基于matlab的Lorenz系统仿真研究

基于Matlab的Lorenz系统仿真研究

摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；

然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。

关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统

1.引言

Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。Lorenz方程的表达式如下：

{

dx

dt

=σ(y−x) dy

dt

=(μ−z)x−y dz

dt

=−bz+xy

其中，σ、μ、b为正实常数。

本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。

2.matlab求解Lorenz方程并绘图

首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：

function dx=Lorenz(t,x)

dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];

end

然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。程序如下所示：

>> clf

>> x0=[0.1,0.1,0.1];

>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);

>> subplot(2,2,1)

>> plot(x(:,1),x(:,3))

>> title('(a)')

>> subplot(2,2,2)

>> plot(x(:,2),x(:,3))

>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)

>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)

>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')

运行上述程序，可得到如下波形：

其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。可以看到，混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形。

由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z 平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影放在同一张图中比较。为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用红色。程序如下所示：

>> clf

>> x0=[0.1,0.1,0.1];

>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> hold on

>> x0=[0.1,0.1,0.1];

>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> x0=[0.1,0.11,0.1];

(a)

(b)

(c)

(d)

>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')

得到的图形如下所示：

可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明了系统的敏感性。

3.matlab 对Lorenz 系统仿真

首先利用matlab 的Simulink 功能，搭建Lorenz 系统的模型，仿真模型如下图所示：

010

20

30

40

50

60

在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观察参数μ取不同值时系统的运行状态。

根据文献[1]的分析，当参数0<μ<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：

050100150 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

可见，系统很快地趋向并稳定在O （0,0,0），验证了前面所述。

根据文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当1<μ<13.926时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点P+或P-；当μ=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O ，即出现同宿轨；当μ>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。可见，μ是一个同宿分岔点。因此，取初值x=y=z=2，μ=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：