《高中数学正态分布》PPT课件
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2025届高中数学一轮复习课件《正态分布》ppt
高考一轮总复习•数学
A．甲工厂生产的零件尺寸的平均值等于乙工厂生产的零件尺寸的平均值 由正态曲线的对称轴相等可知． B．甲工厂生产的零件尺寸的平均值小于乙工厂生产的零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产的零件尺寸的稳定性高于乙 甲的正态曲线瘦高，即稳定性高于乙． 工厂生产的零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产的零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产的零件尺寸的稳定性
(2)由已知得 E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故 E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选 D．
解析
高考一轮总复习•数学
第21页
题型
服从正态分布的概率计算
典例 2 (1)(2024·陕西西安模拟)陕西洛川苹果享誉国内外，据统计，陕西洛川苹果(把
苹果近似看成球体)的直径 X(单位：mm)服从正态分布 N(70,52)，则直径在(80,85]内的概率
高考一轮总复习•数学
第27页
135 分的为特别优秀，那么本次数学考试成 μ＋2σ 绩特别优秀的大约有________人．(若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ －2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.95) (2)(2024·河北张家口统考)某校举办乒乓球颠球比赛，现从高一年级 1 000 名学生中随机 选出 40 名学生统计成绩(单位：个)，其中 24 名女生的平均成绩 x 女＝70，标准差 s 女＝4；16 名男生的平均成绩 y 男＝80，标准差 s 男＝6.
σ ＝ 9. 因 为
μ
－ 2σ
＝
110
－
2×9
＝ 92
，
P(ξ≥90)>P(ξ≥92) ＝
P(ξ≥μ －
2σ)
＝
1 2
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
正态分布及其应用--ppt课件
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
PPT课件
5
不同均值正态分布示意图
PPT课件
6
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
PPT课件
7
➢ 正态曲线下面积的分布规律
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPPT课件
9
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
PPT课件
8
➢四、正态分布的应用
正态分布及其应用
(normal distribution)
PPT课件
1
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
PPT课件
2
➢二．图形 正态分布密度函数
PPT课件
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
PPT课件
5
不同均值正态分布示意图
PPT课件
6
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
PPT课件
7
➢ 正态曲线下面积的分布规律
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
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9
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
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8
➢四、正态分布的应用
正态分布及其应用
(normal distribution)
PPT课件
1
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
PPT课件
2
➢二．图形 正态分布密度函数
PPT课件
《正态分布》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教A版】
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该
选择哪种交通工具？请说明理由.
分析：观察图象可得，在时间小于38分钟时，蓝色线与x轴围成面
积小于等于红色线与x轴围成面积；在时间小于等于34分钟时，蓝
色线与x轴围成面积大于红色线与x轴围成面积；
解：应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，由图可
自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车
平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该
( − 3 ≤ ≤ + 3) ≈ 0.9973.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间
[ − 3, + 3]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发
生,认为是小概率事件.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布(， 2 )的随机变量X只取[ − 3, + 3]中的值，这
特别地，当 = 0， = 1时，称随机变量服从标准正态分布.
课堂探究
追问3：由整体密度函数的表达式和函数的理解过程，其函数图象有怎样的特点？
答：对任意的 ∈ R都有() > 0，它的图象在x轴的上方，
我们也可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.
追问4：结合频率分布直方图和钟形曲线的实际意义，下面图象中区域A、B的面积有
选择哪种交通工具？请说明理由.
分析：观察图象可得，在时间小于38分钟时，蓝色线与x轴围成面
积小于等于红色线与x轴围成面积；在时间小于等于34分钟时，蓝
色线与x轴围成面积大于红色线与x轴围成面积；
解：应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，由图可
自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车
平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该
( − 3 ≤ ≤ + 3) ≈ 0.9973.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间
[ − 3, + 3]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发
生,认为是小概率事件.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布(， 2 )的随机变量X只取[ − 3, + 3]中的值，这
特别地，当 = 0， = 1时，称随机变量服从标准正态分布.
