曲线与讲义方程1

变式训练：写出下列半圆
5
-5 0
5 x -5 0
5 x -5
x
5x
-5 -5
条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0 的解”，
条 件 乙 ： “ 曲 线 C 是 方 程 f (x ， y)=0 的 曲 线 ” ， 则 甲 是B乙 的
(
)
(A)充分非必要条件
(B)必要条件
l
表示为 (x1)2(y1)2 (x3)2(y7)2
上式两边平方，得 并x整 2y理70
(1)由求方程的过程垂 可直 知平 ，分线上每一点的 坐标都是方程的解。
(2)设点 M1的坐(标 x1,y1)是方程的解， x12y170,x1 72y1
点 M1到 A,B的距离分别是 M1A (x11)2(y11)2 (82y1)2(y11)2 5(y126y11)3 M 1B(x13)2(y17)2(42y1)2(y17)2 5(y1 26y11)3 所以 M1AM1B,即点 M在线A段 B的垂直平分线 由(1),(2)可知，方程是线直段平的分垂线的方程。
将条件直接写成关于“x,y”的关系式
例1．长为2a（a是正常数）的线段AB的两端点A，B分别 在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点 M的轨迹．
例２．求平面内到两个定点Ａ、B的距离之比等于２的 动点Ｍ的轨迹方程
变题：求平面内到两个定点Ａ、B的距离之比等于 0且1
的动点Ｍ的轨迹.
课本P57 1、2
（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐 明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是 f(x，y)=0，那么点P0(x0 ，y0)在曲线C 上的 充要条件是 f(x0，y0)=0 .
问题研讨
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
求曲线方程的步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p(M)}; （3）用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上。
(D)曲线C是方程f(x，y)=0的曲线的一部分或是全部
例2 设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程。 y
解：如图M ，(x设 ,y)是线A段B的垂直平M分(x,y线 ) B
上的任意一点，点也 M属就于是集合
P MMAMB
o
x
由两点间的距点 离 M适 公合 式的 ，条件A可
这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程， 这条直线叫做方程 x-y=0的直线。
xy0
x
试一试
说明圆心为P(a，b)，半径等于r的圆的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2
(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等于r
所以 (x0a)2(y0b)2r 也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2 即(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解 (2)设(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，则有 (x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得 (x0a)2(y0b)2r 即点M(x0，y0)到点P的距离等于r，所以点M是这个圆上的点． 由(1)(2)可知， (x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a，b)， 半径等于r的圆的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点 与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的 关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线（图形）。 说明：（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ，阐 明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上 所有的点都符合这个条件而毫无例外
(C)充要条件
(D)非充分也非
必若要命条题件“曲线C上的点的坐标满足方程f(x，y)=0 ”是正确的，
则下列命题中正确的是( D )
(A)方程f(x，y)=0 所表示的曲线是C
(B)坐标满足 f(x，y)=0 的点都在曲线C上
(C) 方 程 f(x ， y)=0 的 曲 线 是 曲 线 C 的 一 部 分 或 是 曲 C
精品
曲线与方程1
两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线
的方程是 xy0. 这就是说：
y
如果点M(x0 ，y0)是这条直线上的任意 一点，它到两坐标轴的距离一定相等， 即 x0 = y0，那么它的坐标(x0 ，y0)就 是方程 x-y=0 的解；
o
反过来，如果(x0 ，y0)是方程 x-y=0 的解，即x0 = y0，那么以这个解为坐标 的点到两轴的距离相等，它一定在这条 平分线上。
2. 代入法
这个方法又叫相关点法或坐标转移法．即利用动点P’(x’,y’) 是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y)依赖于 P’(x’,y’)，那么可寻求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F(x’,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 例3:已知点A(2，0)，点P在圆x2+y2=1上，AP的中点为Q， 求点Q的轨迹方程．
复习回顾
曲线的方程和方程的曲线的概念： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一
个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做
方程的曲线.
求曲线方程的一般步骤：
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上
任意一点;
２. 几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合
｛Ｍ/Ｐ(M) ｝;
３. 代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，
列出方程 f (x,y) =0;
4. 化简：化方程为最简形式； ５. 证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是
已知点的轨迹。
y2 x2
y x
1.直接法:动点运动的规律简单、明确，易于表达，可