高中数学第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算

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5.1第五章 平面向量

5.1第五章 平面向量
2 2 2 3 3 3 2 1 5 1 1 ������������ = ������������ − ������������= (a+b)- a- b= a- b. 3 6 6 2 6 2 3 2 3 1 1 6 6 1 6 5 6 1 6 1 1 6 6
1 3
1 6
1 6
������������ = ������������ = (������������ + ������������)= (a+b)= a+ b,
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A
解析 答案
第五章
知识梳理 双击自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
1 2 3 4 5
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且������������=a,������������=b,则 ������������= .
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������������ = ������������ + ������������ + ������������ =-a+b+ a=b- a
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依题意得,������������ = ������������ ,故������������ + ������������=0,即������������ − ������������ + ������������ − ������������ =0,即有������������ − ������������ + ������������ − ������������=0,则 a-b+c-d=0,故选 A.
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由向量的平行四边形法则,得������������ + ������������ =2������������ , 所以������������ = (������������ + ������������).

第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§5.1平面向量的概念及线性运算课标要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算,并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小称为向量的长度(或称模).(2)零向量:长度为0的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律:a +b =b +a ;结合律:(a +b )+c =a +(b +c )减法a -b =a +(-b )数乘|λa |=|λ||a |,当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0λ(μa )=(λμ)a ;(λ+μ)a =λa +μa ;λ(a +b )=λa +λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b =λa .常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即A 1A 2—→+A 2A 3—→+A 3A 4—→+…+A n -1A n ———→=A 1A n —→,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.2.在△ABC 中,D 为BC 的中点,则AD →=12(AB →+AC →).3.在△ABC 中,点P 满足PA →+PB →+PC →=0⇔P 为△ABC 的重心,AP →=13(AB →+AC →).4.对于任意两个向量a ,b ,都有||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a >b .(×)(2)单位向量都相等.(×)(3)任一非零向量都可以平行移动.(√)(4)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(√)2.下列命题正确的是()A .零向量是唯一没有方向的向量B .若|a |=|b |,则a =b 或a =-bC .向量AB →与BA →是平行向量D .平行向量不一定是共线向量答案C解析A 项,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A 错误;B 项,|a |=|b |说明a ,b 的长度相等,不能判断它们的方向,故B 错误;C 项,向量AB →与BA →方向相反,是平行向量,故C 正确;D 项,平行向量就是共线向量,故D 错误.3.(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是()A.AB →+AC →=BC→B.AM →+MB →+BO →+OM →=AM →C.AB →+BC →-AC →=0D.AB →-AD →-DC →=BC →答案BC4.(必修第二册P16T3改编)已知e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,MN →=2e 1-3e 2,NP →=λe 1+6e 2,若M ,N ,P 三点共线,则λ=________.答案-4解析因为M ,N ,P 三点共线,所以存在实数k 使得MN →=kNP →,即2e 1-3e 2=k (λe 1+6e 2),又e 1,e 2为平面内两个不共线的向量,=kλ,3=6k ,解得λ=-4.题型一平面向量的基本概念例1(1)(多选)下列说法正确的是()A .若a =b ,b =c ,则a =cB .若四边形ABCD 满足AB →=DC →,则四边形ABCD 是平行四边形C .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cD .与非零向量a 共线的单位向量为±a |a |答案ABD解析对于A ,由相等向量的定义知,A 正确;对于B ,因为AB →=DC →,所以AB ∥DC 且AB =DC ,则四边形ABCD 是平行四边形,故B 正确;对于C ,若b =0,则由a ∥b ,b ∥c ,无法得到a ∥c ,故C 错误;对于D ,由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |,故D 正确.(2)如图,在等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P ,点E ,F 分别在两腰AD ,BC上,EF 过点P ,且EF ∥AB ,则下列等式中成立的是()A.AD →=BC →B.AC →=BD →C.PE →=PF →D.EP →=PF→答案D解析方法一(排除法)AD →,BC →不共线,AC →,BD →不共线,故A ,B 错误;PE →,PF →方向相反,C 错误;故选D.方法二在等腰梯形ABCD 中,AD →,BC →不平行,AC →,BD →不平行,故A ,B 错误;∵AB ∥CD ,∴PD PB =CD AB =PC PA,∴PB PD =PAPC ,则PB +PD PD =PA +PC PC ,即BD PD =AC PC ,即PD BD =PC AC ,∵EF ∥AB ,∴PE AB =PD BD =PC AC =PF AB,∴PE =PF ,即P 为EF 的中点,∴EP →=PF →,故C 错误,D 正确.思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.(4)a|a |是与非零向量a 同方向的单位向量.跟踪训练1(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是()A .若|a |=0,则a =0B .若向量AB →与CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点必在同一条直线上C .对于任意向量a ,b ,必有|a +b |≤|a |+|b |D .若a ∥b ,则存在唯一实数λ,使a =λb 答案AC解析对于A ,若|a |=0,则a =0,故A 正确;对于B ,若向量AB →与CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上,故B 错误;对于C ,若a ,b 方向相同,则|a +b |=|a |+|b |,若a ,b 方向相反,则|a +b |<|a |+|b |,若a ,b 不共线,根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a +b |<|a |+|b |.综上可知对于任意向量a ,b ,必有|a +b |≤|a |+|b |,故C 正确;对于D ,若a ≠0,b =0,则a ∥b ,此时不存在实数λ,使a =λb ,故D 错误.(2)(多选)如图所示,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A .|AB →|=|EF →|B.AB →与FH →共线C.BD →与EH →共线D.CD →=FG →答案ABD解析由四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 是全等的菱形,知|AB →|=|EF →|,即A 正确;由图形可知AB →与FH →的方向相反,CD →与FG →的方向相同且长度相等,即AB →与FH →共线,CD →=FG →,故B ,D 正确;而∠BDE 与∠DEH 不一定相等,BD →与EH →不一定共线,故C 错误.题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2若|AB →|=7,|AC →|=4,则|BC →|的取值范围是()A .[3,7]B .(3,7)C .[3,11]D .(3,11)答案C解析由题意知|AB →|=7,|AC →|=4,且|BC →|=|AC →-AB →|,当AC →,AB →同向时,|BC →|取得最小值,|BC →|=|AC →-AB →|=||AC →|-|AB →||=|4-7|=3;当AC →,AB →反向时,|BC →|取得最大值,|BC →|=|AC →-AB →|=||AC →|+|AB →||=|4+7|=11;当AC →,AB →不共线时,3=||AC →|-|AB →||<|BC →|<||AC →|+|AB →||=11,故|BC →|的取值范围是[3,11].命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA .记CA →=m ,CD →=n ,则CB →等于()A .3m -2nB .-2m +3nC .3m +2nD .2m +3n答案B解析因为BD =2DA ,所以AB →=3AD →,所以CB →=CA →+AB →=CA →+3AD →=CA →+3(CD →-CA →)=-2CA →+3CD →=-2m +3n .命题点3根据向量线性运算求参数例4(2024·安阳模拟)已知矩形ABCD 的对角线交于点O ,E 为AO 的中点,若DE →=λAB →+μAD →(λ,μ为实数),则λ2-μ2等于()A .-12B.79C.3-222D.1+22答案A 解析如图,在矩形ABCD 中,DO →=12(DA →+DC →),在△DAO 中,DE →=12(DA →+DO →),∴DE →+12DA →+12DC =34DA →+14DC →=14AB →-34AD →,∴λ=14,μ=-34,∴λ2-μ2=116-916=-12.思维升华平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较,求参数的值.跟踪训练2(1)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是OD 的中点,AE 的延长线交CD 于点F .若AB →=a ,AD →=b ,则AF →等于()A.14a +b B.13a +b C.14a +13b D.13a +13b 答案B解析在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是OD 的中点,AE 的延长线交CD于点F ,则△DEF ∽△BEA ,所以DF BA =DE BE =13,则DF BA =DF DC =13,所以DF →=13DC →=13AB →,则AF →=AD →+DF →=13AB →+AD →=13a +b .(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点,若BM →=13BA →+λBC →,AM →=12AB →+μAC →,则λ+μ等于()A.76B .1 C.56D.13答案D解析由AM →-BM →=AB →,得AB →=12AB →+μAC →-13BA →-λBC →,所以16AB →=μAC →-λBC →,即AB →=6μAC →-6λBC →=6μAC →+6λCB →,又AB →=AC →+CB →,故μ=λ=16,故λ+μ=13.题型三共线定理及其应用例5(1)(2023·徐州模拟)已知向量a ,b 不共线,向量8a -k b 与-k a +b 共线,则k =________.答案±22解析因为向量a ,b 不共线,向量8a -k b 与-k a +b 共线,所以8a -k b =t (-k a +b )=-kt a +t b ,t ∈R ,=-kt ,k =t ,解得k =±2 2.(2)已知△ABC 的重心为G ,经过点G 的直线交AB 于点D ,交AC 于点E ,若AD →=λAB →,AE →=μAC →,则1λ+1μ=________.答案3解析如图,延长AG 交BC 于点F ,则F 为BC 的中点,AG →=23AF →=13(AB →+AC →),又AB →=1λAD →,AC →=1μAE →,∴AG →=13λAD →+13μAE →,又G ,D ,E 三点共线,∴13λ+13μ=1,即1λ+1μ=3.思维升华利用向量共线定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a 与b 不共线且λa =μb ,则λ=μ=0.(3)已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R ),则A ,P ,B 三点共线的充要条件是m +n =1.跟踪训练3(1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a ,b 不共线,AB →=4a +6b ,BC →=-a +3b ,CD →=a +3b ,则()A .A ,B ,D 三点共线B .A ,B ,C 三点共线C .B ,C ,D 三点共线D .A ,C ,D 三点共线答案D解析对于A ,BD →=BC →+CD →=-a +3b +(a +3b )=6b ,则AB →,BD →不共线,故A 不正确;对于B ,AB →与BC →不共线,故B 不正确;对于C ,BC →与CD →不共线,故C 不正确;对于D ,AC →=AB →+BC →=4a +6b +(-a +3b )=3a +9b =3CD →,即AC →∥CD →,又AC →与CD →有公共点C ,则A ,C ,D 三点共线,故D 正确.(2)如图,在△ABC 中,AN →=12NC →,P 是BN 的中点,若AP →=mAB →+14AC →,则实数m 的值是________.答案14解析因为AN →=12NC →,所以AC →=3AN →,因为AP →=mAB →+14AC →=mAB →+34AN →,且B ,P ,N 三点共线,所以m +34=1,所以m =14.课时精练一、单项选择题1.(2023·广州模拟)如图,在正六边形ABCDEF 中,AF →-ED →+EF →+2AB →等于()A .0 B.AB →C.AD → D.CF→答案A解析因为六边形ABCDEF 为正六边形,所以AF →-ED →+EF →+2AB →=CD →+DE →+EF →+2AB →=CF →+2AB →=0.2.如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,向量a +b +c 可表示为()A .2e 1-3e 2B .3e 1-2e 2C .2e 1+3e 2D .3e 1+2e 2答案D解析由题意得a =e 1+2e 2,b =e 1-2e 2,c =e 1+2e 2,所以a +b +c =e 1+2e 2+e 1-2e 2+e 1+2e 2=3e 1+2e 2.3.若a ,b 为非零向量,则“a |a |=b|b |”是“a ,b 共线”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件答案B解析依题意,“a |a |=b|b |”表示与a ,b 同向的单位向量是相等向量,能推出“a ,b 共线”,所以充分性成立;“a ,b 共线”可能同向共线、也可能反向共线,所以“a ,b 共线”不能推出“a |a |=b|b |”,所以必要性不成立.4.(2024·银川模拟)已知向量a ,b 不共线,且c =x a +b ,d =a +(2x -1)b ,若c 与d 方向相反,则实数x 的值为()A .1B .-12C .1或-12D .-1或-12答案B 解析因为c 与d 方向相反,所以存在k ∈R ,使得d =k c ,且k <0,即a +(2x -1)b =kx a +k b ,因为向量a ,b =1,=2x -1,整理可得x (2x -1)=1,即2x 2-x -1=0,解得x =-12或x =1.又k <0,所以x <0,故x =-12.5.已知O ,A ,B 三点不共线,点P 为该平面内一点,且OP →=OA →+AB →|AB →|,则()A .点P 在线段AB 上B .点P 在线段AB 的延长线上C .点P 在线段AB 的反向延长线上D .点P 在射线AB 上答案D 解析由OP →=OA →+AB →|AB →|,得OP →-OA →=AB →|AB →|,所以AP →=1|AB →|·AB →,所以点P 在射线AB 上.6.如图所示,△ABC 内有一点G 满足GA →+GB →+GC →=0,过点G 作一直线分别交AB ,AC 于点D ,E .若AD →=xAB →,AE →=yAC →(xy ≠0),则1x +1y等于()A .4B .3C .2D .1答案B 解析因为GA →+GB →+GC →=0,所以G 为△ABC 的重心,所以AG →=13(AB →+AC →)=tAD →+(1-t )AE →=txAB →+(1-t )yAC →,所以tx =13,(1-t )y =13,所以1x +1y=3t +3(1-t )=3.二、多项选择题7.下列各式中能化简为AD →的是()A .-(CB →+MC →)-(DA →+BM →)B .-BM →-DA →+MB→C .(AB →-DC →)-CB→D.AD →-(CD →+DC →)答案ACD 解析对于A ,-(CB →+MC →)-(DA →+BM →)=-(CB →+MC →+DA →+BM →)=-(CB →+BM →+MC →+DA →)=-DA →=AD →,故A 正确;对于B ,-BM →-DA →+MB →=MB →-DA →+MB →=AD →+2MB →,故B 错误;对于C ,(AB →-DC →)-CB →=AB →-DC →-CB →=AB →+CD →+BC →=AD →,故C 正确;对于D ,AD →-(CD →+DC →)=AD →-0=AD →,故D 正确.8.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =2AD =2DC ,E 为BC 边上一点,且BC→=3EC →,F 为AE 的中点,则()A.BC →=-12AB →+AD →B.AF →=13AB →+13AD →C.BF →=-23AB →+13AD →D.CF →=16AB →-23AD →答案ABC 解析∵AB ∥CD ,AB =2DC ,∴BC →=BA →+AD →+DC →=-AB →+AD →+12AB →=-12AB →+AD →,故A 正确;∵BC →=3EC →,∴BE →=23BC →=-13AB →+23AD →,∴AE →=AB →+BE →=AB →-13AB →+23AD =23AB →+23AD →,又F 为AE 的中点,∴AF →=12AE →=13AB →+13AD →,故B 正确;∴BF →=BA →+AF →=-AB →+13AB →+13AD →=-23AB →+13AD →,故C 正确;∴CF →=CB →+BF →=BF →-BC →=-23AB →+13AD →-12AB →+=-16AB →-23AD →,故D 错误.三、填空题9.已知在四边形ABCD 中,AB →=12DC →,且|AD →|=|BC →|,则四边形ABCD 的形状是________.答案等腰梯形解析由AB →=12DC →,可得AB ∥CD 且AB =12DC ,所以四边形ABCD 是梯形,又因为|AD →|=|BC →|,所以梯形ABCD 的两个腰相等,所以四边形ABCD 是等腰梯形.10.(2023·徐州模拟)已知单位向量e 1,e 2,…,e 2024,则|e 1+e 2+…+e 2024|的最大值是________,最小值是________.答案20240解析当单位向量e 1,e 2,…,e 2024方向相同时,|e 1+e 2+…+e 2024|取得最大值,|e 1+e 2+…+e 2024|=|e 1|+|e 2|+…+|e 2024|=2024;当单位向量e 1,e 2,…,e 2024首尾相连时,e 1+e 2+…+e 2024=0,所以|e 1+e 2+…+e 2024|的最小值为0.11.(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC 中,点P 是斜边BC 上一点,若AP →=4AB →|AB →|+AC →|AC →|,则△ABC 的面积为________.答案252解析如图,过点P 作AB ,AC 的垂线交AB ,AC 分别于点E ,F ,由于AP →=4AB →|AB →|+AC →|AC →|,所以AE →=4AB →|AB →|,AF →=AC →|AC →|,则|AE →|=4,|AF →|=1,所以在等腰直角△ABC 中,PE =1,BE =1,所以AB =5,故△ABC 的面积S =12×5×5=252.12.(2024·盐城模拟)如图,已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,且满足BE →=EC →,CD →=2CF →,则|AE →+AF →|=________.答案3解析因为BE →=EC →,所以AE →=AB →+BE →=AB →+12AD →,又因为CD →=2CF →,所以AF →=AD →+DF →=12AB →+AD →,所以|AE →+AF →|=32|AB →+AD →|=32|AC →|,又因为∠BAD =120°,所以∠ADC =60°,所以△ADC 为等边三角形,所以AC =AD =2,所以|AE →+AF →|=32|AC →|=32×2=3.四、解答题13.(2023·青岛模拟)如图,在矩形ABCD 中,DE →=2EC →,BF →=2FC →,AC 与EF 交于点N.(1)若CN →=λAB →+μAD →,求λ+μ的值;(2)设AE →=a ,AF →=b ,试用a ,b 表示AC →.解(1)依题意,设EN →=tEF →,CN →=CE →+EN →=CE →+tEF →=CE →+t (CF →-CE →)=(1-t )CE →+tCF →=-(1-t )3AB →-t 3AD →,又CN →=λAB →+μAD →,=-1-t 3,=-t 3,解得λ+μ=-13.(2)因为AC →=AB →+AD →,AE →=23AB →+AD →,AF →=AB →+23AD →,所以AE →+AF →=53(AB →+AD →)=53AC →,所以AC →=35a +35b .14.如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE →=23AD →,AB →=a ,AC →=b.(1)用a ,b 表示AE →,BE →;(2)求证:B ,E ,F 三点共线.(1)解在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,则AD →=AB →+BD →=AB →+12BC →=AB →+12(AC →-AB →)=12AB →+12AC →=12a +12b ,故AE →=23AD →=13a +13b ,BE →=AE →-AB →=13a +13b -a =13b -23a .(2)证明因为BE →=13b -23a =13(b -2a ),BF →=AF →-AB →=12b -a =12(b -2a ),所以BE →=23BF →,所以BE →∥BF →,又BE →,BF →有公共点B ,所以B ,E ,F 三点共线.15.(2023·扬州模拟)设点O 是面积为4的△ABC 内部一点,且有OA →+3OB →+4OC →=0,则△BOC的面积为()A .1B.34C.12D.14答案C 解析如图,∵OA →+3OB →+4OC →=0,∴-17OA →=37OB →+47OC →,设-17OA →=OD →,则OD →=37OB →+47OC →,即B ,C ,D 三点共线,∴|OD →||AD →|=S △BOC S △ABC =18,∴S △BOC =4×18=12.16.如图,已知A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,CO 与AB 交于点D (点O 与点D 不重合),若OC →=λOA →+μOB →(λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是________.答案(1,+∞)解析因为CO 与AB 交于点D ,所以O ,C ,D 三点共线,所以OC →与OD →共线,设OC →=mOD →,则m >1,因为OC →=λOA →+μOB →,所以mOD →=λOA →+μOB →,可得OD →=λm OA →+μmOB →,因为A ,B ,D 三点共线,所以λm +μm=1,可得λ+μ=m >1,所以λ+μ的取值范围是(1,+∞).。

