2018年秋高中数学 课时分层作业8 数列的通项与递推公式 新人教A版必修5

课时分层作业(八) 数列的通项与递推公式
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *
B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2
C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *
，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 B [由题可知a n －a n －1＝n (n ≥2)．]
2．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n
，此数列的第3项是( )
【导学号：91432130】
A ．1 B.12 C.3
4
D.58
C [a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝3
4
.]
3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列{a n }的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝2n
D ．a n ＝2n
－1
D [由题a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，经验证，选D.]
4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2
＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )
【导学号：91432131】
A ．103
B ．10818
C ．1031
8
D ．108
D [根据题意结合二次函数的性质可得，
a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －2942
＋3＋29×298
.
所以n ＝7时，a n ＝108为最大值．]
5．已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )
A ．x 100＝－a ，S 100＝2b －a
B ．x 100＝－b ，S 100＝2b －a
C ．x 100＝－b ，S 100＝b －a
D ．x 100＝－a ，S 100＝b －a
A [x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，
x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，
∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 100＝x 4＝－a ， ∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，
∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .] 二、填空题
6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 018－a 2 017＝________.
【导学号：91432132】
2 017 [由已知a 2 018－a 2 017－2 017＝0， ∴a 2 018－a 2 017＝2 017.]
7．数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，且a 1＝0，则此数列的第5项是________． 255 [因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3，
a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255.]
8．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n
，a 8＝2，则a 1＝________.
【导学号：91432133】
12 [由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12
，
a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1
a 6
＝2，…，
∴{a n }是以3为周期的数列， ∴a 1＝a 7＝1
2.]
三、解答题
9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n a n ＋3
(n ∈N *
)，求通项a n . [解] 将a n ＋1＝
3a n
a n ＋3
两边同时取倒数得：
1
a n ＋1
＝
a n ＋3
3a n
， 则1
a n ＋1＝1a n ＋13， 即
1
a n ＋1－1a n ＝13， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝
3n ＋2
(n ∈N *
)． 10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫67n
，试求数列{a n }的最大项. 【导学号：91432134】
[解] 假设第n 项a n 为最大项，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1
，
a n ≥a n ＋1，
即⎩
⎨⎧
n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫67n n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫67n －1
，n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫67n
n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫67n ＋1
，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
n ≤5，n ≥4，
即4≤n ≤5，
所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝65
7
4.
[冲A 挑战练]
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n
，则当a n 取得最大值时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．6或7
D ．5或6
D [由题意知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1
，
a n ≥a n ＋1，
所以⎩
⎨⎧
n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n －1
，n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n
n ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n ＋1
，
解得{ n ≤6，n ≥5，所以n ＝5或6.]
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1
2，x ≤12
，
2x －1，12
<x <1，
x －1，x ≥1，
若数列{a n }满足a 1＝7
3
，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，
则a 2 014＋a 2 015等于( )
【导学号：91432135】
A ．4 B.3
2 C.76
D.116
B [a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝7
3
－1＝43；
a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝4
3
－1＝13
； a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56；
a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23；
a 6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝2×23
－1＝13
；
…
∴从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列， ∴a 2 014＋a 2 015＝a 4＋a 5＝3
2
.故选B.]
3．数列{a n }中，a 1＝7，a 9＝8，且(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)，则a 2等于________． 9 [由(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3)， 得na n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 两式相减，得
na n ＋1－(n －1)a n ＝a n .
∴n ≥3时，na n ＋1＝na n ，即
a n ＋1＝a n .
又a 9＝8，∴a 3＝8.
又2a 3＝a 1＋a 2，a 1＝7，∴a 2＝2a 3－a 1＝9.]
4．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数时，a n
2
，n 为偶数时(n ∈N *
)求出这个数列各
项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项.
【导学号：91432136】
640 [由题意可知，a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]
5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
2n (n ∈N *
)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求
出最大项；若不存在，请说明理由．
[解] 存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝22
22＝1，a 3＝32
23＝98，a 4＝42
24＝1，a 5＝52
25＝25
32
，….
∵当n ≥3时，
a n ＋1a n ＝n ＋
2
2
n ＋1×2n n 2＝n ＋
2
2n
2
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋1n 2
<1，
∴a n ＋1<a n ，即a ≥3时，{a n }是递减数列． 又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝9
8
.
∴当n ＝3时，a 3＝9
8
为这个数列的最大项．。