数值分析第五章答案
《数值分析》杨大地答案(第五章)考博
5 位有效数字。
-?? ′ -?? （ 1 ）证明 : 设 ???? = ??- ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? 恒大于 0 ；
∵ 又 ∵ ∴
????在（ 0,1）的导数恒大于 ??0 = - 1， ??1 = 1 1 ??
0 ，∴
????在（ 0,1）单调递增。
= 0.63212 ;
??在（ 0,1）有且只有一个实根。
??
（ 5 ）迭代格式 ?? ?? +1 =
2 3
?? ??+
1
2 ?? ??
收敛于根 α=
3
3 ，此迭代格式是二阶收敛的。
5.3 方程 ?? - 9?? + 18 ?? - 6 = 0, ??? [0, + ∞) 的根为正实根，试用逐次扫描法（ 的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到 解：由上式为一元三次方程可知，方程最多存在 由于 ??? 0, + ∞ ，因此使用逐次扫描（ x f(x) 对最大根区间（ k 0 -6 1 4 2 2 0.01. 3 个解。 3 -6 4 -14 5 -16
α=
5 , 则 C 取值范围为
-
5/5 < ??< 0 ;
3 2 （ 4 ）用迭代格式 ?? ???? }是二 ?? +1 = ?? ?? - ?? ?? ?? 求解方程 ???? = ?? - x - x - 1 = 0 的根， 要使迭代序列 {?? ??
阶收敛，则 ?? =3?? 2 ?? -
1 2?? - 1 ??
-???? ∴ ?? ?? +1 = ?? , ??= 0,1, ? ，在（ 0 ， 1）区间内收敛。 -?? ′ -?? （ 3 ）设 ???? = ?? - ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? ，
微分方程数值解第五章答案
第五章1,0,0, (,0)1/2,0,0,0.x u uu x x t x x ⎧<⎪∂∂+==⎨∂∂⎪>⎩1. 对初值问题=2试分别用左偏心格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形网格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形网格剖分区域, 用节点表示坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=,0,1,2,3,4.k =0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂kjk j x u t u （1）左偏心格式：，在t 上用向前差商，x 上用向后差商，得011=−+−−+hu u u u kj k j k jk j τ中国地质大学(北京)廉海荣编 1，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k ju u u 212111+=−+ 把已知条件离散成，则可以根据下一层求上一层的值得到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k k u k uLW 格式： )2(2)(21122111kj k j k j k j k j k jk ju u u r a u u ar u u−++−−=−+−++ 在本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：中国地质大学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k ju u u u 111814383+−+−+=，同理可根据边值条件，根据下一层求上一层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：⎪⎩⎪⎨⎧>=<0,00,2/10,1j j j =0j u k u k u0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ϕψ∂∂⎧+=<≤<∞⎪∂∂⎪≤∞⎨⎪≤≤⎪⎩中国地质大学(北京)廉海荣编32. 试对初边值问题其中建立以下差分格式 0a >111102k k k k j jj j u u u u ahτ++++−−−+=1,（a ）1111111()222k k k k k kj jj j j j u u u u u u a h hτ++++−+−−−−++（b ）0=. 试分析它们的稳定性。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x fx -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()b af x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下齐鲁工业大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下齐鲁工业大学齐鲁工业大学第一章测试1.判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。
（）A:错 B:对答案:对2.无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到好的近似值。
（）A:对 B:错答案:错3.下面（）不是数值计算应注意的问题A:要避免相近两数相减B:注意简化计算步骤，减少运算次数 C:要防止大数吃掉小数 D:要尽量消灭误差答案:要尽量消灭误差4.作为的近似值，其有效数字的位数为（）A:4 B:1C:3 D:2答案:35.设的相对误差为，则的误差为（）A: B:x C: D:答案:第二章测试1.是关于节点的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于的多项式都有。
（）A:错 B:对答案:对2.对给定的数据作插值，插值函数个数可以许多。
（）A:对 B:错答案:错3.过点的插值多项式是（）次的多项式A:6 B:3C:5 D:4答案:54.分段插值方法的提出是要避免（）A:不收敛B:不能高次插值C:收敛速度太慢D:Runge现象发生答案:Runge现象发生5.拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式的余项分别是（）A:，B:，C:，D:，答案:，第三章测试1.n+1个节点的求积公式的最高代数精度为n+2 。