【高考精品复习】第五篇 平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算

【高考精品复习】第五篇  平面向量 第1讲 平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算【高考会这样考】1.考查平面向量的线性运算.2.考查平面向量的几何意义及其共线条件.【复习指导】本讲的复习,一是要重视基础知识,对平面向量的基本概念,加减运算等要熟练掌握,二是要掌握好向量的线性运算,搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别.基础梳理1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a 与b 的相反向量-b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a -b =a +(-b )3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下: ①|λa |=|λ||a |;②当λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ<0时,λa 与a 的方向相反;当λ=0时,λa =0.(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①λ(μa )=(λμ)a ;②(λ+μ)a =λa +μa ;③ λ(a +b )=λa +λb . 4.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa .一条规律一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.双基自测1.(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量CD →等于( ). A .-BC→+12BA → B .-BC→-12BA → C.BC→-12BA →D.BC→+12BA → 解析 如图,CD→=CB →+BD → =CB→+12BA →=-BC →+12BA →. 答案 A2.判断下列四个命题:①若a ∥b ,则a =b ;②若|a |=|b |,则a =b ;③若|a |=|b |,则a ∥b ;④若a =b ,则|a |=|b|.正确的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 解析 只有④正确. 答案 A3.若O ,E ,F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ). A.EF→=OF →+OE → B.EF →=OF →-OE →C.EF→=-OF →+OE → D.EF →=-OF →-OE → 解析 EF →=EO →+OF →=OF →-OE →.答案 B4.(2011·四川)如图,正六边形ABCDEF 中,BA→+CD →+EF →=( ).A .0 B.BE → C.AD→D.CF→ 解析 BA →+CD →+EF →=DE →+CD →+EF →=CE →+EF →=CF →.答案 D5.设a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与2a -b 共线,则λ=________.解析 由题意知:a +λb =k (2a -b ),则有:⎩⎨⎧1=2k ,λ=-k ,∴k =12,λ=-12. 答案 -12考向一 平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( ). A .a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量D .有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点] 以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与否.解析 由于零向量与任一向量都共线,所以A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B 不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D 不正确;对于C ,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假设a 与b 不都是非零向量,即a 与b 中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知a 与b 共线,符合已知条件,所以有向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,故选C. 答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关键在于透彻理解平面向量的概念,还应注意零向量的特殊性,以及两个向量相等必须满足:(1)模相等;(2)方向相同. 【训练1】 给出下列命题:①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;②若a =b ,b =c ,则a =c ; ③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;④若a 与b 均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等. 其中正确命题的序号是________. 解析 ①②正确,③④错误. 答案 ①②考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图,D ,E ,F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则( ). A.AD→+BE →+CF →=0 B.BD→-CF →+DF →=0 C.AD→+CE →-CF →=0 D.BD→-BE →-FC →=0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求. 解析 ∵AB →+BC →+CA →=0,∴2AD →+2BE →+2CF →=0,即AD →+BE →+CF →=0. 答案 A三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量,和用平行四边形法则,差用三角形法则.【训练2】 在△ABC 中,AB→=c ,AC →=b ,若点D 满足BD →=2DC →,则AD →=( ).A.23b +13cB.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c解析 ∵BD →=2DC →,∴AD →-AB →=2(AC →-AD →),∴3AD→=2AC →+AB →∴AD →=23AC →+13AB →=23b +13c . 答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线. (1)若AB→=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ). 求证:A ,B ,D 三点共线;(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.[审题视点] (1)先证明AB →,BD →共线,再说明它们有一个公共点;(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ).∴BD→=BC →+CD →=2a +8b +3(a -b )=5(a +b )=5AB →. ∴AB→,BD →共线,又它们有公共点,∴A ,B ,D 三点共线. (2)解 ∵k a +b 与a +k b 共线, ∴存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b ), 即(k -λ)a =(λk -1)b .又a ,b 是两不共线的非零向量, ∴k -λ=λk -1=0.∴k 2-1=0.∴k =±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量共线,也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点. 【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ,b 是不共线的向量,AB →=λa +b ,AC →=a +μb (λ,μ∈R ),那么A ,B ,C 三点共线的充要条件是( ). A .λ+μ=2 B .λ-μ=1 C .λμ=-1 D .λμ=1解析 由AB→=λa +b ,AC →=a +μb (λ,μ∈R )及A ,B ,C 三点共线得:AB →=t AC →,所以λa +b =t (a +μb )=t a +tμb ,即可得⎩⎨⎧λ=t ,1=tμ,所以λμ=1.故选D.答案 D难点突破11——有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题,一般难度较大.这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力.解答这类问题,首先需要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键所在.【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a =(m ,n ),b =(p ,q ),令a ⊙b =mq -np ,下面说法错误的是( ). A .若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B .a ⊙b =b ⊙aC .对任意的λ∈R ,有(λa )⊙b =λ(a ⊙b )D .(a ⊙b )2+(a ·b )2=|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1,A 2,A 3,A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3→=λA 1A 2→(λ∈R ),A 1A 4→=μA 1A 2→(μ∈R ),且1λ+1μ=2,则称A 3,A 4调和分割A 1,A 2.已知平面上的点C ,D 调和分割点A ,B ,则下列说法正确的是( ). A .C 可能是线段AB 的中点 B .D 可能是线段AB 的中点C .C 、D 可能同时在线段AB 上 D .C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。

