(完整版)初二数学动点问题练习(含答案)

e
a
n
d
r
动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从
A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，
如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6
当t= 时，四边形是等腰梯形. 8
2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任
意一点，则DN+MN的最小值为5
3、如图，在Rt ABC
△中，9060
ACB B
∠=∠=
°，°，2
BC=．点O是AC的中点，
过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点
C作CE AB
∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；
②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；
（2）当90
α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC∴AO=
1
2
AC
.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于
D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等
A
A
（备用图）C
B
A
E
D
图1
N
M
A B
C
D
E
M
N
图2
A
C
B
E
D
N
M
图3
量关系，并加以证明.
解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等)
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ，
∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．
90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．
CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠= °，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）
． AE EF ∴=．（2）正确．
证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．
BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．
四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．
ANE ECF ∴△≌△（ASA ）
．AE EF ∴=．
6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t.
求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值
A
D F C G
B
图1
A
D
F
C G
E
B
图3
A D
F
C G
B 图2
A
D F
C G
E B M
A
D
F
G
E B
N
A
l
l
t
h
i
s
i
n
t
h
7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD BC
∥，E是AB的中点，过点E作EF BC
∥交CD于
点F．46
AB BC
==
，，60
B=︒
∠.求：（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF
⊥交BC于点M，过M作MN AB
∥交折线ADC于点N，连结PN，设EP x
=.
①当点N在线段AD上时（如图2），PMN
△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN
△的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN
△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由
解（1）如图1，过点E作EG BC
⊥于点G．∵E为AB的中点，∴
1
2
2
BE AB
==．
在Rt EBG
△中，60
B=︒
∠，∴30
BEG=︒
∠．∴
1
1
2
BG BE EG
====
，．
即点E到BC
A D
A D
E
B
F
C
图4（备用）
A D
E
B
F
C
图5（备用）
A D
E
B
F
C
图1图2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
s
i
（2）①当点N在线段AD上运动时，PMN
△的形状不发生改变．
∵PM EF EG EF
⊥⊥
，，∴PM EG
∥．
∵EF BC
∥，∴EP GM
=，PM EG
==同理4
MN AB
==．
如图2，过点P作PH MN
⊥于H，∵MN AB
∥，
∴6030
NMC B PMH
==︒=︒
∠∠，∠．∴
1
2
PH PM
==
∴
3
cos30
2
MH PM
=︒=
A．则
35
4
22
NH MN MH
=-=-=．
在Rt PNH
△中，PN===
∴PMN
△的周长=4
PM PN MN
++=++．
②当点N在线段DC上运动时，PMN
△的形状发生改变，但MNC
△恒为等边三角形．
当PM PN
=时，如图3，作PR MN
⊥于R，则MR NR
=．
类似①，
3
2
MR=∴23
MN MR
==．∵MNC
△是等边三角形，∴3
MC MN
==．
此时，6132
x EP GM BC BG MC
===--=--=．
当MP MN
=时，如图4，这时MC MN MP
===此时，615
x EP GM
===--=
当NP NM
=时，如图5，30
NPM PMN
==︒
∠∠．则120
PMN=︒
∠，又60
MNC=︒
∠，
∴180
PNM MNC
+=︒
∠∠．因此点P与F重合，PMC
△为直角三角形．
∴tan301
MC PM
=︒=
A．此时，6114
x EP GM
===--=．
综上所述，当2
x=或4或(5时，PMN
△为等腰三角形．
8、如图，已知ABC
△中，10
AB AC
==厘米，8
BC=厘米，点D为AB的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A
点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD
△与CQP
△
是否全等，请说明理由；
图3
A D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A D
E
B
F（P
C
M
N
G
G
R
G
图2
A D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与
CQP △全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿
ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？
解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，
∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．
又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．
又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△
．
②∵
P Q
v v ≠，
∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则
45BP PC CQ BD ====，，
∴点P ，点Q 运动的时间
433BP t =
=秒， ∴
515
443Q CQ v t
=
==厘米/秒。

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得1532104x x =+⨯，解得
80
3x =
秒．∴点P 共运动了80
3803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
∴经过80
3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．
9、如图所示，在菱形ABCD 中，AB =4，∠BAD =120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC ．CD 上滑动，且E 、F 不与B ．C ．D 重合．
（1）证明不论E 、F 在BC ．CD 上如何滑动，总有BE =CF ；
（2）当点E 、F 在BC ．CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不
变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
B
∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =120°，∠BAE +∠EAC =60°，∠FAC +∠EAC =60°，∴∠BAE =∠FAC 。

∵∠BAD =120°，∴∠ABF =60°。

∴△ABC 和△ACD 为等边三角形。

∴∠ACF =60°，AC =AB 。

∴∠ABE =∠AFC 。

∴在△ABE 和△ACF 中，∵∠BAE =∠FAC ，AB
=AC ，∠ABE =∠AFC
，
∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。

∴BE =CF 。

（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF
的面积发生变化。

理由如下：
由（1）得△
ABE ≌△ACF ，则S △ABE =S △ACF 。

∴S 四边形AECF =S △AEC +S △ACF =S △AEC
+S △ABE =S △ABC ，是定值。

作AH ⊥BC 于H 点，则BH =2，
AECF
ABC 11
S S BC AH BC 22
∆==⋅⋅==四四边。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直
时，边AE 最短．
故△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最
小，
又S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF ，则此时△CEF 的面积就会最大．
∴S △CEF =S 四边形AECF ﹣S △AEF 。

1
2
=⋅=
∴△CEF 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的
性质。

【分析】（1）先求证AB =AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠ACF =60°，AC =AB ，从
而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE =CF 。

（2）由△ABE ≌△ACF 可得S △ABE =S △ACF ，故根据S 四边形AEC F =S △AEC +S △ACF =S △AEC +S △
AB E =S △ABC 即可得四边形
AECF 的面积是定值。

当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最
t i m
e a
n d
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i 短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，根据S △
CEF =S 四边形AECF －S △AEF ，则△CEF
的面积就会最大。

10、如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C 为OB 上一点，射线CD ⊥OB 交AB 于点
D ，OC=2．点P 从点A 出发以每秒个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点C 出发以每秒2个单位长度的速度沿CD 方向运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止．过点P 作P
E ⊥OA 于点E ，P
F ⊥OB 于点F ，得到矩形PEOF ．以点Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ，斜边MN ∥OB ，且MN=QC ．设运动时间为t （单位：秒）．（1）求t=1时FC 的长度．（2）求MN=PF 时t 的值．
（3）当△QMN 和矩形PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与t 的函数关系式．（4）直接写出△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．
考点：相似形综合题．
分析：（1）根据等腰直角三角形，可得
，OF=EP=t ，再将t=1代入求出FC 的长度；
（2）根据MN=PF ，可得关于t 的方程6﹣t=2t ，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t ≤2时；当2＜t ≤时；当＜t ≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面
积S 与t 的函数关系式；
（4）分M 在OE 上；N 在PF 上两种情况讨论求得△QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值．
解答：解：（1）根据题意，△AOB 、△AEP 都是等腰直角三角形．
∵，OF=EP=t ，∴当t=1时，FC=1；
（2）∵AP=t ，AE=t ，PF=OE=6﹣t
MN=QC=2t ∴6﹣t=2t
解得t=2．
故当t=2时，MN=PF ；
（3）当1≤t ≤2时，S=2t 2﹣4t+2；
当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；
当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；
（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．。