（）A:对 B:错答案:错2.用数值微分公式求导数值时，步长越小计算就越精确。
（）A:错 B:对答案:错3.形如的高斯型求积公式的代数精度为（）A:5 B:9 C:7 D:3答案:54.在牛顿—柯特斯求积公式中，当系数是负值时，公式稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿—柯特斯求积公式不使用。
A: B: C: D:答案:5.5个节点的牛顿—柯特斯求积公式，至少具有（）次代数精度A:3B:4 C:5 D:6答案:5第四章测试1.一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
（）A:对 B:错答案:对2.范数为0的矩阵一定是零矩阵。
（）A:错 B:对答案:对3.解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（）A:控制舍入误差B:减小方法误差C:简化计算D:防止计算时溢出答案:控制舍入误差4.用列主元消去法解线性方程组，第一次消元，选择主元为（）A:4 B:-9C:3 D:-4答案:-45.设矩阵A的LU分解如下：，则该分解式中a，b的值分别为（）A: B:C: D:答案:第五章测试1.不动点迭代法总是线性收敛的。
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.算法效率就是指算法的快慢（）答案:错2.数值分析的任务就是：根据要求解的数学问题去设计算法（）答案:错3.用3.14近似π的有效数字位数是( )答案:34.真值经‘四舍五入’得到的近似数一定是有效数 ( )答案:对5.自然底数e=2.718281828的近似数2.7，2.71，2.718，2.7182中，有效数有（）个答案:2第二章测试1.n+1个互异节点，能够构造多少个拉格朗日插值基函数？（）答案:n+12.插值条件越多，拉格朗日插值多项式和原函数之间的误差越小（）答案:错3.通过牛顿插值法构造插值多项式时，首先需要建立什么？（）答案:差商表4.相同插值条件下，牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式的次数是一样的（）答案:对5.埃尔米特插值相比于拉格朗日插值的区别在哪？（）答案:多了一些与导数相关的插值条件6.分段插值主要解决了什么问题？（）答案:插值次数过高7.分段插值的本质就是在多个区间上做了多次的拉格朗日插值（）答案:对第三章测试1.在C[a, b]中，是范数（）答案:对2.在C[a,b]中，内积诱导范数与函数的2-范数相等（）答案:对3.可以利用相邻三项的关系确定一个正交多项式系，且结果唯一（）答案:错4.连续函数最佳平方逼近法中涉及的范数是连续函数空间中哪种范数（）答案:2-范数5.内积空间中线性无关元素确定的Gram矩阵是实对称正定矩阵（）答案:对6.函数，则 ( )答案:7.连续函数最佳平方逼近法中，平方误差一定是一个（）答案:非负数8.在对一组离散数据进行函数近似时，可以选用的方法有（）答案:曲线拟合;Lagrange插值;Newton插值9.在离散数据最小二乘曲线拟合问题中，所涉及的范数是（）答案:实向量空间2-范数10.线性矛盾方程组的最小二乘解是存在且唯一的 ( )答案:错11.下面是Newton-Cotes公式中Cotes系数特点的是（）答案:全为正（时）;和为1;对称性第四章测试1.含有n+1个互异求积节点，代数精确度至少为n的数值求积公式是（）答案:存在且唯一2.具有n次代数精确度的数值求积公式是插值型求积公式 ( )答案:对3.含有n+1个求积节点的插值型求积公式至少具有n次代数精确度 ( )答案:对4.Simpson公式的代数精确度为（）答案:3次5.积分区间为[a, b]，Simpson公式的Cotes系数为（）答案:1/6 4/6 1/66.用相同的求积节点对同一定积分进行近似求解，通常复化Simpson比复化梯形公式更准确 ( )答案:对7.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是 ( )答案:错8.被积函数足够光滑，复化梯形公式的收敛阶数是 ( )答案:对9.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是（）答案:第五章测试1.为什么在消元前要选择主元？（）答案:增强算法稳定性2.当线性方程组Ax=b的系数矩阵A是（）时，可用回代法求解.答案:上三角矩阵3.用高斯顺序消去法解线性方程组时，消元能进行到底的充分必要条件是（）.答案:系数矩阵A的前n-1阶顺序主子式非零4.矩阵A的哪种分解对应着高斯顺序消去法？（）答案:Doolittle5.n阶三对角矩阵A能够进行三角分解的充要条件为（）.答案:A的前n-1阶顺序主子式都非零第六章测试1.向量序列还是矩阵序列，也不管是定义中的按范数收敛还是按分量收敛，不可转化为数列的收敛。
数值分析(华东交通大学)智慧树知到答案章节测试2023年
第一章测试1.解对数据的微小变化高度敏感是病态的 ( )A:错B:对答案:B2.为使π*的相对误差限小于0.001%, 至少应取的有效数字为（）。
A:5B:4C:7D:6答案:D3.按四舍五入原则得到的近似数4.25，则这个近似数的相对误差是（）。
A:0.012%B:0.5%C:0.12%D:0.05%答案:C4.测得某场地长l的值为l* =100m,宽d值为d*的=80m,已知，则面积s=ld的绝对误差限位（）。
A:0.325%B:28(m2)C:26(m2)D:27(m2)答案:C5. 3.1421是π的近似值，3.1421的有效数字是（）。
A:3B:2C:4D:5答案:A第二章测试1.下列说法正确的是( ）A:不动点迭代总是线性收敛的B:斯特芬森迭代可以看成不动点迭代C:牛顿法有可能不收敛D:非线性方程的解通常不唯一答案:BCD2.不动点迭代局部收敛的条件是（）。
A:B:C:D:答案:CD3.对f(x)=0的m重根的迭代格式的收敛阶是 ( ）A:1.840B:2C:1D:3答案:B4.的等价方程形成的不动点迭代的收敛阶是（）A:1.618B:2C:1.840D:1答案:D5.方程的牛顿迭代格式为（）A:B:C:D:答案:D第三章测试1.解线性方程组通常有直接法和迭代法。