§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理

§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理

考点二 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量基本定理 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一
平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 λ1 ,λ2 ,使a = λ1 e1 +λ2 e2 .
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
{∴

-λk

0, ⇒8

2λ2
⇒λ

±
2.
k-2λ = 0
∴ k = 2λ = ±4.
(3) 证法一:∵ M、N、P 三点共线,
∴ 存在实数 μ,使得M→P = μ P→N,

O→P

O→M+μ O→N =
1+μ
1m+μa+1μ+nμb.
∵ a,b 为不共线的非零向量,
ìïïα = 1m+μ,

í îïïβ
y1 ) . (2)平面向量共线的坐标表示.若 a = ( x1,y1 ),b = ( x2,y2 ),
b≠0,则 a 与 b 共线⇔x1 y2 -x2 y1 = 0.
需注意的几点:
①若 a = ( x1 ,y1 ) ,b = ( x2 ,y2 ) ,则 a∥b 的充要条件不能表示
成 x1 x2

y1 y2
③P 为△ABC 的垂心⇔→PA·P→B = P→B·P→C = P→C·→PA;

第一节平面向量的概念及线性运算(讲)

第一节平面向量的概念及线性运算(讲)

第一节平面向量的概念及线性运算(讲)一.课标要求,准确定位1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.3.掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.二.考情汇总,名师解读本考点是历年高考考频不高的部分,主要以选择题或者填空题的形式呈现,命题的重点是平面向量的线性运算问题.考查方向主要是平面图形中向量的线性运算,同时向量的线性运算也可能出现在三角函数或解析几何等试题中.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作||a是非零向量,则±是单位向量三角形法则平行四边形法则点的向量,即++++=,特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.(1)++=)=(+))=(+)=(+).5. 在四边形ABCD 中,若核心考点 平面向量的基本概念A .AD BC =核心考点3共线向量定理的应用(2020·新高考Ⅱ卷)7.若D为ABC10.(多选题)给出下列命题,不正确的有( )①共线向量:;②方向相反的向量:③模相等的向量:【类题通法】1.有关平面向量概念辨析问题的解题需要明确性质、定理成立的前提,切不可想当然,)是与并不是没有,零向量与任意向量平行.A .[]0,1B .1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16.如图,点P 在由射线OD 、线段OA ,线段边界),且OD 与BA 平行.若OP xOB yOA =+【类题通法】考向三 已知平面向量的线性运算求参数A.1C.3【类题通法】与向量的线性运算有关的参数问题方法考向一利用向量共线求参数A.3C.5【类题通法】利用向量共线定理解题的策略⇔,)=λ+μ(.设两个非零向量与不共线,=+,=2+8,=3(-),求证:k+或+k共线【类题通法】三点共线问题可用向量共线来解决,与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.注意结论:“=λ+μ“,不共【微点解读】||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.两向量不共线时,可由【微点解读】有关“等和线”的常用结论对于平面内一组基底,及任意向量,=λ+μ(AB的直线上,则λ+=k(定值),反之也成立.我们称(1)当等和线A′B′(2)当等和线A′B′(3)当直线AB在点==.30.圆O是边长为23的等边三角形上任意一点,BM xBA=+A.22B.31.给定两个长度为1的平面向量O为圆心的圆弧上变动A .34-B .参考答案:考点:本题考点为平面向量有关知识与计算,利用向量相等解题10.ACD法二:AD AB BD AB =+= 法三:由13BD BC =,得所以(13AD AB AC AB =+- 【详解】依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,GH,13OG OH ∴= ,32OH = (1133AO OG AO OH AO AH +=+=+ (1133OG BO OH BO BH +=+=+由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OA与OB的反向延长线为两邻边,∴当12x=-时,要使P点落在指定区域内,即13,22CE OA CF OA==,∴y的取值范围为13 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.故选:D.故答案为:1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.1 3【分析】根据题意画出图象,根据条件求出AD 为BC 边上的高∴AD BC ⊥,(11法四:如图,建立平面直角坐标系其中m>0,h>0.由AE r AB s AD=+故选:C.【点睛】本题一题多解,分别考查了平面向量的基本定理、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示与运算,是基础题)∵=+=2+8+3(-)=5(+)∴=5,∴、共线∵、有一个公共点∵+与+k共线,k+=λ(+k),(k-λ)=(λk-1).∵、不共线,∴,解得或,设AP AE AF λμ=+,则λμ+等边三角形边长为2,则外接圆半径为∵//BC EF ,∴设AE AF k AB AC ==,则AE k AB = ,AF k AC =,AP ∴x k λ=,y k μ=,∴22x y +=因为圆O 是边长为23的等边三角形34.D【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解【详解】对A ,BD BC =+。

