画法几何及工程制图-第四章直线与平面的图解法

２．作 图 ① 求交点
用面上 定点法
② 判别可见性
点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。故 k 2 为不可见。
（三）两投影面垂直面相交 A
D
（四）投影面垂直面与一般位置平面相交
这时求两平面的交 线，实质上是求一 般位置平面上的两 条边线与投影面垂 直面相交求交点的 问题；作图时可以 用交线的一个投影 必定在投影面垂直 面的积聚投影上的 思路，通过一般位 置平面上取线的方 法求得。
平面与平面平行
两平面平行的作图问题有：
1.判别两个平面是否平行； 2.作已知平面的平行平面；
若两投影面垂直面相互平行， 则它们具有积聚性的那组投影必相 互平行。
b
cd Xa
c
a
d
b
平行
bd
a X
c
ac
e
bd e
平行
ef
O f e f h
O fh
（一）两一般位置平面平行 例6：试判断两平面是否平行。
下面举例说明：
d’
e’
b’
a’ k1’
X
g’
d(g)
a
k1
k2’ (1’) 2’ f’ c’
c
1
例：求 ABC和四边形DEFG两平面的 交线，并判别可见性。
k2 2 e(f)
b
二、一般位置的相交问题
（一）一般位置直线与平面相交
用辅助平面法求一般位置直
m’ b’ 2
线与一般位置平面交点的步骤：
3‘（’1●4’K）’● a’
●6(7)
l
2．连接两个共有点，画
出交线KE。
3．判断可见性。
n
方法二：求相交两平面
的共有点，除利用直线与 平面的交点外，还可利用 三面共点的原理来作出属 于两平面的共有点。
如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行， 则这条直线必平行于该平面。
根据上述几何条件可得有
A
B
关线、面平行的作图问题：
1.判断直线与平面是否平行；
2.作直线与已知平面平行；
C
D
3.作平面与已知直线平行。
F
（一）直线与一般位置平面平c’行
例1 判断直线AB是否 平行于ΔCDE平面。
g’
d’
f’
X
d
X
b
4
m
1 ● 3
●
k
PH a
’
●
c’
n' O n
●
2c
1、含已知直线作特殊位置辅助平面 （垂直面）；
2、求辅助平面与已知平面的交线；
3、求交线与已知直线的交点，该交 点即为所求；
4、判别可见性。
（1）以铅垂面为辅助平面求线面交点。
3‘（4’）
2’
K’
步骤： 1．过EF作铅垂平面P。
2．求P平面与ΔABC的 交线ⅠⅡ。
性的同面投
X
影互相平行。
e
e
c
2 c
2
dk 1
dk 1
§4-2 相交
直线与平面相交
平面与平面相交
（1）求交点、交线
（2）判断投影的可见性
直线与平面相交 要讨论的问题是：求交点并判断可见性
A 交点的性质：
K
1. 是直线与平面的
公有点;
B
Biblioteka Baidu2. 是可见与不可见
的分界点。
一、特殊位置的相交问题
（一）一般位置直线与投影面垂直面相交
f
O
e k
s
（二）两同一投影面垂直面平行 当两同一投影面的垂直面相互平行时，
例9：试判断两平面是否平行。
它们具有积聚性的同面投影互相平行。
X
O
结论：因为PH平行SH ，所以两平面平行。
例10 过K点作平面平行于ΔCDE。
d’
c’
X
1’ e’
k’
2’c’
d’
e’
L k’
1’2’
当两特殊位 置平面相互 平行时，它 们具有积聚
n
r
m
X
n m
r
结论：两平面平行
s
O
s
例7 判断平面（AB//CD)和（EF//GH)是否平行
a’
c’ m’ e’ d’
g’
n ’ h’
b’
X
f’
bd
f
a
e cm
h
gn
结论：两平面不平行。
例8：已知定平面由平行两直线AB和CD给定， 试过点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
X m
r r n
’ ●4’(5’）
解题思路（线面交点法）：
l QV
把两个一般位置平面相 交求交线的问题，转化 为求两条一般位置直线 与平面的交点问题（即
回到课本P.62一般位置的 直线与平面相交的解题思
路）。
Xm m
●5
3● k
●4
1
●7’
2
O
两一般位置平面相交，求 交线步骤：
1．用求直线与平面交点的
e
方法，作出两平面的两个共 有点K、E。
3．求交线ⅠⅡ与EF
1’
的交点K。
X
PH
O
41
k
3
2
（2）以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
步骤：
1
1．过EF作正
’
垂平面Q。
k
’
2
’
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。
3．求交线
X
O ⅠⅡ与EF的交
2
点K。
k 1
（二）两一般位置平面相交
方法一：线面交点法
PV n
2’
K
(3’1) ’
e’ ●6’
结论：直线
AB不平行于 ΔCDE平面。
f
g c
a’ e’ e
a
b’ O
b
（一）直线与一般位置平面平行
例2：已知空间一点M及平面ABC，求作过点 M且平行于平面ABC的直线。
有多少解？
a X
b
cm
●
b
a
●m
c
有无数解
n
O n
（一）直线与一般位置平面平行
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
●
1
b
k
前，故正面投影上k n 为可见。
n
还可通过重影点判别可见性。
（二）投影面垂直线与一般位置平面相交
例12：求铅垂线ＭＮ与一般位置平 面△ABC的交点Ｋ，并判别其可见性。
bm
K, ●
c
a
n 1● (2 )
Xb
O
mk(n●●2) ●
c
a
1
步骤： １．空间及投影分析
直线MN为铅垂线，其水 平投影积聚成一个点，故 交点K的水平投影也积聚在 该点上。
例11：求铅垂面△ABC 与一般位置 直线MN的交点Ｋ，并判别其可见性。
步骤： １．空间及投影分析
b
n
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直
K,
a
1 (2 ) ●
●
m
c
线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。
２．作 图
X
O
① 求交点
m ●2
c
② 判别可见性
●
由水平投影可知，KN段在平面
a
画法几何及工程制图
第四章 直线与平面的图解法 1、 平行 2、相交 3、垂直 4、点、直线、平面的综合题
直线与平面、平面与平面 的相对位置
相对位置包括平行、相交。
直线与平面平行 平面与平面平行
包包 括括
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
§4-1 平行
一、直线与平面平行
直线与平面平行的几何条件：
正平
b
线
cm n
a
●
X
O
c
a
m●
n 唯一
解
b
（二）直线与投影面垂直面平行 当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投
影平行于直线的同面投影。
d’
c’
如图所示：bc//aed，
a’
则BC//△AED.
e’ b’
X
d
e
Lc
a
b
二、平面与平面平行
E
D F
B A
C
面面平行的几何条件——
若一平面内的两条相交直线对应平行于另一平面内 的两条相交直线，则这两平面相互平行。