A:对B:错答案:A2.若方程组的系数矩阵严格主对角占优，下列哪个说法正确 ( )A:谱半径大于1.B:雅可比迭代法一定收敛；C:高斯消元法不需要换行可以顺利进行；D:高斯-赛德尔方法一定收敛；答案:ABCD3.用松弛法解系数矩阵是对称正定矩阵的线性方程组时，松弛因子是下列哪个值时该方法一定是收敛的( )A:1.5B:2.0C:0.5D:1.0答案:ACD4.下面那个初等方阵是初等方阵E((k),j)的逆矩阵是( )A: E(i,j)；B:E(i(-k),j)；C:E(i(1/k)).D:E(i(k))；答案:B5.用列主元高斯消去法解方程组第一步所选的主元是( )A:1B:2C:5D:3答案:B第四章测试1.A:B:C:D:答案:C2.A:x-1,xB:1-x,-xC:1-x,xD:x-1,-x答案:A3.A:1B:2C:3D:0答案:D4.A:B:C:D:答案:B5.A:1,2B:0,1C:3,0D:2,0答案:C第五章测试1.常用的正交多项式族有( )A:勒让德多项式；B:切比雪夫多项式；C:埃尔米特多项式.D:拉盖尔多项式；答案:ABCD2.最小二乘法可以解超定方程A:错B:对答案:B3.选用不同的权函数和求解区间，通过施密特正交化过程，由完全多项式基函数得到的正交多项式是不同的A:对B:错答案:A4.正交多项式作最小二乘法时，得到的法方程的矩阵是( )A:对称矩阵；B:正定矩阵；C:可逆矩阵.D:对角矩阵；答案:ABCD5.正交多项式和非正交多项式的格拉姆矩阵的性质完全相同A:对B:错答案:B第六章测试1.A:0.43093403B:0.43096407C:0.43096441D:0.4267767答案:A2.龙贝格求积算法公式是A:B:C:D:答案:C3.A:b-aB:0.5(b-a)C:3(b-a)D:2(b-a)答案:A4.A:2n+1B:n+2C:n答案:C5.A:74B:75C:72D:76答案:B第七章测试1.欧拉法的绝对稳定区间为A:B:C:D:答案:B2.下面哪句话是正确的A:梯形公式的优点是稳定性好，计算简单。
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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应用数值分析（第四版）课后习题答案第5章
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nk i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学
数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下湖南师范大学第一章测试1.在数值计算中因四舍五入产生的误差称为（）A:观测误差 B:方法误差 C:舍入误差 D:模型误差答案:舍入误差2.当今科学活动的三大方法为（）。
A:科学计算 B:实验C:数学建模 D:理论答案:科学计算;实验;理论3.计算过程中如果不注意误差分析，可能引起计算严重失真。
A:错 B:对答案:对4.算法设计时应注意算法的稳定性分析。
A:对 B:错答案:对5.在进行数值计算时，每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。
A:错 B:对答案:错第二章测试1.A: B: C: D:答案:2.某函数过(0,1)，(1,2)两点，则其关于这两点的一阶差商为A:3 B:0 C:2 D:1 答案:13.A: B: C: D:答案:4.下列说法不正确的是A:高次多项式插值不具有病态性质 B:分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度 C:分段线性插值的导数一般不连续D:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来答案:分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来5.下列关于分段线性插值函数的说法，正确的是A:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值 B:对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值 C:一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身 D:二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身答案:对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值;一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身6.A: B: C:D:答案:;;7.同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。
A:错 B:对答案:对第三章测试1.A: B:C:D:答案:2.以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A: B: C:D:答案:3.当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权 ( ) 正交。
A: B: C: D:答案: 4.n次Chebyshev多项式在 (-1,1) 内互异实根的个数为A:n+1 B:n-1 C:nD:n+2 答案:n5.用正交函数族做最小二乘法有什么优点A:每当逼近次数增加1时，系数需要重新计算 B:得到的法方程非病态C:不用解线性方程组，系数可简单算出 D:每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算答案:得到的法方程非病态;不用解线性方程组，系数可简单算出;每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算6.用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵高度病态，舍入误差很大。
最新(完美版)第五章习题解答_数值分析
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为()()()0222203-x 150x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈=-≈- ()()()3222203-154x x -=1175135-1.0938-04.()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈-2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()nii l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析第5版课后答案