课堂探究
追问3：由整体密度函数的表达式和函数的理解过程，其函数图象有怎样的特点？
答：对任意的 ∈ R都有() > 0，它的图象在x轴的上方，
我们也可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.
追问4：结合频率分布直方图和钟形曲线的实际意义，下面图象中区域A、B的面积有
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态分布 ppt课件
21
例题1： 若随机变量X ~ N (0,1),查表，求 （1）P( X 1.52); (2)P( X 1.52); (3)P(0.57 X 2.3); (4)P( X 1.49)
解：（1）P( X 1.52) (1.52) 0.93574;
(2)P( X 1.52) 1 P( X 1.52) 1 0.93574;
2
（４）曲线与ｘ轴之间的面积为 1；
正态曲线
PPT课件
13
4、探究与对函数图像的影响
（1）思考：
式子中有两个变化的参数，我们可以看 成两个变量，但是双变量会对我们的研究造 成一定的困难，同学们有什么好的办法吗？
针对解析式中含有两个参数，较难独立 分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个 参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样 的处理大大降低了难度
N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，
那么 σ1，σ2，σ3 的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，
σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：A
PPT课件
31
[例2] 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)， 求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概 率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值 的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
PPT课件
32
[精解详析] 由题意得 μ＝1，σ＝2，
《高中数学正态分布》课件
正态分布的实例分析
1 案例一：商品售价的概率分布
探讨商品售价符合正态分布时的概率分布情况，为合理定价提供依据。
2 案例二：身高的概率分布
分析人类身高在不同群体中的分布，理解身高的统计特征和差异。
3 案例三：考试成绩的分布
研究考试成绩的正态分布特征，评估学生的相对表现和优势科目。
总结与思考
正态分布在数学与实践中的重要 性
3
应用示例
通过标准化后的数据，可以进行正态分布的统计估计、抽样与推论，并用于描述 实际情况。
正态分布的应用
统计估计
正态分布在估计总体参数和进行 置信区间估计时非常有用。
抽样与推论
正态分布可用于抽样分布的建立 和统计推断的进行。
实际情况分析
通过近似描述实际情况，例如商 品售价、身高和考试成绩的分布。
《高中数学正态分布》 PPT课件
引言
正态分布的定义
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线，以均值μ和标准差σ来描述。
正态分布的性质
正态分布的均值、中位数和众数相等；左右对称；68%的数据落在一个标准差内；95%的数 据落在两个标准差内。
概率密度函数
密度函数的输入和输出，函数图 像
密度函数接受一个输入值x并给出对应的概率密度 值。函数图像呈现出正态分布的钟形曲线。
正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，在自 然科学、社会科学和经济金融等领域有广泛应用。
对于其他分布的启示
正态分布的性质和应用可以启发我们研究和理解其 他概率分布。
参考文献
• 统计学与实际 • 十二年高等数学 • 数学建模及其应用 • 离散数学及其应用
均值和标准差对函数图像的影响
均值决定函数图像的中心位置，标准差影响函数图 像的分散程度。正态分布的Fra bibliotek准化1
正态分布ppt课件
收集数据
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
《高二数学正态分布》PPT课件
N(u，σ2)，则X只取区间(u－3σ, u＋
3σ]内的值，这个理论称为3σ原则.
理论迁移
例2 若X～N(5，1)，求P(6＜X＜7) 的值.
0.1359
精选PPT
15
布置作业
P74练习：2，3. P75习题2.4A组：1，2.
知识回放编号频率组距91011知识回放编号频率组距91011知识回放4这条曲线是函数知识回放5如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽并沿其底部建立一个水平坐标轴其刻度单位为球槽的宽度用x表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标则x是一个什么类型的随机变量
知识回放
1、通过高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理 由吗？
(3)在x＝u处取极大值 s 2p .
(4)面积为1
知识回放
jm,s(x) =
1 2ps
e-(x2-su2)2
10、根据函数φu，σ(x)的解析式分析，若σ
为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
O
x
u变化时曲线沿x轴左右平移.
知识回放
11、若u为定值，当σ变化时正态曲线的极值 大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
正态分布在各σ邻域内取值的概率.
