圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。

一、定值问题

例1. 椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F PF ∆的

内切圆记为M ，求证：点P 到M 的切线长为定值。

证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切

圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕．

点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。

二、动点轨迹问题

例2、已知椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12

F PF ∆的内切圆记为M ，试求圆心M 的轨迹方程 。

解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定义

有||s i n ||s i n ||

s i n [()]

PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c

αβαβαβαβ+=⇒=++++，又由合分比定理知

tan tan 22a c a c αβ-⋅=+。由斜率公式知：12,(0),MF MF y y k k y x c x c

=

=≠+-由前述不难看出，不论

P

位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有

12tan

tan

,(0).2

2

MF MF y y a c

k k y x c x c a c

α

β

-⋅=-⋅∴

⋅=-≠+-+ 整理得(a －c)x 2

＋(a ＋c)y 2

=(a －c)c 2

(y≠0)证毕．

点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到

一个重要的结论： 已知椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点P 及两焦点F F 12、，若

∠PF F 12=α，∠PF F 21=β，则椭圆的离心率为

sin()

sin sin αβαβ

++。 三、方程问题 例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123

=

π

，且△PF F 12的

面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。

解析：设双曲线的方程为x a y b

a b 222

2100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，

P x y ()

00，。在△PF 1F 2中，由余弦定理，得

||||||||||cos

F F PF PF PF PF 12212221223

=+-··π

=-+(||||)||||

PF PF PF PF 12212·，即

442212c a PF PF =+||||·，又因为S PF F △1223=，所以

123

2312||||s i n PF PF ·π

=，所以

||||PF PF 128·=，所以44822c a =+即b 22=，又因为e c a

==2，所以a 22

3

=

。故所求双曲线方程为322

122

x y -=。 点评：如果在△PF F 12中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。

四、最值.范围问题

例4、 已知曲线C 的方程为x y 2243

1+=，A （－1，0），B （1，0），过点B 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，若∠MAN 为钝角，求直线l 的倾斜角为α的取值范围。

解：（1）若l ⊥x 轴，则l 的方程为x M N =⇒-1132132

()()，，，，

∠°MAN =<23

4

90arctan

（不合题意）。（2）若l 与x 轴重合，则∠MAN ＝π（不合题意）。 （3）若l 与x 轴、y 轴不垂直，设l y k x k ：≠=-()()10，代入曲线C 的方程得： 222

2

2

2

1122121222

8412(34)84120()()3434k k k x k x k M x y N x y x x x x k k -+-+-=⇒+==

++设，，，，

所以AM AN

→→

·212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x y y x x k x x =+++=+++--

2

2

2

1212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++=-+79

3422

k k

因为∠MAN 为钝角，所以AM AN →→<·0所以790097

22

k k -<<<，所以，所以

-<<<<

3770037

7k k 或。所以倾斜角α的范围是：(arctan )(arctan )0373377

，， ππ- 点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在△F PF 12中，∠F 1PF 2为锐角

⇔>⇔→→>cos ∠·F PF PF PF 121200；∠F 1PF 2为直角⇔=⇔→→

=cos ∠·F PF PF PF 121200；

∠F 1PF 2为钝角⇔<⇔→→

五、开放性问题

例5、已知12F F ，为双曲线22

221(00)a b x y a b a b

≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右

支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①12PF F △的内切圆的圆心必在直

线x a =上；②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上；③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是

（写出所有真命

题的代号）．

解析：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①、④正确。