高中数学第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算

第一节 平面向量的概念及线性运算

[考纲要求]

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．

4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解向量线性运算的性质及其几何意义．

突破点一 平面向量的有关概念

[基本知识]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a 与b 不相等，则a 与b 一定不可能都是零向量．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题

1．如果对于任意的向量a ，均有a ∥b ，则b 为________． 答案：零向量

2．若e 是a 的单位向量，则a 与e 的方向________． 解析：∵e ＝a

|a |，∴e 与a 的方向相同．

答案：相同

3．△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF ―→

共线的向量有________个．

答案：7个

[典例感悟]

1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是( ) A ．方向相同的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0

D ．AB ―→∥CD ―→就是AB ―→所在的直线平行于CD ―→

所在的直线

解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，

但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB ―→∥CD ―→时，AB ―→所在的直线与CD ―→

所在的直线可能重合，故D 不正确．

2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若|AB ―→|＝|DC ―→

|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中，假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选C 对于①，|a |＝|b |，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB ―→|＝|DC ―→

|，则AB ―→，DC ―→

的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.

3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量AB ―→与CD ―→

共线是A ，B ，C ，D 四点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B 由A ，B ，C ，D 四点共线，得向量AB ―→与CD ―→共线，反之不成立，可能AB ∥CD ，所以向量AB ―→与CD ―→

共线是A ，B ，C ，D 四点共线的必要不充分条件，故选B.

[方法技巧]

关于平面向量的3个易错提醒

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点二 平面向量的线性运算

[基本知识]

1．向量的线性运算

|λa |＝|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a

2.平面向量共线定理

向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 3．向量的中线公式及三角形的重心 (1)向量的中线公式：

若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→

)．

(2)三角形的重心：

已知平面内不共线的三点A ，B ，C ，PG ―→＝13(PA ―→＋PB ―→＋PC ―→)⇔G 是△ABC 的重心．特别地，PA ―→＋PB ―→＋PC ―→

＝0

⇔P 为△ABC 的重心．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R)的充要条件．( )

(2)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→

)．( )

答案：(1)× (2)√ 二、填空题

1．在如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP ―→＋OQ ―→

＝________.

答案：FO ―→

2．化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→

)＝________.

解析：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)＋(DC ―→－DB ―→)＝CB ―→＋BC ―→

＝0. 答案：0

3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为________． 答案：－1

2

[全析考法]

考法一 平面向量的线性运算

应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”； (2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”； (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．

[例1] (1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC 中，点M 为AC 的中点，点N 在AB 上，AN ―→＝3NB ―→，点P 在MN 上，MP ―→＝2PN ―→，那么AP ―→

＝( )

A.23AB ―

→－16

AC ―→ B.13AB ―

→－12

AC ―→