知识回放
12、正态分布的3σ原则
由P(u－3σ＜X≤u＋3σ)＝0.9974可知，
正态总体有99.74%的取值落在区间
(u－3σ,u＋3σ]内，即在此区间外取值
的概率只有0.0026.通常认为在一次试验 中，随机变量取这个区间外的值几乎不 可能发生，或者认为如果随机变量X～
3、频率分布的折ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图大致是一条什么形 状的曲线？
频率/组距
y 钟形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号 O
3σ]内的值，这个理论称为3σ原则.
理论迁移
例2 若X～N(5，1)，求P(6＜X＜7) 的值.
0.1359
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15
布置作业
P74练习：2，3. P75习题2.4A组：1，2.
知识回放编号频率组距91011知识回放编号频率组距91011知识回放4这条曲线是函数知识回放5如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽并沿其底部建立一个水平坐标轴其刻度单位为球槽的宽度用x表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标则x是一个什么类型的随机变量
知识回放
1、通过高尔顿板试验，你有什么发 现？能解释一下产生这种现象的理 由吗？
(3)在x＝u处取极大值 s 2p .
(4)面积为1
知识回放
jm,s(x) =
1 2ps
e-(x2-su2)2
10、根据函数φu，σ(x)的解析式分析，若σ
为定值，当u变化时正态曲线如何变化？
y
O
x
u变化时曲线沿x轴左右平移.
知识回放
11、若u为定值，当σ变化时正态曲线的极值 大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
正态分布在各σ邻域内取值的概率.
知识回放
12、正态分布的3σ原则
由P(u－3σ＜X≤u＋3σ)＝0.9974可知，
正态总体有99.74%的取值落在区间
(u－3σ,u＋3σ]内，即在此区间外取值
的概率只有0.0026.通常认为在一次试验 中，随机变量取这个区间外的值几乎不 可能发生，或者认为如果随机变量X～
3、频率分布的折ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图大致是一条什么形 状的曲线？
频率/组距
y 钟形曲线
1 2 3 4 5 6 7 8 91011 编号 O
新人教版高中数学必修第三册-7-5 正态分布【课件】
(6)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图 1 所示．
(7)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变 量 X 的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 X 的分布越分散，如 图 2 所示．
4．3σ 原则 (1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____0_._6_8_2_7________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈___0_._9_5_4_5_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____0_._9_9_7_3________. (2)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的 值，这在统计学中称为 3σ 原则．
__μ_＝__0___，标准差为 σ＝ 2π.
4.如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2＝1<σ3.
二、练一练 1．设 X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足( D ) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
第七章 随机变量及其分布
7．5 正态分布
[课标解读]1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例、 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方 差及其含义．
[素养目标] 水平一：利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲 线所表示的意义．(逻辑推理)
，x∈R，则称随机变
(7)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变 量 X 的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 X 的分布越分散，如 图 2 所示．
4．3σ 原则 (1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____0_._6_8_2_7________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈___0_._9_5_4_5_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____0_._9_9_7_3________. (2)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的 值，这在统计学中称为 3σ 原则．
__μ_＝__0___，标准差为 σ＝ 2π.
4.如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2＝1<σ3.
二、练一练 1．设 X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足( D ) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
第七章 随机变量及其分布
7．5 正态分布
[课标解读]1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例、 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方 差及其含义．
[素养目标] 水平一：利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲 线所表示的意义．(逻辑推理)
，x∈R，则称随机变
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
正态分布ppt精品课件
结果解释
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
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IQ ab
随着试验次数增加得到总体密度曲线形状 越来越像一条钟形曲线
频率 组距
正态曲线
(x)
球槽的编号
1
(
e
xm )2 2 2
,
x
R
正态密度函数
( 0)
2
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
请看 街
(一)创设情境2
这个试验是英国科 学家高尔顿设计的,具体如下
:在一块木板上,订上n+1层钉
2.4 正态分布
f(X)
X
m
第一步：根据样本数据列出频率分布表
区间 号 1 2 3 4 5 6 7 8
区间
[85,90] (90,95] (95,100] (100,105] (105,110] (110,115] (115,120] (120,125]
频数
2 7 11 15 25 20 12 6
与x轴围成的
面(3积)对为称1．性：正态曲线关于直线 x=μ对称
，曲线成“钟形”．
(4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升
的;在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的.
