时域有限差分方法林志立

(i
1,
j)
E
n y
(
i,
j) )
z
y
x
H
n1/ z
2
(
i,
j)
H
n1/ z
2
(i,
j)
t
(
E
n x
(i,
j
1)
E
n x
(i,
j)
E
n y
(
i
1,
j)
E
n y
(
i,
j) )
z
y
x
上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。
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(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt;
t=(n +1/2)*Δt;
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麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
H
n1/ z
2
(i,
j)
H
n1 z
/
2
(
i,
j)
t
1
(
E
n x
(
i,
j
1)
E
n x
(i,
j)
E
n y
1 10
min
t 0
2
例如，取 t 1 10 fmax
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FDTD的离散参数的稳定性条件
★ 时间步长：Courant 稳定性条件
Ｚ域数值色散方程：（von Neumann method ）
Z1/2 Z 1/2
( c0t
)2%r (Z )
x, y,z
4sin2 (k% 2
麦克斯韦方程的离散化近似
采取类似的步骤，可以推导出其它场量的更新表达式： 例如，对于Ez：
Ez 1 ( H y H x )
t z x y
E n1 z
(i,
j)
Ezn (i,
j)
t
(
H
n1 y
/
2
(
i,
j)
H
n1/ y
2
(i
1,
j)
H
n1/ x
2
(i,
j)
H
n1/ x
2
(i,
j
1) )
z
x
y
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J E
（电极化）
（磁化）
（欧姆定律）
James Clerk Maxwell
(1831–1879)
一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！
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麦克斯韦方程组中的运算符
散度（Divergence) 旋度（Curl)
连续函数的偏微分运算
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矩量法 (Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题
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电磁学基本方程
麦克斯韦方程组( Maxwell Equations)
(安培环路定律)
(法拉第感应定律)
(高斯定律－电场) (高斯定律－磁场)
物质本构关系 (Constitutive Relations)
r
(t)
2
(t)
(s )02
02
2 0
e0t
sin(
02
2 0
t)U
(t)
频域：D() 0 r () E()
更新方程：
FDTD的基本思想
－时域和空间域的离散化 －连续偏微分的有限阶近似
设有一连续函数 f ( x) , 现欲求 f '(x) 。 二阶中心差分近似表达式：
f '(x) f (x x) f (x x) 2x
当 x越小时，上式的近似程度 越高。
f (x)
实际上：
f '( x) f ( x x) f ( x x) x2 f '''( x) ...
FDTD的离散参数的选择
★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10, 以减小数值色散。
数值色散方程：
sin2
(t
2
)
c02
sin2 ( k% ) 2
( t )2
x, y,z ( )2
2
2
理想色散方程：
要求：
2
c02
(k
2 x
k
2 y
kz2 )
k% 0 2
Baidu Nhomakorabea例如，取
xmax , ymax and zmax
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电磁学中几种重要的数值计算方法
有限差分法 Finite Difference Method
– 静电场、静磁场的有限差分法； – 时域行波的电磁场的时域有限差分法；
有限元法 (Finite Element Method)
– 数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力 学、工程热力学、声学等等）
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FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
Ex y
Ex (i,
j 1) Ex (i, 2( y)
j)
2
E y x
Ey (i 1, j) Ey (i, 2( x )
j)
2
类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。
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FDTD时间偏微分的近似
以Hz为例： t=(n+1/2)Δt
Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
t=nΔt t=(n-1/2)Δt
H H n1/ 2 z
n1/ 2 z
2( t )
1
z
(
E
n x
y
E
n y
)
x
2
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt;
t=n *Δt;
t
z (i, j) y x
球体，物质III 不同的元胞的电磁参量应设
空气
长方体，物质II 长方体，物质I
置为所在空间所代表的介质 的介电常数和磁导率。
场量与介质参数要对应
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色散介质的FDTD模拟
以Lorentz 介质为例：
时域：D(t) 0 r (t) * E(t)
2x
6
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FDTD空间域的离散化
(1)空间域的分割离散化
节点
Yee元胞（Δx, Δy, Δz)
Ex分量的空间离散分布图
Hx分量的空间离散分布图
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FDTD空间域的离散化
YEE 元胞
例如： Hz 1 ( Ex E y )
t z y x
/
2)
0,
为了保持稳定性，该方程的所有解的模必须小于1。
对于非色散介质，时间步长不能大于以下表达式：
t
1
c
1 x2
1 y2
1 z2
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介质电磁参量的设定
Ez (i, j) 1 ( H y H x )
t
z (i, j) x y
Hz (i, j) 1 ( Ex Ey )
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.