数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。
以下是每章节课后习题的答案。
第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。
它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。
2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。
误差分为绝对误差和相对误差。
3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。
第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。
它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。
2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。
它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。
3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。
它由两部分组成：指数和尾数。
指数表示数的大小，尾数表示数的精度。
第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。
它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。
2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。
它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。
2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。
它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。
3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。
它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。
第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。
2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。
数值分析第四版习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
《数值分析》第五章答案
习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--ba ba ba ba dx a f x f dx a f dx x f ab a f dx x f ))()(()()())(()(),()(21)()()()(2ηηξf a b dx a x f dx a x f ba b a'-=-'=-'=⎰⎰),(,b a ∈ηξ(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b abaa b a f dx b f dx x f ))(()()(⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a ba dxb f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f ba ba'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈baba ab ba f dxb a f dx x f ))(2()2()(⎰-+-baa b b a f dx x f ))(2()(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2()( dx b a x f b a x ba fb a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξdx b a x f dx b a x b a f ba b a 2)2()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η 3))((241a b f -''=η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。
常州大学数值分析第五章习题解答
化专012 闵建中 121029142012022302021342.(1)2()02()314==33====A A A h h A A h A A h A A h A h ⎧⎪++=⎪--=⎨⎪⎪+=⎩=解：将f(x)=1,x,x 分别代入求积公式，并令左右相等，得解得：，进一步，取f(x)x 代入上述求积公式，有左边右边0，但当f(x)x 时，上述积分公式左右不相等，因此该求积公式具有三次代数精度。
11221122.21=1=*(13=2311==*(13)=3311()((1)2(0)3())3324==,=139A A x x f x dx f f f -++-+≈-++⎰（） 解：当f(x)时，令左右相等有：2）所以有当f(x)x 时，令左右相等有：0所以有所以求积公式为：当f(x)x 时，有左边右边，左右不相等，所以其代数精度为4.解：(1) : T=0.5*(3+1)=2 S=2 C=2 err1 = 0 err2=0(2) : T=1*(1-3)=-2 S=-10/3 C=-10/3 err 1= 4/3 err2=0(3) : T=0 S=0 C=0 err1=0 err2=0(4) : T=e/2 S=1/6*(e+2exp(0.5)) C= 1 err1=-1.7183 err2= 0.00267.解：复合梯形公式T 2n 的matlab 实现：function I = trapezoid(fun,a,b,n)n = 2*n;h = (b-a)/(n-1);x = a : h :b;f = feval(fun , x);I = h * (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n));分别用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分，并与精确值比较，这里积分的精确值由matlab int函数求出，不手工计算。