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型【考点分析】考点一:向量的基本概念①定义:既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的模:向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度,叫做向量的模,记作||AB . ③零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. ④单位向量:长度等于1个单位的向量.⑤平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行. ⑥相等向量:长度相等且方向相同的向量. ⑦相反向量:长度相等且方向相反的向量. 考点二:向量的线性运算和向量共线定理 ①向量的线性运算考点三:向量共线定理①如果λ=a b 且0≠b ,则a b ∥;反之a b ∥且0≠b ,则一定存在唯一一个实数λ,使λ=a b . 推论:①三点A ,B ,C 共线⇔AB ,AC 共线(功能:证明三点共线);①向量PA ,PB ,PC 中三个向量的终点A ,B ,C 共线⇔存在实数λ,μ使得PA PB PC λμ=+,且1.λμ+=①BD DC λ=,111AD AC AC λλλ=+++. 【题型目录】题型一: 平面向量的概念 题型二: 平面向量的加法、减法 题型三: 平面向量的线性运算与共线定理 题型四: 由平面向量的性质判断图形的形状 【典型例题】题型一: 平面向量的概念【例1】给出下列说法:①零向量是没有方向的;①零向量的长度为0;①零向量的方向是任意的;①单位向量的模都相等.其中正确的有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】根据零向量及单位向量的概念即可求解. 【详解】解:对①:零向量的方向是任意的,故①错误; 对①:零向量的长度为0,故①正确; 对①:零向量的方向是任意的,故①正确; 对①:单位向量的模都等于1,故①正确. 故选:C.【例2】下列命题中正确的是( )A .两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同B .两个有公共终点的向量,一定是共线向量C .两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同D .若AB 与CD 是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上 【答案】A【分析】根据向量相等与共线的概念即可解决.【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等,因此起点相同时终点必相同,故A 正确; 两个有公共终点的向量,可能方向不同,也可能模长不同,故B 错误;两个有共同起点且共线的向量可能方向不同,也可能模长不同,终点未必相同,故C 错误;AB 与CD 是共线向量,也可能是AB 平行于CD ,故D 错误.故选:A【例3】有下列结论:①表示两个相等向量的有向线段,若它们的起点相同,则终点也相同; ①若a b ≠,则a ,b 不是共线向量;①若AB DC =,则四边形ABCD 是平行四边形; ①若m n =,n k =,则m k =;①有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中,错误的个数是( ) A .2 B .3C .4D .5,若a b ≠也有可能a ,b 长度不等,但方向相同或相反,即共线,AB DC =,则AB ,DC 不一定相等,所以四边形,若m n =,n k =,则m k =,①正确;,有向线段不是向量,向量可以用有向线段表示,综上,错误的是①①①,共3个. 【例4】设0a 为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |0a ;②若a 与0a 平行,则a =|a |0a ;③若a 与0a 平行且|a |=1,则a =0a .上述命题中,假命题的个数是A .0B .1C .2D .3 【答案】D【详解】单位向量的模为1,方向可以是不同方向,所以①错 ;若a 与0a 平行,则两个向量可以同向,也可以反向,方向不一定相同,所以①错;①错因此选D 【例5】下列命题中,正确的个数是( )①单位向量都相等;①模相等的两个平行向量是相等向量; ①若,a b 满足||||a b >,且a 与b 同向,则a b >①若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合; ①若,a b b c ∥∥,则a c ∥ A .0个 B .1个C .2个D .3个【答案】A【分析】根据平面向量的基本概念,对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误; 模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故①错误; 向量有方向,不能比较大小,故①错误;向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点与终点不一定相同,故①错误; 当0b =时,可满足,a b b c ∥∥,但a 与c 不一定平行,故①错误; 综上,正确的个数是0, 故选:A .【例6】下面关于向量的说法正确的是( ) A .单位向量:模为1的向量B .零向量:模为0的向量,零向量没有方向C .平行(共线)向量:方向相同或相反的向量D .相等向量:模相等,方向相同的向量 【答案】ACD【分析】根据平面向量的基本定义逐个辨析即可.【详解】根据向量的定义可得,模为1的向量为单位向量,模为0的向量为零向量,零向量的方向是任意的,方向相同或相反的向量为共线向量,模相等,方向相同的向量为相等向量,ABCD 均正确, 故选:ACD .【例7】下列叙述中错误的是( ) A .若a b =,则32a b > B .若a b ∥,则a 与b 的方向相同或相反 C .若a b ∥,b c ∥,则a c ∥ D .对任一非零向量a ,||aa 是一个单位向量 【答案】ABC【分析】对于A ,根据向量的概念判断,对于BCD ,举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量,所以向量不能比较大小,故A 错误;由于零向量与任意向量共线,且零向量的方向是任意的,故,若b 为零向量,则a 与c 可能不是共线向量,故,对任一非零向量a ,||aa 表示与a ABC 【题型专练】1.下列命题正确的是( )A .向量AB 与BA 是相等向量 B .共线的单位向量是相等向量C .零向量与任一向量共线D .两平行向量所在直线平行 【答案】C【详解】A 选项方向不同,所以错 ;B 选项共线向量是方向相同或者相反,所以错;C 选项,规定零向量的方向是任意的,所以C 对;D 选项向量共线可以在一条直线上,直线平行不能共线,所以D 错 2.下列命题中正确的个数是( )①若向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 必在同一直线上; ①若向量a 与向量b 平行,则a ,b 方向相同或相反;①若非零向量AB 与CD 是共线向量,则它们的夹角是0°或180°; ①若a b =,则a ,b 是相等向量或相反向量. A .0 B .1C .2D .3,根据模长的定义,可知方向不确定,可得答案.【详解】①错误,平行向量又叫共线向量,向量AB 与CD 是共线向量,则AB 与CD 平行或共线;错误,a 与b 至少有一个为零向量时,结论不成立;由向量的夹角可知正确; 错误,由a b =,只能说明a ,b 的长度相等,确定不了方向.3.给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;①a b =的充要条件是||a b |=|且//a b .其中正确命题的序号是_______.【答案】①【详解】①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上; ①正确 ①AB DC =,①||||AB DC =且//AB DC , 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ①四边形ABCD 为平行四边形.反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则//AB DC 且||||AB DC =,①AB DC =;①不正确,当//a b 且方向相反时,||||a b =,但不能得到a b =,故||||a b =且//a b 不是a b =的充要条件,而是必要不充分条件. 故答案为:①4.把所有单位向量的起点平移到一点O ,则其终点构成的图形是_____________. 【答案】以O 为圆心的单位圆设终点为A ,则1AO =,则终点构成的图形是以O 为圆心的单位圆. 故答案为:以O 为圆心的单位圆. 5.下列说法中正确的是( ) A .若12,e e 为单位向量,则12e e = B .若a 与b 共线,则a b =或a b =-C .若0a =,则0a =D .a a是与非零向量a 共线的单位向量中,向量12,e e 的方向不一定相同,所以中,向量a 与b 的长度不一定相等,所以0a =,根据零向量的定义,可得0a =,所以C 1a a a a =⋅,可得a a与向量a 同向,a a的模等于a a是与非零向量a 共线的单位向量,所以故选:CD.6.下列说法中正确的是( )A .力是既有大小,又有方向的量,所以是向量B .若向量//AB CD ,则//AB CDC .在四边形ABCD 中,若向量//AB CD ,则该四边形为平行四边形 D .速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算 【答案】AD【分析】根据向量的定义,共线向量的定义,逐项判定,即可求解.【详解】对于A 中,根据向量的定义,力是既有大小,又有方向的量,所以是向量,所以A 正确; 对于B 中,向量//AB CD ,则//AB CD 或AB 与CD 共线,所以B 错误;对于C 中,在四边形ABCD 中,若向量//AB CD 、则只有一组对边平行,不一定是平行四边形,所以C 错误;对于D 中,根据向量的运算法则,可得速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算,所以D 正确. 故选:AD.7.下列结论中正确的是( ) A .若a b =,则a b = B .若,a b b c ==,则a c =C .若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件 D .“a b =”的充要条件是“a b =且a b ∥” 是不共线的四点,则当AB DC =时,,故且,AB DC 同向,故AB DC =,故C ,当a b 且方向相反时,即使a b =,也不能得到a b =,故D 错误;8.下列结论中正确的是( ) A .a 与b 是否相等与a ,b 的方向无关 B .零向量相等,零向量的相反向量是零向量 C .若a ,b 都是单位向量,则a b = D .向量AB 与BA 相等【答案】AB【分析】由向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义判断各选项.【详解】对于C ,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等;对于D ,向量AB 与BA 互为相反向量,由向量模的定义,零向量的定义AB 正确. 故选:AB .题型二: 平面向量的加法、减法【例1】AO OB OC CA BO ++++等于( )A .AB B .0C .BCD .AC【答案】B【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得; 【详解】解:AO OB OC CA BO ++++ ()()AO OC CA BO OB =++++000=+=故选:B【例2】化简下列各式: (1)AO OB CA CB ++-; (2)MN MD NQ DQ -+-.【答案】(1)0;(2)0【分析】(1)由向量的加法法则与减法法则求解即可; (2)由向量的加法法则与减法法则求解即可;(1)()()AO OB CA CB AO OB CA CB ++-=++-0AB BA =+=;(2)()()MN MD NQ DQ MN MD NQ QD -+-=-++0DN ND =+= 【例3】正方形ABCD 的边长为1,则AB AD +为( ) A.1 BC .3D .根据向量加法的平行四边形法则,AB AD AC +=, 212AB A AD C +==,故选:B.【例4】在ABC 中,M 是BC 的中点,则AB AC +等于( ) A .12AM B .AM C .2AM D .MA【答案】C【分析】根据向量的加法法则计算.【详解】如图,作平行四边形ABEC ,因为M 是BC 的中点,所以M 也是AE 的中点,则2AB AC AE AM +==. 故选:C.【例5】如图为正八边形ABCDEFGH ,其中O 为正八边形的中心,则OC HG FH ++=( )A .OB B .ODC .OFD .OH【答案】A【分析】根据平面向量的概念及加法的运算法则,准确运算,即可求解.【详解】由平面向量的运算法则,可得OC HG FH OC FG OC CB OB ++=+=+=. 故选:A.【例6】设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为平面上任意一点,则OA OB OC OD +++=( ) A .4OM B .3OM C .2OM D .OM【分析】分别在OAC 和OBD 【详解】解:在OAC 所以1()2OM OA OC =+,即2OA OC OM +=.在OBD 中,因为M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,所以1()2OM OB OD =+,即2OB OD OM +=. 所以4OA OB OC OD OM +++=. 故选:A .【例7】若74AB AC ==,,则BC 的取值范围是( )A .[3,7]B .()37,C .[]311, D .(311), 【分析】根据向量的减法的几何意义,确定向量,AC AB 共线时取得最值,即可求得答案74AB AC ==,,且||BC AC AB -=,当,AC AB 同向时,BC 取得最小值,|||||||4||BC AC AB AC AB ===---当,AC AB 反向时,BC 取得最大值,|||||||||4BC AC AB AC AB -+===+当,AC AB 不共线时,BC 取得最小值,3||||||||||1||||1AC AB BC AC AB =<-<+=,BC 的取值范围是[]311,, 故选:C【例8】已知ABC 为正三角形,则下列各式中成立的是___________.(填序号)AC AB =-①AB CA BC AB -=-;①AB CA CA BC -=-;①CA BC AB AC -=-. AB AC CB BC -==,故①分别为,,AB BC AC 的中点,32AB , 23AB CA AB AC AE AB -=+==, 23BC AB BC BA BF BA -=+==,所以AB CA BC AB -=-,故①成立;对于①,23CA BC CA CB CD AB -=+==, 所以AB CA CA BC -=-,故①正确;①,AB AC CB AB CA BC -==≠-,故①不成立故答案为:①①①.【题型专练】1.32AB BC AC +-=( ) A .AB AC + B .AB AC - C .AB D .BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则,准确化简,即可求解.【详解】由向量的运算法则,可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++- 2AC CB AB AC =+=+.故选:A.2.下列能化简为PQ 的是( ) A .QC QP CQ -+ B .()AB PA BQ ++C .()()AB PC BA QC ++- D .PA AB BQ +-【答案】ABC【分析】根据向量运算对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】A 选项,QC QP CQ PC CQ PQ -+=+=,A 选项正确. B 选项,()AB PA BQ AB AQ BQ PA PA PQ ++=+=+=+,B 选项正确.C 选项,()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=,C 选项正确. D 选项,()PA AB BQ PB BQ BP BQ BP BQ PQ +-=-=--=-+≠,D 选项错误. 故选:ABC3. 在四边形ABCD 中,若CA CB CD =+,则( ) A .四边形ABCD 是矩形 B .四边形ABCD 是菱形 C .四边形ABCD 是正方形 D .四边形ABCD 是平行四边形【答案】D【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可;【详解】解:CA CB CD =+,CA CB BA =+,∴CB BA CB CD +=+∴BA CD =,//AB DC ∴且AB DC =,∴四边形ABCD 是平行四边形.故选:D .4. 在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,则下列向量与AB DC +不相等的是( ) A .2EF B .AC DB + C .EB EC + D .FA FD +所以11,22AE ED AD BF FC BC ====, 因为EF EA AB BF =++,EF ED DC CF =++ 2EF ED DC CF EA AB BF AB DC =+++++=+, A 正确,因为,DC DA AC AB AD DB =+=+,所以DC AB DA AC AD DB AC DB +=+++=+,所以B 正确,因为,DC DE EC AB AE EB =+=+,所以DC AB DE EC AE EB EC EB +=+++=+,所以因为()FA FD FB BA FC CD BA CD AB DC +=+++=+=-+, D 错误, 故选:D5.在四边形ABCD 中,给出下列四个结论,其中一定正确的是( ) A .AB BC CA +=B .AB AD BD -=C.AB AD AC+=D.BC CD BD+=【答案】D【分析】由向量加法的三角形法则可判断AD,由向量减法的运算法则可判断B,由向量加法的平行四边形法则可判断C.【详解】根据三角形法则可得AB BC AC+=,所以A错误;根据向量减法的运算法则可得AB AD DB-=,所以B错误;四边形ABCD不一定是平行四边形,所以不一定有AB AD AC+=,C错误;根据三角形法则可得BC CD BD+=正确,所以D正确.故选:D.6.在四边形ABCD中,AB DC=,若AD AB BC BA-=-,则四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定【分析】由AB DC=,可得四边形为平行四边形,又BD AC=,从而即可求解【详解】解:在四边形ABCD因为AB DC=,所以四边形AD AB BC BA-=-,即BD AC=,所以平行四边形ABCD为矩形,故选:B.7.在ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为ABC的重心,则下列结论中正确的是()A.AB BC CA-=B.1()3AG AB AC=+C.0AF BD CE++=D.0GA GB GC++=【答案】BCD【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可.