(5)最值性:当 σ最越大大值， 1
x=μ时m,, ( x)
取得12
就越小,于是曲线越“矮胖”,
2
表示总体的分布越分散;反之σ越小,曲线越
f (x)的增区间为(,0)，减区间为(0,).
1、正态分布密度曲线和正态分布的定义 2、正态总体的函数的特征
感谢下 载
二、正态曲线的特点
(x)
1
e
(
xm ) 2 2
2
,
x
R
( 0)
2
1、曲线位于x轴 _上___方，与x轴不__相__交___.
2、曲线是单峰的，它关于直线 _x___m_ 对称.
3、曲线在
_x___m__
处达到最大值
1
____2____.
4、曲线与x轴之间的面积为 __1_____.
正态总体的密度函数表达式
“瘦高”,表示总体的分布越集中．
(6)几何性:参数μ和
y
σ的统计意义:E(x)=
μ,曲线的位置由μ决
定;D(x)=σ2,曲线的
形状由σ决定.
oxຫໍສະໝຸດ 同学们能举出服从正态分布的随机变量的例子么？
在生产中，在正常生产条件下各种产品 的质量指标；
在生物学中，同一群体的某一特 征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气 温、平均湿度,以及降雨量等，水文中 的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、 生产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
一般地，如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量X满足:
P(a X b) abm, (x)dx
则称随机变量X服从正态分布. 正态分布由参数μ、 σ唯一确定，因此正态分布记作N（ μ，σ2）.如果随 机变量X服从正态分布，则记作 X~ N（ μ，σ2）
经试验表明，一个 随机变量如果是众多的、 互不相干的、不分主次的 偶然因素作用结果之和， 它就服从或近似服从正态
f (x)
1
e
( xm )2 2 2
x (,)
2
当μ= 0，σ=1时
y μ=0
标准正态总体的密度函数表达式
σ=1
f (x)
x2
1
e2
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
x (,)
标准正态曲线
例2、标准正态总体的函数为
1
x2
f (x) e 2 , x (, ).
2
（1）证明f(x)是偶函数；
频率 频率/组距
0.02
0.004
0.07
0.014
0.11
0.022
0.15
0.030
0.25
0.050
0.20
0.040
0.12
0.024
0.06
0.120
9 (125,130] 2
0.02
0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y
频率/组距
0.06 － 0.05 － 0.04 － 0.03 － 0.02 － 0.01 －
探究1: m 的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平
E( ) m
探究2: s的意义
总体标准差反映总体随机变量集中与分散的程度
y
σ=0.5
σ=1
o
D( )
σ=2 x
2.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线m, (x)
在轴的上
方,与x轴不相交(即x轴是曲线的渐近线).
(2)定值性:曲线m, (x)
子,第1层2个钉子,第2层3个
钉子,……,第n+1层n+2个钉子,
这些钉子所构成的图形跟杨 辉三角形差不多.自上端放入 一小球,任其自由下落,在下 落过程中小球碰到钉子时,从 左边落下的概率是P,从右边 落下的概率是1-P,碰到下一 排也是如此.最后落入底板中 的某个格.下面我们来试验一 下:
正态分布的定义:
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
解：(1) f (x)
1
( x)2
e2
2
f (x)为偶函数
1
x2
e 2 f (x)
2
（2）正态密度函数在x m处取得最大值
又由已知得 : m 0
f (x)max f (0)
1
2
(3) m 0, 1
f (x)的图像关于y轴对称
0
85
90
95 100 105 110 115 120
125 x130
各小长方形的面积表示相应各组 的频率，各小长方形面积的总和等于1
第三步：得到总体密度曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率 分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲 线，我们称此曲线为密度曲线．
频率 密度曲线 组距
在区间 (a, b) 内取值的频率