function trapezoid_and_sinpsom clc;format longsyms xIexact = int(x*exp(x^2),x,0,1);a=0;b=1;for n=2:1:4t = trapezoid(@f,a,b,n)s = simpson(@f,a,b,n)err1 = vpa(Iexact - t,5)err2 = vpa(Iexact - s,5)endfunction y=f(x)y = x*exp(x^2);return从而得出第一小题的结果：n = 2t = 1.6697s = 0.8695err1 = -0.14144err2 = -0.0018562n = 3t = 0.923798756293777s = 0.859533825596209err1 = -0.064658err2 = -0.00039291n = 4t = 0.895892057505771s = 0.859268455239111err1 = -0.036751err2 = -0.00012754将f(x)简单修改就可以得到第2，3小题的结果8.解：function test_romberg()a=1;b=3;n=2;maxit=10;tol=0.5e-4; [R]=romberg(@f,a,b,n,tol,maxit);R = R(1,4)Rexact = log(3)err = R-Rexactreturnfunction y=f(x)y=1/x;return10.解：高斯-勒让德法求解积分的matlab实现：function I = guasslegendre(fun,a,b,n,tol)% guasslegendre: guass-legendre method to calculation integral value%Input : fun is the integrand input as a sring 'fun'% a and b are upper and lower limits of integration % n is the initial number of subintervals% tol is the tolerance%Output : I is Integral result% calculate quadrature nodesyms xp=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n));tk=roots(p);% calculate quadrature coefficientAk=zeros(n+1,1);for i=1:n+1xkt=tk;xkt(i)=[];pn=poly(xkt);fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i));Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol);end% integral variable substitution, transformat [a, b] to [1, 1]xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;% calculate the value of the integral function after variable substitutionfx=fun(xk)*(b-a)/2;%calculation integral valueI=sum(Ak.*fx);对第一小题，精确值由matlab int函数求出，不手工计算；fun = inline('x.^5+3.*x.^2+2');a = 0;b = 1;tol = 1e-5;for n =1:2;nI = guasslegendre(fun,a,b,n,tol)Iexact = int(x^5+3*x^2+2,x,0,1)err = Iexact-Iend计算结果如下：n = 1I = 3.7778Iexact = 19/6 = 3.166666666666667err = 1/72n = 2I = 3.166666666666666Iexact = 19/6 = 3.166666666666667err = 0由此可见高斯-勒让德方法可以在较少的求积节点数下得到较为精确的数值积分解！第2,3小题同理可得。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。
a的秩ra如下：) ra,h1=det(a);returnendif ra==nfor p=1:nh(p)=det(a(1:p,1:p));endh1=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp(请注意：因为a的r阶主子式等于零，所以a不能进行lu分解。
a的秩ra和各阶顺序主子式h1依次如下：)h1;rareturnendendif h(1,i)~=0disp(请注意：因为a的r阶主子式都不等于零，所以a能进行lu 分解。
a的秩ra和各阶顺序主子式h1依次如下：)for j=1:nu(1,j)=a(1,j);endfor k=2:nfor i=2:nfor j=2:nl(1,1)=1;l(i,i)=1;if ijl(1,1)=1;l(2,1)=a(2,1)/u(1,1);l(i,1)=a(i,1)/u(1,1);l(i,k)=(a(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);elseu(k,j)=a(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);endendendendh1;ra,u,l,x=inv(u)*inv(l)*bendend输入：a=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];h1=zhijielu(a,b)输出：请注意：因为a的r阶主子式都不等于零，所以a能进行lu分解。