【详解】解:如图:,2AB BC AB CB EB AC-=+=≠,即选项为ABC的重心,则2211()()3323AG AD AB AC AB AC==⨯+=+,即选项,1()02AF BD CE AB BC CA++=++=,即选项C正确;,122()2GA GD GB GC=-=-⨯+,即0GA GB GC++=,即选项D正确,8.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:(1)DG EA CB++;(2)EG CG DA EB+++.【答案】(1)GE;(2)0.【分析】(1)(2)根据图形中相关线段的位置关系,结合向量加法的几何意义化简目标式.(1)DG EA CB GC BE CB GB BE GE+++++===;(2)EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE==+=++++++.题型三:平面向量的线性运算与共线定理【例1】[多选题]下列命题是真命题的是().A.若A,B,C,D在一条直线上,则AB与CD是共线向量B.若A,B,C,D不在一条直线上,则AB与CD不是共线向量C.若向量AB与CD是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上D.若向量AB与AC是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上【答案】AD【分析】向量平行与共线是同一个概念,对四个命题依次判断即可.【详解】A 项为真命题,A,B,C,D在一条直线上,则向量AB,CD的方向相同或相反,因此AB与CD是共线向量;B 项为假命题,A ,B ,C ,D 不在一条直线上,则AB ,CD 的方向不确定,不能判断AB 与CD 是否共线;C 项为假命题,因为AB ,CD 两个向量所在的直线可能没有公共点, 所以A ,B ,C ,D 四点不一定在一条直线上;D 项为真命题,因为AB ,AC 两个向量所在的直线有公共点A , 且AB 与AC 是共线向量,所以A ,B ,C 三点共线. 故选:AD .【例2】已知向量a ,b ,且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-,则一定共线的三点是( ) A .A ,B ,D B .A ,B ,CC .B ,C ,DD .A ,C ,D【分析】由已知,分别表示出选项对应的向量,然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解【详解】因为2AB a b =+,BC 56a b =-+,72CD a b =-,,2AB a b =+,(56)(72)24B a b D B D b C a C b a ++-+==-+=,若A ,B 则AB BD λ=,即2(24)a b a b λ+=+,解得12λ=,故该选项正确; 选项B ,2AB a b =+,BC 56a b =-+,若A ,B ,C 三点共线,则AB BC λ=,即2(56)a b a b λ+=-+,解得不存在,故该选项错误;选项C ,BC 56a b =-+,72CD a b =-,若B ,三点共线,则BC BD λ=,即56(72)a b a b λ-+=-,不存在,故该选项错误;,(2)(56)48a b a A b AB BC a b C ++=+=+-=-+,72CD a b =-,若A ,C ,D 三点共线,则AC CD λ=,48(72)a b a b λ+=-,解得λ不存在,故该选项错误; 故选:A.【例3】下列说法正确的是( )A .a 与b 是非零向量,则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B .,,A BC 是互不重合的三点,若AB 与BC 共线,则,,A B C 三点在同一条直线上 C .a 与b 是非零向量,若a 与b 同向,则a 与b -反向D .设,λμ为实数,若a b λμ=,则a 与b 共线 【答案】ABC选项:根据向量共线的性质,可知A 、选项:a 与b 同向,则a 与b -反向,显然正确; 选项:如果0λμ==,则无法得知a 与b 共线.【详解】a 与b 同向,但a 不一定与b 相等,∴a b ≠,若a b =,则a 与b 同向, a =b ,∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件,A 正确.AB 与BC 共线,则有AB =BC λ,故一定有,,A B C 三点在同一条直线上,B 正确.a 与b 同向,则a 与b -反向,C 正确.0λμ==时,a 与b 不一定共线,D 错误.故选:ABC【例4】“AB CD ∥”是“A ,B ,C ,D 四点共线”的________条件. 【答案】必要不充分【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当AB CD ∥时,直线AB 与CD 的位置关系有可能是平行或共线, 当二者平行时A ,B ,C ,D 四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线, 则“AB CD ∥”无法推出“A ,B ,C ,D 四点共线”;当A ,B ,C ,D 四点共线时,直线AB 与CD 的位置关系为重合,此时,AB CD ∥, 则“A ,B ,C ,D 四点共线”可以推出“AB CD ∥”,因此“AB CD ∥”是“A ,B ,C ,D 四点共线”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分.【例5】设向量,a b 不平行,向量λ+a b 与2+a b 平行,则实数λ= ___. 【答案】21 【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行,所以()b a b a b a μμμλ22+=+=+,所以⎩⎨⎧==μμλ21,解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ 【例6】已知P 是①ABC 所在平面内的一点,若CB PB PA λ-=,其中λ①R ,则点P 一定在( ) A .AC 边所在的直线上 B .BC 边所在的直线上 C .AB 边所在的直线上D .①ABC 的内部【答案】A【分析】根据向量的线性运算整理可得,再结合向量共线分析即可. 【详解】①CB PB PA λ-=,PB PC CB =+①()CB PC CB PA λ-+=,则PC -=λPA ,则CP PA λ= ①CP PA ∥①P 点在AC 边所在直线上. 故选:A .【例7】在①ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144+AB ACD .1344+AB AC【答案】A【解析】根据向量的运算法则,可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+① 所以3144EB AB AC =-①故选A.【例8】在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,且EB AB AC λμ=+,则λ=________,μ=_________.【答案】3414-【解析】如下图所示:D 为BC 的中点,则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,E 为AD 的中点,所以,()1124AE AD AB AC ==+,因此,()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=-,即34λ=,14μ=-. 故答案为:34;14-.【例9】在ABC 中,4AC AD =,P 为BD 上一点,若13AP AB AC λ=+,则实数λ的值( ) A .18B .316C .16D .38【答案】C 【解析】4AC AD =,14AD AC ∴=,则14BD AD AB AC AB =-=-, 1233BP AP AB AB AC AB AC AB λλ⎛⎫=-=+-=- ⎪⎝⎭,由于P 为BD 上一点,则//BP BD ,设BP k BD =,则21344kAC AB k AC AB AC k AB λ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭, 所以423k k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得16λ=.【例10】在ABC ∆中,点P 满足3BP PC =,过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ,若AM AB λ=,()0,0AN AC μλμ=>>,则λμ+的最小值为( )A.12+ B1 C .32D .52【答案】B【解析】如下图所示:3BP PC =,即()3AP AB AC AP -=-,1344AP AB AC∴=+, AM AB λ=,()0,0AN AC μλμ=>>,1AB AM λ∴=,1AC ANμ=, 1344AP AM ANλμ∴=+,M 、P 、N 三点共线,则13144λμ+=. ()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭,当且仅当μ=时,等号成立,因此,λμ+1+,故选:B. 【例11】已知M 为ABC 的边AB 的中点,N 为ABC 内一点,且13AN AM BC =+,则AMN BCNS S =△△( ) A .16B .13C .12D .23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+,所以13MN BC =, 所以MN ①BC ,又因为 M 为边AB 的中点,所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离, 所以13AMN BCN MN S S BC==△△,【题型专练】1.已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+,则下列结论中成立的是( )A .A ,B ,C 三点共线B .A ,B ,D 三点共线C .A ,D ,C 三点共线D .D ,B ,C 三点共线 【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得2AC CD =,从而可求解.【详解】解:()()1221123422AC AB CB e e e e e e CD -=-=+-=+=,所以A ,D ,C 三点共线.故选:C.2.已知向量a ,b 是两个不共线的向量,且35OA a b =+,47OB a b =+,OC a mb =+,若A ,B ,C 三点共线,则m =( )A .1B .1-C .2D .2- 【答案】A【解析】法一:b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=,()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=,因A ,B ,C 三点共线,所以AB 与BC 共线,所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ,所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ 法二:由,,A B C 三点共线,得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-,故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =. 3.设12e e ,是两个不共线的向量,若向量12m e ke =-+(k ∈R )与向量212n e e =-共线,则 A .0k =B .1k =C .2k =D .12k = 【答案】D【解析】因为向量12=-+m e ke (k ∈R )与向量212=-n e e 共线,所以存在实数λ,使得λ=m n , 所以有2211(2)λ-+=-e ke e e ,因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩,解得12k =. 4.在ABC △中,D 是AB 边上的中点,则CB =( )A .2CD CA +B .2CD CA -C .2CD CA - D .2CD CA +【答案】C【解析】:CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=225.在ABC 中,点P 为AC 中点,点D 在BC 上,且3BD DC =,则DP =( )A .1144AB AC + B .1144AB AC -- C .1144AB AC - D .1144AB AC-+ 【答案】B【解析】①点P 为AC 中点,①12AP AC =,①3BD DC =,()3AD AB AC AD ∴-=-, ①1344AD AB AC =+,①113244DP AP AD AC AB AC =-=--=1144AB AC --,故选:B. 6.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB FC +=( ) A .ADB .12ADC .12BCD .BC 【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=,故选:A7.设D 为①ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】如图所示:3CD CA AD CA BD =+=+,CA =+3(CD CB -),即有CD =﹣1322CA CB +, 因为CD CA CB λμ=+,所以λ=﹣12,μ=32,则μλ=﹣3,故答案为:﹣3. 8.如图,在ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M N ,,若AB mAM =,AC nAN =,则m n +=( )A .1B .32C .2D .3【答案】C 【解析】连接AO ,由O 为BC 中点可得,1()222m n AO AB AC AM AN =+=+, M 、O 、N 三点共线,122m n ∴+=,2m n ∴+=.故选:C.9.在ABC 中,2AB =,4BC =,60ABC ∠=︒,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO AB BC λμ=+,则λμ+=( )A .13B .23C .38 D .58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高,∴90ADB ∠=︒,在ADB △中,1cos 22BD BD ABD AB ∠===,解得1BD =,4BC =,∴14BD BC =, ∴14AD AB BD AB BC =+=+,O 为AD 中点, ∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭,AO AB BC λμ=+, ∴1128AB BC AB BC λμ+=+,∴12λ=,18μ=, ∴115288λμ+=+=. 10.已知O 是ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么( ) A .AO OD = B .2AO OD = C .3AO OD = D .4?AO OD【答案】A【解析】D 为BC 边中点,①2OB OC OD +=,①20OA OB OC ++=,①0OA OD =+,即AO OD =.11.设,,D E F 分别是ABC 的三边BC,CA,AB 上的点,且2,2,2DC BD CE EA AF FB ===,则AD BE CF ++与BC ( )A .反向平行B .同向平行C .互相垂直D .既不平行也不垂直 首先根据平面向量基本定理表示2133AD AB BD AB AC =+=+,2133BE BA BC =+,2133CF CB CA =+,【详解】()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 同理:2133BE BA BC =+,2133CF CB CA =+, 所以212121333333AD BE CF AB AC BA BC CB CA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13CB , 所以AD BE CF ++与BC 反向平行.故选:A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理,重点考查向量的表示,属于基础题型题型四:由平面向量的性质判断图形的形状【例1】若O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-,则ABC ∆的形状为____【答案】直角三角形=OC OA OC +=+=-+,+= 所以ABC ∆的形状为直角三角形【例2】若113e ,5e AB CD ===,则四边形ABCD 是( )A .平行四边形B .菱形C .等腰梯形D .不等腰的梯形 ,结合AD BC =,即可判断四边形【详解】解:因为113e ,5e AB CD ==,所以35AB CD =-,所以//AB CD AB CD ≠,AD BC =,所以四边形ABCD 为等腰梯形.故选:C.【题型专练】1.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2323OA OC OD OB +=+,则四边形ABCD 一定是( )A .矩形B .梯形C .平行四边形D .菱形 【答案】B【分析】由2323OA OC OD OB +=+化简可得23DA CB =,结合向量共线定理判断四边形ABCD 的形状.【详解】① 2323OA OC OD OB +=+,① 2()3()OA OD OB OC -=-,① 23DA CB =,① 四边形ABCD 一定是梯形. 故选:B.2.四边形ABCD 中,2AB a b =+,4BC a b =--,53CD a b =--,若a 、b 不共线,则四边形ABCD 为( )A .平行四边形B .矩形C .梯形D .菱形 【分析】由向量知识可知//AD BC ,AD BC ≠可得答案【详解】由已知得,2453822AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=+----=--= , 故//AD BC ,由AD BC ≠,所以四边形ABCD 是梯形.故选:C.3.在四边形ABCD 中,若CA CB CD =+,则( )A .四边形ABCD 是矩形B .四边形ABCD 是菱形C .四边形ABCD 是正方形D .四边形ABCD 是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平面向量加法的运算法则及向量相等的充要条件判断即可;【详解】解:CA CB CD =+,CA CB BA =+,∴CB BA CB CD +=+ ∴BA CD =,//AB DC ∴且AB DC =,∴四边形ABCD 是平行四边形. 故选:D .4.下列有关四边形ABCD 的形状判断正确的是( )A .若AD BC =,则四边形ABCD 为平行四边形B .若13AD BC =,则四边形ABCD 为梯形 C .若AB DC =,且AB AD =,则四边形ABCD 为菱形D .若AB DC =,且AC BD ⊥,则四边形ABCD 为正方形 【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论.【详解】AD BC =,则AD 13AD BC =,则//AD BC 若AB DC =,四边形ABCD AB AD =,即AB 若AB DC =,四边形ABCD 是平行四边形,AC BD ⊥,即AC 故选:ABC .。

