且仅 有一个前驱结点，但可以有多个后继结 点。
③ D中可以有多个终端结点。
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树的递归定义
➢ 由n(n≥0)个有限结点构成的集合。n=0的 树称为空树；对n>0的树T有：
R＝{<Root, ri>,i=1,2,…,n-1}
其中：Root是树T的非终端结点， ri是结点Root的子树Ti的根结点，<Root, ri >表示了结点Root和结点ri的父子关系。
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A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
D={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M}
M
（c）
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7.1.2 树的逻辑表示方法
➢ 树形表示法：使用一棵倒置的树表示树 结构，直观描述树的逻辑结构。
A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
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➢ 树的形式化表示法：主要用于树的理 论描述。树的形式化表示法定义树T为 T-(D,R)，其中D为树T中结点的集合， R为树T中结点之间关系的集合。
7.1 树的基本概念
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线性结构：在数据结构中每个结点
都只有一个直接前驱或直接后继的
数
结点。
据
结
构 非线性结构：在数据结构中至少存
在一个具有两个或两个以上直接前
驱或直接后继的结点。
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7.1.1 树的定义
➢ 树（Tree）：由n(n≥0)个有限结点构成 的集合。n=0的树称为空树；对n>0的 树T（D，R）有：其中，D为树中结点 的有限集合，关系R满足以下条件
➢ 结点(Node):在树中通常把数据元素和构 造数据元素之间关系的指针合起来称作 结点。
➢ 结点的度(Degree)：结点所拥有的子树的 个数或者后继结点数称为该结点的度。
➢ 树的度：树中所有结点的度的最大值称 为该树的度。度为m的树称为m次树。
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➢ 叶结点(leaf)：度为0的结点称为叶结点， 叶结点也称作终端结点。
logm(n(m-1)+1)。
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例7.1 含n个结点的三次树的最小高度是多少？ 最大高度是多少？
解：设含n个结点的(为完全三次树时高度最 小)的三次树的最小高度为h,则有：
1+3+9+…+3h-2＜n≤1+3+9+…+3h-1 (3h-1-1)/2 ＜n≤ (3h-1)/2 3h-1＜2n+1≤3h 即：h= log3(2n+1)
（1）有一个特殊的结点称为根结点，根 结点没有前驱结点；
（2）当n>1时，除根结点外其他结点被 分成m（m>0）个互不相交的集合 T1,T2,…,Tm。其中，每一个集合 Ti(1≤i≤m）本身又是一棵称为根结点的 子树的树。
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A
（空树）
A
B
C
D
（a）
（b）
E F GH I J
KL
➢ 分支结点：度不为0的结点称为分支结点， 分支结点也称作非终端结点。（一棵树 中除叶结点外的所有结点都是分支结 点）。
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➢ 孩子结点(Child)：树中一个结点的子树 的根结点或者树中一个结点的后继结点 称作这个结点的孩子结点，也称作后继 结点。
➢ 双亲结点：若树中某结点有孩子结点， 则该结点就称作他的孩子结点的双亲结 点。