a的秩ra和各阶顺序主子式h1依次如下：ra =4u =10.0000-7.00000 1.00000 2.1000 6.0000 2.300000-2.1429-4.23810-0.0000012.7333l =1.0000000-0.3000 1.0000000.5000 1.1905 1.0000-0.00000.2000 1.1429 3.2000 1.0000x =-0.2749-1.32981.29691.4398h1 =10.0000-0.0000 -150.0001 -762.0001列主元高斯消去法：建立m文件function [ra,rb,n,x]=liezhu(a,b)b=[a b];n=length(b);ra=rank(a);rb=rank(b);zhicha=rb-ra; if zhicha0disp(请注意：因为ra~=rb，所以方程组无解)returnwarning offmatlab:return_outside_of_loopendif ra==rbif ra==ndisp(请注意：因为ra=rb，所以方程组有唯一解)x=zeros(n,1);c=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[y,j]=max(abs(b(p:n,p)));c=b(p,:);b(p,:)=b(j+p-1,:);b(j+p-1,:)=c;for k=p+1:nm=b(k,p)/b(p,p);b(k,p:n+1)=b(k,p:n+1)-m*b(p,p:n+1);endendb=b(1:n,n+1);a=b(1:n,1:n);x(n)=b(n)/a(n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(a(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/a(q,q);endelsedisp(请注意：因为ra=rbn，所以方程组有无穷多解) endend输入：a=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];b=[8;5.900001;5;1];[ra,rb,n,x]=liezhu(a,b),h=det(a)输出：请注意：因为ra=rb，所以方程组有唯一解ra =4rb =4n =4x =0.0000-1.00001.00001.0000h =-762.0001第二题：建立列主元高斯消去法m文件（题一中已有）（1）输入：format compacta=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34]; b=[1;1;1];[ra,rb,n,x]=liezhu(a,b),h=det(a),c=cond(a)输出：请注意：因为ra=rb，所以方程组有唯一解ra =3rb =n =3x =1.0e+03 *1.5926-0.6319-0.4936h =-0.0305c =3.0697e+04(2)输入：a=[3.00 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.990 -4.81 9.34]; b=[1;1;1];[ra,rb,n,x]=liezhu(a,b),h=det(a)输出：请注意：因为ra=rb，所以方程组有唯一解ra =3rb =3n =3x =119.5273-47.1426-36.8403h =-0.4070第三题：输入：cleara=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];b=[32 23 33 31]’;da=det(a),lamda=eig(a),ac2=cond(a,2)输出：da =1.0000lamda =0.01020.84313.858130.28872.9841e+03下面分析误差性态：建立m文件：function acp=pjwc(a,ja,b,jb,p)%acp矩阵a的p条件数cond%pjwc：p范数解的误差性态分析acp=cond(a,p);da=det(a);x=a\b;deltaa=ja-a;pnda=norm(deltaa,p);deltab=jb-b;pndb=norm(deltab,p);if pndb0jx=a\jb;pnb=norm(b,p);pnjx=norm(jx,p);deltax=jx-x;pnjdx=norm(deltax,p);jxx=pnjdx/pnjx;pnx=norm(x,p);xx=pnjdx/pnx;pndb=norm(deltab,p);xab=pndb/pnb;pnbj=norm(jb,p);xabj=pnd b/pnbj;xgxx=acp*xab;endif pnda0jx=ja\b;deltax=jx-x;pnx=norm(x,p);pnjdx=norm(deltax,p);pnjx=norm(jx,p);jxx=pnjdx/pnjx;xx=pnjdx/pnx;pnja=norm(ja,p);pna=norm(a,p);pnda=norm(deltaa,p);xabj=pnda/pnja;xab=pnda/pna;xgxx=acp*xab;endif (acp50)(da0.1)disp(请注意：ax=b是病态的，a的p条件数acp，a的行列式值da，解x，近似解jx，解的相对误差xx，解的相对误差估计xgxx，b或a的相对误差xab依次如下：)acp,da,x,jx,xx,jxx,xgxx,xab,xabjelsedisp(请注意：ax=b是良态的，a的p条件数acp，a的行列式值da，解x，近似解jx，解的相对误差xx，解的相对误差估计xgxx，b或a的相对误差xab依次如下：)acp,da,x,jx,xx,jxx,xgxx,xab,xabjend输入：ja=[10 7 8.1 7.2;7.08 5.04 6 5;8 5.98 9.89 9;6.99 5 9 9.98];jb=b;p=2;acp=pjwc(a,ja,b,jb,p)输出：请注意：ax=b是良态的，a的p条件数acp，a的行列式值da，解x，近似解jx，解的相对误差xx，解的相对误差估计xgxx，b或a 的相对误差xab依次如下：acp =【篇三：李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案】。