2022年 《高三数学第一节 平面向量的概念及其线性运算》优秀教案

2022年 《高三数学第一节 平面向量的概念及其线性运算》优秀教案

第一节平面向量的概念及其线性运算教学目标知识与技能:1.掌握向量的加法、减法的运算,并理解其几何意义;2.掌握平面向量的坐标运算;会根据向量的坐标,判断向量是否共线.过程与方法: 通过学生对向量与数量的识别能力的训练,理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念; 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.情感态度与价值观:培养学生认识客观事物的数学本质的能力及渗透类比的数学方法.[备考方向要明了]1.向量的有关概念23.向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.[例1] 给出以下命题:①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;②假设A,B,C,D是不共线的四点,那么=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③假设a与b同向,且|a|>|b|,那么a>b;④λ,μ为实数,假设λa=μb,那么a与b共线.其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4[自主解答] ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线.②正确.∵=,∴||=||且∥.又∵A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴四边形ABCD 是平行四边形.反之,假设四边形ABCD 是平行四边形,那么AB 綊DC 且与方向相同,因此=.③不正确.两向量不能比拟大小.④不正确.当λ=μ=0时,a 与b 可以为任意向量,满足λa =μb ,但a 与b 不一定共线. [答案] C[冲关锦囊]涉及平面向量有关概念的命题的真假判断,准确把握概念是关键;掌握向量与数的区别,充分利用反例进行否认也是行之有效的方法.[巧练模拟]1.给出以下命题:①向量与向量的长度相等,方向相反; ②+=0;③a 与b 平行,那么a 与b 的方向相同或相反; ④两个相等向量的起点相同,那么其终点必相同; ⑤与是共线向量,那么A ,B ,C ,D 四点共线. 其中假命题的个数是( B ) A .2 B .3 C .4 D .5解析:选B ①正确;②中+=0,而不等于0,故②错误;③中a 或b 为零向量时满足a 与b 平行,但不能说a 与b 方向相同或相反,因为零向量的方向是任意的,故③错误;④正确;⑤中当与是共线向量时,与所在直线可能平行、可能重合,故⑤错误.因此假命题的个数为3.[例2] (1)(2021A .0 B . C . D .(2)如图,在△ABC 中,=13,P 是BN 上的一点,假设=m +211,那么实数m 的值为________.[自主解答] (1)如图,在正六边形ABCDEF 中,=,=,那么++=++=+=+=. (2)由=13,得=14. =+=+n=+n(-)=(1-n) +14n=m+211,由14n=211,得m=1-n=3 11 .[答案] (1)D (2)311[冲关锦囊]1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质,把未知向量用向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用,运用上述法那么可简化运算.[例3] (1)(2021·南昌模拟)向量a,b不共线,c=k a+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( ) A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向(2)假设A,P,B三点共线,且=m+n (m,n∈R),那么m+n=________.[自主解答] (1)∵c∥d,∴c=λd.即k a+b=λ(a-b).∴k=λ=-1.∴c=-d,即c与d反向.(2)∵A,P,B三点共线∴存在λ∈R使=λ.那么=+λ(-)=(1-λ) +λ,∴m+n=1-λ+λ=1[答案] (1)D (2)1[冲关锦囊]1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ,使b=λa.要注意只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,求解时要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.[巧练模拟]2.设两个非零向量a与b不共线.(1)假设=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使k a+b和a+k b共线.解:(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴,共线.又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)∵k a+b与a+k b共线,∴存在实数λ,使k a+b=λ(a+k b),即k a+b=λa+λk b.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.板书设计:教学反思:。

2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理

2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算实用课件理

②正确.∵―A→B =―D→C ,∴|―A→B |=|―D→C |且―A→B ∥―D→C , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, 则―A→B ∥―D→C 且|―A→B |=|―D→C |,因此,―A→B =―D→C . ③不正确.当 a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到 a
向量 共线向量
线
相等 向量
长度 相等 且方向 相同 的向量
两向量只有相等或不 的向量
0 的相反向量为 0
[基本能力]
1.判断题
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示
向量.
( ×)
(2) 若 a ∥b ,b ∥c,则 a ∥c.
(×)
2.关于平面向量,下列说法正确的是
()
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.平面内的单位向量是唯一的
C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相
反的向量
D.共线向量就是相等向量
解析:对于 A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故 A 不
正确;对于 B,单位向量的模为 1,其方向可以是任意方向,
第五章 平面向量
第一节 平面向量的概 念及线性运算
本节主要包括 2 个知识点: 1.平面向量的有关概念; 2.平面向量的线性运算.
01
突破点(一) 平面向量的有关概念
02
突破点(二) 平面向量的线性运算
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 平面向量的有关概念
自学区 抓牢双基· 完成情况
解析:向量相等⇔向量方向相同且模相等. 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合.

平面向量高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)

平面向量高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)
第五章平面向量(2022年文科数学高考备考版)
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、高考考点梳理
(一)、向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(二)、平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1Fra bibliotek,|a|= .
2.向量坐标的求法
3.夹角:cosθ= = .
4.两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
5.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ · .
(三)、平面向量数量积的运算律
1.a·b=b·a(交换律)
2.λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律)
3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
3.数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的
射影|b|cosθ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积.
(二)、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
1.数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.2.模:|a|= = .

高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版

高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算课件理新人教A版

[最新考纲] 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
[考情分析]
[核心素养]
平面向量的相关概念,平面向量的线性运算,共线向 1.数学运算
量定理及其应用仍是 2021 年高考考查的热点,题型仍将是 2.直观想象
选择题与填空题,分值为 5 分.
1
课 前 ·基 础 巩 固
‖知识梳理‖ 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有 1 __方__向_____的量叫做向量,向量的大小叫做向量的 2 _____模____. (2)零向量:长度为 3 ___0______的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 4 _1_个__单__位___的向量.
(2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b. 又 a,b 是两个不共线的非零向量, ∴kλk--λ=1=0,0. ∴k2-1=0.∴k=±1.
|变式探究| 1.若将本例(1)中“B→C=2a+8b”改为“B→C=a+mb”,则 m 为何值时,A,B,D 三点共线? 解:B→D=B→C+C→D=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b, 若 A,B,D 三点共线,则存在实数 λ,使B→D=λA→B, 即 4a+(m-3)b=λ(a+b),∴4m=-λ3,=λ,解得 m=7. 故当 m=7 时,A,B,D 三点共线.
法则(或几何意义)
运算律
交换律:a+b= 8 __b_+__a____;
结 合 律 : (a + b) + c = 9 _a_+__(b_+__c_)_

第五章 平面向量

第五章 平面向量

第一节平面向量的概念与线性运算一、知识梳理1.向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有的量叫向量;通常记为 ;长度为的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量加法与减法(1).向量加法按法则或法则;向量加运算律:交换律: ;结合律:(2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下:长度:方向:(2).运算律4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、考点分析考点一:平面向量的基本概念例1.给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;⑤若a//b,b//c,则a//c;其中正确的序号是。

例2:设0为单位向量,(1)若为平面内的某个向量,则=||·0;(2) 若与a0平行,则=||·0;(3)若与0平行且||=1,则=0。

上述命题中,假命题个数是()A.0 B.1 C.2 D.3考点二:平面向量的线性运算例2:如图所示,已知正六边形ABCDEF,O是它的中心,若BA=a,BC=b,试用a,b将向考点三:平面向量共线定理例3:如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP :PM 的值.三、课堂检测1.(2010•四川)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =16,||||,AB AC AB AC +=-则|AM |=( )A.8B.4C.2D.12.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+则r+s 的值是( )24..33A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( )A.a,b 方向相同B.a,b 两向量中至少有一个为0C.存在λ∈R,使b=λ aD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=04.已知O 、A 、B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=则OC 等于( )2112.2.2..3333A OA OB B OA OBC OA OBD OA OB --+--+5.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===则AD BE CF ++与()BCA.反向平行B.同向平行C.不平行D.无法判断6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1 7、关于非零向量,有下列四个命题 ① “||+||=||”的充要条件是“方向相同”; ② “||+||=||”的充要条件是“方向相反”; ③ “||+||=||”的充要条件是“有相等的模”;④“||-||=||”的充要条件是“方向相同”;其中真命题的个数是(A ) 1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个8.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-,则△ABC 的形状为________.9.在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则λ+u=________.10.如图,平面内有三个向量OA 、OB 、,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为_______11.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为________.第二节 平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a , 一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 2.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模: 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b = ,a -b = , λa = ,|a |= (2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ―→= , |AB ―→|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 3.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,则a ∥b ⇔ . 基础检测1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)若a ,b 不共线,且λ1a +μ1b =λ2a +μ2b ,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )(4)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2=y 1y 2.( )2.已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a -32b =( )A .(-2,-1)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-1,2) 3.设向量a =(x,1),b =(4,x ),且a ,b 方向相反,则x 的值是( ) A .2 B .-2 C .±2 D .04.已知平行四边形ABCD 中,AD ―→=(3,7),AB ―→=(-2,3),对角线AC 与BD 交于点O ,则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫-12,5B.⎝⎛⎭⎫12,5C.⎝⎛⎭⎫12,-5D.⎝⎛⎭⎫-12,-5 5.已知向量a =(1,3),b =(-2,k ),且(a +2b )∥(3a -b ),则实数k =________.6.在▱ABCD 中,AB ―→=a ,AD ―→=b ,AN ―→=3NC ―→,M 为BC 的中点,则MN ―→=________(用a ,b 表示).二、考点分析考点一 平面向量基本定理及其应用例1.1.如图,在△ABC 中,BE 是边AC 的中线,O 是边BE 的中点,若AB =a ,AC =b ,则AO =( )A.12a +12b B.12a +13b C.14a +12b D.12a +14b2.已知向量e 1,e 2不共线,实数x ,y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则2x -y =________.3.如图,已知▱ABCD 的边BC ,CD 的中点分别是K ,L ,且AK ―→=e 1,AL ―→=e 2,试用e 1,e 2表示BC ―→,4.如图,以向量OA ―→=a ,OB ―→=b 为邻边作▱OADB ,BM ―→=13BC ―→,CN ―→=13CD ―→,用a ,b 表示OM ―→,ON ―→,MN ―→.✧ 方法总结1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.2.应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以有无穷多组.(2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.考点二 平面向量的坐标运算例2.1.若向量a =(2,1),b =(-1,2),c =⎝⎭⎫0,52,则c 可用向量a ,b 表示为( ) A.12a +b B .-12a -b C.32a +12b D.32a -12b 2.(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点,向量OA ―→=(2,3),OB ―→=(4,-1),且AP ―→=3PB ―→,则|OP ―→|=________.3.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB ―→=a ,BC ―→=b ,CA ―→=c ,且CM ―→=3c ,CN ―→=-2b ,(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)求M ,N 的坐标及向量MN ―→的坐标.✧ 方法总结平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 考点三 平面向量共线的坐标表示例3.已知a =(1,0),b =(2,1).(1)当k 为何值时,k a -b 与a +2b 共线;(2)若AB ―→=2a +3b ,BC ―→=a +m b ,且A ,B ,C 三点共线,求m 的值.1.平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0. (2)若a ∥b (b ≠0),则a =λb .2.共线问题解含参,列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.变式3.已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数,(a +λb )∥c ,则λ=( ) A.14 B.12 C .1 D .2三、课堂检测1.向量a ,b 满足a +b =(-1,5),a -b =(5,-3),则b =( )A .(-3,4)B .(3,4)C .(3,-4)D .(-3,-4)2.若向量AB ―→=(2,4),AC ―→=(1,3),则BC ―→=( )A .(1,1)B .(-1,-1)C .(3,7)D .(-3,-7)3.已知向量a =(5,2),b =(-4,-3),c =(x ,y ),若3a -2b +c =0,则c =( )A .(-23,-12)B .(23,12)C .(7,0)D .(-7,0)4.在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB ―→=(2,4),AC ―→=(1,3),则BD ―→=( )A .(-2,-4)B .(-3,-5)C .(3,5)D .(2,4)5.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(a ,3b )与n =(c os A ,sin B )平行,则A =( )A.π6B.π3C.π2D.2π36.在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP =13AB ,BQ =13BC ,若AB ―→=a ,AC ―→=b ,则PQ ―→=( )A.13a +13b B .-13a +13b C.13a -13b D .-13a -13b 7.已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R),则m -n 的值为________. 8.设e 1,e 2是平面内一组基向量,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则向量e 1+e 2可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即e 1+e 2=________a +________b .9.已知向量a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,则实数x 的值为________. 10.已知梯形ABCD ,其中AB ∥DC ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________.5.已知A (-3,0),B (0,3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC =30°,OC ―→=λOA ―→+OB ―→,则实数λ的值为________.3.(1)a ·b =b ·a .(2)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ). (3)(a +b )·c =a ·c +b ·c . 4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a 与b 的夹角为θ.(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b =0可得a =0或b =0.( ) (4)(a ·b )c =a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π2.( ) 2.已知a ·b =-122,|a |=4,a 和b 的夹角为135°,则|b |的值为( ) A .12 B .6 C .3 3D .33.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=23,a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3,则b ·(2a -b )等于( ) A .2 B .-1 C .-6D .-184.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则( ) A .a ⊥b B .|a |=|b | C .a ∥bD .|a |>|b |5.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a =(-1,2),b =(m,1).若向量a +b 与a 垂直,则m =________. 6.已知|a |=5,|b |=4,a 与b 的夹角θ=120°,则向量b 在向量a 方向上的投影为________.二、考点分析考点一 平面向量的数量积的运算1.设向量a =(-1,2),b =(m,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那么a 与b 的数量积等于( ) A .-72 B .-12 C.32 D.522.已知向量a 与b 的夹角为60°,且a =(-2,-6),|b |=10,则a ·b =________. 3.已知两个单位向量e 1,e 2的夹角为π3,若向量b 1=e 1-2e 2,b 2=3e 1+4e 2,则b 1·b 2=________.✧ 方法总结向量数量积的2种运算方法4.(2018·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中,|AB ―→|=8,|AD ―→|=6,N 为DC 的中点,BM ―→=2MC ―→,则AM ―→·NM ―→=( )A .48B .36C .24D .125.(2018·石家庄质检)在△ABC 中,已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°,|AB ―→|=2,|AC ―→|=1,M 为BC 上的一点,且AM ―→=λAB ―→+μAC ―→ (λ,μ∈R),且AM ―→·BC ―→=0,则λμ的值为________.6.(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ―→·AP ―→的最大值为________. ✧ 方法总结计算有关平面几何中数量积的方法(1)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ,b ,然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.(2)若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a ,b 的坐标,通过坐标运算法则求得.考点二 平面向量数量积的性质角度(一) 平面向量的模1.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则|a +2b |=________ 2.如图,在△ABC 中,O 为BC 的中点,若AB =1,AC =3,AB ―→与AC ―→的夹角为60°,则|OA ―→|=________.✧ 方法总结 求向量模的常用方法(2)若向量a ,b 是以非坐标形式出现的,求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ,或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.角度(二) 平面向量的夹角3.(2018·成都二诊)已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且|a |=1,|b |=12,则a +2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π44.已知平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( )A .-2B .-1C .1D .2 ✧ 方法总结求向量夹角问题的方法(1)当a ,b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角θ,需求出a ·b 及|a |,|b |或得出它们之间的关系; (2)若已知a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),则cos 〈a ,b 〉=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. [注意] 〈a ,b 〉∈[0,π].角度(三) 平面向量的垂直5.(2018·湘中名校联考)已知向量a =(x ,3),b =(x ,-3),若(2a +b )⊥b ,则|a |=( )A .1 B. 2 C. 3 D .26.已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°,且|AB ―→|=3,|AC ―→|=2.若AP ―→=λAB ―→+AC ―→,且AP ―→⊥BC ―→,则实数λ的值为________.✧方法总结1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.变式2.1.(2018·广东五校协作体诊断)已知向量a =(λ,1),b =(λ+2,1),若|a +b |=|a -b |,则实数λ的值为( )A .-1B .2C .1D .-22.(2017·山东高考)已知e 1,e 2是互相垂直的单位向量.若3e 1-e 2与e 1+λe 2的夹角为60°,则实数λ的值是________.3.已知AB ―→·BC ―→=0,|AB ―→|=1,|BC ―→|=2,AD ―→·DC ―→=0,则|BD ―→|的最大值为________.考点三 平面向量与三角函数的综合例3.(2017·江苏高考)已知向量a =(c os x ,sin x ),b =(3,-3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.✧ 方法总结平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)给出的向量坐标中含有三角函数,求角的大小,解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示,或等式成立的条件等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出的向量坐标中含有三角函数,求向量的模或者向量的其他表达形式,解题思路是利用向量的运算,结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解.变式3.已知函数f (x )=a ·b ,其中a =(2cos x ,-3sin 2x ),b =(cos x,1),x ∈R. (1)求函数y =f (x )的单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (A )=-1,a =7,且向量m =(3,sin B )与n =(2,sin C )共线,求边长b 和c 的值.三、课堂检测1.(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为2π3,且(a +λb )⊥(2a -b ),则实数λ的值为( )A .-7B .-3C .2D .32.已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且a ·(a -b )=2,|a |=2,则|b |等于( )A. 2 B .2 3 C .4 D .23.已知向量a =(-1,2),b =(3,1),c =(x,4),若(a -b )⊥c ,则c ·(a +b )=( ) A .(2,12) B .(-2,12) C .14 D .104.(2018·湘中名校联考)平面向量a 与b 的夹角为45°,a =(1,1),|b |=2,则|3a +b |等于( ) A .13+6 2 B .2 5 C.30 D.345.若单位向量e 1,e 2的夹角为π3,向量a =e 1+λe 2(λ∈R),且|a |=32,则λ=( )A .-12 B.32-1 C.12 D.326.(2018·西安八校联考)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4),则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A .-3 5B .-322C .3 5 D.3227.已知平面向量a ,b 满足a ·(a +b )=3,且|a |=2,|b |=1,则向量a 与b 的夹角的正弦值为________.8.(2018·张掖一诊)已知平面向量a ,b 满足|a |=|b |=1,a ⊥(a -2b ),则|a +b |=________. 9.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则向量m ,n 的夹角的余弦值为________.10.如图所示,在等腰直角三角形AOB 中,OA =OB =1,AB ―→=4AC ―→,则OC ―→·(OB ―→-OA ―→)=________.11.(2018·惠州三调)若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB ―→-OC ―→)·(OB ―→+OC ―→-2OA ―→)=0,则△ABC 的形状为( )A .等腰三角形B .直角三角形仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题五 平面向量11C .正三角形D .等腰直角三角形12.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则P A ―→·(PB ―→+PC ―→)的最小值是( )A .-2B .-32C .-43D .-113.(2017·浙江高考)如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O .记I 1=OA ―→·OB ―→,I 2=OB ―→·OC ―→,I 3=OC ―→·OD ―→,则( )A .I 1<I 2<I 3B .I 1<I 3<I 2C .I 3<I 1<I 2D .I 2<I 1<I 314.(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a =(1,3),b =(3,m ),且b 在a 方向上的投影为3,则向量a 与b 的夹角为________.15.已知向量a =⎝⎛⎭⎫-12,32,OA ―→=a -b ,OB ―→=a +b ,若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积为________.16.已知|a |=4,|b |=8,a 与b 的夹角是120°.(1)计算:①|a +b |,②|4a -2b |;(2)当k 为何值时,(a +2b )⊥(k a -b ).17.在平面直角坐标系xOy 中,点A (-1,-2),B (2,3),C (-2,-1). (1)求以线段AB ,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长. (2)设实数t 满足(AB ―→-t OC ―→)·OC ―→=0,求t 的值.。

第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中,D,E 分别为边 AB, AC 上的动点,若 AD=2DB,AE=3EC,CD 交 BE 于点 F,A→F= mA→B+nA→C,则 m+n=( )
(2)证明:由(1)得O→G=(1-λ)O→P+λO→Q=(1-λ)·xO→A+λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心,∴O→G=23O→M=32×21(O→A+O→B)=13O→A+ 13O→B. ②
而O→A,O→B不共线,
∴由①,②得(1-λ)x=31, λy=13,
解得1x=3-3λ, 1y=3λ.
答案:(-1,0)
3.如图 5-1-8,G 是△OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA,OB 上的动点,且 P,G,Q 三点共线.
(1)设P→G=λP→Q,用λ,O→P,O→Q表示O→G;
(2)设O→P=xO→A,O→Q=yO→B.证明:1x+1y是定值.
图 5-1-8
(1)解:O→G=O→P+P→G=O→P+λP→Q=O→P+λ(O→Q-O→P)= (1-λ)O→P+λO→Q.

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

a+b=λLeabharlann a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b,
∴ λ-1=0 1+λ=0
,λ 无解,故假设不成立,即 a+b 与 a-b 不平行,故选 D.
错源二:向量有关概念理解不当
【例2】 如图,由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M,则集合M的元 素个数为________.
错解:正方体共有12条棱,每条棱可以表示两个向量,一共有24个向量.答案是24. 错解分析:方向相同长度相等的向量是相等向量,故AA1―→=BB1―→=CC1―→ = DD1―→ , AB―→ = DC―→ = D1C1―→ = A1B1―→ , AD―→ = BC―→ = B1C1―→=A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了. 正解:12条棱可以分为三组,共可组成6个不同的向量,答案是6. 答案:6
错解分析:错解一,忽视了 a≠0 这一条件.错解二,忽视了 0 与 0 的区别,AB―→+
BC―→+CA―→=0;错解三,忽视了零向量的特殊性,当 a=0 或 b=0 时,两个等号同时
成立.
正解:∵向量 a 与 b 不共线,
∴a,b,a+b 与 a-b 均不为零向量.
若 a+b 与 a-b 平行,则存在实数 λ,使
∴|AM―→|=12|AD―→|=12|BC―→|=2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部,且OA―→+OB―→+ 2OC―→=0,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由 OC―→=-12(OA―→+OB―→),设 D 为 AB 的中点, 则 OD―→=12(OA―→+OB―→), ∴OD―→=-OC―→,∴O 为 CD 的中点, ∴S△AOC=12S△ADC=14S△ABC,∴SS△△AAOBCC=4.故选 B.
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第一节 平面向量的概念及线性运算[考纲要求]1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.突破点一 平面向量的有关概念[基本知识]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( ) (2)若a 与b 不相等,则a 与b 一定不可能都是零向量.( ) 答案:(1)× (2)√ 二、填空题1.如果对于任意的向量a ,均有a ∥b ,则b 为________. 答案:零向量2.若e 是a 的单位向量,则a 与e 的方向________. 解析:∵e =a|a |,∴e 与a 的方向相同.答案:相同3.△ABC 中,点D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 的中点,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为端点的有向线段所表示的向量中,与EF ―→共线的向量有________个.答案:7个[典例感悟]1.(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A .方向相同的向量叫做相等向量 B .共线向量是在同一条直线上的向量 C .零向量的长度等于0D .AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→所在的直线解析:选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A 不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B 不正确;显然C 正确;当AB ―→∥CD ―→时,AB ―→所在的直线与CD ―→所在的直线可能重合,故D 不正确.2.(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题: ①若|a |=|b |,则a =b ;②若|AB ―→|=|DC ―→|,则四边形ABCD 是平行四边形; ③若m =n ,n =k ,则m =k ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中,假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C 对于①,|a |=|b |,a ,b 的方向不确定,则a ,b 不一定相等,所以①错误;对于②,若|AB ―→|=|DC ―→|,则AB ―→,DC ―→的方向不一定相同,所以四边形ABCD 不一定是平行四边形,②错误;对于③,若m =n ,n =k ,则m =k ,③正确;对于④,若a ∥b ,b ∥c ,则b =0时,a ∥c 不一定成立,所以④错误.综上,假命题的是①②④,共3个,故选C.3.(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→共线是A ,B ,C ,D 四点共线的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由A ,B ,C ,D 四点共线,得向量AB ―→与CD ―→共线,反之不成立,可能AB ∥CD ,所以向量AB ―→与CD ―→共线是A ,B ,C ,D 四点共线的必要不充分条件,故选B.[方法技巧]关于平面向量的3个易错提醒(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小; (2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征; (3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.突破点二 平面向量的线性运算[基本知识]1.向量的线性运算|λa |=|λ||a |,当λ>0时,λa 与a2.平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa . 3.向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式:若P 为线段AB 的中点,O 为平面内一点,则OP ―→=12(OA ―→+OB ―→).(2)三角形的重心:已知平面内不共线的三点A ,B ,C ,PG ―→=13(PA ―→+PB ―→+PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心.特别地,PA ―→+PB ―→+PC ―→=0⇔P 为△ABC 的重心.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)a ∥b 是a =λb (λ∈R)的充要条件.( )(2)△ABC 中,D 是BC 的中点,则AD ―→=12(AC ―→+AB ―→).( )答案:(1)× (2)√ 二、填空题1.在如图所示的方格纸中有定点O ,P ,Q ,E ,F ,G ,H ,则OP ―→+OQ ―→=________.答案:FO ―→2.化简:(AB ―→-CD ―→)-(AC ―→-BD ―→)=________.解析:(AB ―→-CD ―→)-(AC ―→-BD ―→)=AB ―→-CD ―→-AC ―→+BD ―→=(AB ―→-AC ―→)+(DC ―→-DB ―→)=CB ―→+BC ―→=0. 答案:03.已知向量a ,b 不共线,且c =λa +b ,d =a +(2λ-1)b ,若c 与d 共线反向,则实数λ的值为________. 答案:-12[全析考法]考法一 平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,加法的平行四边形法则要求“起点相同”; (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”; (3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.[例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图,在△ABC 中,点M 为AC 的中点,点N 在AB 上,AN ―→=3NB ―→,点P 在MN 上,MP ―→=2PN ―→,那么AP ―→=( )A.23AB ―→-16AC ―→ B.13AB ―→-12AC ―→C.13AB ―→-16AC ―→ D.12AB ―→+16AC ―→ (2)如图,在直角梯形ABCD 中,DC ―→=14AB ―→,BE ―→=2EC ―→,且AE ―→=r AB ―→+sAD ―→,则2r +3s =( )A .1B .2C .3D .4[解析] (1)AP ―→=AM ―→+MP ―→=AM ―→+23MN ―→=AM ―→+23(AN ―→-AM ―→)=13AM ―→+23AN ―→=16AC ―→+12AB ―→.故选D.(2)根据图形,由题意可得AE ―→=AB ―→+BE ―→=AB ―→+23BC ―→=AB ―→+23(BA ―→+AD ―→+DC ―→)=13AB ―→+23(AD ―→+DC ―→)=13AB ―→+23()AD ―→+14AB ―→=12AB ―→+23AD ―→. 因为AE ―→=r AB ―→+sAD ―→,所以r =12,s =23,则2r +3s =1+2=3.[答案] (1)D (2)C [方法技巧]1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求.考法二 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.(3)直线的向量式参数方程:A ,P ,B 三点共线⇔OP ―→=(1-t )·OA ―→+t OB ―→(O 为平面内任一点,t ∈R).[例2] (1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a ,b 是不共线的向量,AB ―→=λa +b ,AC ―→=a +μb (λ,μ∈R),若A ,B ,C 三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是( )A .λμ=1B .λμ=-1C .λ-μ=-1D .λ+μ=2(2)(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB ―→=3e 1+2e 2,CB ―→=k e 1+e 2,CD ―→=3e 1-2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为________.[解析] (1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ,∴若A ,B ,C 三点共线,则存在一个实数t 使AB ―→=t AC ―→,即λa +b =t a +μt b ,则⎩⎨⎧λ=t ,μt =1,消去参数t 得λμ=1;反之,当λμ=1时,AB ―→=1μa +b ,此时存在实数1μ使AB ―→=1μAC ―→,故AB ―→和AC ―→共线.∵AB ―→与AC ―→有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线.故选A.(2)由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB ―→=λBD ―→. 又AB ―→=3e 1+2e 2,CB ―→=k e 1+e 2,CD ―→=3e 1-2ke 2, 所以BD ―→=CD ―→-CB ―→=3e 1-2ke 2-(ke 1+e 2) =(3-k )e 1-(2k +1)e 2,所以3e 1+2e 2=λ(3-k )e 1-λ(2k +1)e 2, 又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3=λ(3-k ),2=-λ(2k +1),解得k =-94.[答案] (1)A (2)-94[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用1.[考法一]在等腰梯形ABCD 中,AB ―→=-2CD ―→,M 为BC 的中点,则AM ―→=( ) A.12AB ―→+12AD ―→ B.34AB ―→+12AD ―→ C.34AB ―→+14AD ―→ D.12AB ―→+34AD ―→ 解析:选B 因为AB ―→=-2CD ―→,所以AB ―→=2DC ―→.又M 是BC 的中点,所以AM ―→=12(AB ―→+AC ―→)=12(AB ―→+AD ―→+DC ―→)=12()AB ―→+AD ―→+12AB ―→ =34AB ―→+12AD ―→,故选B. 2.[考法一]在△ABC 中,AB =2,BC =3,∠ABC =60°,AD 为BC 边上的高,O 为AD 的中点,若AO ―→=λAB ―→+μBC ―→,其中λ,μ∈R ,则λ+μ等于( )A .1 B.12 C.13D.23解析:选D 由题意易得AD ―→=AB ―→+BD ―→=AB ―→+13BC ―→,则2AO ―→=AB ―→+13BC ―→,即AO ―→=12AB ―→+16BC ―→.故λ+μ=12+16=23.3.[考法二]设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3(a -b ),求证:A ,B ,D 三点共线; (2)试确定实数k ,使ka +b 和a +kb 共线.解:(1)证明:∵AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3(a -b ), ∴BD ―→=BC ―→+CD ―→=2a +8b +3(a -b )=5(a +b )=5AB ―→, ∴AB ―→,BD ―→共线,又它们有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线. (2)∵ka +b 与a +kb 共线,∴存在实数λ,使ka +b =λ(a +kb ),即(k -λ)a =(λk -1)b . 又a ,b 是两个不共线的非零向量,∴⎩⎨⎧k -λ=0,λk -1=0.∴k 2-1=0.∴k =±1. [课时跟踪检测]1.(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ,b 是两个非零向量,且|a +b |=|a |+|b |,则下列说法正确的是( ) A .a +b =0 B .a =bC .a 与b 反向共线D .存在正实数λ,使得a =λb解析:选D 由已知得,向量a 与b 为同向向量,即存在正实数λ,使得a =λb ,故选D.2.设a 0为单位向量,下述命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a =-|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.3.(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A .|AB ―→|=|AD ―→|一定成立 B .AC ―→=AB ―→+AD ―→一定成立 C .AD ―→=BC ―→一定成立D .BD ―→=AD ―→-AB ―→一定成立解析:选A 在平行四边形ABCD 中,AC ―→=AB ―→+AD ―→一定成立,AD ―→=BC ―→一定成立,BD ―→=AD ―→-AB ―→一定成立,但|AB ―→|=|AD ―→|不一定成立.故选A.4.(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中,点D 在边AB 上,且BD ―→=12DA ―→,设CB ―→=a ,CA ―→=b ,则CD ―→=( )A.13a +23bB.23a +13bC.35a +45b D.45a +35b 解析:选B ∵BD ―→=12DA ―→,∴BD ―→=13BA ―→,∴CD ―→=CB ―→+BD ―→=CB ―→+13BA ―→=CB ―→+13(CA ―→-CB ―→)=23CB ―→+13CA ―→=23a +13b ,故选B. 5.(2019·长春模拟)如图所示,下列结论正确的是( )①PQ ―→=32a +32b ;②PT ―→=32a -b ;③PS ―→=32a -12b ;④PR ―→=32a +b .A .①②B .③④C .①③D .②④解析:选C ①根据向量的加法法则,得PQ ―→=32a +32b ,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT ―→=32a -32b ,故②错误;③PS ―→=PQ ―→+QS ―→=32a +32b -2b =32a -12b ,故③正确;④PR ―→=PQ ―→+QR ―→=32a +32b -b =32a +12b ,故④错误,故选C.6.(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且OA ―→+OB ―→+CO ―→=0,则△ABC 的内角A 等于( ) A .30° B .45° C .60°D .90°解析:选A 由OA ―→+OB ―→+CO ―→=0得,OA ―→+OB ―→=OC ―→,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB 为菱形,且∠CAO =60°,故A =30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图,已知△OAB ,若点C 满足AC ―→=2CB ―→,OC ―→=λOA ―→+μOB ―→ (λ,μ∈R),则1λ+1μ=( )A.13B.23C.29D.92解析:选D ∵OC ―→=OA ―→+AC ―→=OA ―→+23AB ―→=OA ―→+23(OB ―→-OA ―→)=13OA ―→+23OB ―→,∴λ=13,μ=23,∴1λ+1μ=3+32=92.故选D. 8.(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,若2OA ―→+OC ―→=2OD ―→+OB ―→,则四边形ABCD 一定是( )A .矩形B .梯形C .平行四边形D .菱形解析:选B ∵2OA ―→+OC ―→=2OD ―→+OB ―→,∴2(OA ―→-OD ―→)=OB ―→-OC ―→,即2DA ―→=CB ―→,∴DA ∥CB ,且2|DA ―→ |=|CB ―→|,∴四边形ABCD 一定是梯形.故选B.9.(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ―→=-4CD ―→,则AD ―→=( ) A.14AB ―→-34AC ―→ B.14AB ―→+34AC ―→ C.34AB ―→-14AC ―→ D.34AB ―→+14AC ―→ 解析:选B 法一:设AD ―→=x AB ―→+y AC ―→,由BC ―→=-4CD ―→可得,BA ―→+AC ―→=-4CA ―→-4AD ―→,即-AB ―→-3AC ―→=-4x AB ―→-4y AC ―→,则⎩⎨⎧-4x =-1,-4y =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =14,y =34,即AD ―→= 14AB ―→+34AC ―→,故选B.法二:在△ABC 中,BC ―→=-4CD ―→,即-14BC ―→=CD ―→,则AD ―→=AC ―→+CD ―→=AC ―→-14BC ―→=AC ―→-14(BA ―→+AC ―→)=14AB―→+34AC ―→,故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图,在△ABC 中,AN ―→=13NC ―→,P 是BN 上的一点,若AP ―→=m AB ―→+29AC ―→,则实数m 的值为( )A.13B.19 C .1D .3解析:选B 因为AN ―→=13NC ―→,所以AC ―→=4AN ―→.所以AP ―→=m AB ―→+29AC ―→=m AB ―→+89AN ―→,因为B ,P ,N 共线,所以m +89=1,m =19. 11.(2019·河南三市联考)若AP ―→=12PB ―→,AB ―→=(λ+1)BP ―→,则λ=________.解析:由AP ―→=12PB ―→可知,点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,则AB ―→=-32BP ―→,所以λ+1=-32,解得λ=-52. 答案:-5212.(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB ―→=λAM ―→+μDB ―→,则λμ=________. 解析:∵DB ―→=AB ―→-AD ―→=AB ―→-BC ―→=AB ―→-2BM ―→=3AB ―→-2AM ―→,∴AB ―→=λAM ―→+3μAB ―→-2μAM ―→,∴(1-3μ)AB ―→=(λ-2μ)AM ―→,∵AB ―→和AM ―→是不共线向量,∴⎩⎨⎧1-3μ=0,λ-2μ=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧μ=13,λ=23,∴λμ=29.答案:2913.(2019·盐城一模)在△ABC 中,∠A =60°,∠A 的平分线交BC 于点D ,若AB =4,且AD ―→=14AC ―→+λAB ―→(λ∈R),则AD 的长为________.解析:因为B ,D ,C 三点共线,所以14+λ=1,解得λ=34,如图,过点D 分别作AC ,AB 的平行线交AB ,AC 于点M ,N ,则AN ―→=14AC ―→,AM ―→=34AB ―→,经计算得AN =AM =3,AD =3 3.答案:3314.在直角梯形ABCD 中,∠A =90°,∠B =30°,AB =23,BC =2,点E 在线段CD 上,若AE ―→=AD ―→+μAB ―→,则μ的取值范围是________.解析:由题意可求得AD =1,CD =3,所以AB ―→=2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上,∴DE ―→=λDC ―→(0≤λ≤1). ∵AE ―→=AD ―→+DE ―→,又AE ―→=AD ―→+μAB ―→=AD ―→+2μDC ―→=AD ―→+2μλDE ―→,∴2μλ=1,即μ=λ2.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12, 即μ的取值范围是[]0,12.答案:[]0,1215.已知O ,A ,B 是不共线的三点,且OP ―→=m OA ―→+n OB ―→(m ,n ∈R). (1)若m +n =1,求证:A ,P ,B 三点共线; (2)若A ,P ,B 三点共线,求证:m +n =1. 证明:(1)若m +n =1, 则OP ―→=m OA ―→+(1-m )OB ―→ =OB ―→+m (OA ―→-OB ―→), ∴OP ―→-OB ―→=m (OA ―→-OB ―→), 即BP ―→=m BA ―→,∴BP ―→与BA ―→共线. 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B , ∴A ,P ,B 三点共线. (2)若A ,P ,B 三点共线, 则存在实数λ,使BP ―→=λBA ―→, ∴OP ―→-OB ―→=λ(OA ―→-OB ―→). 又OP ―→=m OA ―→+n OB ―→.故有m OA ―→+(n -1)OB ―→=λOA ―→-λOB ―→, 即(m -λ)OA ―→+(n +λ-1)OB ―→=0.∵O ,A ,B 不共线,∴OA ―→,OB ―→不共线,∴⎩⎨⎧m -λ=0,n +λ-1=0,∴m +n =1.。

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